CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG CAO KHỐI ĐA DIỆN

CHUYÊN ĐỀ VẬN DỤNG CAO KHỐI ĐA DIỆN Câu 1: Cho khối tứ diện đều cạnh . Gọi là điểm đối xứng của qua . Mặt phẳngqua D ABC a E A D và vuông góc với mặt phẳng cắt cạnh tại điểm . Tính thểtích của khối CE   D AB AB F V tứ diện . E A CF A. B. C. D. 3 2 30 a V  3 2 60 a V  3 2 40 a V  3 2 15 a V  Câu 2: Cho tứ diện có thểtích bằng12 và là trọngtâm tam giác . Tính thểtích của khối ABCD G BCD chóp . . AGBC A. . B. . C. . D. . 3 V  4 V  6 V  5 V  Câu 3: Cho tứ diện đều cạnh và điểm nằmtrong tứ diện.Tính tổng khoảngcách từ đếncác mặt của a I I tứ diện. A. . B. . C. . D. . 2 a 6 3 a 3 2 a 34 2 a Câu 4: Cho hình chóp có và tất cảcác cạnhcòn lại đều bằng . Tìm biết thể . S ABC , 2 SA a BC a   x x tích khốichóp đãcho có thểtích bằng . 3 11 6 a A. . B. . C. . D. . 3 2 a x  7 2 a x  9 2 a x  5 2 a x  Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằnga. Gọi là mặt phẳng điqua và song . S ABC   P A song và vuông góc với góc giữa với mặt phẳng đáylà Thểtích khốichóp BC  , SBC   P 0 30 . là: . S ABC A. B. C. D. 3 3 24 a 3 3 8 a 3 8 a 3 3 8

THỂ TÍCH ĐA DIỆN A – KIẾN THỨC CHUNG Thể tích khối chóp V  S đáy h S  S đáy : Diện tích mặt đáy h  h : Độ dài chiều cao khối chóp VS.ABCD  A d S S,ABCD  ABCD D O C B Thể tích khối lăng trụ V  S đáy h A  S đáy : Diện tích mặt đáy A C C B B  h : Chiều cao khối chóp Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cạnh bên A' A' C' C' B' B' Thể tích khối hộp chữ nhật V  a.b.c D A d B c C A' D' a b B' C' Thể tích khối lập phương V  a3 D A C B D' A' B' C' Tỉ số thể tích VS AB C  VS ABC  SA SB  SC  SA SB SC Thể tích hình chóp cụt ABC AB C    S A ’ B C ’ ’ A h B B  B   BB  C Với B, B , h diện tích hai đáy chiều cao 5.1 Hai khối chóp S A1 A2 An S B1 B2 Bm có chung đỉnh S hai mặt đáy nằm mặt V  phẳng, ta có: VS A1 A2 An VS B1B2 Bm  S A1 A2 An S B1B2 Bm 5.2 Hai khối chóp tam giác S ABC có A  SA, B  SB, C '  SC ta có: VS A ' B 'C ' SA SB SC   vS ABC SA SB SC SM SN SP  x,  y,  z Mặt phẳng  MNP  SA SB SC  1 1 1 1 SQ cắt SD Q ta có đẳng thức    với t  VS MNPQ  xyzt      V x z y t SD x y z t 5.3 Kiến thức cần nhớ khối lăng trụ tam giác khối hộp  Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành V 2V , VA.BCC B  3 V V  VA ABD  , VBDAC   5.4 Một số công thức nhanh cho trường hợp hay gặp  VA ABC  2 BH  AB  CH  AC     Tam giác ABC vng A có đường cao AH có  ,  BC  BC  CB  BC   Mặt phẳng   song song với mặt đáy khối chóp S A1 A2 An cắt SAk điểm M k thỏa mãn VS M1M M n SM k  p3  p, ta có VS A1 A2 An SAk  Hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AM BN CP x yz  x,  y,  z có VABC MNP  V AA BB CC  AM BN CP  x,  y,  z Mặt phẳng  MNP  cắt DD ' Q ta có AA BB CC  DQ x y z t đẳng thức x  z  y  t với t  VABCD.MNPQ  V DD  Hình hộp ABCD ABC D có  Định lí Meneleus cho điểm thẳng hàng MA NB PC  với MNP đường thẳng cắt ba đường MB NC PA thẳng AB, BC , CA M , N , P Một số ý độ dài đường đặc biệt  Đường chéo hình vng cạnh a a  Đường chéo hình lập phương cạnh a : a 2  Đường chéo hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c : a  b  c  Đường cao tam giác cạnh a là: CÁC CƠNG THỨC HÌNH PHẲNG 7.1 Hệ thức