Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình phạm huy huân

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Các bước giải tốn cách lập phương trình + Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn ẩn số đặt điều kiện, đơn vị thích hợp cho ẩn, - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết, - Lập phương trình biểu thị tương quan đại lượng + Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình) vừa tìm + Bước 3: Đối chiếu điều kiện trả lời Dạng 1: Bài toán quan hệ số Phương pháp Kiến thức toán quan hệ số: + Biểu diễn số có hai chữ số: ab  10a  b , a chữ số hàng chục, b chữ số hàng đơn vị,  a  9;  b  9; a   ; b   + Tổng hai số x; y là: x+y + Tổng bình phương hai số x; y là: x  y + Tổng nghịch đảo hai số x; y là: 1  x y Ví dụ Tìm hai số biết tổng chúng 19 tổng bình phương hai số 185 Lời giải Gọi số thứ cần tìm x , x  19 , số thứ hai 19  x Vì tổng bình phương hai số 185 nên ta có phương trình x   19  x   185  x  19 x  88  Ta có    19   4.88       , Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  19  19   11; x2  8 2 Với x1  11; x2  (thỏa mãn điều kiện ẩn) Vậy hai số cần tìm 11 Ví dụ [TS10 Cao Bằng, 2018-2019] Trong lúc học nhóm, bạn Nam yêu cầu bạn Linh bạn Mai người chọn số tự nhiên cho hai số tích chúng phải 280 Vậy hai bạn Linh Mai phải chọn số nào? Lời giải Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 Giả sử số bạn Linh chọn số lớn Gọi số bạn Linh chọn x x  ,  x  280  Khi số bạn Mai chọn x  Vì tích chúng phải 280 , Nên ta có phương trình:  x  20 x( x  6)  280  x  x  280    x  20  x  14      x  14 Với x  14 không thỏa mãn điều kiện x   , Suy x  14 loại Với x  14 không thỏa mãn điều kiện x   , Suy x  14 loại Với x  20 thỏa mãn điều kiện toán Vậy số bạn Linh chọn 20 , số bạn Mai chọn 14 , số bạn Linh chọn 14 số bạn Mai chọn 20 Ví dụ Tìm số tự nhiên có hai chữ số Biết chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục đơn vị viết chữ số xen vào hai chữ số số ta số lớn số 280 đơn vị Lời giải Gọi số tự nhiên có hai chữ số cần tìm ab ( a, b   a  ,  b  ) Ta có: ab  10a  b Chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục đơn vị nên ta có phương trình: b  a   a  b  (1) Khi viết chữ số xen vào hai chữ số số ta số a1b  100a  10  b Số lớn số cho 280 đơn vị nên ta có phương trình: (100a  10  b)  (10a  b)  280 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: a  b  a  b  a    (TMĐK)  (100 a  10  b)  (10a  b)  280 90a  270 b  Vậy số cần tìm 38 Ví dụ [TS10 Bình Định, 2018-2019] Tìm số có hai chữ số biết hiệu số ban đầu số đảo ngược 18 (số đảo ngược số số thu cách viết chữ số số theo thứ tự ngược lại) tổng số ban đầu với bình phương số đảo ngược 618 Lời giải Gọi số cần tìm ab ( a, b {1; 2;;9}, a  b ) Khi số đảo ngược ba Vì hiệu số ban đầu số đảo ngược 18 , nên ta có: ab  ba  18 1 Lại có tổng số ban đầu với bình phương số đảo ngược 618 ta có Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP phương trình: ab  (ba )  618 NĂM HỌC 2019 - 2020 2 ab  18  ba ab  ba  18 ab  18  ba  Từ (1) (2) ta có hệ:    2 ab  (ba)  618 18  ba  (ba)  618  ba  ba  600    ab  18  ba ba  24, ab  42    ba  24   ba  25, ab  7  ba  25 Với ab  7 không thỏa mãn toán, suy ab  7 loại Với ab  42 thỏa mãn tốn Vậy số cần tìm 42 Nhận xét: Với toán bạn đọc viết ab  10a  b; ba  10b  a việc giải hệ phương trình trở nên quen thuộc  Bài tập tự luyện Bài Tìm tất số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số tổng bình phương hai chữ số 13 Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số đổi chỗ hai chữ số số nhỏ số ban đầu 18 đơn vị Bài Tìm tất hai số nguyên liên tiếp biết tổng bình phương hai số 221 Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị đơn vị hiệu bình phương hai chữ số Bài Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu số lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số Bài Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số thương số dư Dạng 2: Bài toán chuyển động Toán