Một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử

-1- Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, giáo giảng dạy chun ngành Tốn giải tích, thầy, Phịng sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội II giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực đề tài Đặc biệt, xin xin cảm ơn TS Trần Văn Vuông trực tiếp hướng dẫn suốt trình nghiên cứu lựa chọn đề tài hoàn chỉnh đề tài Xin cảm ơn bạn học viên lớp K11 Tốn giải tích giúp đỡ có đóng góp quý báu cho luận văn Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả -2- Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2009 Tác giả -3- Mục lục Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian định chuẩn, khơng gian Banach 1.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn 1.3 Tốn tử compak 1.4 Khơng gian Hilbert 1.5 Nguyên lý Banach ánh xạ co Chương 2: Một số phương pháp chiếu 2.1 Dạng tổng quát phương pháp chiếu định lý hội tụ 2.2 Phương pháp Ritz 2.3 Phương pháp Bupnôp - Galoockin 2.4 Phương pháp đường dốc Chương 3: Một số ứng dụng 3.1 Giải tốn biên tuyến tính phương trình vi phân thường 3.2 Giải phương trình vi phân Eliptic 3.3 Bài tốn tìm giá trị riêng toán tử tự liên hợp xác định dương 3.4 Giải phương trình vi phân cấp 3.5 Giải phương trình tích phân Fredhom Kết luận Tài liệu tham khảo -4- MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình tốn tử có liên quan lớn đến vấn đề, toán, khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật, sống Đã có nhiều nhà toán học tiếng đề cập đến phương trình tốn tử có dạng tổng qt Ax = y dạng cụ thể với khía cạnh mn hình, mn vẻ phương trình Rõ ràng, trường hợp đặc biệt phương trình Ax = y xảy A toán tử vi phân thường, tốn tử đạo hàm riêng, tốn tử tích phân, toán tử giả vi phân, siêu giả vi phân … Tốn tử A tuyến tính phi tuyến, đơn trị đa trị, tất định ngẫu nhiên A kí hiệu cho tốn tử xác định toán biến cổ điển không cổ điển, với biến trơn không trơn Miền xác định A đa tạp Euclid khơng Euclid Chính vậy, mà phạm vi ứng dụng lý thuyết phương trình tốn tử rộng lớn Hiện nay, vịêc nghiên cứu phương pháp giải gần cách tổng quát nhờ áp dụng kết phương pháp giải tích hàm đem lại nhiều kết quan trọng Trong số phương pháp giải gần phải kể đến loại phương pháp chiếu phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov − Galerkin, phương pháp đường dốc Việc nghiên cứu phương trình tốn tử giúp tơi tìm hiểu sâu sắc tốn học đại vơ quan trọng với giáo viên tốn phổ thơng -5- Bởi vậy, tơi chọn đề tài “Một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phương pháp chiếu giải phương trình tốn tử Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp chiếu cụ thể: phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov − Galerkin, phương pháp đường dốc số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo - Tổng hợp kiến thức vận dụng cho mục đích nghiên cứu ứng dụng Những đóng góp khoa học thực tiễn đề tài Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp chiếu cụ thể: phương pháp Ritz, phương pháp Bubnov − Galerkin, phương pháp đường dốc số ứng dụng -6- Chương Một số kiến thức 1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa không gian định chuẩn Một khơng gian tuyến tính X trường P ( P = » P = » ) với ánh xạ ||.|| : X → » gọi khơng gian định chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: 1) ( ∀x ∈ X ) || x || ≥ , || x || = ⇔ x = θ (phần tử không) 2) ( ∀x ∈ X ) ( ∀α ∈ P ) || α x || = | α | || x || 3) ( ∀x, y ∈ X ) || x + y || ≤ || x || + || y || 1.1.2 Định lý 1.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ x, y ∈ X ta đặt d ( x, y ) = || x − y || Khi d metric X Chứng minh Ta chứng minh d : X × X → » , d ( x, y ) = || x − y || thỏa mãn tiên đề không gian metric 1) ∀x, y ∈ X , d ( x, y ) = || x − y || ≥ d ( x, y ) = ⇔ || x − y || = ⇔ x− y =θ ⇔ x = y (vì X khơng gian tuyến tính) 2) ∀x, y ∈ X , d ( x, y ) = || x − y || = ||( − 1) ( y − x )|| = | − 1| || y − x || = || y − x || = d ( y, x) -7- 3) ∀x, y, z ∈ X : d ( x, y ) = || x − y || = || x − z + z − y || ≤ || x − z || + || z − y || = d ( x, z ) + d ( y , z ) Vậy d ( x, y ) metric X Ý nghĩa Dựa vào định lý 1.1, không gian định chuẩn trở thành khơng gian metric với metric d ( x, y ) = || x − y || Do đó, khái niệm tính chất không gian metric không gian định chuẩn 1.1.3 Sự hội tụ không gian định chuẩn 1.1.3.1 Định nghĩa 1.1.1 Dãy điểm ( xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X , lim || xn − x || = x→∞ Kí hiệu lim xn = x hay xn → x (khi n → ∞ ) x→∞ 1.1.3.2 Tính chất 1) Nếu dãy ( xn ) hội tụ tới x dãy chuẩn (|| xn ||) hội tụ tới || x || 2) Nếu dãy ( xn ) hội tụ không gian định chuẩn X dãy chuẩn tương ứng (|| xn ||) bị chặn 3) Nếu dãy điểm ( xn ) hội tụ tới x , dãy điểm (yn) hội tụ tới y không gian định chuẩn X , dãy số (αn) hội tụ tới số α, thì: xn + yn → x + y (n → ∞ ) α n xn → α x 1.1.4 Định nghĩa không gian Banach (n → ∞) -8- 1.1.4.1 Định nghĩa 1.1.2 Dãy điểm ( xn ) không gian định chuẩn gọi dãy bản, lim || xn - xm || = n , m→∞ 1.1.4.2 Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ 1.2.Tốn tử tuyến tính bị chặn 1.2.1.Một số định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường P ( P = » P = » ) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi tuyến tính, ánh xạ A thỏa mãn điều kiện : 1) (∀x, x ' ∈ X ) A( x + x ' ) = Ax + Ax ' 2) (∀x ∈ X )(∀α ∈ P ) Aα x = α Ax Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính Khi tốn tử Α thỏa mãn điều kiện 1) Α gọi tốn tử cộng tính, cịn tốn tử Α thỏa mãn điều kiện 2) Α gọi tốn tử Khi Y = P tốn tử tuyến tính Α thường gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.2.2 