lượng tam giác 7.1.1 Cho DABC vuông A , đường cao AH 2  AB  AC  BC  AB  BH BC  AC  CH BC  AH BC  AB.AC  AH  BH HC a A B H C 1   2 AH AB AC  AB  BC sin C  BC cos B  AC tan C  AC cot B 7.1.2 Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c độ dài trung tuyến ma , mb , mc bán kính đường trịn ngoại tiếp R ; bán kính đường trịn nội tiếp r nửa chu vi p  Định lí hàm số cosin:  a  b  c - 2bc.cos A; b  c  a  2ca.cos B; c  a  b  2ab.cosC  Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C  Độ dài trung tuyến: b2  c2 a c2  a b2 a  b2 c2 ma2   ; mb2   ; mc2   4 7.2 Các công thức tính diện tích 7.2.1 Tam giác 1  S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1  S  bc sin A  ca.sin B  ab sin C 2 abc  S  4R  S  pr  S     p p a p b p c  ABC vuông A : S   AB.AC BC AH  2  ABC đều, cạnh a : AH  a a2 S  , 7.2.2 Hình vng  S a ( a : cạnh hình vng) 7.2.3 Hình chữ nhật  S  ab ( a, b : hai kích thước) 7.2.4 Hình bình hành   S = đáy  cao = AB AD.sin BAD 7.2.5 Hình thoi  = AC.BD  S = AB AD.sin BAD 7.2.6 Hình thang  S  a  b h ( a, b : hai đáy, h : chiều cao) 7.2.7 Tứ giác có hai đường chéo vng góc AC & BD  S  AC BD MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH NHANH THỂ TÍCH KHỐI CHĨP THƯỜNG GẶP Nội dung Hình vẽ A Cho hình chóp với mặt phẳng SABC SAB , SBC , SAC vng góc với đơi một, diện       tích tam giác SAB, SBC , SAC S1, S2 , S3 Khi đó: VS ABC  S 2S1.S2 S3 B C   góc với Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với ABC , hai mặt phẳng SAB   = a,  BSC ASB = b Khi đó: VS ABC SBC  vuông S nhau, SB sin 2 tan   12 C A B Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên b Khi đó: VS ABC  a 3b  a 12 S C A G M B Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc  a tan  Khi đó: VS ABC  24 S C A G M B Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên b cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  3b sin  cos2  S C A G M B Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc  Khi đó: VS ABC  a tan  12 S C A G M B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  SB  SC  SD  b Khi đó: VS ABC  S a 4b  2a D A M O C B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc tạo mặt bên mặt phẳng đáy  a tan  Khi đó: VS ABCD  S A D M O B C Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, S  = a với     ;   SAB   4 2 Khi đó: VS ABCD  a D tan   A O C B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh bên a,   góc tạo mặt bên mặt đáy  với    0;   2 4a tan  Khi đó: VS ABCD  3  tan2    S A D C S      SBC , góc P với mặt phẳng đáy  Khi đó: VS ABCD  a cot  24 Khối tám mặt có đỉnh tâm mặt hình lập phương cạnh a a3 Khi đó: V  M O B Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi P mặt phẳng qua A song song với BC vng góc với  M F N A E x G C M B A' B' O' D' O1 C' O2 O4 A O3 B O D C Cho khối tám mặt cạnh a Nối tâm mặt bên ta khối lập phương Khi đó: V  S 2a 27 G2 D A G1 N M C B S' CÁC CƠNG THỨC ĐẶC BIỆT THỂ TÍCH TỨ DIỆN Cơng thức Điều kiện tứ diện abc  cos2   cos2   cos2   cos  cos  cos  Cơng thức tính biết cạnh, góc đỉnh tứ diện VABCD  abd sin  Cơng thức tính biết cạnh đối, khoảng cách góc cạnh VS ABC  2S1S sin  VSABC  3a Cơng thức tính biết cạnh, diện tích