Bài toán min max liên quan hàm số mũ logarit nhiều biến đặng việt đông

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 MIN-MAX LIÊN QUAN HÀM MŨ, HÀM LƠ-GA-RÍT (NHIỀU BIẾN) DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG + ÁP DỤNG HÀM SỐ + ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ơn thi TN THPT 2020 DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT Câu 1: Xét số thức , , , thỏa mãn > 1, > 1và = = √ Giá trị nhỏ biểu thức = + thuộc tập hợp đây? A (0; 1) B 2; , ; C ; D ; Lời giải Chọn B = ⇒ =√ = √ = √ ⇒ + = (1 + = (1 + = (1 + Câu 2: Cho hai số thực , ) = )+1+ ) = + 3 + lớn Giá trị nhỏ biểu thức ≥ +2 ∈ 2; 3 = + √ A B C D Lời giải Chọn B = Ta có + ( = )+ √ √ + ( =1+ Đặt = Khi + 1) = + + ≥2 Dấu " = " xảy ⇔ Vậy > nên Do , = = + + > + = (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương = ⇔ >0 = ⇔ =± ⇒ >0 =√ ) = ( ), = ( ), = ( Câu 3: Với , , số thực lớn 1, đặt = nhỏ biếu thức = + + A B 12 C 10 D 16 Lời giải Chọn C Ta có = + ; = + ; = + Khi = + +4 = + + + +4 +4 = + + Vì , , > ⇒ = + + > 0; + + > 0; + + > nên + + ≥ 2.2 + 2.2 + 2.1 = 10 =2 = = =1⇔ Vậy = 10 ⇔ ⇔ = = =2 = Câu 4: Xét số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > biểu thức = + thuộc tập hợp đây? A (1; 2) B (2; ) Tìm giá trị C (3; 4) = =√ Giá trị nhỏ D ( ; ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Lời giải Chọn D = Ta có = =√ +2 = + Đặt = ⇔ ) = (1 + ) = + + + = √2 + ∈ ( ; = ⇔ = √2 >0 = √2 + ∈ ; ( Câu 5: Cho , số thực thỏa = A = (1 + = + + ( > 0) Dấu xảy Vậy √ √ +1+ >0⇒ = + + ≥2 = = ⇔ = B = + ) ≤ Khi + C Lời giải đạt giá trị lớn nhất, giá trị = D = Chọn C Xét trường hợp + > log x  y  x  y    x  y  x  y (1) Đặt = + ⇒ = − (1) ⇔ + ( − ) − ≤  10 x  Px  P  P  (2) Δ = − 10( − 2) = − + 10 Nếu Δ < (2) vơ nghiệm Do Δ ≥ ⇔ ≤ ≤ 10 Vậy Khi (2) ⇔ = = ⇒ = ⇒ = = Câu 6: Cho số thực ; thỏa mãn ( − ) A =3 C = 12 +4 + 12 = Giá trị lớn biểu thức = = = 16 B D Lời giải Chọn B Điều kiện ≠ Từ + + 12 = 4suy ra: Nếu = =4⇒ =2 ( − ) ⇔ 4( − ) = Nếu ≠ 0ta có: = ⇒ = 4 ( − ) + + 12 −1 = Đặt = , ∈ ℝ, = ⇔2 ( + + 3) = + 22 + −8 +4 ⇔ (2 − 4) + 2(2 + 4) + − = 0Xét với ( ≠ 2) Để phương trình có nghiệm: ≥ ⇔ (2 + 4) − (2 − 4)(3 − 4) ≥ ⇔ −2(2 ) + 24 ≥ ⇔ ≤ ≤ 12 ⇒ ≤ 12 Vậy = = −2 = −4 = Dấu đẳng thức xảy ⇒ = + + 12 = ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7: Cho , Ôn thi TN THPT 2020   số thực dương, thỏa mãn log x  log y  log 3x  y Tìm giá trị nhỏ 2 =4 + Pmin biểu thức A √5 B √5 C √5 Lời giải: D √5 Chọn A   log x  log y  log x  y  xy  3x  y  x ( y  3)  y Từ đây, , 2 suy > Do đó, ≥4 ≥ = +3+ +3+ + = 5( − 3) + Dấu xảy = + √ , =6+ Câu 8: Cho = nhỏ với > 1, √ = A số thực dương nên ta √ + 27 ≥ 12√5 + 27 > = = B + 16 Tìm = C cho D = + đạt giá