SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019 - 2020 Mơn thi : Tốn Thời gian : 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi : 10/6/2020 Câu (4,0 điểm) a) Cho hai số thực dương phân biệt a, b Xét hai biểu thức A = a+ b a− b + , a− b a+ b a + b2 Rút gọn biểu thức A tính B theo A a − b2 b) Cho phương trình x −3(m +1) x + 2m2 + 7m − = với m tham số Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt cho bình phương nghiệm ba lần nghiệm lại B= Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình x − x − 10 − x − = 3 2 y − x + 3x y − 3xy = b) Giải hệ phương trình 2 2 x y − x y − y − 8x + y + = Câu (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vng A có AC = 2AB, H chân đường cao vẽ từ A tam giác ABC, D trung điểm HC a) Chứng minh tam giác ADH vuông cân b) Gọi F trung điểm AC, dựng hình vng ABEF Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp đường tròn tính diện tích tam giác ADE AB = cm Câu (4,5 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2a, H điểm nằm đoạn thẳng OA cho HA = 2HO Đường thẳng vng góc với AB H cắt nửa đường trịn cho C Hạ HP vng góc với AC P, HQ vng góc với BC Q a) Chứng minh OC vng góc với PQ b) Gọi I giao điểm OC PQ Tính độ dài đoạn thẳng CI theo a c) Lấy điểm M tia đối tia BA (M khác B), đường thẳng MC cắt nửa đường tròn cho điểm thứ hai D Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác OAC OBD cắt điểm thứ hai K, gọi E giao điểm AD BC Chứng minh bốn điểm A, B, E, K nằm đường trịn KO vng góc với KE Câu (5,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên có chữ số đơi khác có dạng n = COVID19, biết n chia hết cho số COVID số phương chia hết cho b) Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a 2b + ab2 + ab = a + b Tìm giá trị lớn biểu thức A = a b 1+ + 1+ a b b a HẾT (Giám thị khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: ……………………………… Phòng thi: ……… Số báo danh: …… SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2019 - 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm có 06 trang) Câu Đáp án Câu (4,5 đ) a) Cho hai số thực dương phân biệt a, b Xét hai biểu thức A = a + b2 B= Rút gọn biểu thức A tính B theo A a − b2 b ( = ) +( ) Điểm a+ b a− b + , a− b a+ b 2,0 2 ( a + b) a+ b a− + = a−b a −b a− b a+ b (Đúng bước 0,5 điểm; bước 0,25 điểm) 0,75 a + b2 ( a + b ) + ( a − b ) B= 2 = ( a − b )( a + b ) a −b 0,5 Ta có A = a+ b a− b = a +b a −b + a − b a + b 0,25 = A A2 + + = A 4A 0,5 b) Cho phương trình x −3(m +1) x + 2m2 + 7m − = với m tham số Tìm m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt cho bình phương nghiệm ba lần nghiệm lại = 9(m +1)2 − 4.1.(2m2 + 7m − 4) = m2 −10m + 25 = (m − 5) 2,0 (Chỉ cần = m2 −10m + 25 0,25 điểm) + Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt 0,25 (m − 5) m + Với điều kiện m 5, pt cho có hai nghiệm phân biệt là: 3(m +1) − (m − 5) 3(m +1) + (m − 5) x1 = = m + 4, x2 = = 2m −1 2 + Theo đề ta có: (m + 4) = 3(2m −1) m2 + 2m +19 = (VN) (2m −1) = 3(m + 4) 4m − 7m −11= (*) (Đúng bước 0,25 điểm) 11 (*) m = −1 m = (thỏa) 11 Vậy có hai giá trị cần tìm m = −1, m = 0,25 0,25 0,25 0, 0,5 Trang 1/6 Câu a) Giải phương trình x2 − x −10 − x −1 = (1) (4,0 đ) Điều kiện: x t2 +1 t = x − (t 0) x = 2,0 0,25 0,25 + PT (1) trở thành: t + − t + − 10 − 5t = t + t − 5t − 10 = 0,25 (t − 16) + (t − 5t + 6) = (t − 4)(t + 4) + (t − 2)(t − 3) = (t − 2) (t + 2)(t + 4) + t − 3 = (*) 0,5 Vì t nên (t + 2)(t + 4) + t − Do pt (*) có nghiệm t = 0,25 0,25 Suy phương trình cho có nghiệm x = 0,25 * Cách khác: Điều kiện: x x − x − 10 − x − = x − x − 20 − 0,25 ( ) 2x −1 − = 2x − ( x − )( x + ) − =0 2x −1 + ( x − 5) x + − =0 2x −1 + x = 2 x + = (*) 2x −1 + + Vì x nên 2x + 5 Do pt(*) vơ nghiệm 2x −1 + 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 3 2 y − x + 3x y − 3xy = b) Giải hệ phương trình 2 2 x y − x y − y − x + y + = - Xét phương trình y3 − 2x3 + 3x2 y − 3xy = (1) + Với x = thay vào (1) suy y = (khơng thỏa pt cịn lại hệ) 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 2,0 0,25 + Với x : chia vế pt (1) cho x ta phương trình tương đương: y y3 y2 y − + − = , đặt t = phương trình trở thành: x x x x t − 3t + 3t − = (t − 2)(t − t + 1) = t = y = 2x (Không yêu cầu giải thích t − t + ) Thay y = x vào phương trình x y − x y − y − 8x + y + = ta được: x2 x2 − x2 x − x2 − 8x + 16 x + = x4 − x3 − x2 + x + = 0,25 0,25 0,25 Trang 2/6 x2 − x − + 1 1 + = x2 + − x − − = x x x x 0,25 1 1 x − − 2 x − +1 = x x 1 x − =1 x = x 0,25 0,25 Suy hệ phương trình cho có nghiệm: 1+ 1− ( x ; y) = ;1 + , ( x ; y) = ;1 − 0,25 Cách khác: y3 − 2x3 + 3x2 y − 3xy = ( y3 − 8x3 ) − 3x2 y + x3 − 3xy + x2 y = ( y − 2x)( y + xy + x2 ) − 3x2 ( y − 2x) − 3xy( y − x) = y = 2x ( y − x)( x − xy + y ) = 2 x − xy + y = x2 − xy + y = x = y = (khơng thỏa pt cịn lại hệ) 0,25 0,25 0,25 * Có thể biến đổi: y3 − 2x3 + 3x2 y − 3xy = ( x3 + y3 ) − 3x3 + 3x2 y − 3xy = ( x + y)( x2 − xy + y ) − 3x( x2 − xy + y ) = ( y − 2x)( x2 − xy + y ) = Câu Cho tam giác ABC vng A có AC=2AB, H chân đường cao vẽ từ A tam (2,5 đ) giác ABC, D trung điểm HC a) Chứng minh tam giác ADH vuông cân b) Gọi F trung điểm AC, dựng hình vng ABEF Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp đường tròn tính diện tích tam giác ADE AB = cm a) Chứng tam giác ADH vuông cân 2,5 1,0 (Khơng có hình vẽ khơng chấm bài) + Chứng minh hai tam giác AHC BAC đồng dạng AH BA = = + Suy HC AC Suy AH = HC = HD Vậy tam giác AHD vuông cân H * Cách khác: AB = (1) Trong tam giác vuông ABC có: tan ACB = AC 0,5 0,25 0,25 0,25 Trang 3/6 AH (2) HC AH = HC = AH AH = HD Từ (1) (2) suy ra: HC Vậy tam giác AHD vuông cân H + tan ACB = tan ACH = 0,25 0,25 0,25 b) Gọi F trung điểm AC, dựng hình vng ABEF Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp đường trịn tính diện tích tam giác ADE AB = cm + Gọi K trung điểm AH Suy tứ giác BEDK hình bình hành + Mà BE ⊥ AB nên DK ⊥ AB Suy K trực tâm tam giác ABD Suy BK ⊥ AD Mà BK // ED suy ED ⊥ AD Suy tứ giác ABED nội tiếp đường tròn * Cách khác: D nằm đường trịn đường kính BF 0,25 Mà ABEF hình vng nên đường trịn đường kính BF đường trịn ngoại 0,25 tiếp hình vng ABEF Suy tứ giác ABED nội tiếp đường trịn đường kính AE 0,25 * Có thể trình bày sau: 0,5 AEB = ADB = 450 Mà E, D nằm phía AB nên tứ giác ABED nội tiếp đường 0,25 tròn 1 1 1 S ADE = AD.DE ; = + = + = AH = 2 2 AH AB AC 16 16 AD = AH = 32 2 = ED = , ED = AE − AD = − 5 5 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 2 = (cm ) Suy S ADE = AD.DE = 2 5 0,25 Câu Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2a, H điểm nằm đoạn thẳng OA (4,5 đ) cho HA = 2HO Đường thẳng vng góc với AB H cắt nửa đường tròn cho C Hạ HP vng góc với AC P, HQ vng góc với BC Q a) Chứng minh OC vng góc với PQ b) Gọi I giao điểm OC PQ Tính độ dài đoạn thẳng CI theo a c) Lấy điểm M tia đối tia BA (M khác B), đường thẳng MC cắt nửa đường tròn cho điểm thứ hai D Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác OAC OBD cắt điểm thứ hai K, gọi E giao điểm AD BC Chứng minh bốn điểm A, B, E, K nằm đường tròn KO vng góc với KE a) Chứng minh OC vng góc với PQ 4,5 1,5 C x Q J I P A H O B - Hình vẽ phục vụ đến câu b: 0,25 điểm Trang 4/6 + Dựng tiếp tuyến Cx nửa đường tròn (O) Suy ACx = ABC (1) 0,25 Ta có: CPQ + CQP = 900 , ABC + JCQ = 900 , CQP = JCQ Suy CPQ = ABC (2) 0,5 Từ (1) (2) suy ACx = CPQ Do Cx // PQ Mà OC ⊥ Cx nên OC ⊥ PQ b) Gọi I giao điểm của OC PQ Tính độ dài đoạn thẳng CI theo a Gọi J giao điểm hai đường thẳng PQ CH + Chứng minh hai tam giác HCO ICJ đồng dạng CJ CH Suy ra: CI CO = CJ CH CI = CO 2 + CH = CO − OH = a − a = 8a CH = 2a , 9 a CJ = CH = 4a + Suy CI = (Nếu HS không chứng minh OC vng góc với PQ sử dụng giả thiết để làm câu b) 0,25 c) Lấy điểm M tia đối của tia BA (M khác B), đường thẳng MC cắt nửa đường tròn cho tại điểm thứ hai D Hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác OAC OBD cắt tại điểm thứ hai K, gọi E giao điểm của AD BC Chứng minh bốn điểm A, B, E, K nằm mợt đường trịn KO vng góc với KE + Xét cung đường tròn (O): Ta có tứ giác AOKC BOKD nội tiếp nên OKB = ODB = OBD 0,25 1,5 0,5 0,25 0,25 0,5 1,5 0,25 OKA = OCA = OAC AKB = OKB + OKA = OBD + OAC = ( ) 1 1 sd ACD + sdCDB = sd AB + sdCD = 900 + sdCD 2 2 sd CD Suy AKB = AEB Suy bốn điểm A, K, B, E nằm đường trịn Do đó: EKO = EKA − AKO = (1800 − EBA) − ACO = 1800 − ( EBA + CAO) = 1800 − 900 = 900 Suy OK vng góc với KE Ngoài AEB = ADB + CBD = 900 + 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 5/6 Câu a) Tìm số tự nhiên có chữ số đơi mợt khác có dạng n = COVID19, biết n chia hết cho số COVID số chính phương chia hết cho Theo đề ta có: C ; O;V ; I ; D {0;2;3;4;5;6;7;8} COVID = D {0;5} 0,25 + Nếu D =0 COVID số phương nên I = D =0 mâu thuẩn I khác D Suy D = + D = mà COVID số phương nên ID = 25 ( ) 3,0 0,25 0,25 Suy COVID = COV 25 = a5 (a 10) 0,25 COVID = (10a + 5) = 100.a ( a + 1) + 25 0,25 Do COV = a ( a + 1) Mà a ( a + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên V {0;2;6} mà I=2 V {0;6} 0,5 Ta có 100 COV 999 = 10 a 33 Trong số có chữ số khác (khác 2, 5) tích số tự nhiên liên tiếp có chữ số tận có tích sau thỏa mãn: 306 = 17.18; 380 = 19.20; 870 = 29.30 => COV {306;380;870} 0,25 0,75 0,25 Lại có: n = COVID19 = COV 2519 Dễ dàng kiểm tra hai số thỏa mãn thỏa đề 3802519 8702519 b) Cho hai số thực dương a b thỏa mãn a 2b + ab2 + ab = a + b Tìm giá trị lớn 2,0 của biểu thức A = 1+ a + 1+ b a b b a 1 1 = + (1) Ta có: a 2b + ab + ab = a + b + + a b ab a b 1 Đặt = x, = y ( x, y ) a b y x Khi A = x + + y + = x + xy + y + xy x y 0,25 + (1) trở thành: x + y + xy = x2 + y x + y = ( x + y)2 − 3xy Lại có: xy ( x + y)2 3( x + y ) 3xy 4 0,5 3( x + y ) x + y Do x + y ( x + y ) − 0, 1 x( x + y ) + y( x + y) 2 x + ( x + y) y + ( x + y) + = 2.( x + y ) 2 * Có thể dùng BĐT Bunhiacosky: + A= ( A = x + xy + y + xy (12 + 12 ) ( x + xy ) ( + ) y + xy = 2.( x + y ) ) x = y x= y =2a=b= x + y = Dấu xảy 0,25 0,25 Vậy giá trị lớn A a = b = 0,25 (Có sở kết luận cho điểm phần này) Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác Ban Giám khảo thảo luận thống thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm Trang 6/6 ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 20 19 - 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN Mơn: TỐN (Hướng dẫn chấm có 06 trang) Câu Đáp... 0,5 Ta có 100 COV 99 9 = 10 a 33 Trong số có chữ số khác (khác 2, 5) tích số tự nhiên liên tiếp có chữ số tận có tích sau thỏa mãn: 306 = 17.18; 380 = 19. 20; 870 = 29. 30 => COV {306;380;870}... 29. 30 => COV {306;380;870} 0,25 0,75 0,25 Lại có: n = COVID 19 = COV 25 19 Dễ dàng kiểm tra hai số thỏa mãn thỏa đề 38025 19 87025 19 b) Cho hai số thực dương a b thỏa mãn a 2b + ab2 + ab = a +