chuyển động khơng có tham gia dịng nước Phương pháp Một số lưu ý giải toán chuyển động:  S v  t + Công thức: s  v.t   , s quãng đường, v vận tốc, t thời gian t  S  v Ví dụ [TS10 Bắc Giang, 2018-2019] Bạn Linh xe đạp từ nhà đến trường với quãng đường dài 10 km Khi từ trường nhà, cung đường ấy, lượng xe tham gia giao thông nhiều nên bạn Linh phải giảm vận tốc km/h so với đến trường Vì thời Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 gian nhà nhiều thời gian đến trường 15 phút Tính vận tốc xe đạp bạn Linh từ nhà đến trường Lời giải Gọi x (km/h) vận tốc xe đạp Linh từ nhà đến trường ( x  2) Vì Linh phải giảm vận tốc km/h so với đến trường, suy vận tốc xe đạp Linh từ trường nhà là: x  (km/h) Thời gian Linh từ nhà đến trường Thời gian Linh từ trường nhà 10 (h) x 10 (h) x2 Theo thời gian nhà nhiều thời gian đến trường 15 (phút )  phương trình (giờ) , nên ta có  x  10 10 10    x  x  80    x  10  x      x2 x  x  8 Vói x  8 khơng thỏa mãn điều kiện toán, suy x  8 loại Vói x  10 thỏa mãn điều kiện toán Vậy vận tốc xe đạp Linh từ nhà đến trường 10 (km/h) Ví dụ [TS10 Hải Dương, 2018-2019] Quãng đường tỉnh Hải Dương- Hạ Long dài 100 km Một ô tô từ tỉnh Hải Dương đến Hạ Long nghỉ 20 phút, sau trở tỉnh Hải Dương hết tất 12 Tính vận tốc tô lúc đi, biết vận tốc ô tô lúc nhanh vận tốc ô tô lúc 10 km/h Lời giải Gọi vận tốc lúc ô tô x km/h ( x  0) Vận tốc lúc x  10 km/h Thời gian lúc 100 h x Thời gian lúc 100 h x  10 Theo đề ta có phương trình: 100 100 25 100 x  1000 100 x 11    12    x x  10 x( x  10) x( x  10)  600 x  3000  11x  110 x  x  50  11x  490 x  3000    x  50 11x  60      x   60 11  Vói x   60 60 không thỏa mãn điều kiện toán, suy x   loại 11 11 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 Vói x  50 thỏa mãn điều kiện tốn Vậy vận tốc ô tô lúc 50 km/h Ví dụ Hàng ngày, bạn An học từ nhà đến trường quãng đường dài km xe máy điện với vận tốc không đổi Hôm nay, đoạn đường đó, km đầu bạn An với vận tốc khi, sau xe non nên bạn dừng lại phút để bơm Để đến trường ngày, bạn An phải tăng vận tốc lên thêm km/h Tính vận tốc xe máy điện bạn An tăng tốc Với vận tốc bạn An có vi phạm luật giao thơng hay khơng? Tại sao? Biết đoạn đường bạn An khu vực đông dân cư Lời giải Gọi vận tốc xe máy điện An bình thường x (km/h) (x > 0) Vận tốc xe máy điện An tăng tốc x + (km/h) Thời gian An từ nhà đến trường bình thường Đổi phút = Ta có: (h) x h Thời gian An từ nhà đến trường ngày hôm là:   ( h) 60 x 60 x  6 24         x x 60 x  x x  60 x( x  4) 60  x( x  4)  1440  x  x  1440    x  40  x  36    x  40 x = 36 Vói x  40 khơng thỏa mãn điều kiện toán, suy x  40 loại Vói x  36 thỏa mãn điều kiện toán Vậy vận tốc xe máy điện An tăng tốc 36 + = 40 (km/h) Vận tốc khơng vi phạm luật giao thơng khu vực đông dân cư, vận tốc tối đa xe máy điện 40 km/h Ví dụ [TS10 Đồng Nai, 2018-2019] Một xe ô tô xe máy khởi hành lúc từ địa điểm A đến địa điểm B cách 60 km với vận tốc không đổi, biết vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 20 km/giờ xe ô tô đến B sớm xe máy 30 phút Tính vận tốc xe Lời giải Đổi: 30 phút  Gọi vận tốc xe ô tô x (km/giờ) Điều kiện x  20 Vận tốc xe máy x  20 (km/giờ) Thời gian ô tô từ A đến B 60 (giờ) x Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP Thời gian xe máy từ A đến B NĂM HỌC 2019 - 2020 60 (giờ) x  20 Do xe ô tô đến B sớm xe máy 30 phút Nên ta có phương trình: 60 60   x x  20  x  60  x  20 x  2400    x  60  x  40      x  40 Vói x  40 khơng thỏa mãn điều kiện tốn, suy x  40 loại Vói x  60 thỏa mãn điều kiện toán Vậy vận tốc ô tô 60 km/giờ vận tốc xe máy 40 km/giờ Ví dụ Lúc giờ, ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h Khi đến B, người lái xe làm nhiệm vụ giao nhận hàng 30 phút rổi cho xe quay trở A với vận tốc trung bình 30km/h Tính qng đường AB biết ơtơ đến A lúc 10 ngày Lời giải Đổi 30 phút = Gọi độ dài quãng đường từ AB x  km , x   Thời gian từ A đến B với vận tốc 40 km / h x (giờ) 40 Thời gian từ B đến A