225 đề học sinh giỏi toán cấp 2

PHỊNG GD & ĐT THIỆU HĨA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2016-2017 Mơn: TỐN Đề thức Câu (4,0 điểm) Tính hợp lý 18 19 a)     25 25 23 23 12   19 11 19 11 19 10 c)  25  125.4. 8 . 17  d)   35 19 35 19 35 Câu (3,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 1      a A  1  1  1   .1    1.3  2.4  3.5   2015.2017  b B  x2  3x  với x   2015  2 c C  x  y  13x y  x  y   15  y x  x y     , biết x  y   2016  Câu (4,0 điểm) 1  Tìm x, y biết :  x    y  12  6  3x  y z  x y  3z   Tìm x, y, z biết: x  y  z  18 Câu (3,0 điểm) Tìm số nguyên x, y biết: x  xy  y   Cho đa thức f  x   x10  101x9  101x8  101x7   101x  101 b) Tính f 100  Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn  AB  AC  Vẽ phía ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi I giao CD BE, K giao AB DC a) Chứng minh ADC  ABE b) Chứng minh DIB  600 c) Gọi M , N trung điểm CD BE Chứng minh AMN d) Chứng minh IA phân giác DIE Câu (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AB  3cm, AC  4cm Điểm I nằm tam giác cách cạnh tam giác ABC Gọi M chân đường vng góc kẻ từ I đến BC Tính MB ĐÁP ÁN Câu 18 19  7 18   19           25 25 23 23  25 25   23 23  5  1    7 a) b) 12   12 12           19 11 19 11 19 19  11 11  19 19 19 c)  25 125.4. 8  17    25 4.125. 8  17    100   1000   17   1700000 d) 10  10           35 19 35 19 35  19 19  35 35 35 Câu 1      a ) A  1  1  1   .1    1.3  2.4  3.5   2015.2017  1 2  3  4  2016 2016         .  2 3  4  5  2015 2017  2 2 3 3 4 4  2016 2016  2016        .  1 3 2 4 3 5  2015 2017  2017  1 1  x   B  2.     2 2 b) Vì x    2  1   x    B  2.    3.       2  2  2015  c) C  x  y  13x y  x  y   15  y x  x y      2016  2  2( x  y)  13x3 y  x  y   15xy  x  y    (vì x  y  0) Câu 1  1)Vì  x    với x; y  12  y, đó: 6  1   x    y  12  0x, y , theo đề thì: 6  2 1 1    x    y  12    x    y  12  Khi đó: 6 6   1   2 x   x    12  3 y  12   y  4 2) Ta có: 3x  y z  x y  3z   Suy 4  3x  y  3 x  x   y  3z  12 x  y  z  12 x  y  z     Do đó: 16 29 3x  y x y   3x  y   (1) 2z  4x x z   z  x   (2) Từ (1) (2) suy x y z   Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z x  y  z 18       x  4; y  6; z  23 Câu Ta có: x  xy  y    x  xy  y    x  xy  y    x 1  y   1  y     x  11  y   Lập bảng 2x  1  2y x y -2 Thỏa mãn Thỏa mãn -1 -5 Thỏa mãn -5 -1 -2 Thỏa mãn Ta có: f  x   x10  101x9  101x8  101x   101x  101  x10  100 x9  x9  100 x8  x8  100 x  x   101x  101  x9  x  100   x8  x  100   x  x  100    x  x  100    x  101 Vậy f 100   Câu E A D J B N K IM C a) Ta có AD  AB, DAC  BAE AC  AE  ADC  ABE (c.g.c) b) Từ ADC  ABE (câu a)  ABE  ADC, mà BKI  AKD (đối đỉnh) Khi xét BIK DAK suy BIK  DAK  600 (dfcm) c) Từ ADC  ABE (câu a)  CM  EN , ACM  AEN  ACM  AEN (c.g.c)  AM  AN CAM  EAN  MAN  CAE  600 Do AMN d) Trên tia ID lấy điểm J cho IJ  JB  BIJ  BJ  BI JBI  DBA  600  IBA  JBD, kết hợp BA  BD  IBA  JBD  c.g.c   AIB  DJB  1200 mà BID  600  DIA  600  IA phân giác DIE Câu A E D I C B M Vì I nằm tam giác ABC cách cạnh nên I giao đường phân giác tam giác ABC Tam giác ABC vng A nên tính BC  5cm Chứng minh