Bài toán khoảng cách trong không gian phạm hồng phong

BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Loại Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đường thẳng A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) khoảng cách từ điểm tới hình chiếu vng góc lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng) M M H H P Δ Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng  P  Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng  ký hiệu d  M;  ký hiệu d  M;  P   H hình chiếu vng góc M lên  P  d  M;  P    MH H hình chiếu vng góc M lên  d  M;    MH Bài toán bản: Nhiều tốn tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm tới đường thẳng quy tốn sau Bài tốn: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC Cách giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Gọi D chân đường vng góc hạ từ A xuống BC , H chân S đường vng góc hạ từ A xuống SD Ta có +) SA   ABC  BC  SA , lại có BC  AD (do dựng)  BC   SAD  SD  BC  d  S;BC  SD H A C D B +) Từ chứng minh trên, có BC   SAD  AH  BC , lại có AH  SD (do vẽ)  AH   SBC  d  A;  SBC   AH Một số lưu ý * Về cách tính khoảng cách cách gián tiếp +) MN   P   d  M;  P    d  N;  P    M, N   Q   d  M;  P    d  N;  P   +)   Q    P  +) MN   P   I  d  M; P   MI  d  M; Q   NI Trường hợp đặc biệt: I trung điểm MN  d  M;  P    d  N;  P   +) MN    d  M;    d  N;   +) MN    I  d  M;  d  M;   NI MI Trường hợp đặc biệt: I trung điểm MN  d  M;    d  N;   * Về cách sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho hình chóp S.A1A An Ta có d  S,  A1 A A n    3VS.A A A n S A A A n * Khoảng cách từ đường thẳng tới mặt phẳng song song với nó: Cho    P  , M điểm  Khi d  ;  P    d  M;  P   * Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Cho  P    Q  , M điểm  P  Khi THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN d   P  ;  Q    d  M;  Q   B Một số ví dụ Ví dụ [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng  P   Q  vng góc với nhau, cắt theo giao tuyến  Lấy A , B thuộc  đặt AB  a Lấy C , D thuộc  P   Q  cho AC , BD vng góc với  AC  BD  a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng phẳng  BCD  Giải Ta có  P    Q  ,  P    Q    , AC   P  , P C a AC    AC   Q   BD  AC Lại có H A Q BD  AB  BD   ABC  1 Δ a a B Gọi H chân đường vng góc hạ từ A D xuống BC Vì ABC vng cân A nên AH  BC AH  BC  a 2 Từ 1 suy AH  BD  AH   BCD  Do H chân đường vng góc hạ từ A lên  BCD   d  A;  BCD    AH  a 2 Ví dụ [ĐHD12] Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình vng, tam giác A ' AC vng cân, A ' C  a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BCD '  theo a Giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ƠN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN D A A ' AC a a AC  AA '  B C a 2a AB  H D' vuông AC A'C cân (tại A ) nên  a ABC vuông cân (tại B ) nên  a Hạ AH  A ' B ( H  A ' B ) Ta có BC  ABB ' A '  AH  BC , lại có A' AH  A ' B (do dựng)  AH   BCD ' C' B' AH đường cao tam giác vuông ABA '  Vậy d  A; BCD '   AH  AH  a AH  AB  AA '2  a2  21a  2a2  AH  a Ví dụ Cho hình chóp S ABC có SA  3a SA   ABC  Giả sử AB  BC  2a ,  ABC  120 Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Giải Dựng AD  BC ( D  BC ) AH  SD ( H  SD ) S Thật vậy, từ giả thiết ta có CD  SA , lại có CD  AD (do dựng)  CD   SAD   AH  CD , mà 3a AH  SD  AH   SCD   H chân đường H vng góc hạ từ A lên  SBC  A C 120o 2a 2a Ta có AD  AB sin  ABD  2a sin 60  a B D AH đường cao tam giác SAD vuông A nên:  AH  3a Vậy d  A; SBC   AH  3a AH  AS  AD  9a2  3a12  a42 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ví dụ [ĐHD11] Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng B , BA  3a , BC  4a ;   30 Tính mặt phẳng  SBC  vng góc với mặt phẳng  ABC  Biết SB  2a SBC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAC  theo a Giải  SBC    ABC  Hạ SK  BC ( K  BC ) Vì S nên SK   ABC    2a Ta có BK  SB cos SBC 2a 3  3a  KC  BC  BK  4a  3a  a H 30° 4a C D B K Do ký hiệu d1 , d khoảng cách từ điểm B , K tới  SAC  3a d1 d2  BC KC  , hay d1  4d A Hạ KD  AC ( D  AC ), hạ KH  SD ( H  SD ) Từ SK   ABC   AC  SK , lại có AC  KD (do dựng)  AC   SKD   KH  AC , mà KH  SD (do dựng)  KH   SAC   d2  KH Từ ADK  ABA suy ra: CK CA  DK BA  DK  BA.CK CA  a.a 5a  3a ( CA  BA2  BC   3a    4a   5a )   a KH đường cao tam giác vuông SKD nên: KS  SB.sin SBC KH  KD  KS1  925a2  3a12  Vậy d  B;  SAC    d1  4d  KH  6a 7 28 9a2  KH  3a14 Ví dụ [ĐHB11] Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1 D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  a Hình chiếu vng góc điểm A1 lên mặt phẳng  ABCD  trùng với giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1BD  theo a Giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN C1 Đặt I  AC  BD Từ giả thiết suy D1 A1I   ABCD  A1 B1 Đặt J  B1 A  A1 B  J trung điểm B1 A , đồng thời J  B1 A   A1 BD   d  B1;  A1BD    d  A;  A1BD   Gọi H chân đường vng góc hạ từ A J C I B xuống BD Từ A1I   ABCD   AH  A1 H D H a a , lại có (do AH  BD đựng)  AH   A1BD   d  A;  A1 BD    AH A AH đường cao tam giác ABD vuông A nên AH  AB  AD  a2  3a12  3a42  AH  a  d  A;  A1 BD    a Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân B AC  2a SA có độ dài a vng góc với đáy 1) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC 2) Gọi H chân đường vng góc hạ từ A lên SB Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến đường thẳng CH Giải 1) Ta có SA   ABC   BC  SA , từ giả thiết ta có BC  AB  BC   SAB   SB  BC AB  BC  a  SB  SA2  AB  a  2a  a Vậy d  S ; BC   SB  a 2) Gọi H chân đường vng góc hạ từ A lên SB Ở câu trên, S ta chứng minh BC   SAB   AH  BC , lại có AH  SB AH  CH a H A Lại lấy K trung điểm CH K 2a M C AH SA AB   MK song song  MK  CH , MK  B THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG SA2  AB 2 a a a2  a2 DĐ: 0983070744  a 6 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Vậy d  M ; CH   MK  a 6 C Bài tập Bài Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc với Kẻ OH   ABC 1) Chứng minh: H trực tâm ABC 2) Chứng minh: OH  OA  OB  OC2 Bài [ĐHD02] Cho tứ diện ABCD có AD   ABC ; AC  AD  4cm , AB  3cm , BC  5cm Tìm khoảng cách từ A tới mặt phẳng  BCD   120 , BSC   60 , CSA   90 Bài Cho hình chóp S.ABC có SA  SB  SC  a , ASB Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABC Bài Cho tam giác ABC vng A Cạnh AB có độ dài a nằm mặt phẳng   Biết cạnh AC có độ dài a tạo với mặt phẳng    góc 60 , tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng     M điểm nằm    Biết Bài Trong mặt phẳng    cho góc vng xOy MO  23 cm khoảng cách từ M đến Ox , Oy 17 cm Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng    Bài Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Biết AB  cm , BC  cm , CA  cm , SA  cm 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC 2) Tính khoảng cách từ điểm S A đến đường thẳng BC   BAD   90 , Bài [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC BA  BC  a , AD  2a Cạnh SA vng góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD theo a Bài [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B , AB  a , AA'  2a , A'C  3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A'C' , I giao điểm AM A'C Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  IBC