với vận tốc 30 km / h x (giờ) 30 Thời gian thời gian giao hàng 10   Theo ta có phương trình: x x   4 40 30 Giải phương trình x  60 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy độ dài quãng đường AB 60 km  Bài tập tự luyện Bài [TS10 Bình Phước, 2018-2019] Quãng đường AB dài 50 km Hai xe máy khởi hành lúc từ A đến B Vận tốc xe thứ lớn vận tốc xe thứ hai 10 km/h, nên xe thứ đến B trước xe thứ hai 15 phút Tính vận tốc xe Bài [TS10 Bình Thuận, 2018-2019] Quãng đường AB dài 120 km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 12 km nên đến B trước ô tô thứ hai 30 phút.Tính vận tốc ô tô thứ Bài [TS10 Quảng Ninh, 2018-2019] Một xe ô tô từ A đến B theo đường quốc lộ cũ dài 156 km với vận tốc không đổi Khi từ B A, xe đường cao tốc nên quãng đường giảm 36 km so với lúc vận tốc tăng so với lúc 32 km/h Tính vận tốc tơ từ A đến B, biết thời gian nhiều thời gian 45 phút Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 Bài [TS10 Bình Dương, 2018-2019] Một người dự định xe máy từ tỉnh A đến tỉnh B cách 90 km thời gian định Sau người nghỉ phút Do đó, để đến B hẹn, người phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc lúc đầu người Bài [TS10 Đồng Tháp, 2018-2019] Để chuẩn bị cho mùa giải tới, vận động viên đua xe đạp Đồng Tháp luyện tập leo dốc đổ dốc cầu Cao Lãnh Biết đoạn leo dốc đổ dốc hai bên cầu có độ dài km Trong lần luyện tập, vận tốc vận động viên đổ dốc nhanh vận tốc leo dốc km/h tổng thời gian hoàn thành phút Tính vận tốc leo dốc vận động viên lần luyện tập Bài [TS10 Hải Phòng, 2018-2019] Khoảng cách hai thành phố A B 144 km Một ô tô khởi hành từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc không đổi quãng đường.Sau ô tô thứ 20 phút, ô tô thứ từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc lớn vận tốc ô tô thứ km/h (vận tốc không đổi).Biết hai ô tô đến thành phố B lúc a) Tính vận tốc xe tơ b) Nếu đường có biển báo cho phép xe chạy với vận tốc tối đa 50km/h hai xe ô tô trên, xe vi phạm tốc giới hạn tốc độ? Bài [TS10 Lai Châu, 2019-2020] Quãng đường AB dài 60km, người xe đạp từ A đến B với vận tốc thời gian quy định Sau nửa quãng đường người giảm vận tốc 5km/h nửa quãng đường cịn lại Vì vậy, người đến B chậm quy định Tính vận tốc thời gian quy định người Bài [TS10 Vĩnh Phúc, 2019-2020] Người thứ đoạn đường từ địa điểm A đến địa điểm B cách 78km Sau người thứ người thứ hai theo chiều ngược lại đoạn đường từ B A Hai người gặp địa điểm C cách B quãng đường 36km Tính vận tốc người, biết vận tốc người thứ hai lớn vận tốc người thứ 4km/h vận tốc người suốt đoạn đường không thay đổi Bài Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu Tốn chuyển động có tham gia dòng nước Phương pháp Một số lưu ý giải toán chuyển động:  S v  t + Công thức: s  v.t   , s quãng đường, v vận tốc, t thời gian t  S  v + Khi vật chuyển động mặt nước (có tham gia chuyển động dòng nước) Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP v xu«i  vthùc  vn­íc ; vng­ỵc  vthùc  vn­íc NĂM HỌC 2019 - 2020 v xuôi vngược vthực v v xuôi vngược nước Vớ dụ 10 [TS10 Tiền Giang, 2018-2019] Hai bến sông A B cách 60 km Một ca-nô xuôi dòng từ A đến B ngược dòng từ B A.Thời gian xi dịng thời gian ngược dịng 20 phút.Tính vận tốc ngược dịng ca-nơ, biết vận tốc xi dịng lớn vận tốc ngược dịng ca-nơ km/h Lời giải Gọi x (km/h) vận tốc ngược dịng ca-nơ Suy vận tốc ca-nơ xi dịng ( x  6) km/h Thời gian ca-nơ chạy xi dịng từ A đến B 60 x6 Thời gian ca-nơ chạy ngược dịng từ B A 60 x Do thời gian xi dịng ngược dòng 20 phút nên  x  30(N) 60 60    x  x  1080    x x6  x  36(L) Vậy vận tốc ca-nô ngược dịng 30 km/h Ví dụ 11 Lúc sáng, ca nơ xi dịng từ bến A đến bến B cách 36 km, quay bến A theo dịng sơng đến bến A lúc 11 30 phút Tính vận tốc ca nơ lúc xi dịng, biết vận tốc dòng chảy 6km/giờ Lời giải Gọi vận tốc thực ca nô x  km / h , x   Vận tốc lúc xi dịng ca nô x   km / h  Vận tốc ngược dịng ca nơ x –  km / h  Thời gian ca nô từ A đến B là: Thời gia ca nô