Duong doi trung trong tam giac

ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG TRONG TAM GIÁC Trần Duy Bình -THPT Chuyên Hà Nam 1.Định nghĩa: Trong tam giác ABC, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác AD gọi đường đối trung tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A A B S C D M 2.Một vài tính chất đường đối trung 2.1.Đường đối trung chia cạnh đối diện thành phần tỉ lệ với bình phương cạnh kề 2.2.Đường đối trung xuất phát từ đỉnh tam giác qua giao điểm hai tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác hai đỉnh Chứng minh: A B C M D Xét tam giác ABC với (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác Giả sử tiếp tuyến B C cắt D Ta cần chứng minh AD đường đối trung tam giác ABC Thật vậy: Gọi AM đường thẳng đối xứng với AD qua đường phân giác góc A, M thuộc BC Khi Suy M trung điểm BC, AM đường trung tuyếncủa tam giác ABC Vậy AD đường đối trung tam giác ABC 2.3.Ba đường đối trung tam giác đồng quy điểm 2.4.Đường đối trung xuất phát từ đỉnh tam giác quỹ tích điểm có tỉ số khoảng cách đến hai cạnh kề tam giác tỉ lệ thuận với độ dài cạnh Ví dụ áp dụng Bài toán 1: Cho tam giác ABC, AD đường đối trung ( D thuộc cạnh BC) Điểm M, N nằm cạnh AB, AC cho Error: Reference source not found Chứng minh DM = DN A N M B D C Lời giải: Dễ thấy Error: Reference source not found Suy Theo tính chất 2.1 ta có Từ (1) (20 suy (đpcm) Error: Reference source not found Bài toán 2: Cho tam giác ABC, AD đường đối trung ( D thuộc cạnh BC) E thuộc đoạn AD Gọi d1 đường thẳng qua E cắt cạnh AC, BC N,P cho Error: Reference source not found Gọi d2 đương thẳng qua E cắt cạnh AB, BC M,Q cho Error: Reference source not found Chứng minh QM = PN A Lời giải: Qua M E kẻ IK// BC Theo giả thiết K I E có: Error: Reference B C D Q P source not found Error: Reference source not found Suy tam giác PEQ cân E ⇒ QE = EP Mặt khác, theo tính chất đường đối trung áp dụng toán 1ta chứng minh EM = EN Vậy MQ = PN (đpcm) Bài toán 3: Gọi L giao điểm ba đường đối trung tam giác ABC Từ L hạ ba đường vng góc LP, LQ, LR xuống ba cạnh tam giác ABC Chứng minh L trọng tâm tam giác PQR Lời giải: A Kéo dài RL Q đoạn R cho LQ’’ = RL L Theo tính chất Q" 2.4 B LR/AB = C P ’’ LQ/AC hay LQ /AB = LQ/AC hay Error: Reference source not found Suy Error: Reference source not foundLQ’’Q Error: Reference source not foundABC Khi LP // QQ’’ , LP trung điểm RQ nên LP trung tuyến xuất phát từ đỉnh P tam giác PQR.Tương tự LQ trung tuyến tam giác PQR Vậy L trọng tâm tam giác PQR Bài toán 4: Cho tam giác ABC, M điểm Gọi H, I, K hình chiếu M BC, CA, AB Tìm vị trí M cho MH2 + MI2 + MK2 nhỏ N Lời giải: Ta có (a2+ b2+ c2)( MH2 + MI2 + MK2) Error: Reference source not found (aMH+ bMI + cMK)2Error: Reference source not found4.S2(ABC) suy MH2 + MI2 + MK2Error: Reference source not found4.S2(ABC)/ a2+ b2+ c2 Đẳng thức M nằm ABC MH/a= MI/b =MK/c hay M giao điểm ba đường đối trung Bài toán 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến với (O) A, C BD đồng quy S Chứng minh Lời giải: Gọi I giao điểm AC BD Theo tính chất 2.1 Suy đẳng thức cần chứng minh Bài toán 6: (shortlist 2003) Cho ba điểm phân biệt A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng Gọi (C) đường trịn ln qua A, C ( AC khơng đường kính ) P giao điểm tiếp tuyến (C) A C Giả sử (C) cắt đoạn PQ Q Chứng minh giao điểm đường phân giác góc AQC đường thẳng AC cố định (C) thay đổi Lời giải: Theo 2.1 2.2 ta có Suy Do R cố định.