CEI  CMI  CE  CM Chứng minh tương tự : AE  AD, BD  BM Suy MB   BC  AB  AC  :  Phòng GD & ĐT Thăng Bình ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỀ CHÍNH Năm học 2018-2019 - Mơn: Tốn Thời gian: 90 phút Đề thi có 02 trang -*** -I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 1: Giá trị x biểu thức ( x - )2 = 0,25 là: A ; 4 B  ;  9 C ;  4 D  ; Câu 2: Cho góc xOy = 500, điểm A nằm Oy Qua A vẽ tia Am Để Am song song với Ox số đo góc OAm là: A 500 B 1300 C 500 1300 D 800 Câu 3: Cho hàm số y = f(x) xác định với x > Biết f(n) = (n - 1).f(n – 1) f(1) = Giá trị f(4) là: A B C D Câu 4: Cho tam giác ABC vuông B, AB = , Â = 300 Phân giác góc C cắt AB D Khi độ dài đoạn thẳng BD AD là: A.2; B 3; C 4; D 1; Câu 5: Cho a2m = - Kết 2a6m - là: A -123 B -133 C 123 D -128 Câu 6: Cho tam giác DEF có  E =  F Tia phân giác góc D cắt EF I Ta có: A ∆ DIE = ∆ DIF B DE = DF ,  IDE =  IDF C IE = IF; DI = EF D Cả A, B,C Câu 7: Biết a + b = Kết phép tính 0, a(b)  0, b(a) là: A B C, 0,5 D 1,5 Câu 8: Cho (a - b)2 + 6a.b = 36 Giá trị lớn x = a.b là: A B - C D Câu 9: Cho tam giác ABC, hai đường trung tuyến BM, CN Biết AC > AB Khi độ dài hai đoạn thẳng BM CN là: A BM ≤ CN B BM > CN C BM < CN D BM = CN Câu 10: Điểm thuộc đồ thị hàm số y = - 2x : A M ( - 1; -2 ) B N ( 1; ) C P ( ; -2 ) D Q ( -1; ) Câu 11: Biết lãi suất hàng năm tiền gửi tiết kiệm theo mức 5% năm hàm số theo số tiền gửi: i = 0,005p Nếu tiền gửi 175000 tiền lãi là: A 8850 đ B 8750 đ C 7850 đ D.7750 đ Câu 12: Cho tam giác ABC cân A, Â = 20 Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = BC Số đo góc BDC là: A 500 B 700 C 300 D 800 II Phần tự luận (14 điểm) Câu 1.(3 điểm) A, Chứng tỏ rằng: M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 chia hết cho 102 B, Cho tích a.b số phương (a,b) = Chứng minh a b số phương Câu 2.(4 điểm) 2.1 Cho đa thức A = 2x.(x - 3) – x(x -7)- 5(x - 403) Tính giá trị A x = Tìm x để A = 2015 2.2 Học sinh khối trường gồm lớp tham gia trồng Lớp 7A trồng toàn 32,5% số Biết số lớp 7B 7C trồng theo tỉ lệ 1,5 1,2 Hỏi số lớp trồng bao nhiêu, biết số lớp 7A trồng số lớp 7B trồng 120 Câu 3.(5 điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB vẽ hai tia Ax By vng góc với AB A B Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia Ax lấy điểm C tia By lấy điểm D cho góc COD 900 a) Chứng minh rằng: AC + BD = CD AB b) Chứng minh rằng: AC.BD  Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh rằng: HA + HB + HC < ( AB  AC  BC ) Câu 4.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ A, biết : A = |7x – 5y| + |2z – 3x| +|xy + yz + zx - 2000| - Hết Lưu ý: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay Họ tên học sinh: SBD: Phòng GD & ĐT Lâm Thao ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2016 – 2017 - Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH Thời gian: 90 phút Đề thi có 02 trang -*** I Phần trắc nghiệm khách quan: (6 điểm) Câu 10 11 12 Đ án C C A B D B A C D B C A II Phần tự luận (14 điểm) Câu Nội dung 1(4 M = 75.(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 điểm) = 25.