270 bài tập NÂNG CAO TOÁN 9

270 BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd) ≤ (a2 + b2) (c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥ a+b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh: a + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết rằng: a+b > a−b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho:a) | 2x – | = | – x | – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – b) x2 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = A= 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : x − 4x + 17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính): a) c) + 15 23 − 19 b) 27 d) 17 + + và 45 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn nhỏ 19 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x 2y với điều kiện x, y > 2x + xy = S= 21 Cho 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − Hãy so sánh S 1998 1999 22 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vô tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh rằng: a) c) x y + ≥2 y x  x y4   x y   x y   + ÷−  + ÷ +  + ÷ ≥ x  y x  y x y b)  x y2   x y   + ÷−  + ÷ ≥ x  y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ: a) 1+ m+ b) n với m, n số hữu tỉ, n ≠ 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không? x y x y2 + + ≥ 3 + ÷ y x y x 26 Cho số x y khác Chứng minh : 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : x y2 z2 x y z + + ≥ + + y2 z2 x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh rằng: [ x ] + [ y] ≤ [ x + y] A= 32 Tìm giá trị lớn biểu thức: A= 33 Tìm giá trị nhỏ của: x y z + + y z x x − 6x + 17 với x, y, z > 34 Tìm giá trị nhỏ của: A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ không : a) ab a b b) a + b số vô tỉ a b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh: 39 Chứng minh [ 2x ] 2[ x ] a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a+b 2[ x ] + 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x − B= x + 4x − C= x − 2x − 1 D= 1− x − E= x+ + −2x x G = 3x − − 5x − + x + x + 42 a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy nào? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M = x + 4x + + x − 6x + c) Giải phương trình: 43 Giải phương trình: 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 2x − 8x − x − 4x − = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + E= B= 2x + + x 45 Giải phương trình: 1 − 3x G= C = − − 9x x + x−2 x −4 D= x − 5x + H = x − 2x − + − x x − 3x =0 x −3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A= x +x B = 3− x + x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : +1 a = + b= 48 So sánh : a) − 13 + −1 n + − n + c) b) n+1 − n (n số nguyên dương) 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 50 a) Tính 4−2 b) : 11 + c) d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 27 − 10 e) B = n + n − + n − n − (n ≥ 1) 41 M= 45 + 41 + 45 − 41 51 Rút gọn biểu thức: 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức: biểu thức: (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhỏ P = 25x − 20x + + 25x − 30x + 54 Giải phương trình sau: a) x2 − x − − x − = b) x − + = x c) x2 − x + x2 + x − = d) x − x − 2x + = h) e) x + 4x + + x − = x − 2x + + x − 6x + = i) k) x + − x − + x + − x − = g) x − + x − = −5 x + + − x = x − 25 l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện: xy = x > y CMR: x + y2 ≥2 x−y 56 Rút gọn biểu thức: a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 2+ = 57 Chứng minh + 2 d) 227 − 30 + 123 + 22 58 Rút gọn biểu thức: a) C = 6+2 ( ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − 59 So sánh: a) + 20 1+ 60 Cho biểu thức: b) 17 + 12 A = x − x − 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau: +1 c) 28 − 16 −2 a) 11 − 10 b) c) − 14 + 11 + − + + + − + 10 62 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 63 Giải bất phương trình: 64 Tìm x cho: x − 16x + 60 < x − x2 − + ≤ x2 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x + y2 , biết rằng: x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = x − 2x − 16 − x b) B = + x − 8x + 2x + A= 67 Cho biểu thức: x + x − 2x x − x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số: 9) 0,9999 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: A = | x với | x | + | y | = (20 chữ số | + | y–1 | 70 Tìm giá trị nhỏ A = x + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : lớn ? 