từ B A là: 36 (giờ) x6 36 (giờ) x6 Thời gian là: 11giờ 30 phút – 7giờ = 4h30 = Theo ta có phương trình: 36 36   x6 x6 Giải phương trình x1  2; x2  18 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MÔN TOÁN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 Với x  2 không thỏa mãn điều kiện ẩn (loại) Với x  18 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy vận tốc thực ca nô 18km/h, vận tốc ca nơ xi dịng 18+6 = 24km/h Ví dụ 12 [TS10 Điện Biên, 2018-2019] Một bè trôi từ bến sông A đến bến B với vận tốc dịng nước km/h, lúc thuyền chạy từ bến A đến B quay lại gặp bè vị trí C cách bến A km Tính vận tốc thực thuyền biết khoảng cách hai bến A B 24 km Lời giải Gọi vận tốc thực thuyền x km/h, vận tốc xi dịng thuyền ( x  4) km/h, vận tốc ngược dòng thuyền ( x  4) km/h Điều kiện x x  Vì thuyền chạy từ A đến B quay lại gặp bè vị trí C cách bến A km tức thuyền xi dịng 24 km ngược dòng 24   16 km, nên ta có thời 24 16 gian thuyền đến gặp bè  x4 x2 Thời gian bè trôi đến gặp thuyền :  Khi ta có phương trình 24 16 24( x  4)  16( x  4) 2( x  16)  2  x4 x4 x  16 x  16  x  l   24 x  96  16 x  64  x  32 (vì x  4)  x  40 x     x  20  n  Vậy vận tốc thực thuyền 20 km/h  Bài tập tự luyện Bài Một ca nơ chạy xi dịng sơng từ A đến B chạy ngược dịng từ B A hết tất 30 phút Tính vận tốc thực ca nơ biết qng đường sơng AB dài 54km vận tốc dịng nước 3km / h Bài Quãng đường từ A đến B dài 60 km Một ca nơ xi dịng từ A đến B ngược dòng từ B A tổng cộng 8h Tính vận tốc thực ca nơ, biết vận tốc dịng nước km/ h Bài Đị máy xi dịng từ bến A đến bến B hết ngược dòng từ bến B bến A Vận tốc dòng nước 2km/h Tính độ dài qng sơng từ bến A đến bến B Bài Hai địa điểm A B cách 85km Cùng lúc, ca nô xi dịng từ A đến B ca nơ ngược dịng từ B đến A, sau 40 phút gặp nhau.Tính vận tốc thật ca nô biết vận tốc ca nô xi dịng lớn vận tốc ca nơ ngược dòng 9km/h vận tốc dòng nước 3km/h (Vận tốc thật ca nô không đổi) Bài Một canơ xi dịng 45 km, ngược dịng 18 km Biết thời gian xi dịng lâu thời gian ngược dòng vận tốc xuôi lớn vận tốc ngược km/h Tính vận tốc canơ lúc ngược dòng Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 Dạng 3: Toán suất – Khối lượng công việc Phương pháp + Tổng sản phẩm = Thời gian x Số sản phẩm đơn vị thời gian + Số hàng chuyên trở đội xe = Số xe x Số hàng xe + Số trồng lớp = Số học sinh x Số trồng học sinh… Ví dụ 13 Một xưởng có kế hoạch in xong 6000 sách giống thời gian quy định, biết số sách in ngày Để hoàn thành sớm kế hoạch, ngày xưởng in nhiều 300 sách so với số sách phải in kế hoạch, nên xưởng in xong 6000 sách nói sớm kế hoạch ngày Tính số sách xưởng in ngày theo kế hoạch Lời giải Gọi x số sách xưởng in ngày theo kế hoạch ( x nguyên dương) Số ngày in theo kế hoạch: 6000 (ngày) x Số sách xưởng in thực tế ngày: x  300 ( sách) Số ngày in thực tế: 6000 ( ngày) x  300 Do xưởng in xong 6000 sách nói sớm kế hoạch ngày nên ta có phương trình 6000 6000    x  300 x  1800000  x x  300  x1  1200   x2  1500 Đối chiếu điều kiện ta có x  1200 thỏa mãn Vậy số sách xưởng in ngày theo kế hoạch 1200 (quyển sách) Ví dụ 14 [TS10 Bình Phước, 2019-2020] Nông trường cao su Minh Hưng phải khai thác 260 mũ thời gian định Trên thực tế, ngày nông trường khai thác vượt định mức Do đó, nơng trường khai thác 261 song trước thời hạn ngày Hỏi theo kế hoạch ngày nông trường khai thác mũ cao su Lời giải Gọi số mũ cao su ngày nông trường khai thác x (tấn) (Điều kiện:  x  260 ) Thời gian dự định khai thác mũ cao su nông trường là: 260 (ngày) x Trên thực tế, ngày nông trường khai thác được: x  (tấn) Thời gian thực tế khai thác mũ cao su nông trường là: 10 261 (ngày) x3 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP 100  x  100  x x 100 NĂM HỌC 2019 - 2020  121  10000  100x  100x  x  12100  x  200 x  2100   x  10 x  210 x  2100   x x  10   210 x  10    x  10 x  210    x  10 tm  x  10      x  210   x  210  ktm  Vậy lãi suất cho vay ngân hàng 10%/ năm Ví dụ 21 [TS10 Khánh Hòa, 