Đề thi olympic toán 11 năm học 2019 2020 cụm sóc sơn mê linh hà nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI CÁC TRƯỜNG THPT CỤM SÓC SƠN - MÊ LINH KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 2sin2 x  sinx  Câu (4,0 điểm) a Từ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có chữ số khác 2019 b Tính tổng S  2C2020  3.23.C2020  5.25.C2020   2019.22019.C2020  x2  , x 1  Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y   x  Tìm a để hàm số liên tục x0   x  ax  2, x   Câu (2,0 điểm) Cho dãy số  un  u1  2021  thỏa mãn  1 2020  u  u   , n n  n  2 un   * Chứng minh dãy  un  có giới hạn hữu hạn n   tính giới hạn 2x  có đồ thị  C  Cho biết I 1;2 ; d1 : x  ; d2 : y  Gọi x 1 d tiếp tuyến  C  ; A,B giao điểm d với d1 d2 Chứng minh Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  IA.IB số Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  xác định có đạo hàm thỏa mãn f 1  x   f 1  2x   21x   Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm có hồnh độ Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng d qua D vng góc với mặt phẳng  ABC  D lấy điểm S cho SD  a Chứng minh  SAD   SBC   SAB    SAC  Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC điểm M tùy ý nằm bên tam giác ABC Ba đường thẳng qua M , song song với SA, SB, SC cắt mặt phẳng  SBC  ,  SAC  ,  SAB A1 , B1 ,C1 Chứng minh SA  SB  SC  MA1 MB1 MC1 Hết -Họ tên:…………………………………………………… Số báo danh:………… SỞ GD&ĐT HÀ NỘI CÁC TRƯỜNG THPT CỤM SÓC SƠN - MÊ LINH KỲ THI OLYMPIC LỚP 11 NĂM HỌC 2019-2020 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM Điểm Câu Nội dung Câu Giải phương trình sau: 2sin x  s inx  (2,0 Phương trình tương đương: điểm) s inx  1,0đ 2sin x  s inx    s inx     x  k     x   k 2 , k    5 x   k 2  1,0đ Câu a Từ số tự nhiên 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có (4,0 chữ số khác 2019 điểm) b Tính tổng S  2C2020  3.23.C2020  5.25.C2020   2019.22019.C2020 a Từ số tự nhiên 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có chữ số khác đôi Mỗi số tự nhiên tạo thành chỉnh hợp chập phần tử 1,0đ Số số tự nhiên thỏa mãn toán A64  360 số 1,0đ 2019 b Tính tổng S  2C2020  3.23.C2020  5.25.C2020   2019.22019.C2020 Xét khai triển: 0,5đ 1  x  2020 2019 2019 2020 2020  C2020  C2020 x  C2020 x  C2020 x3   C2020 x  C2020 x Lấy đạo hàm vế: 2020 1  x  2019 C 2020 0,5đ  2C 2020 x  3C 2020 x   2019C 2019 2020 x 2018  2020C 2020 2020 x 2019 Chọn x  ta có: 2019 2020.3 C 2020  2.2C 2020  3.2 C 2020   2019.2 2018 2019 2020 C  2020.2 2019 2020 2020 C 1 0,5đ Chọn x  2 ta có 2019 2020 2020  C2020  2.2C2020  3.22 C2020   2019.22018 C2020  2020.22019 C2020  2 Lấy 1    ta 0,5đ 2019 S  2C2020  3.23.C2020  5.25.C2020   2019.22019.C2020  2020 32019 1 Câu  x2 1 (2,0 Cho hàm số y   x  , x  Tìm a để hàm số liên tục x0  điểm)  x  ax  2, x   Tập xác định hàm số Với x0   x0  ; 0,5đ x2 1  lim  x  1  x 1 x 1 x  x 1 lim f  x   lim x2  ax   a  0,5đ f  x0   f 1  a  lim f  x   lim x 1 x 1   0,5đ Hàm số liên tục x0   lim f  x   lim f  x   f 1  a    a  x 1 Câu (2,0 Cho dãy số  u  thỏa mãn n điểm) x 1 u1  2021  1 2020   un 1   un  u  , n  n    * 0,5đ Chứng minh dãy  un  có giới hạn hữu hạn n   tính giới