Đề thi olympic toán 10 năm học 2019 2020 cụm sóc sơn mê linh hà nội

SỞ GD&ĐT HÀ NỘI CÁC TRƯỜNG THPT CỤM SÓC SƠN - MÊ LINH KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x2  5x  Tìm m để đường thẳng y  x  m 1 cắt đồ thị hàm số y  x2  x  hai điểm phân biệt Câu (6,0 điểm) Giải bất phương trình 14  3x  x2   x   x2  y  xy  xy   Giải hệ phương trình  2   xy  x y  xy  11x  28  11y Một người có khu đất bãi rộng dọc theo bờ sông Người muốn làm hàng rào hình chữa E (như hình vẽ) để khu đất hình chữ nhật gồm hai phần để trồng rau chăn nuôi Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng chi phí nguyên vật liệu 80000 đồng mét dài, phần cịn lại chi phí ngun vật liệu 40000 đồng mét dài Tính diện tích lớn phần đất mà người rào với chi phí vật liệu 20 triệu đồng Con sơng Câu (4,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D  2;2 , cạnh CD  AB Gọi H hình chiếu D lên cạnh AC M trung điểm HC Biết phương trình đường thẳng DH BM 2x  y   4x  y  61  Tìm tọa độ đỉnh A, B, C hình thang Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC O điểm tùy ý tam giác Gọi M, N, P hình chiếu O lên BC AC AB p cạnh BC, AC, AB Chứng minh , p nửa chu vi r bán    OM ON OP r kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC Câu (3,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a2 b2 c2   3 b  c 2  5bc  c  a 2  5ca  a  b 2  5ab - Hết - SỞ GD&ĐT HÀ NỘI CÁC TRƯỜNG THPT CỤM SÓC SƠN - MÊ LINH KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 NĂM HỌC 2019-2020 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Bài I.1 Nội dung Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số y  x  x  Điểm 2.0 Tập xác định D  5 1 Tọa độ đỉnh I  ;   2 4 0.5 5  Hàm số nghịch biến   ;  đồng biến 2  5   ;  2  Bảng biến thiên 0.5 x y –∞ +∞ 5/2 +∞ +∞ 1.0 Bài I.2 Vẽ đồ thị Tìm m để đường thẳng y  x  m  cắt đồ thị hàm số y  x  x  hai điểm phân biệt Xét phương trình hồnh độ giao điểm x  x   x  m   x2  5x   m  Phương trình có hai nghiệm phân biệt đường thẳng y  m  cắt đồ thị hàm số y  x  x  hai điểm phân biệt 2.0 0.5 0.5 0.5 0.5 m 4 Bài II.1 Giải bất phương trình 14  3x  x   x  Điều kiện: x  Khi m    BPT    3  14  3x    x    3  x  14  3x    14  3x  2.0 0.5  x 1 1    x2  4  x2 0 x 1    3     *   x  2  x2  14  3x 2  14  3x  x   1   Vì biểu thức ngoặc vng 0.5 0.5 0.5 14  3x   14  3x  1  x 1  x  x 1 1 14  3x   14  3x  nên *  x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm S   2;    Bài II.2 2   x  y  xy  xy  Giải hệ phương trình   * 2   xy  x y  xy  11x  28  11y  x  y 2  xy   Hệ *   2  xy  y  x   11 x  y   xy  28 Đặt u  y  x; v  xy 2.0 0.5 0.5 v   u u  v    2 uv  v  11 u  28  u   u     u   11u  28 u  0, v   u  4u  4u    u  2; v  - Với u  0, v   x  49; y  - Với u  2, v   x  3; y  Vậy tập nghiệm 3;1 ;  49; 0.5 0.5  2.0 Bài II.3 Một người có khu đất bãi rộng dọc theo bờ sơng Người muốn làm hàng rào hình chữa E (như hình vẽ) để khu đất hình chữ nhật gồm hai phần để trồng rau chăn nuôi Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng chi phí ngun