2019-2020] Trung tâm thương mại VC thành phố NT có 100 gian hàng Nếu gian hàng Trung tâm thương mại VC cho thuê với giá 100.000.000 đồng (một trăm triệu đồng) năm tất gian hàng thuê hết Biết rằng, lần tăng giá 5% tiền thuê gian hàng năm Trung tâm thương mại VC có thêm gian hàng trống Hỏi người quản lý phải định giá thuê gian hàng năm để doanh thu Trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng năm lớn Lời Giải Gọi giá tiền gian hàng tăng lên x (triệu đồng) (ĐK: x 0) Khi giá gian hàng sau tăng lên 100  x (triệu đồng) Cứ lần tăng 5% tiền thuê gian hàng (tăng 5%.100  triệu đồng) có thêm gian hàng trống nên tăng x triệu đồng có thêm x gia hàng trống Khi số gian hàng thuê sau tăng giá 100  2x (gian)   Số tiền thu là: 100  x  100  2x   (triệu đồng) 5   u cầu tốn trở thành tìm x để P  100  x  100  2x   đạt giá trị lớn  Ta có: 2x  2x  P  100  x  100    10000  40x  100x    2    x  150x   10000    x  2.75x  752   752  10000 5 2    x  75  12250 Ta có  x  75 2     x  75      x  75 2  12250  12250 15 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 Dấu "  " xảy x  75 Vậy người quản lí phải cho thuê gian hàng với giá 100  75  175 triệu đồng doanh thu trung tâm thương mại VC năm lớn  Bài tập tự luyện Bài Tháng đầu hai tổ sản xuất làm 720 dụng cụ Sang tháng tổ làm vượt mức 12%, tổ vượt mức 15% nên hai tổ làm 819 dụng cụ Hỏi tháng đầu tổ làm dụng cụ? Bài Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch 600 thóc Năm nay, đơn vị thứ làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngối Do đó, hai đơn vị thu hoạch 685 thóc Hỏi năm ngối, đơn vị thu hoạch thóc? Bài [TS10 Cần Thơ, 2019-2020] Đề chuẩn bị tốt cho việc tham gia kỳ thi Tuyển sinh vào lớp 10 THPT, bạn An đến hàng sách mua thêm bút bi để làm tự luận bút chì để làm trắc nghiệm khách quan Bạn An trả cho hàng hết 30000 đồng mua hai bút Mặt khác, người bán hàng cho biết tổng số tiền thu bán bút bi bút chì với tổng số tiền thu bán bút bi bút chì Giá bán bút bi bút chì là: A 12000 đồng 18000 đồng B 18000 đồng 12000 đồng C 16000 đồng 14000 đồng D 14000 đồng 16000 đồng Bài Siêu thị A thực chương trình giảm giá cho khách hàng mua loại túi bột giặt kg sau: Nếu mua túi giảm giá 10.000 đồng so với giá niêm yết Nếu mua túi túi thứ giảm 10.000 đồng túi thứ hai giảm 20.000 đồng so với giá niêm yết Nếu mua từ túi thứ trở lên tú đầu giảm trên, từ túi thứ ba trở đi, tú giảm 20% so với giá niêm yết a) Bà Tư mua túi bột giặt loại kg siêu thị A phải trả số tiền bao nhiêu, biết loại túi bột giặt mà bà Tư mau có giá niêm yết 150 000 đồng/ túi b) Siêu thị B có hình thức giảm giá khác cho loại túi bột giặt là: mua từ túi trở lên giảm giá 15% cho túi Nếu bà Tư mua túi bột giặt bà Tư nên mua siêu thị để số tiền phải trả hơn? Biết giá niêm yết hai siêu thị Bài Năm 2017-2018, trường THCS Tiến Thành gồm có ba lớp 9A, 9B, 9C lớp 9A có 35 học sinh lớp 9B có 40 học sinh Tổng kết cuối năm, lớp 9A có 15 học sinh giỏi, lớp 9B có 12 học sinh đạt loại giỏi, lớp 9C có 20% học sinh đạt loại giỏi tồn khối có 30% học sinh đạt loại giỏi Hỏi lớp 9C có học sinh ? Dạng 4: Bài tốn cơng việc làm chung làm riêng Phương pháp Một số lưu ý giải toán làm chung, làm riêng cơng việc: + Có ba đại lượng tham gia tốn là: Tồn cơng việc Phần công việc làm đơn vị thời gian (năng suất) Thời gian hồn thành cơng việc phần công việc 16 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 + Nếu đội làm xong cơng việc x ngày ngày đội làm làm cơng việc, a ngày x a công việc x + Thường coi tồn cơng việc Ví dụ 22 Hai người thợ sơn nhà Nếu làm ngày xong việc Nếu họ làm riêng người thứ làm chậm người thứ hai ngày Hỏi làm riêng người cần ngày để hồn thành cơng việc Lời giải Gọi thời gian người thứ làm xong cơng việc x (ngày, x   , x  ) Do thời gian người thứ hai làm xong cơng việc x  (ngày) Một ngày người thứ làm công việc x Một ngày người thứ làm công việc x9 Một ngày hai người làm công việc 1   x x9 Ta có phương trình: Biến đổi phương trình x2  