trị Lời giải Chọn C Theo giả thiết ta có Suy = ( = + ⇔ ) = (1 + = (3 )⇒ − 1) + ⇔ =3 = (3 − − 1) + Vì > 1, > nên = − > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương ta có: ⇔ = (3 − 1) + Dấu xảy (3 + − 1) = ≥ (3 ⇔ − 1) ( ) ⇔ ≥ 12 = Câu 9: Xét số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > = = Biết giá trị nhỏ biểu thức = + + có dạng + √14 (với , số tự nhiên), tính = + A 48 B 34 C 30 D 38 Lời giải Chọn D ( ) = =4+4 = Theo ta có: = = ⇔ ⇔ ⇔ =4+4 ( ) = = ) = 2(1 + ⇔ ( ) = 1+ )(1 + ) + 6(1 + ) + 8(1 + ) Do đó: = + + = 8(1 + = 16 + +8 +6+6 +8+8 = 30 + 14 + 16 Đặt = Vì , > nên > = Khi = 30 + 14 + ≥ 30 + 14 = 30 + 8√14 Vậy đạt giá trị nhỏ 30 + 8√14 14 = ⇒ = √ hay = √ ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 = 30 ⇒ = + = 38 =8 ( + ) ≥ 1, tìm giá trị lớn Câu 10: Trong nghiệm ( ; ) thỏa mãn bất phương trình biểu thức = + A B C D Lời giải Chọn B ( + ) ≥ ta suy + ≤ Nếu < + < từ giả thiết Nếu + > ta có: ( +2 )≥ 1⇔ +2 ≥3 +2 ⇔ − +2 −2 ≤0 Ta có: ⇔ √3 − √ + √2 − √ ≤ Ta viết lại = + = √3 − √ + √2 √ Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz √3 − √3 ≤ + √2 2√3 √2 − ≤ √2 √2 − √ √3 + + √2 √3 − 2√3 + √2 − √2 = ≤ + = Dấu “=” xảy ( ; ) = Do đạt ( ; ) = Vậy ;1 ;1 Câu 11: Xét số thực , thỏa mãn giá trị nhỏ − = A = B = ( − 1) + ( − 1) = Khi biểu thức = + đạt + √3 với , ∈ ℚ Tính = C = D = Lời giải Chọn C Điều kiện: Khi đó: −1 >0 ⇔ −1>0 ( − 1) + >1 >1 ( − 1) = ⇔ ( − 1)( − 1) = ⇔ Suy ra: = + = + Cách 1: Dùng bất đẳng thức + = 2( − 1) + Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2( − 1) + ⇒ 2( − 1) + ≥ 4√3 ⇒ Dấu “=” xảy ⇔ 2( − 1) = ⇒ = √ +1 = √ −1 = ⇔ = + + ≥ 2( − 1) ≥ 4√3 + ⇔ ( − 1) = ⇔ | − 1| = √3 ⇔ = + √3( ) = − √3( ) √ Do đó: − = + √3 − Cách 2: Dùng bảng biến thiên Ta có: = + +3⇒ ′= 2−( = + √3 ⇒ = 1; = ⇒ = = ) ′=0⇔ = + √3( ) = − √3( ) Bảng biến thiên ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Dựa vào bảng biến thiên, ta có: √3√3 Do đó: − = + √3 − = B √ Câu 12: Xét số thực , thỏa mãn giá trị nhỏ − = A √ Ôn thi TN THPT 2020 = + √3 ⇒ = 1; = ⇒ = = ( − 1) + ( − 1) = Khi biểu thức + √3với , ∈ ℚ Tính = ? = = C = + đạt D = ⇔ = Lời giải Chọn C Khi đó: −1 >0 ⇔ −1>0 ( − 1) + Suy ra: =2 +3 =2 + Điều kiện: >1 >1 ( − 1) = ⇔ ( − 1)( − 1) = ⇔ + = 2( − 1) + −1 = +1 +5 Cách 1: Dùng bất đẳng thức Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 2( − 1) + ⇒ 2( − 1) + Dấu “=” xảy ⇔ 2( − 1) = ⇒ = √ +1 = √ ≥ 2( − 1) ≥ 4√3 ⇒ −1 ≥ 4√3 + ⇔ ( − 1) = ⇔ | − 1| = √3 ⇔ = + √3( ) = − √3( ) Do đó: − = + √3 − √ = + √3 ⇒ = 1; = ⇒ = = Cách 2: Dùng bảng biến thiên Ta có: =2 + +3 ⇒ ' =2−( ) '=0⇔ = + √3( ) = − √3( ) Bảng biến thiên ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A √ Dựa vào bảng biến thiên, ta có: √3√3 √ Do đó: − = + √3 − Ôn thi TN THPT 2020 = + √3 ⇒ = 1; = ⇒ Câu 13: Cho , , số thực dương thỏa mãn 64 + 64 biểu thức = + + A 2020 = + 64 = = Giá trị lớn + 1515 B 2019 C 2021 Lời giải D 2018 Chọn A Áp dụng hệ bất đẳng thức côsi cho số dương ta có: 1 1 1 ( +2 +2 +3 ) + + + ≥ 16 ⇔ ≤ + + 2 +2 +2 +3 16 1 1 1 1 ( + +2 +3 ) + + + ≥ 16 ⇔ ≤ + + + +2 +3 16 1 1 1 1 ( +2 +3 +3 ) + + + ≥ 16 ⇔ ≤ + + 3 +2 +3 +3 16 = Từ suy + Từ giả thiết ta lại có Suy Vậy ≤ ≤4 + + + + 1515 ≤ = 64 + 64 ⇔ + + + 64 ≥ 64 64 64 = = + + Giá trị nhỏ biểu thức B 7; 10) + 1515 = + 1515 = 2020 = 2020 Câu 14: Xét số thực dương , , , , , A 10; 13) + ≤ 2020 + 1515 ≤ Dấu xảy + = ⇔ thỏa mãn + = > 1, ; = ; = > 1, > = = =√ + + thuộc tập hợp đây? C 3; 5) Lời giải D 5; 7) Chọn D Từ giả thiết ta có 1 x  1  log a b  log a c  , y  1  log b a  log b c  , z  1  log c b  log c a  Khi ta có 2 ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 P   log a b  log b a  log a c  log c a  log b c  logc b Vì > 1, > nên log a b  , log b c  , log c a  , log b a  , log c b  , log a c  > 1, Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta loga b  logb a  loga b.logb a hay log a b  log b a  Tương tự log a c  log c a  log b c  log c b  Do ≥ 10 hay ≥ Dấu " = " xảy Vậy giá trị nhỏ Pmin  Câu 15: Cho hai số thực dương , thỏa mãn ( + = = + 2) = + = với , ∈ ℕ, ( , ) = Hỏi biểu thức A B + Giá trị nhỏ + C 12 Lời giải D 13 Chọn D ( + Ta có ⇔ ( = + + 2) = + ⇔ = > 0là giá trị nhỏ Gọi số dương nhỏ để hệ có nghiệm + ) −2 = ⇔ + 2) + ⇒( + Đặt t  x  y   nghiệm dương ⇔ ( = = Từ ( + ) = ( =9 = − 24 ⇔ = + 2) ≥4 ⇔ ( + ) =( + ⇒ + ≥ ≥ Do B = √ = (*) Ta tìm ≥ ≥ 2để (*) có , dấu “=” xảy = 13 Câu 16: Cho số thực dương thỏa mãn + biểu thức = = + 2) = + (2 − ) + + − 20 ≥ ⇔ + =4 ⇒ ( ; ) = (1; 3) Vậy =3 A − − = = Ta có ) + C = 4+9 = + 9√2 .7 Tìm giá trị nhỏ D = √ Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta đặt = − , ∈ ℝ Phương trình + = 4+9 + = (4 + ) .7 ⇔ 4(7 − 49) + 9 trở thành − 49 = Nhận thấy = 2là nghiệm phương trình Ta chứng minh = 2là nghiệm phương trình Xét > 2: > 49và > 49nên vế trái phương trình ln dương, nên phương trình vơ nghiệm Xét < 2: < 49và < 49nên vế trái phương trình ln âm, nên phương trình vơ nghiệm ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vậy =  x −2 =2 ⇔ = thay vào = Ôn thi TN THPT 2020 = 16 16   x   x x Dấu đạt = ⇒ = Câu 17: Xét số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1và = = Biết giá trị nhỏ biểu thức = + + có dạng + √30 (với , số tự nhiên), tính = + A 34 B 36 C 52 D 48 Lời giải Chọn C ( ) = = 6+6 = Theo ta có: = = ⇔ ⇔ ⇔ =6+6 ( ) = = ) = 3(1 + ⇔ ( ) = 1+ )(1 + ) + 6(1 + ) + 2(1 + ) Do đó: = + + = 18(1 + = 18 + 18 + 18 + 18 + + +2+2 = 44 + 24 + 