NL d02~1

Đề Thi học sinh giỏi Lớp 12 Môn: Toán Thời gian: 180 Phút Giáo viên đề : Trịnh Văn Hùng Bài : (4điểm ) Cho đờng cong ( Cm) : y  x  mx  ( m lµ tham sè vµ |m | 2) 2x  m Tìm điểm trục hoành mà từ ®ã vÏ ®ỵc hai tiÕp tun víi ®êng cong (Cm ) mà chúng vuông góc vơí (Giải tích - Toán nâng cao 12 Tác giả Phan Huy Khải ) b) Cho In =  T×m e  nx  e x dx víi n lµ sè tự nhiên lim In n ( Toán nâng cao lớp 12 Phan Huy Khải ) Bài 2: (4 Điểm ) a) Giải biện luận phơng trình sau theo tham sè a x 1 - a  x =1 ( To¸n båi dìng häc sinh : nhãm t¸c giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Giải bất phơng trình 2x - 2  x  12x  9x  16 ( Toán bồi dỡng học sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) Bài ( 4điểm ) a)Giải Phơng trình :2sin(3x+ ) =  sin x cos 2 x b) Tam gi¸c ABC cã c¸c gãc thâa m·n : 2sinA+ 3sinB+4sinC = 5cos +cos A B +3cos 2 C Chøng minh r»ng : tam gi¸c ABC tam giác ( Báo Toán học tuổi trẻ 5/2004) Bài 4(4điểm) : a)Cho n số nguyên dơng , hÃy tìm giới hạn A = x n  nx  n  lim x ( x  1)2 ( To¸n båi dìng häc sinh : nhóm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mi nht b) Giải hệ phơng trình log2 x 3 log(23 y )  y 3 (3x ) log2 log2 (Đại số sơ cấp tác giả Trần Phơng) Bài ( 4điểm) : a) Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình thang có cạnh AD =2 BC Gọi M,N hai trung điểm SA , SB tơng ứng Mặt phẳng (DMN ) cắt SC P Tính tỉ số điểm P chia đoạn thẳng CS ( To¸n båi dìng häc sinh : nhãm tác giả Hàn Liên Hải , Phan Huy Khải ) b) Cho a,b,c số thực lớn 2 2 Chøng minh r»ng : loga + log b + logc 3 b c a c a b ( Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ,tác giả Trần Phơng) Hết http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi ti liu file word mi nht Đáp án Câu Gọi M(x0;0 ) điểm cần tìm Đờng th¼ng (  )qua M cã hƯ sè gãc k có phơng trình y= k( x-x0) Để( ) tiếp tuyến đờng cong phơng trình sau có nghiƯm kÐp (0,5®) x  mx  k ( x  x ) 2x  m ( 1- 2k) x2+(m+2kx0-mk)x +1+mkx0=0 cã nghiÖm kÐp  2k 0    [k (2x  m)  m]  4(1  2k )(1  mkx ) 0   k (2) (I )   k (2 x  m)  4k (  mx )  m  (3) Bài toán trở thành tìm điều kiện để (I) có hai nghiện phân biệt k1, k2 k1.k2 = -1 (0,5đ) thay (2) vào (3) ta có : (2x0-m) Vì (4) nên hệ (I) (3) Điều kiện cần tìm : 2x m 0  m2      (2x  m) +m2 + 12  (4) m   x    (2 x  m) 4  m ( 2x0 +m)2 = 4-m2 ( v× m 2) (5) Nếu m > (5) vô nghiệm Nếu m < (5) có hai nhghiệm cần tìm với x0 = Vậy có hai điểm M(x0;0) cần t×m víi x0 = m ± m2 m ± m2 (0,5®) e  nx e  ( n 1) x b) Ta cã x  ( 0;1) th× : >  In > In+1  e x  e x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word MỈt khác e nx > x (0;1)  e x In >0 n VËy {In} dÃy đơn điệu giảm bị chặn dới , nên tồn lim I n n (0,5đ) e  Ta cã In + In+1 =  e  (n x ) dx  e x  nx = e  ( n  1) x dx = -  e  ( n  1)  1 n1 1 n In = e 1 - In-1 1 n (*) (0,5®) lim I n lim I n  Râ rµng : n   = n   lim I n e 1 n  =0 nªn tõ (*) suy n   = lim n   1 n lim I n n   = (0,5đ) Bài 2: a) Giải biện luận phơng trình theo tham sè a: x  - a  x =1 a  x 0     x  1  a  x x a    x  a 2 a  x x a   a  x  f ( x )   ( a  1)  a  4a 0 4x  ( 2) (3) (0,5đ) ( 4) Ta xét trờng hợp sau: +) Nếu a < a > a nên hệ (2) (3) (4) vô nghiệm tức (1) vô nghiệm +) Nếu a=0 hệ (2), (3), (4) cã nghiÖm nhÊt x=0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a  x a (5)  +) NÕu a >0 th× ta cã   f ( x ) 4x  4(a  1) x  a  4a (4) a XÐt tam thøc f(x) cã f( )= -2a < vµ f(a) = a2 > a Vậy theo định lí đảo (4) có hai nghiÖm x1,x2 tho· m·n x1< < x2 < a (1đ) Kết luận +) Nếu a < (1) vô nghiệm +) Nếu a (1) có nghiÖm nhÊt x= a   2a  (0,5đ) b) Giải bất phơng trình 2x - 2  x  12x  (1) 9x 16 Nhân biểu thức liên hợp vÕ tr¸i ta cã ( Víi x  [-2;2] ) 6x  2x   2  x  2(6x  4) 9x  16 (0,5®)  (3x  2)[ x  16  2( 2x   2  x ]   (3x  2)(9 x  8x  32  16  2x   (3x  2)( x   x )(8  x   x  (0,5®) Do 8+x+2  x  nªn (2) (3x-2) (x-2  x )     x      x Tập nghiệm bất phơng trình T = [ -2; )( ; 2] 3 (1đ) Bài ( 4điểm ) a)Giải Phơng tr×nh :2sin(3x+  ) =  sin x cos 2 x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word   sin( x  ) 0 (2)     sin (3x  ) 1  sin 2x cos 2x (3)  (0,5đ) Giải (2): (2) 2[1-cos(6x + ) ] = 1+ 8sin2x(1-sin22x)  2+ 2sin6x = 1+ 8sin 2x-8sin32x  2+ 2(3sin2x-4sin32x) = 1+8sin2x-8sin32x  sin2x =    x  k  12  5 x     12 (k,lZ ) (0,5®) + kả vào (2) ta có : 12 k VT(2) = sin(  3k ) ( 1) 0 k=2n ,n  Z  x= + 2n¶ lµ nghiƯm cđa (1) 12 5 +) Thay x=    vµo (2) ta cã : 12 3 1 VT(2) = sin(  3 ) ( 1)  l=2m-1;m Z 12 5 x=  (2m  1)  lµ hä nghiƯm cđa (1) 12  5 VËy (1) có hai họ nghiệm : x= + 2nả x=  (2m  1)  ; (n,mZ) 12 12 +)Thay x= (1®) AB A B C cos dÊu ( = ) xảy cos 2 C (sin A + sinB ) cos chØ A = B (1) 2 b) Ta cã sinA +sin B = sin http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word A (sin B + sinC ) 5 cos 2 B (sin C + sinA ) 3 cos 2 Tơng tự : (2) (3) (1đ) Từ (1), (2), (3), suy : 2sinA + 3sin B + sin C  5cos A B C +3cos +cos 2 Đẳng thức xảy tam giác ABC (1đ) Bài : a)Cho n số nguyên dơng , hÃy tìm giới h¹n A = x n  nx  n  lim x ( x  1)2 ta cã xk -1 = (x-1)(1+x+x2+ +xk-1) (0,5®) (0,5®) A lim x1 ( x  1)(1  x  x   x n   n ) ( x  1)  ( x  1)   ( x n   1)  lim x1 ( x  1) x ( x  1)[1  ( x  1)   (1  x   x n  )] n (n  1) A lim      ( n  )  x1 x VËy : A = n ( n 1) (0,5đ) b) Giải hệ phơng trình log2 x log(23 y )  y 3 (3x ) log2  log2  log2x 3 2(1log(23 y )) ( x 3 ) x ( y 3 ) y  log  log  log  log  3 y 3 (3x ) 2(1  log2 )  log2 XÐt hµm sè : f(t) = log(2 t 3)  logt2 với (1) t(0; + ) đồng biến (0; +  ) (0,5®) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (1) viÕt díi d¹ng f(x) = f(y) x y (2) x  log ( x  3) 2(1 log ) (3)  (I)  (II) x (3)  x  22(1log )  x  4.2log 3x  x  4.2log log x 2  x  4.( x )log  x  4.x log  x1 log  3.x  log 4 XÐt hµm sè q(x) = (4) trªn (0;+  ) x1 log3  3.x  log3 nghịch biến (0;+ ) (0,5đ) Nên (4) có nghiệm nghiệm , g(1) =4 VËy x=1 lµ nghiƯm nhÊt cđa (4)  x y  x y 1  x 1 Khi hệ (II) trở thành Vậy hệ phơng trình ®· cho cã nghiƯm nhÊt x=y=1 (0,5®) Bµi5 : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mi nht a) Đặt DA = a ; DC = b ; DS = c; Tõ gi¶ thiÕt ta đợc CB = a P CS nên đặt: CP = x.CS M, N, P, D mặt phẳng nên DM, DN, DP đồng phẳng ta có: DN = DM +DP (1) Vì M trung ®iĨm cđa SA nªn: DM = DS  DA ca = 2 (2) a DS  DB a b c cb Vì N trung điểm SB nên: DN = = 2= + + 2 Ta cã: DP = DC + CP = b + xCS = b + x(c - b) DP = (1-x)b + xc (4) (0,5đ) Từ (1), (2), (3) (4) ta cã: a b c   + + = c+ a + (1  x )b +  xc 2 2  a + b + c =  a +  (1-x) b + (  + x) c 2 2    4   b(1  x )      x   2 VËy P trªn SC cho CP =   2       x 1  1 CS hay P chia đoạn thẳng CS theo tỉ sè k=3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word (3) b) Ta cã log bc a2  ln a ln a ln a   ln(b  c) ln bc ln b  ln c (0,5®) log a c a T¬ng tù : log a  b c2 VT(1)  2(  b2  ln b ln a  ln c ln c ln a  ln b ln a ln b ln c ) + + ln b +ln c lna +ln c lna +ln b (0,5®) Bổ đề Với x,y,z>0 Thật (*) ( z x y + + (*) ≥ z +y x +z x +y z x y +1) + ( +1)+( +1) ≥ +3 z +y x +y x +z [ (y+z) +(z+x) +(x+y) ] ( 1 + + ) 9 z +y x +z x +y (**) Theo Côsi (**) thoà mÃn (0,5đ) ¸p dơng bỉ ®Ị ta cã : VT(1)  (0,5đ) (ĐPCM) Hết http://dethithpt.com Website chuyờn thi tài liệu file word http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word