Cho hai không gian định chuẩn X , Y Tốn tử tuyến tính Α từ khơng gian X vào không gian Y gọi bị chặn, tồn số C > cho: Αx ≤ C x , ∀x ∈ X (1.2.1) Định nghĩa 1.2.3 Cho Α tốn tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Hằng số C nhỏ thỏa mãn hệ thức (1.2.1) gọi chuẩn toán tử A kí hiệu A -9- Định nghĩa 1.2.4 Cho X, Y hai không gian định chuẩn, { At , t ∈ T } họ tốn tử tuyến tính At : X → Y Ta nói họ { At , t ∈ T } liên tục đồng bậc, với ε có δ với t ∈ T : x ≺ δ ⇒ At ( x ) ≤ ε Một họ liên tục đồng bậc bị chặn đều, theo nghĩa: chuẩn toán tử họ bị chặn số K : ( ∀t ∈ T ) At ≤ K 1.2.2 Định lý ba mệnh đề tương đương tốn tử tuyến tính liên tục Định lý 1.2.1 Cho A tốn tử tuyến tính từ khơng gian định chuẩn Χ vào không gian định chuẩn Y Ba mệnh đề sau tương đương : 1) A liên tục 2) A liên tục điểm x0 thuộc X 3) A bị chặn Chứng minh 1) ⇒ 2) Hiển nhiên Vì A liên tục liên tục điểm x ∈ X , tốn tử A liên tục điểm x0 ∈ X 2) ⇒ 3) Giả sử toán tử A liên tục điểm x0 ∈ X tốn tử A khơng bị chặn Khi ( ∀n ∈ » * ) ( ∃xn ∈ X ) || Axn || > n || xn || ≥ Vì xn ≠ θ , ∀n ∈ » * Đặt y n = xn || y n || = → ( n → ∞ ), n || xn || n nghĩa yn → θ n → ∞ ⇒ yn + x0 → x0 (n → ∞) Theo giả thiết, ta có: || A( yn + x0 ) - A x0 || → ⇒ || A y n || → ( n → ∞ ) Nhưng || Ayn || = A( xn ) || = || Axn || >1, ∀n ∈ » * n || xn || n || xn || - 10 - Điều mâu thuẫn với || A y n || → ( n → ∞ ) Vì tốn tử A liên tục điểm x0 ∈ X bị chặn 3) ⇒ 1) Giả sử toán tử A bị chặn Theo định nghĩa, ∃C > : || Ax ||≤ C || x ||, ∀x ∈ X (1.2.2) Lấy điểm x ∈ X dãy điểm tùy ý ( xn ) ⊂ X hội tụ tới x Nhờ hệ thức (1.2.2) || Axn − Ax ||=|| A( xn − x) ||≤ C || xn − x ||→ (n → ∞) Do A liên tục điểm x Suy A liên tục 1.2.3 Định lý Banach – Steinhaus Nếu X không gian Banach, Y khơng gian định chuẩn, họ tốn tử tuyến tính liên tục { At : X → Y }t∈T mà bị chặn điểm bị chặn liên tục đồng bậc 1.2.4 Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn Cho hai không gian định chuẩn X Y Kí hiệu L( X , Y ) tập hợp tất tốn tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào L( X , Y ) hai phép toán: Tổng hai toán tử A, B ∈ L( X , Y ) tốn tử, kí hiệu A + B , xác định hệ thức: ( A + B )( x) = Ax + Bx , ∀x ∈ X Tích vơ hướng α ∈ P với toán tử A ∈ L( X , Y ) tốn tử, kí hiệu α A , xác định hệ thức: (α A)( x) = α ( Ax) - 15 - || A xn ,n − A xm,m ( A xn ,n − An xn ,n )|| + || An xn ,n − An xm,m || ≤ 0 + || An0 xm , m − A xm , m || ≤ || A − An0 || || xn ,n || + || A n0 xn ,n − A n0 xm , m || + || A n0 − A || || xm , m || < ε + ε + ε = ε Điều chứng tỏ dãy ( A xn ,n ) dãy không gian Banach Y, nên dãy phải hội tụ, nghĩa dãy yn = A xn ( n = 1, 2, ) chứa dãy hội tụ Vì vậy, A tốn tử compact 1.4 Khơng gian Hilbert 1.4.1 Tích vơ hướng 1.4.1.1 Định nghĩa 1.4.1 Cho khơng gian tuyến tính X trường P ( P = » hay P = » ) Ta