đề thi học sinh giỏi khối 12 (bảng a) môn: toán thời gian: 180' Bài 1:(4 ®iĨm) Cho hµm sè: y = x + mx − x − 2m − (cm) 3 Kh¶o sát vẽ đồ thị hàm số m = T×m m ∈ (0; ) cho hình phẳng giới hạn đồ thị (Cm), ®êng th¼ng: x=0; x=2; y=0 cã diƯn tÝch b»ng Bài 2: (4 điểm) Giải phơng trình: giải phơng trình: tgx + (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x) log22 x + x.log7(x + 3)= log2x [ x + 2.log7(x + 3)] Bài 3: ( điểm) Tìm a để phơng tr×nh sau cã nghiƯm a + a + sin x = sin x Tìm a để phơng trình sau có nghiệm phân biệt x3 + x2 +1 x +1 + 2(a − 1) + 4(1 − a ) + 4a − = x x x x Bài 4( điểm) Cho ABC nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O bán kính R Gọi R1, R2, R3 lần lợt bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BOC, COA, AOB Cho biÕt: R1+R2+R3 = 3R TÝnh gãc cña ABC Cho (E): x2 + 4y2 = M điểm thay đổi đờng thẳng y=2 Từ M kẻ đến (E) hai tiếp tuyến Gọi tiếp điểm T1, T2 Tìm vị trí M để đờng tròn tâm M tiếp xúc với đờng thẳng T1, T2 có bán kính nhỏ Bài 5:( điểm) Cho hàm số f(x) xác định dơng R tháa m·n: f '2 ( x) + f ' ( x) f ( x) + f ( x ) = f (0) = Tìm hàm số f(x) Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Các đờng thẳng AG, BG, CG, DG kéo dài lần lợt cắt mặt cầu ngoại tiếp tø diÖn ë A1, B1, C1, D1 GA1 + GB1 + GC1 + GD1 ≥ GA + GB + GC + GD CMR: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word http://dethithpt.com – Website chuyên thi ti liu file word mi nht Đáp án thang điểm Đáp án Than g điểm x3 y= + x − 2x − 3 Bài 1: 1.Khi m=1 TXĐ : D = R x = −1 − y' = 0⇔ x = + Hàm số đồng biến (-; -1- ) ∪ (-1+ ; +∞) ' + y = x + 2x − 0,5 Hµm số nghịch biến ( -1- ;1+ ) yCĐ = y(-1- ) = yCT = y(-1+ ) = + y '' = x + ; y '' = x = Đồ thị hàm số lồi (-; -1) Đồ thị hàm số lõm (-1;-) Nhận I(-1, ) làm điểm uèn Lim x →−∞ y = −∞ ; Lim x + y = + 0.5 + Bảng biến thiên x -∞ y’ y + + -1- C§ -1+ + 0,5 + - CT Đồ thị: 0.5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mi nht Xét phơng trình : x3 + mx − x − 2m − = trªn [0; 2] 3 x3 + mx − x − 2m − = 0; f ' ( x ) = x + 2mx 3 Phơng trình: f ' ( x) = có hai nghiệm trái dấu x12 cho giá trị x>0 t = x = t ≥ ⇔ f (t ) = t + 2at + = + Ta cã : (1) ⇔ (t − 2)(t + 2at + 1) = t ≥ + Do (*) nên để phơng trình đà cho có nghiệm phân biệt PT (1) phải có ®óng nghiƯm t>2 NhËn xÐt: TÝnh a.c =1 vËy để phơng trình (1) có nghiệm t>2 (1) phải có nghiệm trờng hợp sau: 0.5 ∆ = VN − a > t1 = < t ↔ VN t1 < < t f (2) < ⇔ a < − Kết luận: Để phơng trình đà cho có nghiệm phân biệt 0.5 : a< 0.5 Bài 4: Theo định lý hµm sè sin cho BOC ta cã: 0.5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word a a R sin A R = = R1 ⇔ = R1 ⇔ R1 = sin BOC sin A sin A cos A R R ; R3 = T¬ng tù choCOA, AOB : R2 = cos B cos C 1 + + = (1) + VËy cã: cos A cos B cos C 0.5 1 9 + + ≥ ≥ =6 + DÔ cã : cos A cos B cos C cos A + cos B + cos C (Do ABC nhän) + ( Ph¶i chøng minh : cos A + cos B + cos C ≤ ) + VËy (1) ⇔ CosA = CosB = CosC ⇔ A = B = C = 60 o x2 + y = M đờng thẳng y = M(a;2) + Gọi T1(x1,y1); T2(x2,y2) tiếp điểm tiếp tuyến T1, T2 là: xx 1: + y y1 = x x 2 : + y y = a.x1 + y1 = Do 1; 2 ®i qua M(a, 2) ⇒ a.x + y = NhËn xÐt : T1, T2 có tọa độ thỏa mản phơng trình đờng thẳng 0.5 0.5 (E): 0.5 a.x + 2y =1 VËy phơng trình đờng thẳng T1, T2 là; ax + 8y =0 : + Đờng tròn tâm M tiếp xúc T1, T2 có bán kính là: R = d (M R= T1T2 )= 0.5 a + 12 a + 64 a + 12 a + 64 + Ta tìm a để R nhỏ : Đặt a = t R = f (t ) = t + 12 0.5 t + 64 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word f ' (t ) = t + 116 > (t + 64) ∀t ≥ ⇒ R = f (0) = đạt đợc : t=0 a=0 + Kết luận: điểm M(0;2) Bài : Từ: f ' ( x) = (− + ) f ( x ) ⇔ ' f ( x) = (− − ) f ( x) f ( x) + f ( x) + f ( x) = '2 ' f ( x) = −2 + f ( x ) ⇔ ' f ( x) = −2 − f ( x) 0.5 ' + XÐt (1) Cã: ⇔ f ( x ) e ( −2 + ∫ (1) ( f ( x) > 0) (2) f ' ( x) dx = ∫ (−2 + ) dx f ( x) ) x + C1 + VËy: f ( x) = e ( −2+ ⇔ ln f ( x) = (−2 + ) x + C1 f (0) = ⇔ e C1 = ⇔ C1 = 3)x + XÐt (2) t¬ng tự : ta đợc kết : f ( x ) = e ( Đáp số: 0.5 f ( x) = e ( −2− ) x hc f ( x) = e ( −2+ ) x 0.5 ) x Gọi O tâm mặt cầu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD Cã: OA = OG + GA 0.5 0.5 ⇒ OA = OG + GA + 2OG.GA T¬ng tù ta cã: 2 OB = OG + GB + 2OG.GB OC = OG + GC + 2OG.GC OD = OG + GD + 2OG.GD 0.5 + Tõ trªn : ⇒ 4( R − OG ) = GA + GB + GC + GD 2 2 2 + L¹i cã : GA.GA1= GB.GB1=GC.GC1=GD.GD1=R2 – OG2 1 1 2 + + + ) VËy : GA1 + GB1 + GC1 + GD1 = ( R − OG )( GA GB GC GD = 1 1 (GA + GB + GC + GD ).( + + + ) GA GB GC GD http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0.5 + áp dụng Bunhia cosi có: 1 1 GA1 + GB1 + GC1 + GD1 ≥ (GA + GB + GC + GD) ( + + + ) 16 GA GB GC GD ≥ GA + GB + GC + GD 0.5 ⇔ GA = GB = GC = GD ⇔ Tø diÖn ABCD gần Dấu xảy tứ diện ABCD ®Òu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word