20 Đặt = Vì , > 1nên > = Khi = 44 + 24 + ≥ 44 + 24 = 44 + 8√30 √ Vậy đạt giá trị nhỏ 44 + 8√30khi 24 = ⇒ = hay = 44 Ta có: ⇒ = + = 52 =8 Câu 18: Cho hai số thực ; ; thỏa mãn hệ thức + biểu thức = + + − 22 bằng? A −19 B 12 C −15 Lời giải Chọn A Chúng ta nắm bắt dạng có cách giải sau: + ≤3 + + ⇔ + ≤ + Thế vào biểu thức , ta được: = + (2 − 2) + 2(−5 + 4) − 22 = 55 Vậy giá trị nhỏ là: = −19 +2⇔ = √ ≤3 + + Giá trị nhỏ D = +2 + = ⇔ =2 − −2 =0 =2 −2 = −5 + − 110 + 36 = 55( − 1) − 19 ≥ −19 Câu 19: Cho hai số thực dương , lớn biết phương trình = có nghiệm thực Biết giá trị nhỏ biểu thức P  log a  ab   có dạng với , số tự nhiên log a b phân số tối giản Khi + A 34 B 21 C 23 Lời giải D 10 Chọn C Phương trình tương đương với x   x   log a b   x  x log a b  log a b  Điều kiện để phương trình có nghiệm là:    log a b   8log a b   loga b  ( ) ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông > Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Khi P  log a b  1 = ( ) = + + ≥ log a b Vậy + = 23 Câu 20: Cho số thực , ( ) thỏa mãn điều kiện < +8 A ( ) = (8) = ) ; Ôn thi TN THPT 2020 < = < Tìm giá trị nhỏ biểu thức − B C 3√2 Lời giải D Chọn D = Ta có: =( (3 − 2) ≥ ⇒ Do đó: ≥2 Mà < < ) − 12 + ≥ ⇒ +( ) − 1) + ( − 1) + ( ⇔ =3 > thỏa mãn điều kiện + ? 2020 log 2019 2018  log 2018 2019 ⇔ + B ) ≥ =2 − 1) + ( ) = ) A 2020 log 2019 2018  log 2018 2019 C ( ⇒ − 1) + ( −2=0 −1=( Vậy = Câu 21: Cho số thực , biểu thức = ≤ ≥( −1⇒ > Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: ( Dấu " = " xảy ⇔ ≥6⇒ = ) + ≥ = = 2020 Tìm giá trị lớn  log 2019 2018  log 2018 2019 2020 D 2020 log 2019 2018  2020 log 2018 2019 Lời giải Chọn A Ta có: P  log 2019 a  log 2018 b  log 2019 2018 log 2018 a  log 2018 2019 log 2019 b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta có: P2   log 2019 201010 C 2011 Lời giải + Giá trị nhỏ D 1990 Chọn D  Điều kiện xác định:  Ta có log > 0.(*) =5 +2 −5 + ⇔ log = (5 + + 1) − (5 +5 ) ĐT: 0978064165 - Email: dangvietdong.ninhbinh.vn@gmail.com Facebook: https://www.facebook.com/dongpay - Kênh Youtube: Thầy Đặng Việt Đông Trang 39 ... Trường THPT Nho Quan A Ôn thi TN THPT 2020 Ta xác định rõ hai giao điểm hai đường cong tạo nên miền là: = −1; = ⇒ (−1; 7) = −4 +2 ⇔ = 4; = ⇒ (4; 2) =6− Tiếp ta xử lý tới biểu thức max -min: = + ⇔ =... giá trị nhỏ biểu thức = + Giá trị biểu thức = + bằng: A B C D 11 Lời giải Chọn D Đây dạng tốn max -min miền điển hình log (2 + + 1) ≥ + +1≥ −2 +3 ≥ −4 +2 Từ giả thiết suy ra: ⇔ ⇔ + ≤6 ≤6− ≤6− Chúng... Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 7: Cho , Ôn thi TN THPT 2020   số thực dương, thỏa mãn log x  log y  log 3x  y Tìm giá trị nhỏ 2 =4 + Pmin biểu thức A √5 B √5 C √5 Lời giải: