HD HS KHAI THÁC một số bài TOÁN về TRỰC tâm TAM GIÁC TRONG HH 9

Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Hướng dẫn học sinh tìm hiểu khai thác số tốn trực tâm tam giác 1/ Kiến thức trực tâm tam giác: + Trong tam giác ba đường cao đồng quy điểm, điểm gọi trực tâm tam giác + Trực tâm tam giác có trường hợp xẩy TH1: Tam giác vuông: TH2: Tam giác nhọn: TH3: Tam giác tù: H A B F E D E F A H C A=H B D C B D C Nhận xét: - Trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc vng tam giác - Trực tâm tam giác nhọn nằm tam giác - Trực tâm tam giác tù nằm tam giác Trong viết hướng dẫn HS xét trực tâm tam giác trường hợp tam giác nhọn, trường hợp cịn lại HS tự tìm hiểu thêm 2/ Tìm hiểu trực tâm tam giác: Bài1: Cho tam giác nhọn ABC; đường cao tam giác là: AD; BE; CF Gọi H trực tâm tam giác a) Hãy tìm tứ giác nội tiếp có hình? b) Chứng minh: H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF c) Chứng minh hệ thức: HD HE HF   1 AD BE CF Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác d) Gọi H1, H2, H3 giao điểm tia AH, BH, CH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứngminh: H1, H2, H3 đối xứng với H qua BC, AC, AB A Hướng dẫn: E a) - HS dễ dàng tìm tứ giác nội tiếp là: BFHD; AEHF; CDHE F - Nếu nối đoạn thẳng: EF; FD; DE; H HS tìm thêm tứ giác nội tiếp: B BFEC; BDEA; AFDC 12 C D b) Phân tích: Sử dụng tứ giác nội tiếp câu a : - Để chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ta phải chứng minh điều gì? (Chứng minh: H giao điểm đường phân giác  DEF ) - Gợi ý: - Chỉ cần chứng minh DH phân giác EDF , việc chứng minh EH; FH phân giác  DEF hoàn toàn tương tự - Dựa vào tứ giác nội tiếp tìm tốn chứng minh: D1  D2 ? - Ta chứng minh D1  D2 góc thứ 3: B1 C1 sử dụng tứ giác nội tiếp tốn Chẳng hạn: Chứng minh: Ta có ABDE, AFDE tứ giác nội câu a  B1  D2 D1  C1 mà B1  C1 (vì phụ với BAC )  D1  D2 Hay DH phân giác EDF Chứng minh tương tự ta có EH; FH phân giác DEF EFD  H tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF c) Ta có: SABC = AD.BC = 1 BE.AC = CF.AB 2 SHBC = HD.BC ; SHAC = HE.AC; SHAB =  HF.AB HD S HBC HE S HAC HF S HAB    ; ; AD S ABC BE S ABC CF S ABC Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số tốn trực tâm tam giác  HD HE HF S HBC  S HAC  S HAB S ABC      (đpcm) AD BE CF S ABC S ABC (vì tam giác ABC nhọn nên SHBC  SHAC  SHAB  S ABC ) d) Phân tích: - Để chứng minh H1, H2, H3 đối xứng với H qua BC, AC, AB ta cần chứng minh điều gì? (chứng minh BC, AC, AB trung trực A HH1, HH2, HH3) H2 E - Chẳng hạn chứng minh BC trung trực HH1: H3 ta chứng minh CD vừa đường cao vừa F O H phân giác  CHH1 sau: Chứng minh: B D C Ta có: C2  A1 (vì tứ giác CDFA tứ giác nội tiếp) H1 C3  A1 (hai góc nội tiếp chắn cung BH1)  C2  C3 hay CD phân giác HCH1 Trong  CHH1: CD vừa phân giác vừa đường cao   CHH1 cân  CD trung trực HH1 Vậy H H1 đối xứng qua CD hay BC Chứng minh H2, H3 đối xứng với H qua AC, AB tương tự * Ở câu d toán đặt vấn đề ngược lại: H1; H2; H3 điểm đối xứng với H qua BC; AC; AB H1; H2; H3 có thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC khơng? Ta có tốn đảo: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O); H trực tâm tam giác Gọi H1, H2, H3 điểm đối xứng với H qua BC, AC, AB Chứng ninh: H1, H2, H3 thuộc đường tròn A ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn : H3 E F Cách 1: Phân tích: Vì tốn đảo câu c nên ta sử dụng H2 H B D O C cách làm ngược lại với chứng minh