(4- 1)(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 Điểm 0,25 = 25.[4(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)- (42017+ 42016+ + 42 +4 + 1)] + 25 0,25 = 25.(42018+ 42017+ + 42 +4) - 25(42017+ 42016+ + 42 +4 + 1) + 25 0,25 = 25.42018 – 25 + 25 0,25 = 25.42018 =25.4.42017 = 100.42017 100 0,25 Vậy M 102 0,25 Theo ta có: S A SB  ;  ; d A  d B ; rA  rB  27(m); rB  rC ; dC  24(m) S B SC Hai hình chữ nhật A B có chiều dài nên diện tích chúng tỉ lệ thuận với chiều rộng Ta có: rA  12m S A rA r r r r 27    A B A B  3  S B rB 45 rB  15m  rC Hai hình chữ nhật B C có chiều rộng nên diện tích chúng tỉ lệ thuận với chiều dài Ta có: SB d B 7d 7.24    dB  C   21(m)  d A SC d C 8 Do đó: S A  d A.rA  21.12  252(m2 ) S B  d B rB  21.15  315(m2 ) SC  dC rC  24.15  360(m2 ) Bài 4x  4 x  2  1  4 x2 x2 x2 Với x  x   c) Ta có: A  Để A nguyên x  1 x  nguyên  x  U (1)    x2  x   1  x  x  x  x  x  3  2 B   3x  x3 x3 x3 Với x   x   Để B nguyên nguyên  x  U    1; 2 x3 Do x  5, x  1, x  4, x  Vậy để B nguyên x 5;1;4;2 d) Từ câu a suy để A, B nguyên x  Bài A K H D M C B E O e) ABC cân nên ABC  ACB  ABD  ACE Xét ABD ACE có: AB  AC ( gt ); ABD  ACE (cmt ); DB  CE ( gt )  ABD  ACE (c.g.c)  AD  AE  ADE cân A f) Xét AMD AME có: MD  ME ( DB  CE; MB  MC ); AM chung; AD  AE (cmt )  AMD  AME (c.c.c)  MAD  MAE Vậy AM tia phân giác DAE g) Vì ADE cân A (cm câu a) nên ADE  AED Xét BHD CKE có: BDH  CEK (do ADE  AED); DB  CE ( gt )  BHD  CKE (ch  gn)  BH  CK h) Gọi giao điểm BH CK O Xét AHO AKO có: OA cạnh chung; AH  AK ( AD  AE, DH  KE (doBHD  CKE ))  AHO  AKO(ch  cgv) Do OAH  OAK nên AO tia phân giác KAH hay AO tia phân giác DAE , mặt khác theo câu b) AM tia phân giác DAE Do AO  AM , suy ba đường thẳng AM , BH , CK cắt O PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC 2018-2019 Câu (5 điểm) Cho f ( x)  x  x19  x5  x 2018  g ( x)  x 2019  x 20   x  x  x   a) Tính k  x   f  x   g  x  11 13 15 17 19   b) Tính giá trị k  x  x            10 15 21 28 36 45   c) Chứng minh rằng: đa thức k  x  không nhận giá trị 2019 với giá trị x nguyên ? Câu (4 điểm) Tìm x biết:  4 a)23x      b) x   47  x  27    34   c)  x  3 3x  1     27    1   2019   35   2017 2018 d ) x  x  6 Câu (3 điểm) a b c a) Cho   a  b  c  2019 Tính a, b, c b c a ab cd a c   ta có tỉ lệ thức  b) Chứng minh rằng: Từ tỷ lệ thức a b c d b d Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC  AB  AC  , A  1000 Tia phân giác B cắt AC D, qua A kẻ đường vng góc với BD cắt BC I a) Chứng minh rằng: BD trung trực AI b) Trên tia đối tia DB lấy K cho DK  DA Chứng minh rằng: tam giác AIK c) Chứng minh : BK  BC d) Lấy E  BD Chứng minh rằng: BC  EA  AB  EC Câu (2 điểm) x  2019  2020 a) Tìm GTLN của: A  x  2019  2021 1 1  b) Chứng minh rằng: B      20193 22 ĐÁP ÁN Câu a) Tính k  x   x  x  b) 11 13 15 17 19 Xet :         10 15 21 28 36 45 11 13 15 17 19    1           12 20 30 42 56 72 90    3  4  5  6  7  8  9  10   2.1          12 20 30 42 56 72 90   1   1 1 1 1  2.1             10   3 4 5 6 1   2.     