góc mặt kề abc sin  sin  sin  Cơng thức tính biết cạnh, góc đỉnh góc nhị diện VS ABC  VABCD  VABCD  a3 12 12 a ïìïSA = a, SB = b, SC = c í  = b , CSA  =j ïï ASB = a, BSC ỵ AB  a,CD  b  d AB,CD  d, AB,CD      S SAB  S1, S SAC  S , SA  a   SAB , SAC      ì ï SA = a, SB = b, SC = c ï ï ï ï ( í SAB ) , ( SAC ) = a ï ï ï   ï ï ỵ ASB = b , ASC = j ( ) Tứ diện tất cạnh a    b2  c2 b2  c2  a a  c2  b2   Tứ diện gần AB  CD  a  AC  BD  b AD  BC  c  B – BÀI TẬP DẠNG 1: THỂ TÍCH KHỐI CHĨP Câu 1: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng A qua D Mặt phẳng qua CE vng góc với mặt phẳng  ABD  cắt cạnh AB điểm F Tính thể tích V khối tứ diện AECF 2a 30 A V  2a 60 B V  2a 40 C V  D V  2a 15 Câu 2: Cho tứ diện ABCD tích 12 G trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích khối chóp A.GBC A V  B V  C V  D V  Câu 3: Cho tứ diện cạnh a điểm I nằm tứ diện Tính tổng khoảng cách từ I đến mặt tứ diện A a B a C a D a 34 Câu 4: Cho hình chóp S ABC có SA  a, BC  a tất cạnh lại x Tìm x biết thể a 11 tích khối chóp cho tích A x  3a B x  7a C x  9a D x  5a Câu 5: Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi  P  mặt phẳng qua A song song BC vng góc với  SBC  , góc  P  với mặt phẳng đáy 300 Thể tích khối chóp S ABC là: A a3 24 B a3 C a3 D 3a Câu 6: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 4, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M , N , P trung điểm cạnh SD, CD, BC Thể tích khối chóp S ABPN x, thể tích khối tứ diện CMNP y Giá trị x, y thỏa mãn bất đẳng thức đây: A x  xy  y  160 B x  xy  y  109 C x  xy  y  145 D x  xy  y  125 Câu 7: Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng  SAB  ;  SAC  ;  SBC  tạo với mặt phẳng  ABC  góc Biết AB  25, BC  17, AC  26, đường thẳng SB tạo với đáy góc 450 Tính thể tích V khối chóp SABC A V  680 B V  408 C V  578 D V  600 Câu 8: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB  , BC  Biết SA  vuông góc với mặt phẳng đáy  ABC  Một điểm M thuộc phần khơng gian bên hình chóp cách tất mặt hình chóp Tính thể tích khối tứ diện M ABC A V  24 B V  64 C V  32 D V  12 Câu 9: Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt A nV S B V nS C 3V S D V 3S Câu 10: (ĐH Vinh Lần 1) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA = a 11 , cơsin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) Thể tích khối chóp S ABCD 10 A 3a B 9a C 4a D 12a Câu 11: (THPT-n-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  a ; SA   ABCD  Gọi M , N trung điểm cạnh SB , SD ; mặt phẳng  AMN  cắt SC I Tính thể tích khối đa diện ABCDMNI A V  Câu 12: a3 18 B V  a3 18 C V  a3 D V  13 a 36 (Chuyên Vinh Lần 3)Cho hình chóp S ABC có cạnh SA  BC  ; SB  AC  ; SC  AB  Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 12 B 390 C 390 D 390 Câu 13: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân với AB  2a, BC  CD  DA  a SA  ( ABCD) Một mặt phẳng qua A vng góc với SB cắt SB, SC , SD M , N , P Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối ABCDMNP A 32 a B 4a 3 C 4 a D 4 a 24 Câu 14: (-Mai-Anh-Tuấn-Thanh-Hóa-lần-1-2018-2019) Cho tứ diện OABC có OA  a , OB  b , OC  c đôi vuông góc với Gọi r bán kính mặt cầu tiếp xúc với bốn mặt a tứ diện Giả sử a  b, a  c Giá trị nhỏ r A  B  C D    SAC   30 Câu 15: (Nguyễn Khuyến)Cho hình chóp S ABC có AB  AC  4, BC  2, SA  3, SAB Thể tích khối chóp S ABC bằng: A VS ABC  B VS ABC  C VS ABC  D VS ABC  12 Câu 16: (Chun-Thái-Ngun-lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi M , N trung điểm SB, SC Biết  AMN    SBC  Thể tích khối chóp S ABC a 26 A 24 a3 B 24 a3 C a 13 D 18 Câu 17: (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm SA, SC Biết BM vng góc với AN Thể tích khối chóp S ABC A a 14 B a3 C a3 12 D a 14 24 Câu 18: (Sở Ninh Bình Lần1) Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh đáy , điểm M thuộc cạnh SA cho SA  SM SA vng góc với mặt phẳng  MBC  Thể tích V khối chóp S ABC A V  B V  C D V  a 39 Tam giác ABC cân A có góc A  120 , BC  2a G trọng tâm tam giác SAB Thể tích khối chóp G ABC Câu 19: (Phan Đình Tùng Hà Tĩnh) Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  A 2a B a C a3 D a3 Câu 20: (THPT ĐÔ LƯƠNG LẦN 2) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 15 Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  , từ B đến mặt phẳng  SAC  , 10 30 từ C đến mặt phẳng  SAB  hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam 20 giác ABC Thể tích khối chóp S ABC A 36 B 48 C 12 D 24 Câu 21: (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi N trung điểm SB, P thuộc đoạn SC cho SP  PC , M thuộc đoạn SA cho SM  MA Mặt phẳng  MNP  cắt SD Q NP cắt BC E , CQ cắt DP R Biết thể tích khối chóp EPQR 18cm3 Thể tích khối chóp SMNPQ A 65cm3 Câu 22: B 260 cm C 75cm3 D 70cm3   CSA   600 , ASB  BSC (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Cho khối chóp S ABC có  SA  a, SB  2a, SC  4a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a A 2a B 2a C 2a D 2a Câu 10: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh x  cm  Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện, tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương, cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập phương có độ dài y  cm  hình vẽ bên Tìm thể tích V khối gỗ sau đục biết x  80 cm; y  20 cm A 490000 cm3 B 432000 cm3 C 400000 cm3 D 390000 cm3 Lời giải Chọn B Thể tích cần tìm thể tích khối lập phương ban đầu trừ khối hộp chữ nhật có đáy x y hình vng cạnh y  cm  , chiều cao  cm  ; trừ thể tích khối lập phương có độ dài cạnh y  cm  Vì vậy, 80  20  x y 3 V  x3   20  203  432000  cm3   y  y  80    Câu 11: Một khối gỗ hình lập phương có độ dài cạnh x  cm  Ở mặt hình lập phương, người ta đục lỗ hình vng thơng sang mặt đối diện,tâm lỗ hình vng tâm mặt hình lập phương,các cạnh lỗ hình vng song song với cạnh hình lập phương có S độ dài y  cm  (như hình vẽ bên).Tính tỉ số ,trong V khối gỗ sau đục S tổng V diện tích mặt (trong ngồi)khối gỗ sau đục A 6 x  3y S  V  x  y  x  y  B 3 x  3y  S  V  x  y  x  y  C 2 x  3y S  V  x  y  x  y  D 9 x  3y S  V  x  y  x  y  Lời giải Chọn A Thể tích hình cần tính thể tích khối lập phương ban đầu trừ khối hộp chữ nhật có đáy x y hình vng cạnh y cm ,chiều cao cm ,rồi trừ thể tích khối lập phương có độ dài cạnh y cm  x y Vì vậy: V  x3    y  y   x  y  x  2y   Tổng tích mặt y ( x  y ) V   x  y   6.4   x  y  x  y  Vậy diện khối gỗ sau đục 6 x  3y S  V  x  y  x  y  Chọn A Câu 12: Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V  m3  , hệ số k cho trước ( k - tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Gọi x, y, h  chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Hãy xác định x, y, h  xây tiết kiệm nguyên vật liệu x, y, h A x  B x  C x  D x   2k  1V ; y  4k  2k  1V ; y  4k 3  2k  1  2k  1V ; y  4k 4k 2 k  2k  1 V ;h  23 k  2k  1 V ;h  k  2k  1 V ;h  k  2k  1 V  2k  1 2kV  2k  1V ; y  2kV 2 2kV  2k  1 2kV  2k  1 ;h  Lời giải Chọn C Gọi x, y, h  x, y, h   chiều rộng, chiều dài chiều cao hố ga Ta có: k  h V V  h  kx V  xyh  y   x xh kx Nên diện tích tồn phần hố ga là: S  xy  yh  xh   2k  1V  2kx kx Áp dụng đạo hàm ta có S nhỏ  2k  1V x3 4k h y x Khi y  2kV  2k  1 ,h  k  2k  1 V Câu 13: Cho nhơm hình vng cạnh 1m hình vẽ Người ta cắt bỏ tam giác cân bên ngồi nhơm, phần cịn lại gập thành hình chóp tứ giác có cạnh đáy x  m  , cho bốn đỉnh hình vng gập lại thành đỉnh hình chóp Tìm x để khối chóp nhận tích lớn A x  2 B x  C x  D x  Lời giải x h x z y Ta có: y  x 1 2x z  y2 2     1 Chiều cao hình chóp: h  z   x    y   x    x 2      Vchop  2 x  x 2 Vchop lớn hàm số y  x y'  5 x  x  x 2  x đạt GTLN 2 x  y '   5 x  x    x  2  Chọn A Câu 14: Một viên đá có dạng khối chóp tứ diện tất cạnh a , người ta cưa viên đá theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói A a2 B a2 C a2 D a2 Lời giải Chọn D S A' D' B' C' A D O B C 1 Từ giả thiết  VS ABC D  VS ABCD  VS ABC   VS ABC ( Do khối chóp tứ giác đều) 2 a2 a VS ABC   SA  SA a      SA    AB  SA   Std  AB  VS ABC  SA  2 Câu 15: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1, 296m3 Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ c phải thiết kế kích thước a, b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dày kính khơng đáng kể b a A a  3, 6m; b  0, 6m; c  0, 6m B a  2, 4m; b  0,9m; c  0, 6m C a  1,8m; b  1, 2m; c  0, 6m D a  1, 2m; b  1, 2m; c  0,9m Lời giải Với a chiều dài ngăn bể cá Ta có: V  abc  1, 296 1 a a abc abc abc a  a S   c  bc   b  c  bc  b  2ac  3bc  ab  3   abc3 2 b a c abc 2   a  b  Dấu “=” xảy     a a c c  b  1, 296.4 Thay vào 1 : b3  1, 296  b3   b  ; a  1,8; c  0, Chọn C Câu 16: Khi xây nhà, chủ nhà cần làm hồ nước gạch xi măng có dạng hình hộp đứng đáy hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng không nắp, có chiều cao h tích Hãy tính chiều cao hồ nước cho chi phí xây dựng thấp nhất? A C h  B h  m m m D h  m Lời giải Gọi x, y, h chiều rộng, chiều dài chiều cao hình hộp Theo đề ta có y  x V  hxy  h  V V  xy x Để tiết kiệm ngun vật liệu ta cần tìm kích thước cho diện tích tồn phần hồ nước nhỏ Khi ta có: Stp  xh  yh  xy  x V V 8V  2.3 x  x.3 x   3x 2 3x 3x 3x Cauchy 8V 4V 4V 16V 2  3x    3x   36 Ta có Stp  3x 3x 3x Dấu “=” xảy Vậy chọn 4V 4V V  3x  x  2h  3x 3x C Câu 17: Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích 72dm3 chiều cao 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước a, b (đơn vị dm) hình dm vẽ Tính a, b để bể cá tốn nguyên liệu a dm (tính kính giữa), coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể A a  24, b  24 B a  3, b  C a  2, b  D a  4, b  Chọn D Có: V  72  3.ab  72  