Chứng minh: H1 Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Do H H1 đối xứng với qua BC nên tam giác CHH1 cân  C1  C2 ; mà C1  A1 phụ với ABC  C2  A1 tứ giác ABH1C nội tiếp Hay H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cách 2: Phân tích: - Nếu chứng minh H1 thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tứ giác ABH1C có đặc điểm gì? (là tứ giác nội tiếp) - Vì muốn chứng minh H1 thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC cần chứng minh tứ giác ABH1C tứ giác nội tiếp Có thể chứng minh tứ giác ABH1C tứ giác nội tiếp nhiều cách Chẳng hạn: Chứng minh: Do tứ giác AFHE tứ giác nội tiếp nên FAE  FHE = 1800 (1) Mà FHE  BHC (đối đỉnh); BHC  BH1C (do H H1 đối xứng qua BC )  EHF  BH1C (2) Từ (1) (2)  FAE  BH1C = 1800  tứ giác ABH1C nội tiếp Hay H1 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh tương tự H2, H3 thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Kết luận1: Như qua toán học sinh thấy tính chất đặc biệt trực tâm H: 1) H vừa trực tâm tam giác ABC vừa tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Từ ta suy A, B, C tâm đường trịn bàng tiếp tam giác DEF 2) HD HE HF   1 AD BE CF 3) Nếu H1; H2; H3 giao điểm tia AH; BH; CH với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC H1; H2; H3 đối xứng với H qua BC; AC; AB - Ngược lại H1, H2, H3 điểm đối xứng với H qua BC, AC, AB H1, H2, H3 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC * Tìm hiểu tiếp ta có trực tâm tam giác cịn có đặc điểm đặc biệt qua tốn sau: Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC , trực tâm H Chứng minh rằng: HB.HC HC.HA HA.HB   1 AB AC BC.BA CA.CB Hướng dẫn: S Dễ thấy  CHE A  CAF (g.g) HB.CE S CH CE HB.HC      HBC CA CF AB AC S ABC AB.CF E F H Tương tự: HC.HA S HCA HA.HB S HAB   ; CA.CB S ABC BC.BA S ABC Vậy: C B D HB.HC HC.HA HA.HB S HBC  S HCA  S HAB 1    S ABC AB AC BC.BA CA.CB Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BB’ CC’ tam giác cắt H (B’  AC; C’ AB ) Chứng minh: HA+ HB + HC < (AB + BC + AC ) Hướng dẫn: Qua H kẻ HE // AB: HF // AC (E  AC; F  AB )  HB  HF Mà: A HB < BF E HC < CE B' HA < AE + FA F  HA + HB + HC < AF + BF + CE + AE  HA + HB + HC < AB + AC (1) Tương tự ta có: O C' H B C HA + HB + HC < BC + AC (2) HA + HB + HC < AB + BC (3) Cộng vế (1) (2) (3) ta có 3( HA + HB + HC ) < 2( AB + BC + AC ) Hay: HA + HB + HC < ( AB + BC + AC ) (Đpcm) Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số tốn trực tâm tam giác Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC Tìm điểm M thuộc miền tam giác cho: MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị bé Hướng dẫn: Phân tích: Các tích MA.BC, MB.AC, MC.AB A tương tự nên xét tích Ta tạo đường vng góc BE CF M kẻ từ B C đến tia AM BC  BE + CF E để tìm xem tích MA.BC nhỏ đạt nào? B Chẳng hạn ta làm sau: C D F Chứng minh: Vẽ BE  tia AM; CF  tia AM (E, F  tia AM) ; tia AM cắt BC D Ta có: MA.BC = MA.(BD+DC) = MA.BD + MA.DC  MA.BE + MA.CF  MA.BC  2SABM + 2SACM Tương tự ta có: MB.AC  2SMBC + 2SMBA MC.AB  2SMCA + 2SMCB  MA.BC + MB.AC + MC.AB  4(SABM+ SACM+ SMCB) = 4SABC (không đổi) Dấu xẩy MA  BC; MB  AC; MC  AB  M trực tâm tam giác ABC Kết luận 2: Từ tốn ta có thêm tính chất trực tâm H: 4) HB.HC HC.HA HA.HB   1 AB AC BC.BA CA.CB 5) HA + HB + HC < ( AB + BC + AC ) 6) Để M thuộc miền tam giác cho: MA.BC + MB.AC + MC.AB đạt giá trị bé M phải trực tâm tam giác ABC Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác 3/ Khai thác toán trực tâm tam giác: + Ở câu a ta chứng minh hình vẽ có tứ giác nội tiếp, sử dụng tứ giác nội tiếp đó, gọi I trung điểm cạnh tam giác ABC ta cịn chứng minh bốn điểm E, F, D, I thuộc đường tròn Bài 1.1: Cho tam giác ABC nhọn, H giao điểm ba đường cao tam giác I trung điểm cạnh BC Chứng minh bốn điểm E, F, D, I thuộc đường tròn A Hướng dẫn: Ta sử dụng góc nội tiếp E chắn cung tứ giác nội tiếp vừa chứng F H minh câu a để suy cách làm Chẳng hạn: Ta có: EDF  D1  D2 B 12 C D I Mà D1  B1 (do tứ giác BFHD nội tiếp) D2  C1 (do tứ giác CEHD nội tiếp) B1  C1 (do tứ giác BFEC nội tiếp) Suy EDF  2.C1 (1) Ta lại có: tứ giác BFEC nội tiếp đường trịn tâm I đường kính BC  EIF  2.C1 (2) (vì góc tâm hai lần góc nội tiếp chắn cung) Từ (1) (2) ta có EDF  EIF  bốn điểm E, F, D, I thuộc đường tròn Với I trung điểm AB AC ta chứng minh tương tự + Ở câu b ta chứng minh H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Ta khai thác câu b 1: * Nếu cho biết E; F; D chân đường cao tam giác dựng tam giác nào? Bài 1.2: Dựng tam giác ABC biết E, F, D chân đường cao tam giác Hướng dẫn: Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Phân tích: - Giả sử dựng tam giác ABC có H trực tâm, theo câu b tốn A ta suy điều gì? (H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF ) E - Từ để dựng tam giác ABC ta dựng nào? F H (dựng điểm H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF trước) 12 1 C B D Cách dựng: - Dựng  DEF - Dựng điểm H tâm đường tròn nội tiếp  DEF - Dựng đường thẳng vuông góc với HE , HF, HD theo thứ tự điểm E, F, D đường thẳng cắt tạo thành tam giác ABC * Ngược lại H tâm đường trịn nội tiếp tam giác DEF chứng minh H trực tâm tam giác ABC nào? Bài 1.3: Cho tam giác nhọn ABC Điểm H nằm tam giác, AH, BH, CH theo thứ tự cắt BC,CA,AB D, E, F Biết rằng: H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Chứng minh rằng: H trực tâm tam giác ABC Hướng dẫn: Phân tích: Để chứng minh AH  BC ta chứng minh AH vng góc với đường thẳng song song với BC Qua M ta kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng theo thứ tự cắt DF, DE, AB, AC P, Q, M, N Ta chứng minh AH  PQ hay DH  PQ A Mà H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF nên D1  D2 suy ta cần chứng minh tam giác PDQ cân Chứng minh: F Áp dụng hệ định lí Ta-lét, ta có: M P Q HP CD HN BC HM DB  ; ;   HM CB HQ BD HN DC Nhân vế với vế ba đẳng thức ta có: H E N 12 B Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An D C Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác HP   HP = HQ (1) HQ Theo giả thiết D1  D2 (2) Từ (1) (2)  DH  PQ hay AH  BC (vì PQ // BC) Tương tự BH  AC Vậy H trực tâm tam giác ABC * Khi tam giác ABC đặc biệt: AC =R , AB =R ta có tính độ dài cạnh tam giác DEF không ? Bài 1.4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AC =R , AB =R Kẻ đường cao AE, BK, CI cắt H Tính số đo góc, số đo cạnh tam giác KIE theo R Hướng dẫn: Phân tích: Khi tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O; R) có AC =R , AB =R xem tam giác có đặc biệt ? Chứng minh: A + AC= R  ABC =600  Cˆ =300 AB =R  ACB = 450  Bˆ1  450 K Theo b tốn ta có : KEI = Cˆ = 600 I KIE = B1 = 90 Nên IKE = 300 Vậy IKE có : H O B E C KEI = 600; KIE = 900; IKE = 300 + BAC  750  CK  BK  R sin 750  BC  R sin 75 (vì BCK vng cân) S CKE CBA (gg)  KE CK  AB CB AB.CK R 2.R sin 75  KE   R CB R sin 75 Nên IK  R 3R , IE  2 Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số tốn trực