SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HĨA LỚP 10, 11 Khóa thi ngày 03 tháng năm 2019 Mơn thi: Tốn lớp 10 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, khơng kể thời gian giao đề (Đề có 01 trang) Câu I (5,0 điểm) Cho Parabol (P): y x bx c 5 1) Tìm b, c để Parabol (P) có đỉnh S ; 4 2) Với b, c tìm câu Tìm m để đường thẳng : y 2 x m cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông O (với O gốc tọa độ) Câu II (6,0 điểm) 1) Tìm m để bất phương trình: mx m 3 x 2m 14 vô nghiệm tập số thực 2) Giải bất phương trình sau tập số thực: x2 x x x x x y xy xy y 3) Giải hệ phương trình sau tập số thực : x y xy x 1 Câu III (6,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có độ dài cạnh Trên cạnh BC , CA lấy điểm N , M cho BN 1, CM a) Phân tích véc tơ AN theo hai vectơ AB, AC AP AB 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AD, BC AD BC , biết AB BC , AD Đường chéo AC có phương trình x y , điểm M 2; 5 b) Trên cạnh AB lấy điểm P, P A, P B cho AN vuông góc với PM Tính tỉ số thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ đỉnh D biết đỉnh B 1;1 Câu IV (3,0 điểm) ) Cho tam giác ABC có diện tích S bán kính đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức S = R sin A sin B sin C Chứng minh tam giác ABC tam giác 2) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x y z Chứng minh x y z y z x x yz 3) Cho đa thức P x x 2018 mx 2016 m m tham số thực Biết P x có 2018 nghiệm thực Chứng minh tồn nghiệm thực x0 P x thỏa mãn x0 -HẾT - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu MTCT Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………… HƯỚNG DẪN CHẤM HSG 10 NĂM HỌC 2018-2019 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM b / 1/ b 5 1) (2,0 điểm) Đỉnh S ; ( P) b 5 4 c 1 c 2) (3,0 điểm) Pt hoành độ giao điểm (P) : x x 2 x m x 3x m (*) cắt (P) hai điểm phân biệt PT(*) Câu I (5,0 điểm) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 13 4m m 13 ** x1 x2 3 x1 x2 m Giả sử A x1 ; 2 x1 m ; B x2 ; 2 x2 m theo Viet ta có 0,5 0,5 0,5 Ta có tam giác OAB vng 21 O OA.OB x1 x2 2m x1 x2 m m m m Đối chiếu đk (**) ta có đáp số m 21 1) (2,0 điểm) TH 1: m , bpt trở thành 6 x 14 x (không thỏa ycbt) TH 2: m , mx m 3 x 2m 14 VN mx m 3 x 2m 14 CN m m m x ' m 9 m 8m 0,5 hoac m 0,5 0,5 m 9 Vậy m 9 Câu II (6,0 điểm) 2) (2,0 điểm) TH1: x x x x 0,5 x x TH 2: x x Khi đó, bpt x x x x 2 x x 2 0,5 x 2 x 2 x x 2 x 2 x4 x x x x 0,5 Vậy tập nghiệm bất phương trình S ; 0 2,3 4; x y xy x y xy x x y xy xy y 3) (2,0 điểm) Hpt: 2 x y xy x 1 x y xy 0,5 0,5 Đặt a x y, b xy hệ thành a ab b a a 2a a a a 2 2 b b b 3 a b b a 0,5 x2 y a ta có x y b xy +) Với a ta có b +) Với x2 y x; y 0; 1 , 1;0 , 1;0 xy a 2 ta có +) Với b 3 x y 2 x 1 y x y xy 3 x 1 x x Vậy hệ có nghiệm x; y 1;1 , 0; 1 , 1;0 , 1;0 , 1;3 AC AB AB + AC 3 1) (4,0 điểm) a) AN = AB BN = AB x AB 3 x AN PM AN PM AB AC AC AB 3 3 3 2 2x x AB AC AB AB AC AC 9 9 x 1 2x 1 x b) Đặt AP x, x 3 Ta có PM = PA AM AC - Vậy Câu III (6,0 điểm) 0,5 AP AB 15 0,5 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2) (2,0 điểm) Do ABCD hình thang cân nên ABCD hình thang nội tiếp đường tròn tâm O.Do AB BC CD AC đường phân giác góc BAD Gọi E điểm đối xứng B qua AC, E thuộc AD Ta có BE AC BE qua B 1;1 nên phương trình 0,5 BE: 3x y Gọi F AC BE tọa độ F nghiệm x 3y 3 1 F ; Do F trung điểm 2 2 3x y Hệ Của BE E 2; 2 Do M 2; 5 AD phương trình AD: 3x y 14 x 3y A 6;1 3 x y 14 Do A AD AC tọa độ A nghiệm hệ 0,5 Do D AD D 4t ; 2 3t 58 26 12 t D ; 2 AD 4t 3t 3 49 16 t 2 D ; 5 5 Do B,D nằm khác phía với đường thẳng AC nên kiểm tra vị trí tương đối điểm 0,5 2 16 B hai điểm D ta có đáp số D ; 5 5 0,5 1) (1,0điểm) Theo định lí sin ta có : sin A VT = a3 B3 c3 3 ; sin B ;sin C 8R3 8R3 8R3 2 a3 b3 c a b3 c R 3 8R 8R 8R 12 R 0,5 Áp dụng bắt đẳng thức cô – si ta có: a b3 c3 3abc abc 4R abc , dấu “ =” xảy a = b = c ABC Mà S 4R VT 0,5 x y z x2 y z x y z 2) (1,0 điểm) Ta có y z x xy yz zx xy yz zx Câu IV (3,0 điểm) x y z Ta cần chứng minh: xy yz zx Đặt t x y z , t t2 x y z xy yz zx x y z t xy yz zx * 0,5 t2 BĐT * thành t 3 2t 3 (luôn đúng) 0,5 3) (1,0 điểm) Ta có P 1 1, P 1 Giả sử nghiệm thực P x a1 , a2 , , a2018 , tức P x x a1 x a2 x a2018 Khi đó, P 1 1 a1 1 a2 1 a2018 , 0,5 P 1 1 a1 1 a2 1 a2018 hay P 1 1 a1 1 a2 1 a2018 Suy P 1 P 1 1 a12 1 a22 1 a2018 Suy tồn k 1, 2, , 2018 cho a ak Hay tồn nghiệm x0 : ak thỏa mãn điều kiện k x0 0,5 HƯỚNG DẪN CHẤM HSG 10 NĂM HỌC 2017-2018 CÂU Câu I 5,0 điểm NỘI DUNG b / 2a a 4a 2b 1 b 4 Đỉnh S 2; 1 ( P) Pt hoành độ giao điểm (P) : x x kx x k x (*) PT(*) có ac 1 nên k pt ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 theo Viet ta có x1 x2 k Khi tọa độ M, N M x1 ; kx1 , N x2 ; kx2 x1 x2 k ( x1 x2 ) hay ; 2 Gọi I trung điểm MN ta có tọa độ I k k 4k I ; Theo ycbt ta có: ĐIỂM k k 4k ; I d k 3k k k 4 Câu II Bpt: x m 1 x 2m VN x m 1 x 2m có 6,0 điểm nghiệm x (vì a=-1