a  b dm 24 (1) b Bể cá tốn nguyên liệu nghĩa diện tích tồn phần nhỏ Ta có diện tích tồn phần bể cá là: Stp  3.3a  ab  2.b3  Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Stp  Dấu xảy khi: 216  6b  24 b 216 216  6b  24  6b  24  96 b b 216  6b  b   b   Từ (1), ta suy ra: a  b Câu 18: Người thợ cần làm bể cá hai ngăn, khơng có nắp phía với thể tích 1,296 m3 Người thợ cắt kính ghép lại bể cá dạng hình hộp chữ nhật với kích thước a, b, c hình vẽ Hỏi người thợ phải thiết kế kích thước a, b, c để đỡ tốn kính nhất, giả sử độ dầy kính không đáng kể A a  3, 6m; b  0, 6m; c  0, 6m B a  2, 4m; b  0,9m; c  0, 6m C a  1,8m; b  1, 2m; c  0, 6m D a  1, 2m; b  1, 2m; c  0,9m Lời giải Thể tích bể cá là: V  abc  1, 296 Diện tích tổng miếng kính S  ab  2ac  3bc (kể miếng giữa) Ta có: S 3 33 33     33   abc  c b a c b a abc 1, 296 Cauchy cho so , , c b a a  1,8 1     Dấu “=” xảy  c b a  b  1, abc  1, 296 c  0,  Chọn C Câu 19: Từ tơn có kích thước 90cmx3m người ta làm máng xối nước mặt cắt hình thang ABCD có hinh Tính thể tích lớn máng xối A 30cm 90cm 3m A 40500 3cm3 D 30cm B 3m B 40500 2cm3 C 40500 6cm3 30cm C D 40500 5cm3 Thể tích máng xối: V  S ABCD 300 (cm ) Vậy thể tích lớn diện tích hình thang lớn S ABCD  ( BC  AD).CE CE  CDsin  30.sin E A D θ 30cm 30cm θ B 30cm C AD  BC  ED  30  60cos S ABCD  90 sin  90 sin 2 Đặt f ( )  90 sin  f '( )  90cos  90 sin 2 ,   [0;  ] 90 2cos 2     cos     f '( )   cos   cos 2   cos   cos        cos   1      f (0)  f ( )  0; f    135 Vậy GTLN diện tích ABCD 135 3cm 3 Vậy thể tích máng xối lớn 40500 3cm3 ta cạnh CD tạo với BC góc 600 Câu 20: Để làm máng xối nước, từ tôn kích thước 0,9m  3m người ta gấp tơn hình vẽ Biết mặt cắt máng xối (bị cắt mặt phẳng song song với hai mặt đáy) hình thang cân máng xối hình lăng trụ có chiều cao chiều dài tôn Hỏi x  m  thể tích máng xối lớn nhất? x 3m 0,3m xm x 0,3m 0,9 m 3m (a) Tấm tôn A x  0,5m 0,3m (b) Máng xối B x  0, 65m 0,3m (c) Mặt cắt C x  0, 4m D x  0, 6m Lời giải Chọn D Gọi h chiều cao lăng trụ Vì chiều cao lăng trụ chiều dài tơn nên thể tích máng xối lớn diện tích hình thang cân (mặt cắt) lớn Ta có S  BC  h  x  0,3 x  0,3  x  0,3 B  x  0,3  h   0,3  ĐK:  0,3   x  0,3 C  0;  0,3  x  0,9  h 0.3m A 0.3m Khi đó: S 2  x  0,3  0,3   x  0,3 Xét hàm số f  x    x  0,3  0,3   x  0,3 ;  0,3  x  0,9  2  f   x    0,3   x  0,3   x  0,3  0,3   x  0,3   x  0,3 x  0,3  2  x  0,3 2  0,3   x  0,3 2   0,3   x  0,3 2 0,36  x  x  0,3  0,3   x  0,3 2  x  0,3 f   x     x  0,3 x  0,18     x  0, 0,3 x f  x 0,  0,9  f  x Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f  x  lớn x  0, Vậy thể tích máng xối lớn x  0, 6m Câu 21: Khi xây dựng nhà, chủ nhà cần làm bể nước gạch có dạng hình hộp có đáy hình chữ nhật chiều dài d  m  chiều rộng r  m  với d  2r Chiều cao bể nước h  m  thể tích bể m3 Hỏi chiều cao bể nước chi phí xây dựng thấp nhất? A 3  m 2 B  m C 3  m Lời giải Gọi x  x   chiều rộng đáy suy thể tích bể nước V  x h   h  x2 Diện tích xung quanh hồ đáy bể S  x.h  x  Xét hàm số f  x    2x2  x  0 x  x với x  x D 2  m 3 Hàm số đạt giá trị nhỏ x  Vậy chiều cao cần xây h  3 1 2    m 2 x 3     2 Câu 22: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ B x  V A x  V D x  V C x  V Lời giải Gọi a độ dài cạnh đáy, x độ dài đường cao thùng đựng đồ  a, x   Khi đó, V  a x  a  V V  Stp  2a  4ax   Vx x x Để làm thùng hàng tốn nguyên liệu Stp nhỏ  Cách : Xét hàm số f  x   Ta có f '  x   V  Vx nhỏ x V  Vx  0;   x 2V V  ; f ' x   x V  V x  x  V   x x x +∞ V3 f'(x) + f(x) f (V ) Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn nguyên liệu chiều cao thùng đựng đồ V Cách 2: ta có V V  Vx   Vx  Vx  V x x Dấu "  " xảy V  Vx  x  V  x  V x Chọn B Câu 23: Nhân ngày quốc tế phụ nữ 8-3 năm 2017, ông A định mua tặng vợ quà đặt vào hộp tích 32 ( đvtt ) có đáy hình vng khơng có nắp Để q trở nên thật đặc biệt xứng đáng với giá trị ơng định mạ vàng cho hộp, biết độ dạy lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy hộp h; x Để lượng vàng hộp nhỏ giá trị h; x phải là? A x = 2; h = B x = 4; h = C x = 4; h = D x = 1; h = h x x Lời giải Chọn B ìïS = xh + x ïï 32 128 Þ S = x + x = + x , để lượng vàng cần dùng nhỏ Ta có ïí ïïV = x h đ h = V = 32 x x ùùợ x2 x2 Diện tích S phải nhỏ ta có S= 128 128 + x = f ( x) ® f ' ( x) = x - = Þ x = , x x Câu 24: Một ngơi nhà có dạng tam giác ABC cạnh dài 10  m  đặt song song cách mặt đất h  m  Nhà có trụ A, B, C vng góc với  ABC  Trên trụ A người ta lấy hai điểm M , N cho AM  x, AN  y góc  MBC   NBC  90 để mái phần chứa đồ bên Xác định chiều cao thấp nhà A B 10 C 10 D 12 Lời giải Chọn B Để nhà có chiều cao thấp ta phải chọn N nằm mặt đất Chiều cao nhà NM  x  y Gọi I trung điểm BC Ta có ABC  AI  BC , MN   ABC   MN  BC ,  MI  BC   900 từ suy  BC   MNI     MIN  NI  BC  10  IMN vuông I nhận AI đường cao nên  AM AN  AI  xy     75   Theo bất đẳng thức Côsi: x  y  xy  75  10  x  y  Do chiều cao thấp nhà 10 Câu 25: Một nhà sản xuất sữa có hai phương án làm hộp sữa Hộp sữa có dạng khối hộp chữ nhật hộp sữa có dạng khối trụ Nhà sản xuất muốn chi phí bao bì thấp tốt(tức diện tích tồn phần hộp nhỏ nhất), phải chứa thể tích xác định V cho trước Khi diện tích tồn phần hộp sữa bé hai phương án A 2 V B V D 3 2 V C 3 6V Lời giải Chọn D h h R a b Trường hợp 1: Hộp sữa hình trụ Thể tích khơng đổi V   R h  h  V 2V , Stp  2 R  2 Rh  2 R  R R Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương 2 R , Ta có Stp  2 R  V V , R R V V V V   3 2 R  3 2 V (*) R R R R Trường hợp 2: Hộp sữa hình hộp chữ nhật Thể tích khơng đổi V  abh  h  V V V V V  ; Stp  2ab   a  b  h  2ab  2a  2b   ab    ab ab ab b a  Áp dụng bất đẳng thức Cau chy cho ba số dương ab; V V ; a b V V Ta có Stp  2.3 ab  V (**) a b Xét hai kết ta thấy (*) nhỏ Vậy diện tích tồn phần hộp sữa bé Stp  3 2 V (đvdt) Câu 26: Một bác thợ gị hàn làm thùng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) tơn thể tích 665,5 dm3 Chiếc thùng có đáy hình vng cạnh x(dm) , chiều cao h(dm) Để làm thùng, bác thợ phải cắt miếng tơn hình vẽ Tìm x để bác thợ sử dụng nguyên liệu A 10,5(dm) B 12(dm) C 11(dm) hD 9(dm) h Lời giải x h x h Chọn C 665,5 x2 Ta tích hình hộp là: V  x h  665,5  h  Diện tích tồn phần S  x  xh  x  2662 2662  S '  x  ; S '   x  11 x x Lập bảng biến thiên ta thấy x  11 S đạt giá trị nhỏ Vậy để sử dụng nguyên liệu bác thợ xây phải cắt miếng tơn có đáy hình vng cạnh 11(dm) Câu 