72 Cho biểu thức cách 73 Tính : n + n + n+1 (n số nguyên dương), số A = 7+4 + 7−4 Tính giá trị A theo hai ( + + 5)( + − 5)( − + 5)(− + + 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ: 75 Hãy so sánh hai số: 76 So sánh 3+ ; a = 3 − b=2 − 4+ − 4− − Q= 77 Rút gọn biểu thức : + ; 78 Cho thức bậc hai ( a+ b x − y2 + y − x = A = 1− x + 1+ x 80 Tìm giá trị nhỏ lớn của: 81 Tìm giá trị lớn của: Hãy biểu diễn P dạng tổng 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết rằng: M= +1 số + 3+ + +4 2+ 3+ P = 14 + 40 + 56 + 140 − ; 2 +3 ) với a, b > a + b ≤ 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd 82 CMR số có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức: 84 Cho y = z N = + + + 18 x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2) …(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài thành tam giác A= 88 Rút gọn : a) B= ab − b a − b b b) a, b, c (x + 2) − 8x x− x a2 + 89 Chứng minh với số thực a, ta có: có đẳng thức? 90 Tính: A = 3+ + 3− 91 So sánh: a) P= 92 Tính: + 2+ 93 Giải phương trình: + ≥2 Khi hai cách +5 6,9 2+ a2 +1 b) 13 − 12 7− 2− − 2− x + + 2x − + x − − 2x − = 2 lập 228 a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm x , x x x (3 – x) Áp , (3 – x) ta : x x   + + 3− x ÷  ÷ =1 x x  ÷   2 (3 – x) ≤ Do A ≤ (1) b) Xét x > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận x  = 3− x maxA = ⇔  ⇔ x= x ≥ 229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b) = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x + 1+ − x + 3.3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt ; x + = z2 x− = y ; x+1= z Khi x – = y2 nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ : y + z = (2)  z − y = (3) z ≥ (4)  Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y – y2 + 6y – = ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = ⇔ y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : 1 + = 2 b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà Bình phương hai vế : a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) a+ b = Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b) + (a + b)2 – 4ab ⇒ 2(a + b) = Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn 231 a) Giả sử số hữu tỉ m n (phân số tối giản) Suy = Hãy chứng minh m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết phân số tối giản b) Giả sử m3 = n3 ( 2+ ) số hữu tỉ + = + 3.3 m n m3 n3 m n (phân số tối giản) Suy : m 6m = 6+ ⇒ m3 = 6n3 + 6mn2 (1) ⇒ m3 M2 ⇒ mM2 n n Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ⇒ n3 chia hết cho ⇒ n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết giản m n phân số tối 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng a+ b+ c ≥ abc minh tương đương với 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = sbt) x3 + y3 + z3 ≥ xyz hay x3 + y + z – (x + y + z)[(x – y) + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : a+ b+ c ≥ abc Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : a+ b+ c + d 1 a+ b c+ d  =  + ÷≥ 2 2  ( ) ab + cd ≥ ab cd = abcd Trong bất đẳng thức  a+ b+ c + d   ÷ ≥ abcd   d= , đặt a+ b+ c ta : a+ b+ c   a + b + c +  ÷ ≥ abc a + b + c ⇒  a + b + c  ≥ abc a + b + c  ÷  ÷ 3    ÷   Chia hai vế cho số dương a+ b+ c (trường hợp số a, b, c 0, toán chứng minh) : a+ b+ c  a+ b+ c  ≥ abc  ÷ ≥ abc ⇔   Xảy đẳng thức : a = b = c = a+ b+ c ⇔ a=b=c=1 b c d a + + ≤ 1− = b+ c+ d + a+ a+ 233 Từ giả thiết suy : đẳng thức Cauchy cho b c d bcd ≥ + + ≥ 3.3 a+ b+ c + d + (b + 1)(c + 