gọi tích vơ hướng khơng gian X ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệu (.,.), thỏa mãn tiên đề: _ 1) ( ∀x, y ∈ X ) ( y, x ) = ( x, y ) 2) ( ∀x, y, z ∈ X ) ( x + y, z ) = ( x, y ) + ( y, z ) 3) ( ∀x, y ∈ X ) ( ∀α ∈ P ) ( α x, y ) = α ( x, y ) 4) ( ∀x, y ∈ X ) ( x, x ) > x ≠ θ , ( x, x ) = x = θ 1.4.1.2 Tính chất 1) ( ∀x ∈ X ) ( θ , x ) = 2) ( ∀x, y ∈ X ) ( ∀α ∈ P ) ( x, α y ) = α ( x, y ) 3) ( ∀x, y, z ∈ X ) ( x, y + z ) = ( x, y ) + ( x, z ) - 16 - 1.4.2 Bất đẳng thức Schwarz Định lý 1.4.1 Đối với x ∈ X ta đặt || x || = ( x, x ) (1.4.1) Khi ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Shwarz: |( x, y )| ≤ || x || || y || (1.4.2) Chứng minh Nếu ( x, y ) = bất đẳng thức (1.4.2) hiển nhiên Nếu ( x, y ) ≠ ∀λ ∈ » ta có ≤ ( x − λ ( x, y ) y , x − λ ( x, y ) y ) = x − λ ( x, y )( y − x ) − λ ( x, y )( y, x ) + λλ ( x, y )( x, y )( y, y ) 2 = x − 2λ ( x , y ) + λ ( x , y ) y Ta nhận tam thức bậc hai λ không âm với giá trị λ ∈ » Do : ( x, y ) − ( x, y ) 2 ⇔ ( x, y ) ≤ x x y 2 y ≤0 ⇔ ( x, y ) ≤ x y Vì vậy, ( x, y ) ≤ x y ( ∀x, y ∈ X ) Hệ 1.4.1 Công thức (1.4.1) xác định chuẩn không gian X Định nghĩa 1.4.2 Không gian tuyến tính trường P với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Hệ 1.4.2 Tích vô hướng ( x, y ) hàm liên tục hai biến x y theo chuẩn (1.4.1) Chứng minh Giả sử dãy điểm ( xn ) ⊂ X hội tụ tới x , dãy điểm ( yn ) ⊂ X hội tụ tới y Khi : - 17 - (∃C > 0)(∀n ∈ »* ) || yn || ≤ C | ( xn , yn ) − ( x, y ) | ≤ | ( xn , yn ) − ( x, yn ) | + | ( x, yn ) − ( x, y ) | ≤ || xn − x || || yn || + || x || || yn − y || ≤ C || xn − x || + || x || || yn − y || (∀n ∈ »* ) Suy lim( xn , yn ) = ( x, y ) n →∞ 1.4.3 Định nghĩa không gian Hilbert Định nghĩa 1.4.3 Ta gọi tập H ≠ ∅ gồm phần tử x, y, z, không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện : 1) H khơng gian tuyến tính trường P ; 2) H trang bị tích vơ hướng (.,.) ; 3) H không gian Banach với chuẩn || x ||= ( x, x) , x ∈ H Ta gọi khơng gian tuyến tính đóng khơng gian Hilbert H không gian Hilbert không gian H 1.4.4 Toán tử đối xứng, giá trị riêng, véc tơ riêng Cho A toán tử tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert X Ta có ( Ax,y ) phiếm hàm song tuyến tính liên tục, có tốn tử liên tục A* để cho: (Ax,y) = (x,A*y) Toán tử A* gọi toán tử liên hợp A Nếu A* = A A gọi tốn tử tự liên hợp hay tốn tử đối xứng Ta nói số λ giá trị riêng toán tử A, phương trình Ax = λ x có nghiệm x không tầm thường Khi nghiệm x gọi vectơ riêng A, ứng với giá trị riêng λ Tập hợp tất vectơ riêng tốn tử tuyến tính liên tục A ứng với giá trị riêng λ ( với phần tử 0) làm thành không gian - 18 - đóng λ bất biến A Khơng gian gọi không gian riêng ứng với giái trị riêng λ 1.4.5 Toán tử nghịch đảo Xét phương trình Ax = y dó A tốn tử tuyến tính từ X vào Y Nếu với y ∈ Im A ứng với x hoàn toàn xác định cho Ax = y Khi ấy, toán tử biến y thành x gọi toán tử nghịch đảo toán tử A ký hiệu A-1 1.5 Nguyên lý Banach ánh xạ co Định nghĩa 1.5.1 Cho hai không gian metric M = ( X , d1 ) , M = (Y , d ) Ánh xạ A không gian M1 vào không gian M2 gọi ánh xạ co, tồn số α , ≤ α < , cho: d ( Ax, Ax ') ≤ α d1 ( x, x ') , ∀x, x ' ∈ X Định lý 1.5.1 Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = ( X , d ) vào có điểm bất động x nhất, nghĩa x ∈ X thỏa mãn hệ thức Ax = x Chứng minh Lấy điểm x0 ∈ X lập dãy xn = Axn −1 , (n = 1, 2, ) ta được: d ( x2 , x1 ) = d ( Ax1 , Ax0 ) ≤ α d ( x1 , x0 ) = α d ( Ax0 , x0 ) d ( x3 , x2 ) = d ( Ax2 , Ax1 ) ≤ α d ( x2 , x1 ) ≤ α d ( Ax0 , x0 ) … d ( xn +1 , xn ) = d ( Axn , Axn−1 ) ≤ α d ( xn , xn −1 ) ≤ α n d ( Ax0 , x0 ) với n = 1, 2, Từ suy ∀n, p = 1, 2, ta có p p d (x , x ) ≤ ∑ d (x ,x ) ≤ d ( Ax , x ) ∑ α n + k − n+ p n n + k n + k −1 0 k =1 k =1 n− n+ p α n d ( Ax , x ) =α α d ( Ax , x ) ≤ 0 0 1−α 1−α - 19 - Vì ≤ α < , nên lim α n = , lim d ( xn + p , xn ) = , ∀p ∈ » * , nghĩa dãy ( xn ) n →∞ n →∞ dãy không gian metric đầy M xn = x ∈ X Ta có Từ tồn lim n →∞ d ( Ax, x) ≤ d ( Ax, xn ) + d ( xn , x) = d ( Ax, Axn −1 ) + d ( xn , x) ≤ α d ( xn−1 , x) + d ( xn , x) , ∀n = 1, 2, Cho n → ∞ ta d ( Ax, x) = hay Ax = x , nghĩa x điểm bất động ánh xạ A Giả sử tồn điểm y ∈ X điểm bất động ánh xạ A Khi d ( x, y ) = d ( Ax, Ay ) ≤ α d ( x, y ) ⇒ (1 − α )d ( x, y ) ≤ ⇒ d ( x, y ) = (0 ≤ α < 1) ⇒ x = y Vậy x điểm bất động ánh xạ A - 20 - Chương Một số phương pháp chiếu 2.1 Dạng tổng quát phương pháp chiếu định lý hội tụ 2.1.1 Giả sử X , Y hai không gian Banach Xét phương trình Ax = y , (2.1) A tốn tử tuyến tính với miền xác định D( A) ⊂ X miền giá trị R ( A) ⊂ Y Cho hai dãy không gian { X n } {Yn } , cho: X n ⊂ D ( A) ⊂ X ; Yn ⊂ R ( A) ⊂ Y (n = 1, 2, ) Xét toán tử Pn chiếu Y → Yn : Pn2 = Pn , PnY = Yn Xét họ phương trình gần đúng: Pn ( Axn − y ) = ( xn ∈ X n ) (2.2) Phương pháp tìm nghiệm gần phương trình (2.1) nhờ (2.2) gọi phương pháp chiếu Trong trường hợp X = Y X n = Yn phương pháp gọi phương pháp Galerkin Có nhiều cách xây dựng khơng gian X n , Yn Dưới mô tả cách thường dùng Giả sử X , Y không gian Hilbert Chọn hai dãy đầy đủ {ϕ j } {ψ j } ϕ j ∈ D ( A ) ⊂ X ,ψ j ∈ Y ( j = 1, 2, ) Nghiệm gần tìm dạng tổ hợp tuyến tính n xn = ∑ α jϕ j (2.3) j =1 - 21 - Các hệ số (2.3) xác định từ điều kiện trực giao độ lệch Axn − y với n vectơ hệ tọa độ {ψ j } :   Axn − y,ψ   = n α  Aϕ ,ψ ∑  j i j j =1   −  y,ψ j   =0 j  ( i = 1, 2, , n ) , n  ∑  Aϕ ,ψ j j = 1 α = y,ψ j  i i ( ) ( i = 1, 2, , n ) (2.4) Ta thấy cách giải gần tương đương với việc sử dụng họ phương trình (2.2) X n Yn bao tuyến tính tương ứng họ vectơ {ϕi }1n {ψ i}1n , cịn Pn tốn tử chiếu vng góc lên Yn Phương pháp vừa nêu gọi phương pháp Galerkin − Perov Nếu X =Y không gian Hilbert ϕ i = ψ i phương pháp Galerkin − Perov trở thành phương pháp Bubnov − Galerkin Xét sở {ei }i∞=1 không gian Banach Y Với y ∈ Y ta biểu diễn ∞ y = ∑ β i ei i =1 Các hệ số βi phiếm hàm tuyến tính βi ( y ) có chuẩn bị chặn theo tập hợp Ngồi chuẩn tốn tử chiếu n Pn y = ∑ βi ( y )ei (2.5) i =1 bị chặn theo tập hợp Mỗi tốn tử Pn chiếu khơng gian Y lên không gian Yn với sở {ei }in=1 - 22 - 2.1.2 Dãy không gian { X n } gọi trù mật giới hạn không gian Banach X với x ∈ X có hệ thức d ( x, X n ) → n → ∞ (với d ( x, X n ) = inf x − xn ) xn∈X n Định lý 2.1 Giả sử miền xác định D( A) toán tử A trù mật X , miền giá trị R( A) trù mật Y ; toán tử A ánh xạ - D( A) vào R( A) Ngoài ra, giả sử khơng gian AX n Yn đóng Y ; toán tử chiếu Pn bị chặn theo n : Pn ≤ C ( n = 1,2, ) (2.6) Khi điều kiện cần đủ với y ∈ Y tùy ý, n = n0 , tồn nghiệm xn phương trình (2.2) Axn − y → 0, n → ∞ điều kiện sau thỏa mãn: a) Dãy không gian AX n trù mật giới hạn X ; b) Với n ≥ n0 toán tử Pn ánh xạ – AX n lên Yn ; c) τ = limτ n > với τ n = n →∞ inf yn∈AX n , yn =1 Pn yn Tốc độ tụ hội đặc trưng bất đẳng thức C d ( y, Ax ) ≤ Ax − y ≤ (1 + )d y, Ax n n n τ n ( ) (2.7) Chứng minh Bằng phép đổi biến Axn = un , phương trình (2.2) viết dạng : Pnun = Pn y un ∈ AX n (2.8) - 23 - Điều kiện đủ Kí hiệu Pn hạn chế phép chiếu Pn lên không gian AX n Theo b) n ≥ n0 toán tử Pn ánh xạ − khơng gian AX n lên Yn tồn toán tử nghịch đảo giới nội P n −1 ánh xạ Yn lên AX n Bởi tồn phần tử un thỏa mãn phương trình (2.8) un = Pn−1 Pn y đồng thời xn = A−1un phần tử thỏa mãn (2.2) Từ điều kiện c) suy || Pn−1 ||= || Pn−1 Pn || ≤ c τn (2.6) suy τn , lim n →∞ c τn = c τ < +∞ Với yn ∈ AX n ta có Pn−1 Pn yn = yn Axn − y = un − y = Pn−1 Pn y − y = Pn−1 Pn ( y − yn ) − ( y − yn ) hay || Axn − y ||≤ ( c τn + 1) || y − yn || Suy (2.7) yn vectơ tùy ý thuộc AX n Điều kiện cần Giả thiết với phần tử tùy ý y ∈ Y với n ≥ n0 xấp xỉ un xác định từ (2.8) || un − y ||→ n → ∞ Cần chứng tỏ điều kiện a), b), c) thỏa mãn Các điều kiện a), b) thỏa mãn hiển nhiên Ta cần chứng minh điều kiện c) , tức là, ta cần chuẩn Pn−1 = n ≥ n0 ta có τn (n ≥ n0 ) bị chặn theo tập hợp Với - 24 - un = Pn−1 Pn y Bởi vậy, theo giả thiết với phần tử tùy ý y ∈ Y ta có Pn−1 Pn y → y n → ∞ Theo định lý Banach − Steinhaus chuẩn || Pn−1 Pn || bị chặn theo tập hợp || Pn−1 Pn ||< C ' (n ≥ n0 ) Với yn ∈ Yn ta có || Pn−1 yn || = || Pn−1Pn yn || ≤ C ' || yn || Do || Pn−1 ||≤ C ' (n ≥ n0 ) (n ≥ n0 ) 2.2 Phương pháp Ritz 2.2.1 Định nghĩa dãy cực tiểu Cho H khơng gian Hilbert thực, A tốn tử tuyến tính xác định khơng gian H A trù mật khắp nơi H Định nghĩa 2.2.1 Toán tử A gọi toán tử đối xứng, (∀x, y ∈ H A ) ( Ax, y ) = ( x, Ay ) Toán tử A gọi xác định dương (∀x ∈ H A )( Ax, x) ≥ γ || x ||2 , γ số dương Định nghĩa 