hạn Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh un  0, n  , n  1 2020  2020  2020, n  Ta có: un 1   un    un 2 un  un  un  dãy bị chặn Chứng minh  un  dãy giảm 0.25đ 0.5đ 0.5đ 2020   un  1 2020   ,  un  dãy giảm Xét un 1  un   un    un  2 un  2un Vì  un  dãy giảm bị chặn nên tồn lim un  l ( l  , l hữu hạn) 0.25đ 1 2020  Lấy giới hạn vế đẳng thức un 1   un   ta có: 2 un   2020  l  l    l  2020 2 l  Vậy  un  dãy số giảm có hữu hạn hữu hạn lim  un   2020 0.5đ 2x  Câu Cho hàm số y  có đồ thị  C  Cho biết I 1;  ; d1 : x  ; d : y  (2,0 x 1 điểm) Gọi d tiếp tuyến  C  ; A,B giao điểm d với d1 d Chứng minh IA.IB số Gọi M  x0 ; y0    C  với x0  0.5đ Phương trình tiếp tuyến d  C  M có phương trình: y  x0  1  x  x0   x0  x0  0.5đ  2x   d  d1  A 1;   x0   d  d  B  x0  1;  Ta có IA  0.5đ , IB  x  Vậy IA.IB  x0  0.5đ Câu Cho hàm số y  f  x  có đồ thị  C  xác định có đạo hàm (2,0 thỏa mãn: f  x  f  x  21x   Viết phương trình tiếp     điểm) tuyến đồ thị  C  điểm có hồnh độ Từ đẳng thức f 1  x   f 1  x   21x   0,75đ Cho x  ta f 1  f 1    f 1  Lấy đạo hàm f 1  x   f 1  x   21x   ta có: 0,75đ f 1  x  f  1  x   f  1  x   21  Tại x  ta có f 1 f  1  f ' 1  21   f  1  21   f  1  Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C  điểm có hồnh độ có 0,5đ phương trình y   x  1   y  3x  Câu Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua (4,0 BC Trên đường thẳng d qua D vuông góc với mặt phẳng điểm) a  ABC  D lấy điểm S cho SD  CMR  SAD    SBC   SAB    SAC  S K H A C O D B Chứng minh  SAD    SBC   BC  AD  BC   SAD  BC   SBC  nên  SAD    SBC    BC  SD Chứng minh  SAB    SAC  1,5đ Gọi K hình chiếu D SA H trung điểm AK; O  BC  AD ta có: OH  SA OH / / DK  SA BC  SA BC   SAD  0,5đ Do SA   HBC   HB  SA; HC  SA Khi góc hai mặt phẳng  SAB   SAC  góc HB HC (1) Tam giác ABC cạnh a, OA  a  AD  a Tam giác SAD vuông D, đường cao DK nên 1 1       DK  a 2 DK SD DA 6a 3a a 0,5đ 0,5đ 0,5đ a (vì OH  DK ) nên ta có 2 OH  OB  OC suy tam giác HBC vuông H  HB  HC (2) Vậy từ (1), (2) ta kết luận  SAB    SAD  Trong tam giác HBC có OH  0,5đ Câu Cho hình chóp S.ABC điểm M tùy ý nằm bên tam giác ABC (2,0 Ba đường thẳng qua M , song song với SA, SB, SC cắt điểm) mặt phẳng  SBC  ,  SAC  ,  SAB  A , B ,C 1 Chứng minh SA SB SC   9 MA1 MB1 MC1 S K A M I C H B Gọi H  AM  BC ; K  BM  AC ; I  CM  AB Theo định lý Thales ta có: 1,0đ SA SB SC AH BK CI      MA1 MB1 MC1 MH MK MI Do M nằm bên tam giác ABC nên ta có: 1,0đ  AH BK CI SABC SABC SABC 1        SABC     MH MK MI SMBC SMAC SMAB  SMBC SMAC SMAB   1    SMBC  SMAC  SMAB     9  SMBC SMAC SMAB  Chú ý: Học sinh làm theo cách khác Nếu làm điểm tối đa theo phần tương ứng ... vế: 2020 1  x  2019 C 2020 0,5đ  2C 2020 x  3C 2020 x   2019C 2019 2020 x 2018  2020C 2020 2020 x 2019 Chọn x  ta có: 2019 2020. 3 C 2020  2.2C 2020  3.2 C 2020   2019. 2 2018 2019. .. 1,0đ 2019 b Tính tổng S  2C2020  3.23.C2020  5.25.C2020   2019. 22019. C2020 Xét khai triển: 0,5đ 1  x  2020 2019 2019 2020 2020  C2020  C2020 x  C2020 x  C2020 x3   C2020 x  C2020... 2019 2020 C  2020. 2 2019 2020 2020 C 1 0,5đ Chọn x  2 ta có 2019 2020 ? ?2020  C2020  2.2C2020  3.22 C2020   2019. 22018 C2020  2020. 22019 C2020  2 Lấy 1    ta 0,5đ 2019 S  2C2020