theo a THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy 3a , cạnh bên 2a Gọi G tâm đáy, M trung điểm SC 1) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng  ABC 2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  SAG  Bài 10 Cho ABC tam giác vuông cân B , BA  a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng  ABC A lấy điểm S cho SA  a Gọi I , M theo thứ tự trung điểm SC , AB 1) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  ABC 2) Tính khoảng cách từ điểm S I đến đường thẳng CM THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Loại Khoảng cách hai đường thẳng chéo Đường vng góc chung hai đường thẳng A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo a b  Đường thẳng  cắt a , b vuông góc với a , b gọi đường vng góc chung a b  M a Nếu đường vng góc chung cắt a , b M , N b độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai N đường thẳng chéo a b Δ Cách tìm đường vng góc chung hai đường thẳng chéo  Phương pháp tổng quát: Cho hai đường thẳng M a chéo a , b Gọi   mặt phẳng chứa b song song với a , a ' hình chiếu vng góc a lên   Đặt N  a ' b , gọi  đường thẳng qua N vng góc với     đường α N a' b vng góc chung a b Đặt M    a  khoảng cách a b độ dài đường thẳng MN  Trường hợp đặc biệt: Cho hai đường thẳng chéo M a vng góc với a , b Gọi   mặt phẳng chứa b vng góc với a Đặt M  a    Gọi N chân đường vng góc hạ từ M xuống b  MN đường vng góc chung a , b khoảng cách a , b độ α N a' b dài đoạn thẳng MN THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Nhận xét: Cho hai đường thẳng chéo a b Các nhận xét cho ta cách khác để tính khoảng cách a b ngồi cách dựng đường vng góc chung Nếu   mặt phẳng chứa a song song với b khoảng cách hai đường thẳng  khoảng cách b   Nếu   ,    đường thẳng song song với nhau, chứa a , b khoảng cách  hai đường thẳng khoảng cách      B Một số ví dụ Ví dụ [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng có BA  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM B ' C Giải A C M Lấy N trung điểm BB ' , ta có MN đường trung bình tam giác B ' BC  B ' C  MN  B ' C   AMN  Do B d  B ' C; AM   d  B ' C ;  AMN    d  B ';  AMN   N A' C' Lại có BB ' cắt  AMN  N trung điểm BB ' nên d  B ';  AMN    d  B;  AMN   B' Hình chóp B AMN có BA , BM , BN đơi vng góc nên 1 1 a         d  B;  AMN    2 BN a a a a d  B;  AMN   BA BM Vậy d  B ' C ; AM   a Ví dụ [ĐHA06] Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh Gọi M , N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A ' C MN Giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 10 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC D BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ta thấy MN  BC  MN   A ' BC  A N M B C  d  A ' C; MN   d  MN ; A ' BC   d  M ;  A ' BC   H Gọi H chân đường vng góc hạ từ M xuống A ' B Ta D' A' có: BC   ABB ' A '  MH  BC , mặt khác MH  A ' B (do vẽ)  MH   A ' BC   H chân đường C' vng góc hạ từ M xuống  A ' BC  B' MH cạnh góc vuông tam giác vuông cân HBM d  A ' C ; MN    MH  BM a  Vậy a Ví dụ [ĐHA04] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình thoi đường chéo AC  , SO  2 SO vuông góc với đáy ABCD , O giao điểm AC BD Gọi M trung điểm SC Tìm khoảng cách hai đường thẳng SA BM Giải Ta có MO đường trung bình tam giác SAC S  SA  MO  SA   MBD  K M  d  SA; MB   d  SA; MBD   d  S ; MBD  H D C O A B SC cắt mặt phẳng  MBD  trung điểm M SC nên d  S ;  MBD    d  C;  MBD   Gọi K chân đường vng góc hạ từ M xuống SA , đặt H  CK  MO Ta có SO   ABCD   BD  SO , lại có ABCD hình thoi nên BD  AC  BD   SAC   CH  BD 1 MO  SA , CK  SA  CH  MO   Từ 1   suy H