2.2.2 Xét phương trình tốn tử Ax = f , f ∈ H cho trước, x ∈ H A Đặt J ( x) = ( Ax, x) − 2( f , x) Dãy {xn } , ( xn ∈ H A ) dãy cực tiểu hóa phiếm hàm J ( x) lim J ( xn ) = inf J ( x) n →∞ x∈H A 2.2.2 Nội dung phương pháp Cho H khơng gian Hilbert thực, A tốn tử tuyến tính xác định dương đối xứng khơng gian H A trù mật khắp nới H - 25 - Xét phương trình tốn tử: Ax = f , (2.2.1) f ∈ H phần tử cho trước x ∈ H A Định lý 2.2.1 Nếu phương trình (2.2.1) có nghiệm x* , giá trị phiếm hàm J ( x) = ( Ax, x) − 2( f , x) đạt giá trị cực tiểu Ngược lại, phần tử x* mà phiếm hàm J ( x) đạt giá trị cực tiểu phần tử nghiệm phương trình (2.2.1) Chứng minh Giả sử x* nghiệm phương trình (2.2.1) Lấy phần tử tùy ý y ∈ H A Đặt y = x* + h Khi J ( y ) = ( Ay, y ) − 2( f , y ) = ( Ax* + Ah, x* + h) − 2( f , x* + h) = ( Ax* , x* ) + ( Ax* , h) + ( Ah, x* ) + ( Ah, h) − 2( f , x* ) − 2( f , h) = J ( x* ) + 2( Ax* , h) + ( Ah, h) − 2( f , h) = J ( x* ) + 2( Ax* − f , h) + ( Ah, h) = J ( x* ) + ( Ah, h) Do J ( y ) ≥ J ( x* ) Điểu có nghĩa x* phiếm hàm J ( x ) đạt giá trị cực tiểu Bây giả sử x* ∈ H A phiếm hàm J( x ) đạt giá trị cực tiểu Lấy phần tử tùy ý y ∈ H A số tùy ý λ Khi x* + λ y ∈ H A , Ta có J ( x* + λ y ) J ( x * + λ y ) ≥ J ( x* ) = ( A( x* + λ y ), x* + λ y ) − 2( f , x* + λ y ) = ( Ax* , x* ) + 2λ ( Ax* , y ) + λ ( Ay, y ) − 2( f ( x* ) − 2λ ( f , y ) = J ( x* ) + 2λ ( Ax* − f , y ) + λ ( Ay, y ) J ( x* + λ y ) − J ( x* ) = 2λ ( Ax* − f , y ) + λ ( Ay, y ) - 26 - Cho nên 2λ ( Ax* − f , y ) + λ ( Ay, y ) ≥ Từ suy 2( Ax* − f , y ) + λ ( Ay, y ) ≥ với λ > 2( Ax* − f , y ) + λ ( Ay, y ) ≤ v ới λ < Chuyển qua giới hạn λ → 0+ λ → 0− ứng với bất đẳng thức ta được: ( Ax* − f , y ) ≥ , ( Ax* − f , y ) ≤ Vậy ( Ax* − f , y ) = Do y phần tử tùy ý thuộc H A H A trù mật khắp nơi H , Ax* = f , hay x* nghiệm phương trình (2.2.1) Định lý chứng minh Ý nghĩa định lý 2.2.1 Để tìm nghiệm phương trình (2.2.1) ta cần tìm điểm mà phiếm hàm J ( x) đạt giá trị cực tiểu Định lý 2.2.2 Giả sử A toán tử đối xứng, xác định dương, phương trình (2.2.1) có nghiệm x* Khi dãy cực tiểu hóa {xn } phiếm hàm J ( x) hội tụ đến nghiệm phương trình (2.2.1) Hơn tốc độ hội tụ xác định bất đẳng thức || xn − x* ||2 ≤ γ [ J ( xn ) − J ( x* )] , γ số dương Chứng minh Theo giả thiết ta có Ax* = f Khi J ( x* ) = ( Ax* , x* ) − 2( f , x* ) = ( Ax* , x* ) − 2( Ax* , x* ) = −( Ax* , x* ) , J ( xn ) − J ( x* ) = ( Axn , xn ) − 2( f , xn ) + ( Ax* , x* ) = ( Axn , xn ) − 2( Ax* , xn ) + ( Ax* , x* ) - 27 - = ( A( xn − x* ), xn ) − ( A( xn − x* ), x* ) = ( A( xn − x* ), xn − x* ) Theo giả thiết A toán tử xác định dương, ( Ax, x) ≥ γ || x ||2 , ∀x ∈ H A , γ số dương Do vậy, J ( xn ) − J ( x* ) ≥ γ || xn − x* ||2 || xn − x* ||2 ≤ γ ( J ( xn ) − J ( x* )) Định lý chứng minh Ý nghĩa định lý 2.2.2 Ta lấy