vật liệu 80000 đồng mét dài, phần cịn lại chi phí nguyên vật liệu 40000 đồng mét dài Tính diện tích lớn phần đất mà người rào với chi phí vật liệu 20 triệu đồng Con sông Gọi x (m) chiều dài hàng rào vng góc với bờ sơng, y (m) chiều dài hàng rào song song với bờ sông 0.5 Theo giả thiết 3x.40000  y.80000  20000000  x  y  500  y  Bài III  x  0, y  0 500  x 0.5 0.5 500 Diện tích khu vườn sau rào S  xy   x  250 x,  x  0.5  500  Xét tam thức f  x    x  250 x  0; , suy diện tích lớn    31250 250 m  x  (m)  3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông A D  2;  , cạnh 4.0 CD  AB Gọi H hình chiếu D lên cạnh AC M trung điểm HC Biết phương trình đường thẳng DH BM x  y   x  y  61  Tìm tọa độ đỉnh A, B, C hình thang D (2;2) C K M H A B 4x+7y-61=0 - Gọi K trung điểm DH  KM đường trung bình tam giác CDH KM  DC Mà AB / / DC ; AB  DC  Tứ giác ABMK hình bình hành 0.5 - Vì AB  AD, KM / / AB nên KM  AD , K trực tâm tam giác ADM  AK  DM  BM  DM 0.5 - Khi đường thẳng DM qua D vng góc BM có phương trình 7x  y    22 31  - Ta có M  DM  BM  M  ;   5 0.5 - Đường thẳng AC qua M vng góc DH có phương trình x  y   Ta  22  có H  AC  DH  H  ;  5  0.5 Vì M trung điểm CH nên C  8;8  0.5 - Đường thẳng AD qua D vuông góc CD có phương trình x  y   Ta 0.5 có A  AD  AC  A  0;  0.5 DC  B  3;7  Vậy A  0;  , B  3;7  , C 8;8 - Vì AB  Bài IV Cho tam giác ABC O điểm tùy ý tam giác Gọi M, N, P hình 3.0 BC AC AB p    chiếu O lên cạnh BC, AC, AB Chứng minh , OM ON OP r p nửa chu vi r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC - Có  BC  AC  AB   - Vì S ABC Bài V 0.5  BC  AC  AB  0.5  BC  AC AB =  BC.OM  AC.ON  AB.OP  ON OP  OM   BC AC AB       BC.OM  AC.ON  AB.OP   OM ON OP   BC AC AB   p2      2SABC  OM ON OP   pr nên suy điều phải chứng minh BC AC AB - Dấu = xảy OM  ON  OP  OM  ON  OP BC.OM AC.ON AB.OP  O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b  c  2  5bc 3 b c  a 2  5ca 3 c a  b 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 3.0 2  5ab Ta có  b  c    b  c  0.5 Suy  b  c   5bc   b  c   5bc   b  2c  c  2b  Do a2 b  c   5bc  Mặt khác a  b  c  a   Tương tự có 0.5 a2  b  2c  c  2b  b  2c c  2b b  2c c  2b   3 a 3 3 0.5 a2 a a2 a 3  3  3 abc abc  b  2c  c  2b   b  c   5bc b2 b ;  abc  c  a   5ca c2  a  b  5ab  3 c abc Do P  3 Dấu = xảy a  b  c Vậy P  3 * Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác, cho điểm theo thang điểm câu 0.5 0.5 0.5 ... CỤM SÓC SƠN - MÊ LINH KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 NĂM HỌC 2019- 2020 Mơn thi: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Bài I.1 Nội dung Lập bảng biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm... I  ;   2 4 0.5 5  Hàm số nghịch biến   ;  đồng biến 2  5   ;  2  Bảng biến thi? ?n 0.5 x y –∞ +∞ 5/2 +∞ +∞ 1.0 Bài I.2 Vẽ đồ thị Tìm m để đường thẳng y  x  m  cắt đồ thị... dài hàng rào vng góc với bờ sông, y (m) chiều dài hàng rào song song với bờ sông 0.5 Theo giả thi? ??t 3x.40000  y.80000  20000000  x  y  500  y  Bài III  x  0, y  0 500  x 0.5 0.5