Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 31 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
Bài Giải phương trình: x − x − = x + Giải Điều kiện x ≥ − Ta biến đổi phương trình sau: x − 12 x − = x + ⇔ (2 x − 3) = x + + 11 Đặt y − = x + ta hệ phương trình sau: (2 x − 3) = y + ⇒ ( x − y )( x + y − 1) = (2 y − 3) = x + Với x = y ⇒ x − = x + ⇒ x = + Với x + y − = ⇒ y = − x → x = − Kết luận: Nghiệm phương trình {1 − 2; + 3} Các bạn xây dựng số hệ dạng ? Dạng hệ gần đối xứng (2 x − 3) = y + x + (1) hệ đối xứng loại Ta xt hệ sau : (2 y − 3) = x + giải hệ , từ hệ xây dưng toán phương trình sau : Bài Giải phương trình: x + − 13 x + x + = Nhận xét : Nếu nhóm phương trình trước : 13 33 x − ÷ = 3x + − 4 13 Đặt y − = x + khơng thu hệ phương trình mà giải Để thu hệ (1) ta đặt : α y + β = 3x + , chọn α , β cho hệ giải , (đối xứng gần đối xứng ) 2 ( α y + β ) = 3x + α y + 2αβ y − 3x + β − = (1) ⇔ (*) Ta có hệ : x − 13 x + α y + + β = (2) 4 x − 13 x + = −α y − β Để giải hệ ta lấy (1) nhân với k cộng với (2) mong muốn có nghiệm x = y α 2αβ − β − = = Nên ta phải có : , ta chọn α = −2; β = α − 13 5+ β Ta có lời giải sau : Điều kiện: x ≥ − , 32 3 x + = −(2 y − 3), ( y ≤ ) (2 x − 3) = y + x + ⇒ ( x − y )(2 x + y − 5) = Ta có hệ phương trình sau: (2 y − 3) = x + 15 − 97 Với x = y ⇒ x = 11 + 73 Với x + y − = ⇒ x = 15 − 97 11 + 73 ; Kết luận: tập nghiệm phương trình là: 8 Đặt Chú ý : làm quen, tìm α ; β cách viết lại phương trình ta viết lại phương trình sau: (2 x − 3) = − x + + x + đặt x + = −2 y + , đặt y − = x + không thu hệ mong muốn , ta thấy dấu α dấu với dấu trước Một cách tổng quát (1) f ( x) = A.x + B y + m Xét hệ: để hệ có nghiệm x = y : A-A’=B (2) f ( y ) = A '.x + m ' m=m’, Nếu từ (2) tìm hàm ngược y = g ( x ) thay vào (1) ta phương trình Như để xây dựng pt theo lối ta cần xem xét để có hàm ngược tìm hệ phải giải Một số phương trình xây dựng từ hệ Giải phương trình sau 1) x − 13 x + + x + = 2) x − 13 x + + x + = 3) 81x − = x3 − x + x − 3 4) x + = x − x − 15 30 x − x ) = 2004 30060 x + + 5) ( 6) x − = x3 − 36 x + 53 − 25 ( ) 8/ 9/ 10/ 11/ 33 12/ 13/ 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ Giải (3): Phương trình : ⇔ 27 81x − = 27 x − 54 x + 36 x − 54 ⇔ 27 81x − = ( x − ) − 46 Ta đặt : y − = 81x − 34 IV.PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC Một số kiến thức bản: −π −π Nếu x ≤ −1 có số t với t ∈ ; cho : sin t = x 2 số y với y ∈ [ 0; π ] cho x = cos y π Nếu ≤ x ≤ có số t với t ∈ 0; cho : sin t = x số y 2 π với y ∈ 0; cho x = cos y 2 π π Với số thực x có t ∈ − ; ÷ cho : x = tan t 2 Nếu : x , y hai số thực thỏa: x + y = , có số t với ≤ t ≤ 2π , cho x = sin t , y = cos t Từ có phương pháp giải tốn : −π −π Nếu x ≤ −1 đặt sin t = x với t ∈ ; x = cos y với 2 y ∈ [ 0; π ] π Nếu ≤ x ≤ đặt sin t = x , với t ∈ 0; x = cos y , với 2 π y ∈ 0; 2 Nếu x , y hai số thực thỏa: x + y = , đặt x = sin t , y = cos t với ≤ t ≤ 2π a π π Nếu x ≥ a , ta đặt : x = , với t ∈ − ; ÷ , tương tự cho sin t 2 trường hợp khác π π X số thực thi đặt : x = tan t , t ∈ − ; ÷ 2 Tại lại phải đặt điều kiện cho t ? Chúng ta biết đặt điều kiện x = f ( t ) phải đảm bảo với x có t , điều kiện để đảm bào điều (xem lại đường tròn lượng giác ) Xây dựng phương trình vơ tỉ phương pháp lượng giác ? Từ phương trình lượng giác đơn giản: cos3t = sin t , ta tạo phương trình vơ tỉ Chú ý : cos3t = 4cos3 t − 3cos t ta có phương trình vơ tỉ: x − x = − x (1) 35 Nếu thay x ta lại có phương trình : − x = x x − x (2) Nếu thay x phương trình (1) : (x-1) ta có phương trình vố tỉ khó: x − 12 x + x − = x − x (3) Việc giải phương trình (2) (3) khơng đơn giản chút ? Tương tự từ công thức sin 3x, sin 4x,…….hãy xây dựng phương trình vơ tỉ theo kiểu lượng giác Một số ví dụ Bài Giải phương trình sau : + − x ( + x ) − Giải: Điều kiện : x ≤ Với x ∈ [−1;0] : ( 1+ x) − ( 1− x) − x2 3 − x = + ( ) 3 ≤ (ptvn) π x ∈ [0;1] ta đặt : x = cos t , t ∈ 0; Khi phương trình trở thành: 2 cos x 1 + sin t ÷ = + sin t ⇔ cos t = phương trình có nghiệm : x= Bài Giải phương trình sau : 1− 2x + 2x + 2cos x + 1) − x + + x = DH: tan x = + 2x − 2x − 2cos x 2) + − x = x + − x Đs: x = 3) x − 3x = x + HD: chứng minh x > vô nghiệm ) ( Bài Giải phương trình sau: 6x + = 2x Giải: Lập phương vế ta được: x − x = ⇔ x3 − x = 5π 7π π Xét : x ≤ , đặt x = cos t , t ∈ [ 0; π ] Khi ta S = cos ;cos ;cos 9 mà phương trình bậc có tối đa nghiệm tập nghiệm phương trình 2 Bài .Giải phương trình x 1 + ÷ x −1 36 π π , t ∈ − ; ÷ sin t 2 cos t = 1 + cot t ) = ⇔ Khi ptt: ( sin 2t = − sin x Phương trình có nghiệm : x = − + Giải: đk: x > , ta đặt x = ( ) x + ( x + 1) x +1 = + 2x x ( − x2 ) Bài Giải phương trình : Giải: đk x ≠ 0, x ≠ ±1 π π Ta đặt : x = tan t , t ∈ − ; ÷ 2 Khi pttt 2sin t cos 2t + cos 2t − = ⇔ sin t ( − sin t − 2sin t ) = Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm x = TÓM TẮT Dấu hiệu 1) CÓ ĐK: x ≤ a(a > 0) 2) Có ĐK: a x + b y = c (a; b; c > 0) 2 2 (VD : x + y = 1) 3) Có: a + x Phép Điều kiện góc α x = a sin α − π π α ∈ ; ; 2 −π π α ∈ ; 2 x = y = x = a tan α c sin α a c cos α b ⇒ a2 + x2 = a cos α 4) Có: a − x x = a sin α 5) Có: ⇒ a − x = a sin α a x= cos α x2 − a2 6) Có: ± x ; x ≤ 7) Có: a±b ± a.b ⇒ x − a = a tan α x = cos 2α a = tan α b = tan β 37 −π π α ∈ ; 2 −π π α ∈ ; 2 π 3π α ∈ 0; ∪ π ; 2 π α ∈ 0; 2 −π π α; β ∈ ; α α 8) Có: a + b + c = a.b.c a = tan α b = tan β c = tan γ α ; β ; γ góc 9) Biến số thoả hệ thức bản: α + β + γ = Κ.π tan α + tan β + tan γ Κ.π ⇔ (Ι) α; β ;γ ≠ = tan α tan β tan γ π α + β + γ = + Κ.π (ΙΙ) ⇔ tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = Κ.π α ; β ;γ ≠ + Κπ π α + β + γ = + Κ.π (ΙΙΙ ) Κ.π α ; β ;γ ≠ + Κπ ⇔ (1 + tan α )(1 + tan β )(1 + tan γ ) = 2(1 + tan α tan β tan γ ) BÀI TẬP Giải phương trình x + (1 − x ) = x 2(1 − x ) + 2x − x = − 2x 2 + − x (1 − x ) − 2x = x + + x2 x 35 = x + x − 12 (1) (1 + x ) = + Giải biện luận : x + − x = m 1− x2 (*) 1 3 + = 21 + x 1− x2 Biện luận theo m số nghiệm pt: − x = x − m (1) Biện luận theo m số nghiệm pt: 12 − 3x = x − m (1) 38 BÀI GIẢI 1/x + (1 − x ) = x 2(1 − x ) Điều kiện - ≤ x ≤ Chính điều kiện - ≤ x ≤ cho phép ta dùng ẩn phụ x = cos ϕ Khi − x = 1sin ϕ1 Chỉ cần chọn ϕ mà ≤ ϕ ≤ π , - cos ϕ = x ≤ Và sin ϕ ≥ 1sin ϕ1 = sin ϕ Phương trình cho biến đổi dạng cos ϕ + sin ϕ = sin ϕ cos ϕ ⇔ ( sin ϕ + cos ϕ ) [1 − sin ϕ cos ϕ ] = sin ϕ cos ϕ Phương trình lượng giác thu cho phép ta dùng ẩn phụ: Do ≤ x ≤ π π u = sin ϕ + cos ϕ = sin ϕ + 4 π π π ≤ϕ + ≤5 4 π ⇒ − ≤ sin ϕ + ≤ 4 ⇒ (Xem đường tròn lượng giác) Ta thu −1 ≤u≤ 2 Phương trình đại số với ẩn u có dạng u −1 u2 −1 = u 1 − ⇔ u + 2u − 3u − = ( )( ) ⇔ u − u + 2u + = u= ⇔ u = − +1 u = − − < − ( Loai ) π a) u = sin ϕ + = 4 π ⇔ sin ϕ + = 4 π ⇔ ϕ = + k 2π b) u = sin ϕ + cos ϕ = − Trở tìm x, giải (k ∈ Z) 39 Ta thu sin ϕ cos ϕ = u2 −1 = 1− 2 Khi sin ϕ cos ϕ nghiệm phương trình ( ) X − 1− X +1− = ⇔ X = − +1± ( ) Do sin ϕ ≥ cos ϕ = )( −1 + − +1− ( )( −1 + ) Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = x2 = 2 1− − 2 −1 2 2/ + x − x = − x (1) LỜI GIẢI ) ( Nhận xét + x − x = x + − x Vì phương trình xác định với x: − x ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ Do ta đặt x = cos ϕ Chọn ≤ ϕ ≤ π ⇒ Ta có (1) − ≤ x = cos ϕ ≤ sin ϕ ≥ ⇒ 1sin ϕ1 = sin ϕ ( ⇔ + sin ϕ cos ϕ = − cos ϕ ⇔ 1sin ϕ + cos ϕ1 = − cos 2ϕ π ⇔ cos ϕ − = − cos 2ϕ 4 π π π π a) cos φ − ÷ ≥ ⇒ − ≤ φ − ⇒ ≤ φ ≤ ( *) 4 4 Khi (1) π ⇔ cos ϕ − = cos( π − 2ϕ ) 4 π ⇔ ϕ − = ±( π − 2ϕ ) + k 2π 5π 2π φ = 12 + k ⇔ φ = 3π − 12 40 ) 5π 3π ϕ = ta thu hai nghiệm 12 5π π 6− π π x1 = cos = sin = sin − = 12 12 3 4 3π x = cos =− π π 0 x2 28 27 = 1+ x+6 11 x − 11x + 25 x − 12 = x + x − 12 2 x +1 + x = x+9 13 + x + − x + x2 = với ( x ≥ 0) 14 x − x + 816 + x + 10 x + 267 = 2003 32 2 15 x + x + − x − x + − x + = x ( x + ) x − xy + x y − z + xy x − 11 = xyz 12 16 x y − + y x − = xy 17 18 ( x − 1) + y + ( x + 1) + y + y − = + 19 x + 3x + + − y + y + = − x + x + 14 20 2002 x + 6000 x + x − x + x − − 7995 = 2003 x + 3x − 21 − x + − x + + x = GIẢI x − + − x = x − x + 18 49 ĐK: x ≤ x ≤ Ta có: x − x + 18 = ( x − 4) + ≥ Z ( x−3 + 5− x ) = ( x − 3) + (5 − x ) + ( x − 3).(5 − x) = + ( x − 3).(5 − x ) ≤ + ( x − 3) + (5 − x ) = ⇒ x−3 + 5− x ≤ Z Do x − + − x = x − x + 18 x−3 + 5− x = ⇔ ⇔x=4 x − x + 18 = Vậy phương trình có nghiệm x = x + x + = x + x ĐK: x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi với số không âm: x; x + có 1 x2 + 4x + x2 + 4x + x + 4x = x ( x + 4) ≤ = 2 2 x + 2x + x + 4x + ⇒ ≤ ⇒ ( x − 2) ≤ Ta có: ( x − 2) ≥ 0, ∀x nên x − = ⇔ x = Thử lại x = nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x = x + = x + + x − (*) Để giải toán này, ta cần chứng minh toán phụ a + b ≤ 2(a + b ) (I) Dấu “ = ” xảy ⇔ a = b ≥ x + ≥ x − (Bất Đẳng thức côsi) ⇔ x + ≥ x (1) Áp dụng toán phụ [ x + + x − ≤ 4( x + 4) + 4( x − 4) ] ⇔ x + + x − ≤ x (2) (1), (2), (*) cho ta x + = x + + x − = 4x x4 = ⇔ ⇔ x ∈φ 4 2 x + = x − Vậy phương trình vơ nghiệm (I) chứng minh tốn phụ: a + b ≤ a + b = (a + b) ≤ (a + b) + (a − b) = 2(a + b) 50 x x = x − + − x ĐK: x≠0 x − x ≥ ⇔ x ≥1 1 − ≤ x x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho sốv khơng âm, ta có: x− 1 1 + − = x − .1 + x x x ( x − 1) x ≤ 1 1 1 x − + 1 + x − + = x x x x x Dấu “=” xảy ra, đó: 1 − x = x − = x ⇔ x2 −1 = x ⇔ x2 − x −1 = + (nhận) x = ⇔ − (loại) x = Vậy phương trình có nghiệm x = 1+ 5 x + x + x + x + x + 11 + x + 11x + x + 19 = x + x + 2( x + 1) + ( x + 3) + 3( x + 1) + ( x + 4) ≥ x + x + ( x + 3) + ( x + 4) = x + 8x + x + + x + = ( x − x + 1) + (4 x + x + 4) + = ( x − 1) + (2 x + 2) + ≥ Dấu “=” xảy 2( x + 1) = 3( x + 1) = ⇔ x = −1 2 ( x − ) = (2 x + 2) = Vậy phương trình có nghiệm x = - x + x + x − x = x + 51 ĐK: x + x ≥ ⇔ ≤ x ≤1 x − x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số x + x ; x − x ta có: x2 + x +1 x − x2 +1 x + x + x − x = ( x + x).1 + ( x − x )1 ≤ + = x +1 2 2 2 Dấu “=” xảy ra, x + x = ⇔ x=0 x − x = Thử lại x = khơng nghiệm phương trình Vậy phương trình cho vơ nghiệm 16 x + = 63 x + x Do 16 x + > ⇒ 63 x + x > ⇒ x(4 x + 1) > ⇒ x > Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương 4x; 4x2 + 1; ta có: x + (4 x + 1) + ≥ 33 x( x + 1).2 = 63 x(4 x + 1) ⇒ x + x + ≥ 63 x + x ⇒ x + x + ≥ 16 x + ⇔ 8x − x − x + ≤ ⇔ (2 x − 1) ( x + x + 1) ≤ ⇔ (2 x − 1) ≤ 0(do x + x + > 0, ∀x) Mà (2x – 1)2 ≥ 0, ∀x nên 2x – = ⇔ x = Thử lại x = nghiệm phương trình nghiệm phương trình − 16 x + 72 x − 81x + 28 − 16 x − x − = Vậy x = ( ) ĐK: x ≥ Đặt t = x − , t ≥ Xét f (t ) = t − t + với t ∈ [ 0;+∞) f (t ) = 4t − 4t + = (2t − 1) + ≥ 7 ⇒ f (t ) ≥ f (t ) = ⇔ t = ∈ [ 0;+∞) Vậy: x − x − = x − − x − + = t − t + ≥ ( với t = x − ) 52 ⇔x= 4 − 16 x + 72 x − 81x + 28 9 = −x − x ≤ Ta lại có: 16 4 Dấu “=” xảy ⇔ x = hay x = Vậy − 16 x + 72 x − 81x + 28 − 16 x − x − = ⇔ x = Dấu “=” xảy ⇔ x − = ( ) x + y − x + y + 11 + x + y + x + y + = Ta có: x + y − x + y + 11 + x + y + x + y + = (x ) ( ) − 6x + + y + y + + (x ) ( ) + 2x + + y + y + = (3 − x) + 2( y + 1) + ( x + 1) + 3( y + 1) ≥ (3 − x) + ( x + 1) = − x + x + Áp dụng tính chất Α ≥ Α Dấu “=” xảy ⇔ Α ≥ Ta có: 3 − x ≥ − x ⇒ − x + x +1 ≥ − x + x +1 = x +1 ≥ x +1 Từ (1) suy ra: x + y − x + y + 11 + x + y + x + y + ≥ 4(2) Dấu đẳng thức xảy (2) y +1 = 3 − x ≥ x +1 ≥ y = −1 ⇔ − ≤ x ≤ Vậy nghiệm phương trình (x; y) = (x0; -1) với x0 ∈ [ − 1;3] ) với x>0 x2 + Với y = 0: phương trình cho có dạng: = ( x + ) : phương trình vơ x nghiệm (vì 2( x + ) ≥ > ) x + Với y ≠ 0: Điều kiện : − x y + 16 x y + − y x − y = 2( x + 53 4 x y − 16 x y ≤ 2 y x − 2y ≥ x>0 (2 x y − 4) − 25 ≤ 12 x y − 41 ≤ ⇔ y ( x − 2) ≥ ⇔ x2 ≥ x>0 x>0 − ≤ x y ≤ (*) ⇔ 2 x≥ Khi phương trình ⇔ 25 − (2 x y − 4) = y ( x − 2) + 2( x + ) x2 Ta có: VT = 25 − (2 x y − 4) ≤ (1) x2 x2 + ≥ 4 x x =1 x ≥ (dox ≥ 2) ⇒ 2 x + ≥ 2(1 + ) = 5(2) x 2 Và y ( x − 2) + 2 x + ≥ 25 x Do phương trình cho có nghiệm (1), (2), (3) đồng thời xảy ra: 2 x y − = ⇔ x =2 x = x = ± ⇔ ⇔ y = y =1 So với điều kiện (*) : x = y =1 Là nghiệm phương trình 28 27 = 1+ x+6 28 27 x+6 Ta có: 27 x + 24 x + = + 3 10 27 x + 24 x + ⇔ 24 81x + 72 x + 16 3(9 x + 4) + = 1+ 54 (9 x + 4) 3(9 x + 4) + = 1+ (1) ĐK: x + ≥ ⇔ x ≥ − x + = y ≥ Đặt: Khi đ ó (1) trở thành : ⇔ 24 24 y2 3y + = 1+ ⇔ 44 y2 3y + = 1+ + 6y Sử dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: 6y ≤ 6+ y y2 + ≤ 2y + y2 ⇔ 4( + 4) ≤ ( y + 2) ( y − 6) ⇔ ≤0 ⇒4 Mà ( y − 6) ≥ nên y − = ⇔ y = ⇒ x = y−4 = (thoả điều kiện) 9 nghiệm phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x = Thử lại x = 11 x − 11x + 25 x − 12 = x + x − Ta có: x − 11x + 25 x − 12 = x + x − ⇔ (7 x − 4)( x − x + 3) = x + x − 1 11 (7 x − 4)( x − x − 3) ≥ Đk: vì( x − x = = ( x − ) + > 0) ⇔ 7x − ≥ ⇔x≥ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số âm x − 4, x − x + Ta có: (7 x − 4) + ( x − x + 3) ≥ (7 x − 4)( x − x + 3) ⇒ x − x − ≥ x − 11x + 25 x − 12 55 7x − = x2 − x + Dấu đẳng thức xảy : ⇔ x − 8x + = x =1 ⇔ x = (thoả điều kiện) Thử lại x = 1; x = nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = 1; x = 12 2 x +1 + x = x+9 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp: 2 ; x + x +1 ; x x +1 Ta có: ( 2 x +1 + x ) = (2 x +1 + x + x x +1 ) ≤ (8 + x + 1)( x + ) = x+9 x +1 x +1 Do dấu: “=” xảy nên 2 (thoã mãn điều kiện) x +1 x +1 x +1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = x 13 + x + − x + = với ( x ≥ 0) Với x ≥ ⇒ x + > 1− x ≥ ⇔ x ≤ ĐK: ≤ x ≤ = : x ⇔x= Ta có: ( + x + − x + 2)( + x + − x − 2) = ( + x + − x) − Vì ( + x + − x + 2)( + x + − x − 2)( − x + 1) = ( − x − 1)( − x + = (1 − x ) − = − x (1) Do vậy: 1+ x + 1− x − = − 2x ( + x + − x + 2)( − x + 1) với ≤ x ≤ , ta có 56 1− x2 +1 ≤ Theo bất đẳng thứcCôsi: ( 1+ x + 1− x2 ) ≤ [ ] (1 + x) + (1 − x) (1 + 1) = 2.2 = ⇒ 1+ x + 1− x ≤ ⇒ 1+ x + 1− x + ≤ Suy ra: − 2x ( + x + − x + 2)( − x + − x2 (2) ≤ Từ (1), (2) − x2 − x2 x2 ⇒ 1+ x + 1− x − ≤ ⇒ 1+ x + 1− x + ⇒ 1+ x + 1− x + ≤2 4 Do dấu: “=” xảy nên ≤ x ≤1 ⇔ x=0 1+ x = 1− x 14 x − x + 816 + x + 10 x + 267 = 2003 Để giải toán ta cấn chứng minh bất đẳng thức Min-cốp-xki: a + b + c + d ≥ ( a + b ) + (b + d ) Dấu “=” xảy ⇔ a.d = b.c