tâm tam giác * Thay đổi vị trí chân đường cao thỏa mãn điều kiện: ta chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác A2B2C2 H, ta có tốn: A1 HA2  B1 HB2  C1 HC2 Bài 1.5: Cho tam giác ABC có đường cao AA1, BB1,CC1 cắt H Các điểm A2, B2, C2 thay đổi đoạn thẳng A1C, B1A, A1B cho A1 HA2  B1 HB2  C1 HC2 Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác A 2B2C2 có tâm cố định Hướng dẫn : S Ta có HA1 A2 HB1 B2 (gg) Suy HA1 HA2  HB1 HB Mặt khác A2 HB2  A1 HB1 S Nên A1 HB1 A2 HB2 A B2 Suy HA1 B1  HA2 B2 B1 Tương tự HA1C1  HA2 C2 Suy HA2 phân giác B2 A2 C2 C1 H Tương tự HB2 phân giác A2 B2 C2 C2 Vậy H tâm đường tròn nội tiếp tam giác A2B2C2  H cố định B A1 A2 C * DA tia phân giác góc EDF ; M điểm thuộc đoạn FD, N điểm thuộc tia DE cho MAN  BAC ta chứng minh A tâm đường trịn bàng tiếp góc D tam giác DMN: Bài 1.6: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF M điểm thuộc đoạn FD, N điểm thuộc tia DE cho MAN  BAC Chứng minh A tâm đường trịn bàng tiếp góc D tam giác DMN Hướng dẫn: Lấy điểm P thuộc BF cho MP // BD DA phân giác góc NDF, nên cần chứng minh MA phân giác góc FMN Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 10 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác J1  A2 (So le trong) Suy A1  A2 N A Ta có AS IO hình bình hành có OI = AS = 21 AH OI // AS S O (chứng minh câu b 6) M H Suy AO // S I (1) I C B Mặt khác SMA  A1 (cùng  SAM ) suy S M // AO (2) J Từ (1), (2) suy M, S, I thẳng hàng; mà N, S, M thẳng hàng  M, I, N thẳng hàng *Ở câu 7) ta chứng minh BHCD hình bình hành, qua H kẻ đường thẳng vng góc với DH, ta có tốn: Bài 1.12: Cho tam giác ABC với trực tâm H (H  A, B, C) M trung điểm BC Đường thẳng qua H vng góc với HM cắt đường thẳng AB E cắt đường thẳng AC F Chứng minh tam giác MEF cân A Hướng dẫn: Kẻ đường kính AD đường trịn ngoại tiếp F H tam giác ABC E O - Chứng minh BHCD hình bình hành  H, M, D thẳng hàng B C M - Chứng minh  EDF cân ( HFD  HBD; HED  HCD D mà HBD  HCD : HBDC hình bình hành HFD  HED  DH đường cao vừa trung trực  MEF, mà M thuộc HD nên ME = MF Hay  MEF tam giác cân (Đpcm) *Ngược lại đường thẳng qua trực tâm H cắt AB, AC P Q cho HP= HQ ta có tốn: Bài 1.13: Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 20 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Gọi H trực tâm tam giác ABC Một đường thẳng qua trực tâm H cắt AB, AC P Q cho HP= HQ Chứng minh đường thẳng vuông góc với PQ kẻ từ H ln ln qua trung điểm BC Hướng dẫn: Cách 1:Dựa vào 1.12 để chứng minh Cách 2: Lấy I  BC (BI = IC ) Kẻ PQ  HI H Ta chứng minh HP = HQ Trên tia BH lấy C’sao cho H trung điểm BC’  HI đường trung bình  BCC’ A C' D Q  HI // CC’ Mà HI  PQ H  CC’  PQ hay HQ  CC’ (1) Mà C’H  CD (2) ( BH  AC ) C Từ (1) (2)  Q trực tâm  CC’H  C’Q  CH P I B Mà CH  AB  C’Q // AB   HC’Q =  HBP (g-c-g)  HP=HQ * Lấy I trung điểm AH ta có tốn: Bài 1.14: Cho tam giác nhọn ABC Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC E F; CE BF cắt H Gọi I trung điểm AH; AH kéo dài cắt BC D Chứng minh: a) Tứ giác AEHF tứ giác nội tiếp b) H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF c) EI FI tiếp tuyến đường tròn Hướng dẫn: a)- E, F thuộc đường trịn đường kính BC ta suy điều gì? ( BEC  BFC  900 ) -Từ chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp nào? (tổng hai góc đối diện 1800) b)- Hãy xét vai trị CE BF tam giác ABC? (CE BF đường cao tam giác ABC, mà CE cắt BF H nên suy H trực tâm tam giác ABC  H tâm