nghiệm gần phương trình (2.2.1) phần tử tùy ý xn dãy cực tiểu hóa phiếm hàm J ( x) , với n đủ lớn (*) Xây dựng dãy cực tiểu hóa Giả sử {ϕ n } dãy phần tử H A thoả mãn tính chất sau: a) Mọi tập hữu hạn dãy tạo nên hệ độc lập tuyến tính; b) Với ε > phần tử tùy ý x ∈ H A tìm số m số c1 , c2 , , cm cho có bất đẳng thức m m k =1 k =1 ( A( x − ∑ ckϕ k ), x − ∑ ckϕk ) < ε Với n ta xây phần tử n xn = ∑α ϕ k k =1 α k hệ số thực k , - 28 - Phiếm hàm J ( xn ) hàm số biến số thực α1 , α , , α n J ( xn ) = J (α1 , α , , α n ) = n n i , j =1 j =1 ∑ α iα j ( Aϕi , ϕ j ) − ∑ α j ( f , ϕ j ) Các số α1 , α , , α n chọn cho phiếm hàm J ( xn ) điểm đạt giá trị cực tiểu Khi (α1 , α , , α n ) phải thỏa mãn điều kiện sau đây: ∂J ( xn ) =0 ∂α j ( j = 1, 2, , n) , n ∑α k ( Aϕ k , ϕ j ) = ( f , ϕ j ) , ( j = 1, 2, , n) k =1 Đây hệ phương trình đại số tuyến tính đối xứng, định thức hệ khác khơng Vì hệ có nghiệm (α1* , α 2* , , α n* ) Khi dãy {xn* } n mà xn* = ∑ α k*ϕk dãy cực tiểu hóa k =1 2.3 Phương pháp Bubnov − Galerkin 2.3.1 Nội dung phương pháp Xét phương trình tốn tử Ax = f , (2.3.1) A tốn tử tuyến tính không thiết phải xác định dương không gian Hilbert H , f ∈ H cho trước Chọn dãy tọa độ {ϕn }, n = 1, 2, (khả vi số lần cần thiết) Lập tổ hợp tuyến tính n xn = ∑ α jϕ j j =1 (2.3.2) - 29 - Các số α j chọn cho Axn − f trực giao với hàm tọa độ ϕ1 , ϕ2 , , ϕn Phương pháp xây dựng nghiệm gần xn gọi phương pháp Bubnov − Galerkin Từ điều kiện trực giao Axn − f với hàm ϕi , i = 1, 2, , n ta hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định hệ số α k : n ∑α k ( Aϕk , ϕm ) = ( f , ϕm ) ; m = 1, 2, , n (2.3.3) k =1 2.3.2 Sự hội tụ phương pháp Trường hợp tốn tử A có dạng A = A0 + K , A0 tốn tử đối xứng xác định dương, K toán tử bị chặn Định lý 2.3.1 Phương pháp Bubnov − Galerkin hội tụ nếu: 1) Phương trình Ax = f có nghiệm nhất; 2) Tốn tử A0 có nghịch đảo A0−1 hồn tồn liên tục Chứng minh Ta có phương trình ( A0 + K ) x = f , hay A0−1 ( A0 + K ) x = A0−1 f , x + Tx = f , T = A0−1 K , f = A0−1 f Toán tử T = A0−1 K hồn tồn liên tục A0−1 hồn tồn liên tục cịn K bị chặn Do đó, phương pháp Bubnov-Galerkin hội tụ Xét không gian Hilbert H phương trình tuyến tính Ax = Kx + f , (2.3.4) ... tơi chọn đề tài ? ?Một số phương pháp chiếu giải phương trình toán tử? ?? để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phương pháp chiếu giải phương trình tốn tử Đối tượng phạm... phương pháp giải gần cách tổng quát nhờ áp dụng kết phương pháp giải tích hàm đem lại nhiều kết quan trọng Trong số phương pháp giải gần phải kể đến loại phương pháp chiếu phương pháp Ritz, phương. .. số phương pháp chiếu 2.1 Dạng tổng quát phương pháp chiếu định lý hội tụ 2.2 Phương pháp Ritz 2.3 Phương pháp Bupnôp - Galoockin 2.4 Phương pháp đường dốc Chương 3: Một số ứng dụng 3.1 Giải tốn