ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG TRONG TAM GIÁC Trần Duy Bình -THPT Chuyên Hà Nam 1.Định nghĩa: Trong tam giác ABC, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến AM qua đường phân giác AD gọi đường đối trung tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A A B S D M C 2.Một vài tính chất đường đối trung 2.1.Đường đối trung chia cạnh đối diện thành phần tỉ lệ với bình phương cạnh kề 2.2.Đường đối trung xuất phát từ đỉnh tam giác qua giao điểm hai tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác hai đỉnh Chứng minh: A B C M D Xét tam giác ABC với (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác Giả sử tiếp tuyến B C cắt D Ta cần chứng minh AD đường đối trung tam giác ABC Thật vậy: Gọi AM đường thẳng đối xứng với AD qua đường phân giác góc A, M thuộc BC Khi Suy M trung điểm BC, AM đường trung tuyếncủa tam giác ABC Vậy AD đường đối trung tam giác ABC 2.3.Ba đường đối trung tam giác đồng quy điểm 2.4.Đường đối trung xuất phát từ đỉnh tam giác quỹ tích điểm có tỉ số khoảng cách đến hai cạnh kề tam giác tỉ lệ thuận với độ dài cạnh Ví dụ áp dụng Bài toán 1: Cho tam giác ABC, AD đường đối trung ( D thuộc cạnh BC) Điểm M, N nằm cạnh AB, AC cho Chứng minh DM = DN A N M B Lời giải: Dễ thấy Suy Theo tính chất 2.1 ta có D C Từ (1) (20 suy (đpcm) Bài toán 2: Cho tam giác ABC, AD đường đối trung ( D thuộc cạnh BC) E thuộc đoạn AD Gọi d1 đường thẳng qua E cắt cạnh AC, BC N,P cho Gọi d2 đương thẳng qua E cắt cạnh AB, BC M,Q cho Chứng minh QM = PN A N M I K E B PD C Q Lời giải: Qua E kẻ IK// BC Theo giả thiết có: Suy tam giác PEQ cân E ⇒ QE = EP Mặt khác, theo tính chất đường đối trung áp dụng toán 1ta chứng minh EM = EN Vậy MQ = PN (đpcm) Bài toán 3: Gọi L giao điểm ba đường đối trung tam giác ABC Từ L hạ ba đường vuông góc LP, LQ, LR xuống ba cạnh tam giác ABC Chứng minh L trọng tâm tam giác PQR A Q R L Lời giải: B P Q" C Kéo dài RL đoạn cho LQ’’ = RL Theo tính chất 2.4 LR/AB = LQ/AC hay LQ’’/AB = LQ/AC hay Suy LQ’’Q ABC Khi LP // QQ’’ , LP trung điểm RQ nên LP trung tuyến xuất phát từ đỉnh P tam giác PQR.Tương tự LQ trung tuyến tam giác PQR Vậy L trọng tâm tam giác PQR Bài toán 4: Cho tam giác ABC, M điểm Gọi H, I, K hình chiếu M BC, CA, AB Tìm vị trí M cho MH2 + MI2 + MK2 nhỏ Lời giải: Ta có (a2+ b2+ c2)( MH2 + MI2 + MK2) (aMH+ bMI + cMK)2 4.S2(ABC) suy MH2 + MI2 + MK2 4.S2(ABC)/ a2+ b2+ c2 Đẳng thức M nằm ABC MH/a= MI/b =MK/c hay M giao điểm ba đường đối trung Bài toán 5: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến với (O) A, C BD đồng quy S Chứng minh Lời giải: Gọi I giao điểm AC BD Theo tính chất 2.1 Suy đẳng thức cần chứng minh Bài toán 6: (shortlist 2003) Cho ba điểm phân biệt A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng Gọi (C) đường tròn qua A, C ( AC không đường kính ) P giao điểm tiếp tuyến (C) A C Giả sử (C) cắt đoạn PQ Q Chứng minh giao điểm đường phân giác góc AQC đường thẳng AC cố định (C) thay đổi Lời giải: Theo 2.1 2.2 ta có Suy Do R cố định.(đpcm) Bài toán7: (Polan2000) Cho tam giác ABC cân C P điểm nằm tam giác cho Gọi M trung điểm AB Chứng minh = 1800 Lời giải: C P B I M A O Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC Từ giả thiết ta có CB AC tiếp tuyến đường tròn (O) CP đối xứng PM qua phân giác góc APB Kéo dài CP cắt AB I, = 1800 Mà Suy = 3600- ( = 1800 (đpcm) Bài toán 8:(VN-TST 2001) Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cắt hai điểm A, B Gọi PT tiếp tuyến chung hai đường tròn đó( P, T tiếp điểm) Các tiếp tuyến P, T đường tròn ngoại tiếp tam giác APT cắt S Gọi H điểm đối xứng B qua PT Chứng minh A, S, H thẳng hàng A B P H I T S = 1800 Lời giải: Ta có Suy Khi giác = 1800 ⇒ Tứ giác APHT nội tiếp , PH đối xứng với AB qua phân Giả sử AB cắt PT I, suy I trung điểm PT Suy AS đối xứng với AI qua đường phân giác góc Vậy A, H, S thẳng hàng 4.Bài tập tương tự Bài 1: (USA-TST-2007) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) B,C cắt T Gọi S điểm thuộc đường thẳng BC cho AS vuông góc với AT B1, C1 nằm ST (C1 nằm B1 S) cho B1T = BT = C1T Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác AB1C1 Bài 2: (USA 2008) Cho tam giác ABC nhọn, không Gọi M,N,P trung điểm BC, CA, AB Đường trung trực AB AC cắt AM D E BD cắt CE F nằm tam giác ABC Chứng minh A, N, F, P nằm đường tròn Bài 3: Từ điểm S đường tròn tâm O, bán kính R vẽ hai tiếp tuyến ST, ST/ cát tuyến SAB tới đường tròn Đường thẳng kẻ từ A, vuông góc với OT cắt TT/ TB C D Chứng minh AC = CD 5 Tài liệu tham khảo Yufei Zhao, Lemmas in Euclidean Geometry 2.Andreescu, T ; Feng, Z, 103 Trigonomerty Problems from the Training of the USA IMO Tem, Birkhauser, 2004 3.Nguyễn Văn Ban-Hoàng Chúng, Hình học tam giác 4.Nguyễn Tường, Chung quang đường trung tuyến