Đề thi olympic toán 10 năm 2018 2019 trường THPT kim liên hà nội

8 - 2019 Câu ( ) x a) i 18 x x x m m, (1) , (1) m m b) Câu (5 x4 x3 y x3 y xy x a) x2 y ây truy b) Parabol ACB u, cu i c cg m A , B m i tr c AA BB v cao 30 m Chi n A B n n c u b ng 200 m G iQ , P, th , C’, I , J , K dài c a dây cáp treo? M BC a, CA b, AB c b c cos A a c.cos C b.cos B minh r b) Tìm t p h p i Câu Tr a) N M cho MB MC Ox AN d:y M Q Cho x, y , z x MA2 Oxy , cho A(3;1), B( 1; 2) MB Câu thành ph n b ng Các n: QQ , PP , HH , CC ' , II , JJ , KK g i Cho tam giác ABC Câu (4 b) n ng n i n n c u v dây cáp treo Tính t a) Ch cao ng n nh t c a dây truy n c u CC ' m y z x MA PQ : x2 y2 xyz P - z2 xyz ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 Năm học 2018 - 2019 Đáp án Câu Điểm a) Đặt t = + x + − x Đk : ≤ t ≤ t = −1(l ) Phương trình có dạng: t − 2t − = ⇔   t =3 Giải nghiệm x=-3 x=6 1.0 1.0 1.0 b) (1) có nghiệm có phương trình t − 2t =9 − 2m có nghiệm t ∈ 3;3  Xét hàm số f (t = ) t − 2t với t ∈ 3;3  , sử dụng bảng biến thiên ta có ĐK Câu −9 + phương trình có nghiệm ≤ − 2m ≤ 18 − ⇔ ≤ m ≤ a) Ta có: x + x y =( x − xy ) + x3 y Đặt a = x − xy; b = x y Câu 1,0 6,0 1.0 1.0 1,0 a + b =  a = Ta có hệ phương trình:  Suy ra, a − a − = ⇔   a = −2 −a + b =−1   x − xy = x = ±1 ⇔  y =   x y =    −2 Khi đó:    x + x = (v n)   x − xy =−2 ⇔  −    y=  x    x3 y = −2   1,0 1,0 ( x; y ) ∈ {(1;0 ) , ( −1;0 )} 5,0 y B Q A K P I H C 5m y1 B′ Q′ P′ H ′ O I′ J y2 J′ y3 K′ 30m A′ x 200m Giả sử Parabol có dạng: y = ax + bx + c , a ≠ Chọn hệ trục Oxy hình vẽ, parabol qua điểm A (100; 30 ) , có đỉnh 30= 10000a + 100b + c  −b  C ( 0;5 ) Suy ra:  = ⇒ ( P) : y = x + Đoạn AB chia 400  2a 5 = c 1,0 làm phần, phần 25 m 1,0 Khi đó, tổng độ dài dây cáp treo OC + y1 + y2 + y3       =5 +  252 +  +  502 +  +  752 +  = 78, 75 ( m )  400   400   400   a + b2 − c2 a + c2 − b2  (b − c ) − a (b − c ) − b = = VP = a  c  2ab 2ac 2bc   a) (b − c )(b + c − a ) = = (b − c ).c osA 2bc     b) Gọi D xác định hệ thức: DB + DC − DA = Ta có: Câu 1,0 1,0 MB + MC − MA2 = MD + DB + DC − DA2 =   = MD + DB + DC − DB + DC = = MD − AB.AC.cosA ( 4,0 ) 1,0 Nếu A tù, tập hợp điểm M tập ∅ 1,0 Nếu A vuông, tập hợp điểm M { D} ( ) Nếu A nhọn, tập hợp điểm M đường tròn D; AB AC.cos A a) N ∈Ox cho AN nhỏ N hình chiếu A lên Ox N hình 2.0 chiếu A lên Ox.Vậy N(3;0) b) M ∈ d : y = x ⇒ M (m; m) Đường thẳng AM có phương trình (m − 1) x − my − 2m = AM cắt trục hoành P( Câu 2m ;0) m −1 1,0 Đường thẳng MB có phương trình: (m − 2) x − (m + 1) y + 3m = 4,0 3m MB cắt trục tung Q(0; ) m +1 Phương trình PQ: m −1 m +1 x+ y 1(m ≠ ±1; m ≠ 0) = 2m 3m PQ qua I ( x0 ; y0 ) cố định ⇔ (3 x0 + y0 − 6)m − x0 + y0 = 0∀m ≠ ±1;0 1,0  x + y0 = ⇔ ⇔ I (1; ) −3 x0 + y0 = Áp dụng BDDT Cauchy cho số dương: x , y , z , x, y, z ta được: x + y + z + x + y + z ≥ 6 x3 y z = xyz Vì x + y + z = xyz nên ta có: Câu 0,5 x + y + z ≥ xyz Dấu xảy ⇔ x = y = z = x = y = z ⇒ x = y = z = Trái với giả thiết: x + y + z = xyz 2 0,5 1,0 Vậy x + y + z > xyz Ghi chú: Học sinh làm theo cách khác chấm điểm theo bước có lời giải  ...ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10 Năm học 2018 - 2019 Đáp án Câu Điểm a) Đặt t = + x + − x Đk : ≤ t ≤ t = −1(l ) Phương trình... có dạng: y = ax + bx + c , a ≠ Chọn hệ trục Oxy hình vẽ, parabol qua điểm A (100 ; 30 ) , có đỉnh 30= 100 00a + 100 b + c  −b  C ( 0;5 ) Suy ra:  = ⇒ ( P) : y = x + Đoạn AB chia 400  2a... =9 − 2m có nghiệm t ∈ 3;3  Xét hàm số f (t = ) t − 2t với t ∈ 3;3  , sử dụng bảng biến thi? ?n ta có ĐK Câu −9 + phương trình có nghiệm ≤ − 2m ≤ 18 − ⇔ ≤ m ≤ a) Ta có: x + x y =( x − xy