CM: Do vế khơng âm, bình phương bất đẳng thức ta a + b + c + d + (a +b )(c + d ) ≥ ( a + c) + (b + d ) ⇔ (a + b )(c + d ) ≥ ac + bd (1) Nếu ac + bd < bất đẳng thức chứng minh Nếu ac + bd ≥ , ta có (1) ⇔ (a + c) (b + d ) ≥ (ac + bd ) ⇔ a d + b d − 2adbc ≥ ⇔ (ad − bc) ≥ (đúng) Dấu “=” xảy ⇔ ad = bc Ta có: Dấu “=” xảy nên ( − x )11 = 20 ( x + 5) ⇔ 44 − 11x = 20 x + 100 ⇔ x = − Vậy phương trình có nghiệm x = − 56 31 32 2 15 x + x + − x − x + − x + = x ( x + ) 57 56 31 Xét : x + ( 32 ) x 2x + = 1 64 4x + 2x + + 2x + + 2 x 2x + ( ) ( ) ( ) −3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 64 2 4x 2x + 2 2 x 2x + x 2x + 32 − ≥ 5− =1 Suy vế trái = x + 2 x 2x + 4x + ( 32 ) ( ≥ ) ( ( ) − = 44 6.64 − = ) x2 + x +1 − x2 − x +1 < ⇔ x2 + x +1 < 1+ x2 − x +1 Xét : ⇔ x + x + < + x − x + + x − x + ⇔ 2x − < x − x + 1 Nếu x − ≥ ⇔ x > 2 (1) ⇔ x − x + < 4( x − x + 1) ⇔ < Vế trái < ≤ vế phải Vậy phương trình vơ nghiệm 16 x y − + y x − = xy ĐK: x ≥ 4, y ≥ Nếu x − < ⇔ x < ⇒ (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x y −1 + y x − = x ( y − 1)1 + y ( x − 4).4 ≤ x y − + + 2 y −1 = y x − + xy xy = + = xy 2 4 x = ⇔ thoả điều kiện y = x − = Vậy nghiệm phương trình x = 8; y = Do dấu “=” xảy nên x − xy + x y − z + xy x − 11 = xyz 12 ĐK: x ≥ 4; y ≥ 9; z ≥ 17 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: 58 x − yz + x y − z + xy z − xyz = = y −9 −1 + y x−4 + x ( x − 4).4 2x 1 = + + 11 = 12 ( y − 9).9 + 3y + ( z − 1).1 z ≤ x − + y − + −1+1 + + x.2 y.2 z.2 Do dấu “=” xảy nên x − = x=8 y − = ⇔ y = 18 z −1 = z=2 Vậy phương trình có nghiệm ( x; y; z ) = ( 8;18;2) 18 ( x − 1) + y + ( x + 1) + y + y − = + Ta có: ( x + 1) + y + ( x + 1) + y + y−2 2 2 1 1 = (1 − x ) + y + ( + x ) − y + (1 + x ) + y + (1 + x ) − y + − y 2 2 2 ( − x ) + y + (1 + x ) + y + − y ≥ (11 − x ) + y + (1 + x ) − y + − y = 2 ≥ (1 − x ) + y + (1 + x ) + y + − y = + 2 2 Dấu “=” xảy ra, đó: 1 y=0 (1 − x ) − 2 (1 − x ) − y = 2 x = ⇔ y = (1 − x ) + y ≥ (1 − x ) + y ≥ 2 z−y≥0 59 3 Vậy nghiệm ( x, y ) phương trình 0, 19 x + 3x + + − y + y + = − x + x + 14 − x + 3x + ≥ ( − x + )( x + 11) ≥ −1 ≤ x ≤ ĐK: − y + y + ≥ ⇔ − ( y − 1) + ≥ ⇔ − + ≤ y ≤ + − x + x + 14 ≥ ( − x + )( x + ) Ta có: − x + 3x + + − y + y + = − x + x + 14 ⇔ −( y − 1) + = ( − x + )( x + 2) − ( − x + 3) ( x + 1) (1) Ta có: ≤ −( y − 1) + ≤ nên − ( y − 1) + ≤ (2) Mặc khác: ( − x + x + 14) − (− x + 3x + 4) = x + 10 > x ≥ Nên A = − x + x + 14 − − x + 3x + > A = ( − x + )( x + ) + ( − x + )( x + 1) − ( x − )( x + 2)( − x + 4)( x + 1) = ( − x + )( x + + 1) + ( − x + )( x + − 1) − ( − x − )( x + )( − x − 4)( x + 1) = ( − x + )( x + 1) − x + + ( − x + )( x + ) + x − − ( − x + )( x + 1)( − x + 4)( x + ) = [ ( − x + )( x + 1) + ( − x + )( x + ) ] + ≥ Nên A ≥ , ta có ( − x + )( x + 2) − ( − x + 4)( x + 2) ≥ (3) (1),(2),(3) y −1 = − ( y − 1) + = x= ⇒ ⇔ ⇔ ( − x + )( x + 1) = ( − x + 3)( x + ) − x − x + x + = − x − x + x + y = 1 Vậy nghiệm ( x, y ) phương trình ;1 4 20 2002 x + 6000 x + x − x + x − − 7995 = 2003 x + 3x − ĐK: ( ) x − x + x − ≥ x + ( x − 2) ≥ ⇔ ⇔x≥2 x + x − ≠ ( x − 1)( x + 3) ≠ với x ≥ x + 3x − > 60 Vế trái 2002 x + 6000 x + x − x + x − − 7995 x + 3x − Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm x + x − 18 ta (x ) ( ) + + ( x − 18) ≥ ( x − 18) x + ⇒ VT ≤ 2002 x + 6000 x + x + + ( x − 18) − 7995 x + 3x − = 2003x + 6009 x − 8012 x + 3x − ( 2003 x + 3x − x + 3x − = 2003(1) = ) Vậy phương trình cho có nghiệm ⇔ dấu thằng đứng (1) xảy 9+ x= ⇔ x + = x − 16 ⇔ x − x + 19 = ⇔ − x = 9± Vậy phương trình có nghiệm x = thoả điều kiện 21 − x + − x + + x = ĐK: − ≤ x ≤ áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: − x = (1 − x)(1 + x) = 1− x2 = + x ≤ − x + x ≤ 1− x +1 1+ x +1 Cộng số bất đẳng thức chiều ta có: 1− x2 + 1− x + 1+ x ≤ 1+ 1− x + 1+ x Mặt khác, theo bất đẳng thức Cơsi ta có: (1 − x ) + − x = 2 (1 + x) + + x − x = (1 + x)1 ≤ = 2 2−x 2+ x ⇒ 1+ 1− x + 1+ x ≤ 1+ + =3 2 − x = (1 − x)1 ≤ Vậy − x + − x + + x ≤ Do phương trình có nghiệm ⇔ dấu bất đẳng thức (1) xảy 61 1− x = 1+ x ⇔ x = (Thoả điều kiện) 1− x = 1+ x = Vậy phương trình cho nghiệm x = 62 ... 1/x + (1 − x ) = x 2(1 − x ) Điều kiện - ≤ x ≤ Chính điều kiện - ≤ x ≤ cho phép ta dùng ẩn phụ x = cos ϕ Khi − x = 1sin ϕ1 Chỉ cần chọn ϕ mà ≤ ϕ ≤ π , - cos ϕ = x ≤ Và sin ϕ ≥ 1sin ϕ1 = sin ϕ... π ⇔ cos a − = m − ≤ a − ≤ (*) 4 4 4 2 < Vm > ⇔ m < 1Vm > - Khi m 2 Thì (*)’ vơ nghiệm ⇒ (*) vơ nghiệm - Khi ≤ m ≤ 43 2 π π = β ∨ a − = − β β = arccos m 4 π π ⇔... = 1− x 14 x − x + 816 + x + 10 x + 267 = 2003 Để giải toán ta cấn chứng minh bất đẳng thức Min-cốp-xki: a + b + c + d ≥ ( a + b ) + (b + d ) Dấu “=” xảy ⇔ a.d = b.c CM: Do vế khơng âm, bình phương