10  10  Vậy x    k x  12 c) Xét k x   x  x   x  x      Giả sử k x   2019  x x   2010 Vì x nguyên nên 2010 chẵn x ;  x   tính chẵn (hoặc lẻ)  x ; x  hai số chẵn liên tiếp nên x  x   , cịn 2010 khơng chia hết cho Vậy giả sử sai hay k x  không nhận giá trị 2019 với x nguyên Câu a) Tìm x   11 621  2x    2x   2x  104 Nên ta có: x   47  x  x  (tm x  ) Với x   x    x   2 x  5 Nên ta có: 2 x   47  x  x  16 (tm x  ) 34 34  14  15  35   1  0 c) Xét 35 35  2 x    x  Thay vào ta có:  x  3 x  1    3 x    x    2 d) Ta có: x  5x     x  x    3x    b) Với x   x  x    3 x    x    x    x  3 x      x    x  Câu a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c a  b  c 2019 a         a  b , tương tự b  c b c a a  b  c 2019 b 2019  673 Suy a  b  c  ab cd   b  0;  1 d  b) a b cd ab cd a c    a  b  c  d    a  b  c  d   2bc  2ad    b, d   Vì a b c d b d Câu A D K E B I C a) Xét BAI có BD vừa phân giác vừa đường cao nên BAI cân đỉnh B  BD trung trực AI b) Từ chứng minh  KA  KI (1)   Từ giả thiết ABC cân đỉnh A A  1000  ABC  ACB  400 BAI cân đỉnh B mà ABI  400  BAI  BIA  700 Từ suy IAC  300 (2) AIC  1100 BAD : BAD  1000 , ABD  200  ADB  600 Lại có DAK cân đỉnh D  DAK  DKA  ADB  DAK (tính chất góc ngoài)  DAK  300 (3) Từ (2) (3) suy ra: IAK  600 (4) Từ (1) (4) suy AIK AKC  AIC  1100   c) Ta có: IAC  KAC (cgc)    IKC  50 AKI  60 (cmt )   0 Và DKI  DKA  30  BKC  80 BKC  800   BKC :  KCB  800  BKC cân đỉnh B  BK  BC  KBC  200   d) Ta có: BK trung trực AI  EA  EI BC  AB  BC  BI  IC 1 Từ EC  EA  EC  EI  IC (BĐT tam giác) (2) Từ (1) (2) suy EC  EA  BC  AB hay BC  EA  AB  EC Câu x  2019  2020 x  2019  2021  a) A   x  2019  2021 x  2019  2021 (Vì x  2019  2021  2021 Dấu "  " xảy  x  2019 A 1 x  2019  2021 1   x  2019  2021 2021 1 2020 1  x  2019  2021 2021 2021 2020  x  2019 GTNN A  2021 1 b) Ta có: 23  1.2.3   1.2.3 1 1 ; ;  Tương tự :  3 2.3.4 2019 2017.2018.2019 1 1  1  2019  2017   A          1.2.3 2.3.4 2017.2018.2019  1.2.3 2.3.4 2017.2018.2019  1 1 1 1  1   A             1.2 2.3 2.3 3.4 2017.2018 2018.2019   1.2 2018.2019  1  A   2 2018.2019.2 1 1  A       3 2019  A 1 PHÒNG GD & ĐT THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Bài (4,0 điểm) a) Thực phép tính : P  b) Tìm x thỏa mãn:  x 4  20180  0,4 25   x   1  x  3  Bài (4,0 điểm) x y xy x y   2017 2018 2019 x y z b) Cho x, y, z, a, b, c thỏa mãn   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a b c   Chứng minh rằng: (với điều kiện mẫu x  y  z 2x  y  z 4x  y  z thức khác 0) Bài (3,0 điểm) a) Cho đa thức f ( x)  ax  b Tìm a, b biết f 1  f  2   a) Tìm x, y biết: b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho A 1;2  M  m; m2  Tìm m để điểm phân biệt O, A, M thẳng hàng Bài (3,0 điểm) a) So sánh : 222333 333222 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q  x  2017  x  2018  x  2019 Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A( góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD  CE Trên tia đối tia CA lấy điểm I cho CI  CA a) Chứng minh: ABD  ICE AB  AC  AD  AE b) Từ D E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB, AI theo thứ tự M , N Chứng minh MN qua trung điểm DE c) Chứng minh chu vi tam giác ABC nhỏ chu vi tam giác AMN Bài (1,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n  tổng: 15 n2  S      số nguyên 16 n ĐÁP ÁN Bài a) P  b) x   x 4  20180  0,4     25 5   x   1. x  3   x    x  16(tm)   x    x  1    x  1     x   1  x  3   x    x   Bài x y xy x y   (1) a) Ta có: 2017 2018 2019 Áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có: x y xy x y   1 2017 2018 2019 Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: x y x y x yx y 2x x     2017 2019 2017  2019 4036 2018 xy x   (2) 2018 2018 TH1: x   y  Th2: x  0,    y   x  2018(tm) Vậy  x; y    0;0 ;  2018;1 b) Từ giả thiết suy x 2y z x  2y  z    (1) a  2b  c 4a  2b  2c 4a  4b  c 9a 2x y z 2x  y  z    (2) 2a  4b  2c 2a  b  c 4a  4b  c 9b 4x 4y z 4x  y  z    (3) 4a  8b  4c 8a  4b  4c 4a  4b  c 9c Từ 1 ,   ,  3 ta có: 9a 9b 9c x  y  z 2x  y  z 4x  y  z     hay 9a 9b 9c x  y  z 2x  y  z 4x  y  z a b c   x  y  z 2x  y  z 4x  y  z Bài a) f 1   a.1  b   a  b   b   a f  2   2a  b   2a   a   3a  3  a  Thay a   b  Vậy a  1; b  b) Đường thẳng OA đồ thị hàm số y  ax A1;2   y  ax  a   y  x Vậy m  Để O, A, M thẳng hàng M  m; m2   y  x  m2  2m   m  Vì ba điểm O, A, M phân biệt nên m  0(ktm) Vậy m  Bài a) Ta có: 222333   2223  ;333222   3332  111 111 2223   2.111  8.1113  8.111.1112  888.1112 3332   3.111  9.1112 Vì 888   888.1112  9.1112  2223  3332   2223  111   3332  111  222333  333222 Vậy 222333  333222 b) Q  x  2017  x  2018  x  2019 Q   x  2017  x  2019   x  2018 , x  2019  2019  x  Q   x  2017  2019  x   x  2018 Mà x  2017  2019  x  x  2017  2019  x  Q   x  2017  2019  x    x  2018   Q  x  2018     x  2017  2019  x   2017  x  2019   x  2018 Dấu "  " xảy   x  2018 x  2018    Vậy Q đạt giá trị nhỏ x  2018 Bài A M B C D E O N I a) ABC cân A suy AB  AC, ABC  ACB Mà AC  IC  gt   AB  IC; ACB  ICE (đối đỉnh)  ABD  ICE Xét ABD ICE có: AB  IC; ABD  ICE; AB  IC Suy ABD  ICE (dfcm) Ta có: AB  CI  AB  AC  CI  AC  AI (1) Theo chứng minh ABD  ICE (c.g.c)  AD  IE  AD  AE  IE  AE (2) Áp dụng BĐT tam giác AEI ta có: IE  AE  AI (3) Từ 1 ,   ,  3  AD  AE  AB  AC b) Gọi O giao điểm MN với DE Chứng minh BDM  CEN ( g.c.g )  DM  EN Chứng minh được: ODM  OEN ( g.c.g )  OD  OE Hay MN qua trung điểm DE c) Vì BM  CN  AB  AC  AM  MN (4) Có BD  CE ( gt )  BC  DE MO  OD    MO  NO  OD  OE  MN  DE  MN  BC (5) NO  OE  CABC  AB  AC  BC CAMN  AM  AN  MN (6) Từ (4), (5), (6)  Chu vi ABC nhỏ chu vi AMN Bài S có  n  1 số hạng 15 n2   1  1  1 1  S       1    1    1     1   16 n        n    1 S  n          n  (1) n  2 1 1 1 1 Mặt khác          1 n 1.2 2.3 3.4 n  n  1.n 1 S  n 11  n    n  (2) n n Từ (1) (2) ta có: n   S  n  Vậy S khơng có giá trị ngun với số tự nhiên n  ... 1 .2) 2. 22  3 .23  4 .24    n  1 2n1  n.2n  2n34 (1) B  2. 22  3 .23  4 .24    n  1 2n1  n.2n  B  2.  2. 22  3 .23  4 .24    n  1 2n1  n.2n  B  2. 23  3 .24  4 .25 ... 25   2n   n.2n1  23 C  23  24  25   2n Đặt  2C  2.  23  24  25   2n   24  25  26   2n1 2C  C   24  25  26   2n1    23  24  25   2n  C  2n1  23 Khi...  1 2n  n.2n1 Đặt B  B   2. 23  3 .24  4 .25    n  1 2n  n .2 n1    2. 22  3 .23  4 .24    n  1.2n1  n.2n  B  ? ?23  24  25   2n  n.2n1  2. 22    23  24  25 