(đpcm) Bài tốn7: (Polan2000) Cho tam giác ABC cân C P điểm nằm tam giác cho Error: Reference source not foundGọi M trung điểm AB Chứng minh Error: Reference source not found = 1800 Lời giải: C P I B M O A Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Từ giả thiết ta có CB AC tiếp tuyến đường tròn (O) CP đối xứng PM qua phân giác góc APB Kéo dài CP cắt AB I, Error: Reference source not found Mà Error: Reference source not found= 1800 Suy Error: Reference source not found= 3600- (Error: Reference source not found= 1800 (đpcm) Bài toán 8:(VN-TST 2001) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cắt hai điểm A, B Gọi PT tiếp tuyến chung hai đường trịn đó( P, T tiếp điểm) Các tiếp tuyến P, T đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt S Gọi H điểm đối xứng B qua PT Chứng minh A, S, H thẳng hàng A B P H S I T Lời giải: Ta có Error: Reference source not found = 1800 Suy Error: Reference source not found= 1800 ⇒ Tứ giác APHT nội tiếp Khi Error: Reference source not found, PH đối xứng với AB qua phân giác Error: Reference source not found Giả sử AB cắt PT I, suy I trung điểm PT Suy AS đối xứng với AI qua đường phân giác góc Error: Reference source not found Vậy A, H, S thẳng hàng 4.Bài tập tương tự Bài 1: (USA-TST-2007) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) B,C cắt T Gọi S điểm thuộc đường thẳng BC cho AS vng góc với AT B1, C1 nằm ST (C1 nằm B1 S) cho B1T = BT = C1T Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác AB1C1 Bài 2: (USA 2008) Cho tam giác ABC nhọn, không Gọi M,N,P trung điểm BC, CA, AB Đường trung trực AB AC cắt AM D E BD cắt CE F nằm tam giác ABC Chứng minh A, N, F, P nằm đường tròn Bài 3: Từ điểm S ngồi đường trịn tâm O, bán kính R vẽ hai tiếp tuyến ST, ST/ cát tuyến SAB tới đường trịn Đường thẳng kẻ từ A, vng góc với OT cắt TT/ TB C D Chứng minh AC = CD Tài liệu tham khảo Yufei Zhao, Lemmas in Euclidean Geometry 2.Andreescu, T ; Feng, Z, 103 Trigonomerty Problems from the Training of the USA IMO Tem, Birkhauser, 2004 3.Nguyễn Văn Ban-Hồng Chúng, Hình học tam giác 4.Nguyễn Tường, Chung quang đường trung tuyến  ... Khi Suy M trung điểm BC, AM đường trung tuyếncủa tam giác ABC Vậy AD đường đối trung tam giác ABC 2.3.Ba đường đối trung tam giác đồng quy điểm 2.4.Đường đối trung xuất phát từ đỉnh tam giác quỹ... foundABC Khi LP // QQ’’ , LP trung điểm RQ nên LP trung tuyến xuất phát từ đỉnh P tam giác PQR.Tương tự LQ trung tuyến tam giác PQR Vậy L trọng tâm tam giác PQR Bài toán 4: Cho tam giác ABC, M điểm Gọi... C1T Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác AB1C1 Bài 2: (USA 2008) Cho tam giác ABC nhọn, không Gọi M,N,P trung điểm BC, CA, AB Đường trung trực AB AC cắt AM D E BD cắt CE F nằm tam giác ABC