đường tròn nội tiếp Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 21 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số tốn trực tâm tam giác tam giác DEF (bài toán 2) c)- Hướng dẫn: Để chứng minh EI tiếp tuyến A đường tròn ta chứng minh IEO  900 cách chứng minh IEH  HEO  900 I Hoặc chứng minh: AIE  BEO  900 F Cách 1: Do I trung điểm AH nên EI trung E tuyến thuộc cạnh huyền tam giác vuông AEH  EI = IH  IEH  IHE ; H B D O C mà IHE  CHD (vì đối đỉnh)  IEH  CHD (1) Ta lại có: HEO  HCO (2) tam giác EOC cân (do OE OC bán kính đường tròn (O) Mà CHD  HCO  900 (3)  CHD vng D (do AH  BC D) Từ (1) (2) (3) IEH  HEO  900 Hay IE  EO Hay EI tiếp tuyến đường tròn (O) E Cách 2: Ta có: BEO  EBO (vì  BOE, cân BO = EO) IEA  IAE (vì  AIE cân)  BEO  IEA  EBO  IAE Mà EBO  IAE  900 (vì  ABD vng, AH  BC )  BEO  IAE  900  IEO  900 Hay EI tiếp tuyến đường tròn (O) E Chứng minh tương tự ta có FI tiếp tuyến đường trịn (O) F (Lưu ý: cho học sinh khá: - Cho H trực tâm tam giác ABC; đường trịn đường kính BC cắt AB, AC tạ E F Chứng minh: B, H, Fthẳng hàng; C, H, E thẳng hàng - Gọi I trung điểm AH Chứng minh I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác EOF; chứng minh điểm I, E, D, O, F thuộc đường tròn - Hoặc gọi I giao điểm hai tiếp tuyến đường tròn E F Chứng minh I, H, A thẳng hàng) Phần chứng minh dựa vào chứng minh toán * Phát triển từ 1.13 ta có số tốn: Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 22 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Bài 1.15: Cho hai đường tròn (O; R) đường tròn (O’; R’) cắt Avà B Đường kính AP đường trịn (O) cắt đường trịn (O’) E Đường kính AQ (O’) cắt đường trịn (O) F Gọi M giao điểm PF QE Chứng minh a) M, A, B thẳng hàng b) Các tiếp tuyến E F đường tròn ngoại tiếp tứ giá FEQP cắt điểm MB Hướng dẫn: a) Ta có A trực tâm  MPQ  MA  PQ (1) M Mà AB  OO’ ; OO’ // PQ Nên AB  PQ (2) I E Từ (1), (2) suy M, A, B thẳng hàng F A b) Kẻ tiếp tuyến FI đường tròn ngoại tiếp O tứ giác PFEQ cắt MA I Ta chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác FEQP P O' B J Q Hoặc lấy I trung điểm MA ta chứng minh IF IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác FEQP (câu c 14) Vậy tiếp tuyến E F đường tròn ngoại tiếp tứ giác FEQP cắt điểm MB Bài 1.16: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao BF, CE cắt H; I trung điểm AH K giao điểm EF với AH Gọi D điểm đối xứng với H qua BC Chứng minh: a) Tứ giác BIFD tứ giác nội tiếp b) K trực tâm tam giác BIC Hướng dẫn: a)Tam giác AFH vuông, I trung điểm AH  IFH  IHF Mà IHF  DHB (đối đỉnh) DHB  BDH Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 23 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác (do D điểm đối xứng H qua BC) A  BDH  IFH Hay BDI  IFB  tứ giác BIFD tứ giác nội tiếp I b)Ta có: KDC  DHC K F E Mà DHC  EHA (đối đỉnh) EHA  AFE H (do tứ giác AFHE nội tiếp);  KDC  AFE  KDCF tứ giác nội tiếp  KDF  KCF C B Mà KDF  IBF (do BIFD tứ giác nội tiếp)  KCF  IBF  CK  BI; D mà ID  BC  K trực tâm tam giác IBC Bài 1.17: Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường trịn tâm (O) đường kính BC Vẽ AD đường cao tam giác ABC, tiếp tuyến AM, AN với đường tròn(O) AB cắt đường tròn (O) E (M, N tiếp điểm); MN cắt AD E; cắt AO I  AMF S a) Chứng minh  ABM b) Chứng minh AE.AD = AF.AB c) Chứng E trực tâm tam giác ABC Hướng dẫn: A  AMF S a) Chứng minh  ABM (theo trường hợp:g-g ) b) Ta có: AE.AD = AI.AO (1) (Hai tam giác vuông AIE ADO đồng dạng ) Mà AI.AO = AM (2) (Hệ thức lượng tam giác vuông AMO ) AF.AB = AM  AMF S (do M B (3) F I N E D O C  ABM: câu a) Từ (1) (2) (3)  AE.AD = AF.AB c) Từ câu a) S   AEF  ADB (c-g-c )  AFE  ADB Mà ADB  900  AFE  900 Hay EF  AB Mặt khác CF  AB  C, E, F thẳng hàng Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 24 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Xét  ABC: CF AD đường cao cắt E  E trực tâm  ABC Bài 1.18: (Bài đảo câu c 1.17) Cho tam giác nhọn ABC, H trực tâm Từ A vẽ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) đường kính BC.( M, N tiếp điểm) Chứng minh H, M, N thẳng hàng Hướng dẫn: Cách 1: Từ câu c 17  MN cắt AD H’ H’ trực tâm tam giác ABC  H  H’  H, M, N thẳng hàng A _ Cách 2: Ta có AM2 =AH.AD =AF.AB S  AHM AMD (c.g.c)  AHM  AMD Tương tự: AHN  AND M _  AHM  AHN  AMD  AND Mà AMD  AND  1800 B _ (Do AMDN nội tiếp đường tròn F _ I _ N _ H _ D _ O _ C _ đường kính AO) Nên AHM  AHN  1800 Suy N, H, M thẳng hàng Cách 3: Ta có AM2 =AH.AD =AF.AB S  AHM AMD (c.g.c)  AMH  ADM Mà AMN  ADM (hai góc nội tiếp chắn hai cung đường tròn ngoại tiếp (AMDON)  AMH  AMN  M, H, N thẳng hàng Bài 1.19: Cho đường tròn tâm O bán kính R có dây AB = R cố định điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB P,Q giao điểm thứ hai đường thẳng AH, BH với đường tròn S giao điểm đường thẳng PB, QA a) Chứng minh H trực tâm tam giác SQP b) Chứng minh SH không đổi c) Gọi I giao điểm đường thẳng SH, PQ Chứng minh I chạy đường tròn cố định Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 25 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Hướng dẫn: a) Gọi E giao điểm AM BQ F giao điểm BM AP Suy EF đường trung bình tam giác HQP (Theo câu d 1) Suy EF= PQ (1) Suy S Ta có MEF S MBA EF EM (2)   AB BM Q E H B nên tam giác BEM vuông cân ) Từ (1) (2) suy EF= AB N A (vì M  AOB  450 I O =R F P Vậy PQ = 2R Suy QAP  900 , QPB  900 M Suy H trực tâm SPQ b) Do SAMB hình bình hành Mà M  450 suy ASB  450 Gọi N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SPQ suy HS = 2ON (theo câu 8) 1.9) QNP  2QSP (T/c góc tâm góc nội tiếp chắn cung) Suy QNP  900 suy N thuộc (O;R) nên ON = R suy SH= 2R (không đổi) c) Ta có tứ giác AHIQ nội tiếp suy AIH  AQH mà AQH  AMB  450 nên AIH  450 suy AIB  900 (theo 1) Nên I thuộc đường trịn đường kính AB khơng đổi Bài 1.20: Cho đường tròn (O; R), điểm A nằm ngồi đường trịn O Kẻ tiếp tuyến AM, AN đến đường trịn (M, N tiếp điểm) K điểm thuộc cung nhỏ MN, qua K kẻ tiếp tuyến với đường tròn cắt AM, AN P Q; PO, QO cắt MN E F Chứng minh: PF, OK, QE đồng quy Hướng dẫn: M  POQ nửa sđ MKN  tứ giác MOFP nội tiếp Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 26 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác M Mà PMO  900  PFO  900 P Suy PF  QO Tương tự QE  PO E K A O Xét tam giác POQ có OK, PF, QE ba F Q đường cao nên chúng đồng quy N Bài 1.21: Cho tam giác ABC nhọn, A’, B’, C’ chân đường cao, đường tròn (B; BB’) cắt A’C’ K, L (A; K thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa BB’) Chứng minh rằng: AK, CL, BO đồng quy (O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) (Bài tốn ngược 1.20) Hướng dẫn: Qua A kẻ tiếp tuyến AK với đường tròn tâm B ta chứng minh K, C’, A’ thẳng hàng: Ta có: Aˆ1  Cˆ1' (Tứ giác AC’A’C nội tiếp) ' Gˆ  Cˆ '3 ( Cˆ ) K ' '  Gˆ  Aˆ1  Cˆ1  Cˆ A Mà Gˆ  Aˆ1  90  Cˆ1'  Cˆ '  90 B' 32 C' 1 Suy A’, C’, K thẳng hàng J O O’ G Tương tự: L, A’ ,C’ thẳng hàng B Kẻ trung trực BC