27: Một người dự định làm thùng đựng đồ hình lăng trụ tứ giác tích V Để làm thùng hàng tốn nguyên liệu chiều cao thùng đựng đồ A x  V B x  V D x  V C x  V Lời giải Gọi a độ dài cạnh đáy, x độ dài đường cao thùng đựng đồ  a, x   Khi đó, V  a x  a  V V  Stp  2a  4ax   Vx x x Để làm thùng hàng tốn ngun liệu Stp nhỏ  Cách : Xét hàm số f  x   V  Vx nhỏ x V  Vx  0;   x 2V V Ta có f '  x    ; f ' x   x V  V x  x  V x x x f'(x) +∞ V3 + f(x) f (V ) Từ BBT ta thấy để làm thùng hàng tốn ngun liệu chiều cao thùng đựng đồ V Cách 2: ta V V  Vx   Vx  Vx  V x x có 1dm V Dấu "  " xảy  Vx  x3  V  x  V x VH' 1dm VH 2m 1m 5m Câu 28: Người ta muốn xây bồn chứa nước dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m (hình vẽ bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? (Giả sử lượng xi măng cát không đáng kể) A 1180 viên, 8820 lít B 1180 viên, 8800 lít C 1182 viên, 8820 lít D 1180 viên, 8800 lít Lời giải Phân tích: * Theo mặt trước bể: Số viên gạch xếp theo chiều dài bể hàng x  500  25 viên 20 200  40 Vậy tính theo chiều cao có 40 hàng gạch hàng 25 viên Khi theo mặt trước bể N  25.40  1000 viên Số viên gạch xếp theo chiều cao bể hàng là: * Theo mặt bên bể: ta thấy, hàng mặt trước bể xây viên hoàn chỉnh đoạn nối hai mặt mặt bên viên gạch lại cắt viên Tức mặt bên có 100  20 40  40  180 viên 20 Vậy tổng số viên gạch 1180 viên Khi thể tích bờ tường xây 1180.2.1.0,5  1180 lít Vậy thể tích bốn chứa nước là: 50.10.20  1180  8820 lít Câu 29: Từ mảnh giấy hình vng cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tứ giác (như hình vẽ) Từ mảnh giấy hình vng khác có cạnh a, người ta gấp thành phần dựng lên thành hình lăng trụ tam giác (như hình vẽ) Gọi V1 , V2 thể tích lăng trụ tứ giác lăng trụ tam giác So sánh V1 V2 A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 Lời giải D Không so sánh a a a3 Ta có V1  a  4 16 a a a3 V2  a  Do V1  V2 3 36 Câu 30 Chọn C (Lương Thế Vinh Đồng Nai) Cho hộp hình chữ nhật có kích thước ba cạnh cm , cm , cm hình vẽ Một kiến vị trí A muốn đến vị trí B Biết kiến bị cạnh hay bề mặt hình hộp cho Gọi x cm quãng đường ngắn kiến từ A đến B Khẳng định sau đúng? A x  15;16  B x  13;14  C x  12;13 D x  14;15  Lời giải P N A M S B T R Chọn B Vì kiến bị theo mặt hình hộp từ A đến B nên ta vẽ hình khai triển hình hộp chữ nhật trải phẳng hình vẽ xem kiến bị mặt phẳng A M N T R B1 P A S T B2 R N P B3 A M R Khi B tách thành vị trí B1 ; B2 B3 Quãng đường ngắn ba đoạn thẳng AB1 ; AB2 hay AB3 Ta có:  AB1  152  42  241  AB2   10  181  13, 45 2 AB3   13  205  Do quãng đường ngắn AB2  13, 45  13;14  2 ... N trung điểm A ' B ' A BC Mặt phẳng  DMN  chia khối lập phương cho thành hai khối đa diện Gọi  H  khối đa diện chứa đỉnh A,  H ' khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A V H  V H '  37 48... mặt phẳng  MNE  chia khối tứ diện BE thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh B tích 11 2a 294 A k  B k  C k  D V  Câu 11: (Hình học khơng gian) Cho tứ diện ABCD M , N , P thuộc... chóp Tính thể tích khối tứ diện M ABC A V  24 B V  64 C V  32 D V  12 Câu 9: Cho khối đa diện n mặt tích V diện tích mặt S Khi đó, tổng khoảng cách từ điểm bên khối đa diện đến mặt A nV