1)(d + 1) số Áp dụng bất dương : Tương tự : acd ≥ 3.3 b+ (a + 1)(c + 1)(d + 1) abd ≥ 3.3 c+ (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc ≥ 3.3 d+ (a + 1)(b + 1)(c + 1) 1≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ Nhân từ bốn bất đẳng thức : 234 Gọi x2 y2 z2 A= 2+ 2+ y z x 81 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :  x2 y2 z2  x y z 3A =  + + ÷(1+ 1+ 1) ≥  + + ÷  y z x y z x  Áp dụng bất đẳng x y z x y z + + ≥ 3.3 = y z x y z x thức (1) Cauchy với ba số không âm (2) Nhân vế (1) với (2) :  x y z  x y z x y z 3A  + + ÷ ≥ 3 + + ÷ ⇒ A ≥ + + y z x  y z x  y z x : x = 3 + 3 ; y = 3− 3 235 Đặt ta : x3 + y3 = (1) Xét hiệu b – a3 , b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1  1 2+ + + n  1+ ÷ = 1+ n + n 2! n 3! n n! n  n < 1 1 1+ 1+  + + + ÷ n!   2! 3! Dễ dàng chứng minh : = 1 1 1 + + + ≤ + + + = 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 1− + − + + − = 1− < 2 n−1 n n Do b) Với n = 2, ta chứng minh ( 3) > ( 2) ( (1) ⇔ ⇔ > 2 Với n ≥ 3, ta chứng minh (2) ⇔ (1) Thật vậy, n n+1 3> (1+ )n < n ) n+1 n(n+1) < ( n) n n(n+1) n > n+1 n + (2) Thật : n n+1 ⇔ (n + 1) < n n (n + 1)n  1 ⇔ < n ⇔  1+ ÷ < n n n  n (3) n Theo câu a ta có  1  1+ ÷ <  n , mà ≤ n nên (3) chứng minh Do (2) chứng minh ) ( A = x2 + 1+ x4 + x2 + ≥ 237 Cách : A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A ≥ 24 (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) = 24 x4 + x2 + ≥ A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x 2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : x x   + + x − 2÷ A x x  2x −  − = (x − 2) ≤  ÷ =  ÷ ≤ 2 3    ÷   - A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x2 ≤  x2 x2 2 + + − x 2  ÷ x x A = x4(9 − x2 ) = (9 − x2) ≤ 4 2 ÷ = 4.27 2  ÷ ÷   max A = 6 với x = ± 240 a) Tìm giá trị lớn : Cách : Với ≤ x < A = x(x2 – 6) ≤ Với x ≥ ≤ Ta có ⇒ ≤ x ≤ ≤ x2 ≤ ⇒ ≤ x2 – Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 2 )2 - 2 )(x2 - ≥ -4 A = - )3 – 6x – (2 )3 == (x + 2 )(x2 - x + 8) – 6x - 16 = (x + 2 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 +2 ≥ Suy x3 – 6x ≥ - x3.2 2.2 x = 6x A = - x với x = Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : x 3-2x 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 x 3-2x x x x x  4x + 3− 2x + 3− 2x   ÷   4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ ⇔ 4x = – 2x ⇔ x = = max V = 2 Thể tích lớn hình hộp dm cạnh hình vng nhỏ dm 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 số : ; ; 10 b) Đặt c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± − x = a; x − 1= b Đáp 2x − d) Đặt = y Giải hệ : x + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x + xy + y2 + 2) = ⇔ x = y Đáp số : ; −1± e) Rút gọn vế trái : g) Đặt ( x − x2 − − x = a; x − = b thành : = a3 − b3 Đáp số : x = Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải phương trình cho a− b a+ b ) a3 − b3 Phương trình cho trở Do a3 + b3 = nên a − b a3 − b3 = a + b a3 + b3 ⇒ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = h) Đặt (2) x + 1= a ; x − 1= b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho x+ x+1 x+ = a; =b x+ x+ Đặt nghiệm Cách : Đặt hai vế ta : x+ y3 – + y3 + + Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô = y Chuyển vế : y6 − y3 − + y3 + = −y (- y) = - y3 ⇔ y3 = y Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y = = y6 – Vô n0 y6 − y6 − Lập phương Lập phương : y6 Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng : x x+1 x+ x+ Vế trái x < -2 < -1 < < < x > -x > -1 > > > k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), (2) mn ≤ Theo bất 3= đẳng thức m+ n , ta = có a + b 1+ a 1+ b + + = 2 a b + a + b ≤ = a + b + 1≤ Cauchy ab + a + b 1+ a 1+ b a+ b + + 1= + 2= 2 Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a− x = m ≥ ; b − x = n ≥ m4 + n4 = a + b – 2x m4 + n4 Phương trình cho trở thành : m + n = Nâng lên lũy thừa 2 bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m + 3mn + 2n ) = Suy m = n = 0, m, n > 2m + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) Đặt (x = a =x; 3b=y + y ) − (xy) 2 x + xy + y 2 , ta có : (x = x + x y + y x + 2x y + y − 2x y A= = x + xy + y x + xy + y + y + xy ) ( x + y − xy ) x + y + xy 2 = x + y − xy = Vậy : A = a + b − ab (với a2 + b2 ≠ 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = x2 − x + + x2 + x + ≥ = x4 + x2 + ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) = Đẳng thức xảy : 2  x + x + = x − x + ⇔ x=0   x + x + = Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ⇔ x = 245 Vì + nên ta có : 3(1 + 3 nghiệm phương trình 3x + ax2 + bx + 12 = 0, )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z q = 2a + b + 18∈ Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q Nếu q ≠ p = =- p q = , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy Vậy + nghiệm phương trình 3x + ax2 + bx + 12 = : 4a + b + 42 =  2a + b + 18 = Suy a = - 12 ; b = 246 Giả sử số hữu tỉ p q ( p q phân số tối giản ) Suy : = p3 q3 Hãy chứng minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết phân số tối giản 1+ = 247 a) Ta có : b) = 1+ 2 + = + 2 ( + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 Do : (1+ ) + − = −1 p q ) =1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a ⇔ a3 – 6a – 40 = ⇔ (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a + 4a + 10 > nên ⇒ a = 249 Giải tương tự 21 250 A = + 3− 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3+39 Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 – 9x – 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A – B) = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 b) Đặt u = x- , v=x- c) Đặt : x + 32 = y > , ta : u = v +   v = u + Kết x = ± A= x3 +1 +1 + 254 Đưa biểu thức dạng : +|B|≥|A+B| ⇔ A = ⇔ u=v=-2 ⇒ x= x3 + −1 Áp dụng | A | -1 ≤ x ≤ 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt x = y P= x = y2 ( x − a) 258 Ta có : x | = b – a (a < b) + ⇒ P = 23 x + ( x − b) =|x–a|+|x–b|≥|x–a+b– Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ⇔ a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ⇔ a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a + b − c) + (b + c − a) (b + c − a) + (c + a − b) = b (b + c − a)(c + a − b) ≤ =c 2 (c + a − b) + (a + b − c) (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a (a + b − c)(b + c − a) ≤ Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b ⇔ a = b = c (tam giác đều) 260 x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( 2 +1+ - 1) = - Do : 2A = ( + 1)2 + ( 262 Đưa pt dạng : ( - 1)2 + (-2 ) ( )2 = 14 Suy A = ) ( ) x − −1 + y−3 −2 + z−5 −3 = 263 Nếu ≤ x ≤ y = x − = y ≥ M = x − 264 Đặt : ( )( x −1 + − x −1 ) 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 max xy = 64 ⇔ x = y = )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : 266 Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c c≥ a+b 2 ≥a+b ⇔ Dấu đẳng thức xảy a = b 267 Biến đổi ta : ( a 'b − ab ' ) +( a 'c − ac ' 268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ -Hết ) +( b 'c − bc ' ) =0 Xin giới thiệu q thày website: tailieugiaovien.edu.vn Website cung cấp giáo án soạn theo định hướng phát triển lực người học theo tập huấn Có đủ môn khối THCS THPT https://tailieugiaovien.edu.vn/ ... A = x 2y với điều kiện x, y > 2x + xy = S= 21 Cho 1 1 + + + + + 1. 199 8 2. 199 7 k( 199 8 − k + 1) 199 8 − Hãy so sánh S 199 8 199 9 22 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a số phương a số vơ tỉ 23 Cho... 0 ,99 9 99 14 43 20chữs? ?9 68 Đặt = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân a a chữ số Muốn cần chứng minh a < < Thật ta có : < a < ⇒ a(a – 1) < ⇒ a2 – a < ⇒ a2 < a Từ a2 < a < suy a < a < 0 ,99 9 99 ... + + + + a1 a a a 198 0 n (n ∈ N*), ví dụ : ≈ 1,7 ⇒ a = ; = ⇒ a4 = 213 Tìm phần ngun số (có n dấu căn) : a) a n = + + + + b) a n = + + + + c) a n = 199 6 + 199 6 + + 199 6 + 199 6 214 Tìm phần nguyên