chân đường vng góc hạ từ C xuống  MBD  THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 11 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Từ SA  SO  AO    , S SAC  12 AC.SO  12 4.2  suy CH  12 CK  12 S SAC SA  12 2.42 32  Vậy d  SA; MB   Ví dụ [ĐHB02] Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A ' B B ' D Giải M D' Lấy M , N , P trung điểm đoạn thẳng A ' D ' , A' BC , AD Ta thấy A ' MDP BNDP hình bình hành C' nên MD  A ' P , DN  PB   MDNB '    A ' PB  Do B' d  A ' B; B ' D   d   A ' PB  ;  MDNB '    d  D;  A ' PB   D C A P Lại có AD cắt trung điểm P AD  d  D;  A ' PB    d  A;  A ' PB   B N  A ' PB  Hình chóp A A ' PB có AA ' , AP , AB đơi vng góc nên d  A; A ' PB    AA '2  AP  AB  a2  a42  a42  a2  d  A;  A ' PB    a3 Vậy d  A ' B; B ' D   a3 Ví dụ Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh cm Hãy xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD Giải Gọi M , N trung điểm cạnh AB , CD Ta có A ACD BCD tam giác nên CD vuông góc với M AN BN  CD  MN B D N Lại có AN  AN  suy AB  MN MN  AN  AM  54  18   cm  C Vậy MN đường vng góc chung AB , CD khoảng cách chúng MN  cm THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 12 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB  a , BC  2a , cạnh SA vng góc với đáy SA  2a Hãy xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC Giải Lấy điểm D cho ABCD hình chữ nhật  S AB   SCD  Gọi E chân đường vuông góc hạ từ A xuống E SD Ta thấy ABCD hình chữ nhật nên N 2a CD  AD , lại có SA   ABC   CD  SA  CD   SCD   AE  CD 1 Mặt khác D 2a A AE  SD (do dựng)   Từ 1   suy C a M AE   SCD   E hình chiếu vng góc 2a A lên  SCD  B Đường thẳng qua E song song với CD hình chiếu vng góc AB lên  SCD  Đường thẳng cắt SC N Đường thẳng qua N song song với AE cắt AB M  MN đường vng góc chung cần tìm.Tam giác SCD cân A nên E trung điểm SD  N trung điểm SD AM  EN  CD  a  M trung điểm AB Vậy khoảng cách hai đường thẳng AB , CD MN  AE  AD a C Bài tập Bài [ĐHB07NC] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA , M trung điểm AE , N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Bài [ĐHA11] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B , AB  BC  2a ; hai mặt  SAB   SAC  vng góc với mặt phẳng  ABC  Gọi M trung điểm AB ; THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 13 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng  SBC   ABC 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Bài [ĐHA10] Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng  ABCD  SH  a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Bài [ĐHA12] Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc cạnh AB cho HA  2HB Góc đường thẳng SC mặt  ABC  60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA  h SA vng góc với đáy Hãy xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB Bài Trong mặt phẳng  P  cho đường trịn đường kính AB  2R , C điểm chạy đường tròn Trên đường thẳng qua A vng góc với  P  lấy S cho SA  a  2R Gọi E F trung điểm AC SB Xác định vị trí C đường trịn cho EF đường vng góc chung AC SB Bài Cho tứ diện ABCD có AC  AD  BC  BD  a , AB  2m , CD  2n Gọi I , K trung điểm AB CD 1) Chứng minh IK đường vng góc chung hai cạnh AB CD 2) Tính độ dài IK theo a , m n THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 14 ... , M điểm  P  Khi THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN d   P... BCD '  theo a Giải THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN D A A '...  9a2  3a12  a42 THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TỐN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ví dụ [ĐHD11]