đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: toán Thời gian: 180 phút Bài1: ( điểm) Cho hàm số y = −2 x + m x − x + Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số m = Tìm tất giá trị m để hàm số đạt cực đại điểm xo Bài 4: ( điểm) Tìm đa thức f(x) thoả mÃn: x.f(x-1) = (x-3) f(x) Bài 5: ( điểm) Lập phơng trình Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) đỉnh S(2;1) Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông Gọi H hình chiếu O lên đáy ABC Chứng minh rằng: a) 1 1 = + + 2 OH OA OB OC b) S ∆ABC = S ∆OBC + S ∆OAC + S ∆OAB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liu file word mi nht đáp án đề thi hsg lớp 12 Môn: toán - bảng A Bài1: 1) (1,5điểm): Víi m =3 ta cã: y = −2 x + x − x + TX§: D = R Tiệm cận xiên bên phải 2x + x − 2x + =1 x →+ω x (0,25®iĨm) a = lim [ ] b = lim − x + x − x + − x = −3 x →+ω Ta cã tiệm cận xiên bên phải Tiệm cận xiên bên trái (0,25 ®iĨm) y= x-3 (0,25®iĨm) − 2x + x − 2x + = −5 x → −ω x (0,25®iĨm) a = lim [ ] b = lim − x + x − x + + x = x → −ω Ta có tiệm cận xiên bên trái 2) (2,5 điểm): Hàm số đạt cực đại xo (0,25điểm) y = -5x+3 (0,25®iĨm) y/(xo) = (0,25®iĨm) y (xo) < // m( x0 − 1) =0 − + x 02 − x + 2 x − x + m = (1) 0 ⇔ ⇔ x0 − m ; + sinx > (0,25 điểm) Phơng trình log cos x sin x ln(1 + cos x) = log sin x cos x ln(1 + sin x) ln sin x ln cos x ln(1 + cos x ) = ln(1 + sin x ) ln cos x ln sin x (ln sin x) (ln cos x) ⇔ = (*) ln(1 + sin x) ln(1 + cos x) (0,25 điểm) Xét hàm số: f (t ) = f / (t ) = ln t ln(1 + t ) ln t [ 2(t ) ln(t ) − t ln t ] 0 ⇒ sin C ≤ (0,25 ®iĨm) 2k − k (0,25 điểm) Dấu xảy a = b hay A = B ⇒ max(sin C ) = (0,25 ®iĨm) 2k − k (0,25 ®iĨm) Bµi 4: Ta cã: x.f(x-1)= (x-3).f(x) (1) Cho x = ⇒ f(0) = (2) (0,25 ®iĨm) Cho x = ⇒ f(1) = (3) (0,25 ®iĨm) Cho x = ⇒ f(2) = (4) (0,25 ®iĨm) Tõ (2) ;(3); (4) ta suy f(x) chia hÕt cho x; x-1; x-2 (0,25 điểm) Nên f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x) (0,25 điểm) Thay vào (1) ta đợc: x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x) (0,25 điểm) P(x-1) = P(x) ; ∀x ⇒ P(x) = C h»ng số Vậy f(x) = x.(x-1).(x-2).C (0,25 điểm) với C số (0,25 điểm) Bài 5:1.(1 điểm) Đờng thẳng SF trục (P) có phơng trình: x y - = (0,25 ®iĨm) http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word §êng chuẩn () (P) có phơng trình: x + y - = (0,5 ®iĨm) Gäi ®iĨm M(x;y) ∈ (P) ↔ FM = d(M; ∆) ⇔ ( x + 3) + ( y − 2) = (0,25 ®iÓm) ( x + y − 1) 2 (0,5 ®iÓm) ↔ x2 + y2- 2xy - 10x - 6y + 25 = (*) (0,25 điểm) (*) phơng trình Parabol (P) nhận điểm S làm đỉnh F tiêu điểm (0,25 điểm) 2.(4điểm): Gọi A1=AHBC ; B1=BHAC C1= CHAB O (0,25điểm) Theo giả thiết OA(OBC) OABC Và OH(ABC) OHBC BC(OAH) BCAH (0,5điểm) A (0,25điểm)C Xét vuông AOA1 O ta có: 1 = + 2 OH OA OA12 C H Tơng tự BHAC; CHAB H trực tâm ABC B1 (1) A B (0,5điểm) (0,25điểm) OBC vuông O, ta có: 1 = + 2 OA1 OB OC (2) (0,25®iĨm) Tõ (1) vµ (2) ta cã: 1 1 = + + 2 OH OA OB OC (đpcm) (3) Nhân hai vế (3) với 9.V2OABC ta cã: (0,25®iĨm) (0,25®iĨm) 9.V2OABC =OH2.(SABC)2= OA2 (SOBC)2= OB2 (SOAC)2 = OC2 (SOAB)2 (0,5®iĨm) http://dethithpt.com – Website chun đề thi – ti liu file word mi nht Ta đợc: OH ( S ABC ) OA ( S ABC ) OB ( S ABC ) OC ( S ABC ) = + + OH OA OB OC ↔ S ∆ABC = S ∆OBC + S ∆OAC + S ∆OAB (®pcm) (0,5 ®iĨm) (0,5 ®iĨm) (Chó ý: cách khác chọn hệ toạ độ Oxyz gốc O) Lu ý: Những cách giải khác cho điểm tối đa thoe ý, http://dethithpt.com Website chuyên đề thi – tài liệu file word