21x  54  Giải phương trình ta x1  x2  18 Với x1  không thỏa mãn điều kiện ẩn (loại), x2  18 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy thời gian hai người thợ làm riêng hồn thành cơng việc 18; ngày Ví dụ 23 [TS10 Hà Tĩnh, 2018-2019] Hai người cơng nhân làm chung cơng việc hoàn thành 16 Nếu người thứ làm người thứ hai làm họ làm công việc Hỏi làm người hồn thành cơng việc bao lâu? Lời giải Gọi thời gian người công nhân A làm xong cơng việc x (giờ)  x   Gọi thời gian người cơng nhân B làm xong cơng việc y (giờ)  y  16  Mỗi A làm 1 (công việc), B làm (công việc), hai người làm y x 16 (cơng việc) Ta có phương trình 17 1 1 1      x y 16 y 16 x 1 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP Vì A làm B làm họ làm NĂM HỌC 2019 - 2020 cơng việc nên ta có phương trình 16   (2) x y Thế 1 vào   ta 2 1       x  24 thay vào 1 x 16 x x 24 1 1      y  48 y 16 24 y 48 Đối chiếu với điều kiện ta có thời gian người thứ làm xong cơng việc 24 giờ, người thứ hai 48 Ví dụ 24 Để hồn thành cơng việc, hai tổ phải làm chung Sau làm chung tổ II điều làm việc khác, tổ I cải tiến kỹ thuật với xuất gấp đơi nên hồn thành cơng việc cịn lại Hỏi tổ làm riêng sau xong cơng việc Lời giải Gọi thời gian tổ I làm xong cơng việc x( h ), x  Gọi thời gian tổ II làm xong cơng việc y( h), y  Một tổ I làm Một tổ II làm công việc x công việc y Hai tổ phải làm chung xong cơng việc nên hai tổ 1   x y Ta có phương trình: cơng việc *  1 Sau làm chung hai tổ làm  công việc 10 Tổ I cải tiến kỹ thuật với xuất gấp đơi, tổ làm  x x cơng việc Ta có phương trình: 10 10  1   x  30  x  15 (thỏa mãn toán) x x Thay x  15 vào  *  ta 1 1 1 1         y  10 (thỏa mãn toán) 15 y y 15 y 10 Vậy thời gian tổ làm riêng xong công việc 15;10  Bài tập tự luyện 18 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MÔN TOÁN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 Bài Hai đội công nhân làm chung công việc hồn thành sau 12 giờ, làm riêng thời gian hồn thành cơng việc đội thứ hai đội thứ Hỏi làm riêng thời gian để đội hồn thành công việc bao nhiêu? Bài Hai đội đào mương Nếu đội làm mương thời gian tổng cộng hai đội phải làm 25 Nếu hai đội làm chung cơng việc hồn thành Tính xem đội làm xong mương bao lâu? Bài Hai người thợ làm chung cơng việc 12 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm công việc Hỏi người làm cơng việc xong Bài Hai vòi nước chảy vào bể sau 12 đầy bể Nếu vịi I chảy khóa lại, mở vịi II chảy tiếp 18 đầy bể Hỏi vịi chảy đầy bể? 12 Bài Hai người làm chung cơng việc xong Nếu người làm người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm thời gian để xong công việc? Dạng 5: Bài tốn liên quan đến hình học Phương pháp Một số kiến thức giải toán liên quan đến hình học: + Tam giác có độ dài ba cạnh a , b , c , đường cao h tương ứng với cạnh đáy a đó: Chu vi: C  a  b  c , diện tích: S  ah + Tam giác vng có độ dài ba cạnh a , b , c , đường cao h tương ứng với cạnh huyền a đó: Chu vi: C  a  b  c , diện tích: S  1 ah  bc , định lý Pytago: a  b  c 2 + Hình chữ nhật có hai kích thước a , b đó: Chu vi: C   a  b  , diện tích: S  ab + Hình vng có độ dài cạnh a đó: Chu vi: C  a , diện tích: S  a2 Ví dụ 25 [TS10 Bắc Ninh, 2015-2016] Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28m Đường chéo hình chữ nhật dài 10m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật Lời giải Gọi chiều dài mảnh đất hình chữ nhật a (m) ( < a < 28) Chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật b (m) (0 < a < b) Chu vi mảnh đất hình chữ nhật 28 m nên : (a + b).2 = 28  a + b = 14 (1) 19 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 Đường chéo hình chữ nhật 10 m nên : a  b  102  a  b  100(2) a  b  14 Từ (1) (2) ta có hệ PT  2 a  b  100 Từ (1) => b = 14 – a thay vào (2) : a  (14  a )  100  a  196  28a  a  100  2a  28a  96   a  14a  48   '  49  48  a     b  8(loai )  a     b  6(tm) Vậy chiều dài HCN 8m, Chiều rộng HCN 6m Ví dụ 26 [TS10 Bắc Giang, 2015-2016] Nhà bạn Dũng ơng bà nội cho mảnh đất hình chữ nhật Khi bạn Nam đến nhà bạn Dũng chơi, Dũng đố Nam tìm kích thước mảnh đất biết: mảnh đất có chiều dài gấp lần chiều rộng giảm chiều rộng 2m, tăng chiều dài lên gấp đơi diễn tích mảnh đất tăng thêm 20 m2 Các em giúp bạn Nam tìm chiều dài chiều rộng mảnh đất nhà bạn Dũng Lời giải Gọi chiều rộng mảnh đất x (m) (điều kiện: x > 2) Khi chiều dài mảnh đất là: 4x (m) Diện tích mảnh đất nhà bạn Dũng là: 4x2 (m2) Diện tích mảnh đất sau giảm chiều rộng 2m tăng chiều dài lên gấp đôi là: 8x.(x – 2) (m2) Theo ta có phương trình: 8x.(x – 2) – 4x2 = 20 Giải phương trình ta x = x = -1 Đối chiếu với điều kiện ta x = Vậy chiều rộng mảnh đất 5m chiều dài mảnh đất 20m Ví dụ 27 [TS10 Vĩnh Phúc, 2018-2019] Cho mảnh vườn hình chữ nhật Biết giảm chiều rộng m tăng chiều dài thêm m diền tích mảnh vườn giảm 54 m so với diện tích ban đầu, tăng chiều rộng thêm m giảm chiều dài m diện tích mảnh vườn tăng 32 m so với diện tích ban đầu Tính chiều rộng chiều dài ban đầu mảnh vườn Lời giải Gọi chiều rộng chiều dài ban đầu mảnh vườn hình chữ nhật x , y (m) (điều kiện y  x  , y  ) Diện tích ban đầu mảnh vườn xy (m ) 20 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 Sau giảm chiều rộng m, tăng chiều dài m diền tích mảnh vườn giảm 54 m so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình xy  ( x  3)( y  8)  54 (1) Sau tăng chiều rộng thêm m giảm chiều dài m diện tích mảnh vườn tăng 32 m so với diện tích ban đầu nên ta có phương trình ( x  2)( y  4)  xy  32 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:  xy  ( x  3)( y  8)  54 8 x  y  30  x  15   (thỏa mãn)  ( x  2)( y  4)  xy  32 2 x  y  20  y  50 Vậy chiều rộng mảnh vườn 15 m chiều dài mảnh vườn 50 m Ví dụ 28 [TS10 Kon Tum, 2019-2020] Ơng Khơi sở hữu mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 100m Ông ta định bán mảnh đất với giá thị trường 15 triệu đồng cho mét vuông Hãy xác định giá tiền mảnh đất biết chiều dài gấp bốn lần chiều rộng Lời giải Gọi chiều rộng mảnh đất x (m, < x < 50) Chiều dài mảnh đất 4x (m) Chi vi mảnh đất 100m :  x  x  100  5x  50  x  10 Vậy chiều rộng mảnh đất 10m, chiều dài mảnh đất 40m Diện tích mảnh đất : 40.10 = 400m2 Giá tiền mảnh đất : 400x150000000 = 6000000000 đồng = tỷ (đồng) Ví dụ 29 Thực kế hoạch xây dựng trường trọng điểm chất lượng cao Một trường trung học sở cải tạo mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 40m Nhà trường xây dựng bể bơi hình chữ nhật có diện tích 6000m2 khn viên mảnh vườn Phần đất lại vừa đủ để làm lối rộng 10m xung quanh bể bơi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Lời giải Gọi chiều dài mảnh vườn x (m) , điều kiện: x > 40 Do chiều dài chiều rộng 40m nên chiều rộng mảnh vườn x-40 (m) Vì lối rộng 10m xung quanh bể bơi nên: Chiều dài bể bơi x-20 (m) 6000 m2 Chiều rộng bể bơi x-60 (m) Suy diện tích bể bơi là: (x-20)(x-60) (m2) Mà diện tích bể bơi 6000m2 nên ta có phương trình: (x-20)(x-60) = 6000 21 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP Giải phương trình tìm NĂM HỌC 2019 - 2020 x1 = -40; x2 =120 Với x  40 không thỏa mãn điều kiện ẩn (loại) Với x  120 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy chiều dài mảnh vườn 120 m chiều rộng mảnh vườn 120 – 40 = 80 (m)  Bài tập tự luyện Bài Cho tam giác vng có cạnh huyền 20cm Hai cạnh góc vng có độ dài 4cm Tính độ dài cạnh góc vng tam giác vng Bài [TS10 Đà Nẵng, 2018-2019] Cạnh huyền tam giác vuông 17 cm Hai cạnh góc vng có độ dài cm Tính diện tích tam giác vng Bài [TS10 Tun Quang, 2018-2019] Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng m Nếu tăng chiều dài thêm 10 m chiều rộng thêm m diện tích mảnh vườn tăng gấp đơi.Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn Bài [TS10 Đắk Nơng, 2019-2020] Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 1200 m Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật đó, biết chiều dài chiều rộng 10 m Dạng 6: Tốn liên hệ thực tế Ví dụ 30 Nhà Mai có mảnh vườn trồng rau cải bắp Vườn đánh thành nhiều luống, luống trồng số cải bắp Mai tính rằng: tăng thêm luống rau luống trồng số rau tồn vườn cây; giảm luống luống trồng tăng thêm số rau tồn vườn tăng thêm 15 Hỏi vườn nhà Mai trồng cải bắp? Lời giải Gọi số luống rau vườn x (luống) , x  5, x  N * Gọi số rau cải bắp luống y (cây) , y  2, y  N * Số rau cải bắp vườn x y (cây) Nếu tăng thêm luống số luống là: x+7 (luống), luống giảm số luống là: y-2 (cây) Theo ta có pt:  x    y    x y   x  y  5 (1) Nếu giảm luống số luống là: x-5 (luống), luống tăng số luống là: y+2 (cây) Theo ta có pt:  x    y    x y  15  x  y  25 (1)  x  y  5 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình   x  y  25 Giải hệ tìm x  50; y  15 ( thoản mãn điều kiện) Vậy vườn nhà Mai trồng 750 cải bắp Ví dụ 31 [TS10 Bắc giang, 2019-2020] 22 Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 Đầu năm học, Hội khuyến học tỉnh tặng cho trường A tổng số 245 sách gồm sách Toán sách Ngữ văn Nhà trường dùng số sách Toán số sách Ngữ văn để phát cho bạn học sinh có hồn cảnh khó khăn Biết bạn nhận sách Toán sách Ngữ văn Hỏi Hội khuyến học tỉnh tặng cho trường A loại sách quyển? Lời giải Gọi số sách Toán sách Ngữ văn Hội khuyến học trao cho trường A x, y (quyển),  x, y    * Vì tổng số sách nhận 245 nên x  y  245 1 Số sách Toán Ngữ văn dùng để phát cho học sinh x y (quyển)  x  y  245  Ta có hệ   x  y  x  140 Giải hệ nghiệm    y  105 Kết luận: Hội khuyến học trao cho trường 140 sách Toán 105 sách Ngữ văn Ví dụ 32 Để chuẩn bị tham gia thi đấu thể thao nhà trường tổ chức Thầy giáo chủ nhiệm lớp 9A tổ cho học sinh lớp thi đấu cầu lông nội dung đánh đôi nam nữ (một nam kết hợp nữ) để chọn đội thức Thầy chủ nhiệm chọn số học sinh nam kết hợp với số học sinh nữ lớp để lập thành cặp thi đấu Sau chọn số cặp đơi lớp 9A lại 16 học sinh làm cổ động viên Hỏi lớp 9A có tất học sinh? Lời giải Gọi số học sinh nam lớp 9A x ( học sinh) Điều kiện: x  N * Số học sinh nữ lớp 9A : y ( học sinh) Điều kiện: y  N * Số học sinh lớp 9A : x  y ( học sinh) 5 số học sinh nam kết hợp với số học sinh nữ thành cặp đơi thi đấu nên ta có x  y 8 hay x  y  (1) Số học sinh lại lớp : ( x  y )  ( x  y )  x  y 8 Vì lớp 9A lại 16 học sinh làm cổ động viên nên ta có phương trình : 23 x  y  16 (2) Phạm Huy Huân SĐT 0982.176.117 https://www.facebook.com/profile.php?id=100023259846258 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ HỌC MÔN TOÁN LỚP NĂM HỌC 2019 - 2020 1  x  y  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :   x  y  16  Giải hệ PT ta : x  20; y  16 (thỏa mãn điều kiện) Vậy số học sinh lớp 9A : 20  16  36 học sinh Ví dụ 33 [TS10 Bến Tre, 2019-2020] Sau Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2019-2020, học sinh hai lớp 9A 9B tặng lại thư viện trường 738 sách gồm hai loại sách giáo khoa sách tham khảo Trong đó, học sinh lớp 9A tặng sách giáo khoa sách tham khảo; học sinh lớp 9B tặng sách giáo khoa sách tham khảo Biết số sách giáo khoa nhiều số sách tham khảo 166 Tính số học sinh lớp Lời giải  * Gọi x, y số học sinh lớp 9A, 9B x, y    Theo đề ta có hệ pt:  x  y  82  x  42   3x  y  166  y  40 Vậy số học sinh lớp 9A 42; lớp 9B 40 Ví dụ 34 Một nhóm gồm 31 học sinh tổ chức chuyến du lịch (chi phí chuyến chia cho bạn tham gia) Sau hợp đồng xong, vào chót có bạn bận việc đột xuất khơng nên họ khơng đóng tiền Cả nhóm thống bạn cịn lại đóng thêm 18000 đồng so với dự kiến ban đầu để bù lại cho bạn khơng tham gia Hỏi tổng chi phí chuyến bao nhiêu? Lời giải Số tiền lớp phải đóng bù:  31    18.000  504.000 ngàn Số tiền học sinh phải đóng: 504.000   168.000 ngàn Tổng chi phí ban đầu là: 168.000  31  5.208.000 ngàn Ví dụ 35 : [TS10 Đồng Tháp, 2019-2020] Chiều cao trung bình 40 học sinh lớp 9A 1,628 m Trong chiều cao trung bình học sinh nam 1,64m chiều cao trung bình học sinh nữ 1,61m Tính số học sinh nam, số học sinh nữ lớp 9A Lời giải * Gọi số học sinh nam số học sinh nữ lớp 9A x, y (x,y  ,x,y