cắt BJ O’ A' H C Ta có A1  BAC (Tứ giác AC’A’C nội tiếp); L ' Aˆ1  Oˆ '1 (cùng phụ với CBJ ) 1  BAC  Oˆ '1 ; mà O '1  BO ' C  BAC  BO ' C 2 Suy O’ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hay O’  O  ĐPCM 4/ Mối liên hệ trực tâm điểm đặc biệt tam giác: Bài 1: ( đường thẳng Euler tam giác ) Chứng minh tam giác trọng tâmG, trực tâm H điểm O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác) điểm thẳng hàng Hướng dẫn: S Cách 1:- Chứng minh :  MON  AHB Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 27 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác (do N1  B1 ; M  A1 ) A OM MN    AB HA mà 12 MN GM OM GM =    AB HA GA GA N Nối G với H; G với O G2 H S - Chứng minh:  AGH  MOG O 21 ( M  A2 ;  G1  G2 OM GM )  HA GA B C M  điểm G, H, O thẳng hàng (Đpcm) Cách 2: Kẻ đường kính BK  CK  BC ; AH  BC AK  AB; CH  AB  AK // CH  AHCK hình bình hành  AH = CK OI = A 1 CK  OI = AH 2 S  AHG  IOG K (c.g.c) G O H  chứng minh tiếp Cách Cách 3: B C I Giả sử trung tuyến AI cắt HO G, ta chứng minh G trọng tâm tam giác ABC: S Ta có  AHG  IOG (g.g) mà AH = 2OI  AG = GI  G trọng tâm tam giác ABC Cách 4: Giả sử trung tuyến AM cắt HO G, ta chứng minh G trọng tâm tam giác ABC: A Gọi Q, N, P trung 12 điểm BH, AH, AG N1   NHQ =  MKO (g.c.g) K  NH = OM H Mà NH = AN  NA = OM  ANP =  MOG (g.cg)  GM = AP P Q B G O1 21 M Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An C 28 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác mà AP = PQ  GM = AP = PG hay AG = AM  G trọng tâm ABC Bài 2: Cho A, H, G A đỉnh tam giác ABC, H trực tâm, G trọng tâm Dựng tam giác Hướng dẫn: Theo tốn ta có: Trong tam giác trực tâm H, trọng tâm G tâm O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác) A nằm đường thẳng HG = 2OG Nối AG; tia đối tia GA lấy điểm M cho GM = G O AG H d - Dựng đường thẳng d qua M vng góc B C M với đường thẳng AH - Dựng (O;OA) cắt đường thẳng d hai điểm B C - Nối A với C, B với C, A với B ta tam giác ABC Bài 3: Cho tam giác ABC có góc nhọn với trực tâm H Dựng hình bình hành BHCD gọi I giao điểm đường chéo a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp b) So sánh BAH OAC , O tâm đường trịn ngoại tiếp tam  ABC c) AI cắt OH G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC Hướng dẫn: A a) Chứng minh tổng góc đối diện 1800: Do tứ giác AFHE nội tiếp FAE  FHE  1800 (1) E Mà FHE  BHC (đối đỉnh) F BHC  BDC (hai góc đối hình bình hành)  FHE  BDC (2) Từ (1) (2) ta có FAE  BDC  1800 H O G B C I D Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 29 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Hay BAC  BDC  1800  Tứ giác ABDC nội tiếp b) Chứng minh BAH OAC CBD c) Chứng minh G trọng tâm  AHD (HO AI tiếp tuyến )  AG = AI  G trọng tâm  ABC (Câu c cách chứng minh : Đường thẳng EuLer cách chứng minh 1) Bài 4: Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P trung điểm BC, CA, AB Các đường trung trực tam giác gặp O Các đường thẳng chứa đường cao AD, BE, CF gặp H Gọi I, K, R trung điểm HA, HB, HC Chứng minh rằng: a) Các đoạn thẳng HO IM cắt Q trung điểm đoạn thẳng b) IM, KN, PR gặp điểm c) điểm I, D, M, K, E, N, R, F, P nằm đường tròn Hướng dẫn: a) Theo kết câu 1.9 ta có AH = 2OM mà AH = 2IH  IH = OM mà IH // OM (AH, OM  BC)  HIOM hình bình hành A  HO IM cắt Q trung điểm I F đoạn thẳng P b) Chứng minh tương tự câu a, ta có KN, PR N H Q qua trung điểm HO  đpcm c) Từ câu a, câu b ta có: K, P, I, R, N, M E O K B D R M C cách điểm Q Hay: QK = QP = QI = QR = QN = QM (1) Mặt khác: ta có: Q trung điểm cạnh huyền tam giác vuông IDM  I, D, M cách điểm Q Tương tự K, E, N; P, F, R cách diểm Q Hay: QI = QD = QM; QK = QE = QN; QP = QF = QR (2) Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 30 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Từ (1) (2)  điểm I, D, M, K, E, N, R, F, P nằm đường tròn tâm Q * Áp dụng kết ta chứng minh hệ thức liên hệ bán kính đường trịn nội tiếp đường trịn bàng tiếp tốn sau: Bài 5: Cho I, O, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, tam giác ABC (Ia; ra); (Ib; rb); (Ic; rc) đường tròn bàng tiếp góc A, góc B, góc C tam giác ABC Chứng minh: 1 1    rb rc r Hướng dẫn: Ib Vì I trực tâm IaA; IbB; IcC A đường cao tam giác IaIbIc nên theo kết câu c ta có: Ic O IA IB IC   1 I a A Ib B I c C  1 1 r r r   1     rb rc r rb rc I r C B Ia Chú ý: - Đường tròn qua điểm gọi đường tròn EuLer Các điểm I, K, R gọi điểm EuLer - Tâm Q đường tròn EuLer, trực tâm H, trọng tâm G, tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm đường thẳng EuLer HQ = HO; HG = 2GO - Bán kính đường trịn EuLer nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 31 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác 5/ Một số tập tham khảo: Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn (AB  AC) có đường cao BB’ CC’ cắt H B’C’ cắt BC K Giả sử đường thẳng qua A vng góc với HK cắt BC M Chứng minh MB = MC Bài 2: Cho  ABC nhọn có H trực tâm biết diện tích tam giác ABC hai lần diện tích tam giác HBC Tính độ dài AH theo R (trong BC=2R) Bài 3: Cho tam giác ABC vng nội tiếp đường trịn đường kính BC kẻ đường cao AH đường trịn tâm I đường kính AH cắt đường tròn điểm thứ hai G cắt AB, AC D E a) Chứng minh tứ giác BCED nội tiếp b) Các tiếp tuyến D E đường tròng tâm I cắt BC M, N Chứng minh M, N trung điểm BH, CH c) Chứng minh AG, DE, BC đồng quy Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt H Qua A vẽ đường thẳng song song với BE, CF cắt đường thẳng CF, BE P Q Chứng minh PQ vng góc với trung tuyến AM tam giác ABC Bài 5: Hai tam giác ABC A1B1C1 thỏa mãn điều kiện: điểm A1 nằm trêntia CB1, điểm B1 nằm tia AC, điểm C1 nằm tia BA Chứng minh trực tâm tam giác A1B1C1 trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O có góc A = 450 , BC=a ; vẽ đường cao BB’, CC’ Gọi O’ điểm đối xứng O qua đường thẳng B’C’ a) Chứng minh AB’O’C’ nội tiếp b) Tính B’C’ theo a Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao BD CE cắt H Một điểm M chuyển động BH, N chuyển động CH cho BM=CN Chứng minh đường trung trực MN qua điểm cố định Thực hiện: Phan Thị Hương- Võ Công Lực - Diễn Châu – Nghệ An 32 Hướng dẫn HS tìm hiểu khai thác số toán trực tâm tam giác Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R có đỉnh A cố định hai đỉnh B, C di động Dựng hình bình hành ABDC Chứng minh trực tâm H tam giác BDC điểm cố định Bài 9: Cho  ABC, M điểm thuộc đường trịn O ngoại tiếp tam giác Gọi D điển đối xứng với M qua AB, E điểm đối xứng với M qua BC Chứng minh điểm M di động đường trịn O DE ln qua điểm cố định Bài 10: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn tâm O Có AE BF đường cao, gọi d tiếp tuyến đường tròn O C Hạ AM  d , BN  d , EH  d , FK  d (M, N, H, K  d) a) Chứng minh EH = FK; NH = MK b) Khi A, B cố định; C chuyển động cung lớn AB Tìm vị trí C để MN đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài 11: Cho tam giác ABC nhọn (AB