Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 46 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
46
Dung lượng
889,55 KB
Nội dung
CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 191 § 1. SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI 1. Chứng minh 7 là số vô tỉ. 2. a) Chứng minh : (ac + bd) 2 + (ad – bc) 2 = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x 2 + y 2 . 4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : a b ab 2 . b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : bc ca ab a b c a b c c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a 3 + b 3 . 6. Cho a 3 + b 3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a 3 + b 3 + abc ≥ ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a b a b 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1) 2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 10. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) b) (a + b + c) 2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) 11. Tìm các giá trị của x sao cho : a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x 2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a 2 + ab + b 2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 14. Cho biểu thức P = x 2 + xy + y 2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x 2 + 4y 2 + z 2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 1 A x 4x 9 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) : a) 7 15 và 7 b) 17 5 1 và 45 c) 23 2 19 và 27 3 d) 3 2 và 2 3 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn 3 19. Giải phương trình : 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x . 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 2 y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 21. Cho 1 1 1 1 S 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1 . Hãy so sánh S và 1998 2. 1999 . 22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a là số vô tỉ. 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng : a) x y 2 y x b) 2 2 2 2 x y x y 0 y x y x CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 192 c) 4 4 2 2 4 4 2 2 x y x y x y 2 y x y x y x . 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ : a) 1 2 b) 3 m n với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0. 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ? 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 x y x y 4 3 y x y x . 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x . 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. 29. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) b) (a + b + c) 2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) c) (a 1 + a 2 + … + a n ) 2 ≤ n(a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 ). 30. Cho a 3 + b 3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2. 31. Chứng minh rằng : x y x y . 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 1 A x 6x 17 . 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : x y z A y z x với x, y, z > 0. 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x 2 + y 2 biết x + y = 4. 35. Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. 36. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu : a) ab và a b là số vô tỉ. b) a + b và a b là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a 2 và b 2 là số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : a 3 + b 3 + abc ≥ ab(a + b + c) 38. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh : a b c d 2 b c c d d a a b 39. Chứng minh rằng 2x bằng 2 x hoặc 2 x 1 40. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96. § 2. HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A A 41. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa : 2 2 2 1 1 1 2 A= x 3 B C D E x 2x x x 4x 5 1 x 3 x 2x 1 2 G 3x 1 5x 3 x x 1 42. a) Chứng minh rằng : | A + B | ≤ | A | + | B | . Dấu “ = ” xảy ra khi nào ? b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : 2 2 M x 4x 4 x 6x 9 . CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 193 c) Giải phương trình : 2 2 2 4x 20x 25 x 8x 16 x 18x 81 43. Giải phương trình : 2 2 2x 8x 3 x 4x 5 12 . 44. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa : 2 2 2 1 1 A x x 2 B C 2 1 9x D 1 3x x 5x 6 2 2 2 1 x E G x 2 H x 2x 3 3 1 x x 4 2x 1 x 45. Giải phương trình : 2 x 3x 0 x 3 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A x x . 47. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : B 3 x x 48. So sánh : a) 3 1 a 2 3 và b= 2 b) 5 13 4 3 và 3 1 c) n 2 n 1 và n+1 n (n là số nguyên dương) 49. Với giá trị nào của x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất : 2 2 A 1 1 6x 9x (3x 1) . 50. Tính : a) 4 2 3 b) 11 6 2 c) 27 10 2 2 2 d) A m 8m 16 m 8m 16 e) B n 2 n 1 n 2 n 1 (n ≥ 1) 51. Rút gọn biểu thức : 8 41 M 45 4 41 45 4 41 . 52. Tìm các số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : 2 2 2 (2x y) (y 2) (x y z) 0 53. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 P 25x 20x 4 25x 30x 9 . 54. Giải các phương trình sau : 2 2 2 2 2 a) x x 2 x 2 0 b) x 1 1 x c) x x x x 2 0 4 2 2 d) x x 2x 1 1 e) x 4x 4 x 4 0 g) x 2 x 3 5 2 2 2 h) x 2x 1 x 6x 9 1 i) x 5 2 x x 25 k) x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1 l) 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2 55. Cho hai số thực x và y thỏa mãn các điều kiện : xy = 1 và x > y. CMR: 2 2 x y 2 2 x y . 56. Rút gọn các biểu thức : a) 13 30 2 9 4 2 b) m 2 m 1 m 2 m 1 c) 2 3. 2 2 3. 2 2 2 3 . 2 2 2 3 d) 227 30 2 123 22 2 57. Chứng minh rằng 6 2 2 3 2 2 . 58. Rút gọn các biểu thức : 6 2 6 3 2 6 2 6 3 2 9 6 2 6 a) C b) D 2 3 . CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 194 59. So sánh : a) 6 20 và 1+ 6 b) 17 12 2 và 2 1 c) 28 16 3 và 3 2 60. Cho biểu thức : 2 A x x 4x 4 a) Tìm tập xác định của biểu thức A. b) Rút gọn biểu thức A. 61. Rút gọn các biểu thức sau : a) 11 2 10 b) 9 2 14 3 11 6 2 5 2 6 c) 2 6 2 5 7 2 10 62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c ≠ 0. Chứng minh đẳng thức : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c 63. Giải bất phương trình : 2 x 16x 60 x 6 . 64. Tìm x sao cho : 2 2 x 3 3 x . 65. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x 2 + y 2 , biết rằng : x 2 (x 2 + 2y 2 – 3) + (y 2 – 2) 2 = 1 (1) 66. Tìm x để biểu thức có nghĩa: 2 2 1 16 x a) A b) B x 8x 8 2x 1 x 2x 1 . 67. Cho biểu thức : 2 2 2 2 x x 2x x x 2x A x x 2x x x 2x . a) Tìm giá trị của x để biểu thức A có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị của x để A < 2. 68. Tìm 20 chữ số thập phân đầu tiên của số : 0,9999 9 (20 chữ số 9) 69. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của : A = | x - 2 | + | y – 1 | với | x | + | y | = 5 70. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 4 + y 4 + z 4 biết rằng xy + yz + zx = 1 § 3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 71. Trong hai số : n n 2 và 2 n+1 (n là số nguyên dương), số nào lớn hơn ? 72. Cho biểu thức A 7 4 3 7 4 3 . Tính giá trị của A theo hai cách. 73. Tính : ( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5)( 2 3 5) 74. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3 5 ; 3 2 ; 2 2 3 75. Hãy so sánh hai số : a 3 3 3 và b=2 2 1 ; 5 1 2 5 và 2 76. So sánh 4 7 4 7 2 và số 0. 77. Rút gọn biểu thức : 2 3 6 8 4 Q 2 3 4 . 78. Cho P 14 40 56 140 . Hãy biểu diễn P dưới dạng tổng của 3 căn thức bậc hai 79. Tính giá trị của biểu thức x 2 + y 2 biết rằng : 2 2 x 1 y y 1 x 1 . 80. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của : A 1 x 1 x . CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 195 81. Tìm giá trị lớn nhất của : 2 M a b với a, b > 0 và a + b ≤ 1. 82. CMR trong các số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd có ít nhất hai số dương (a, b, c, d > 0). 83. Rút gọn biểu thức : N 4 6 8 3 4 2 18 . 84. Cho x y z xy yz zx , trong đó x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z. 85. Cho a 1 , a 2 , …, a n > 0 và a 1 a 2 …a n = 1. Chứng minh: (1 + a 1 )(1 + a 2 )…(1 + a n ) ≥ 2 n . 86. Chứng minh : 2 a b 2 2(a b) ab (a, b ≥ 0). 87. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài a , b , c cũng lập được thành một tam giác. § 4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG 88. Rút gọn : a) 2 ab b a A b b b) 2 (x 2) 8x B 2 x x . 89. Chứng minh rằng với mọi số thực a, ta đều có : 2 2 a 2 2 a 1 . Khi nào có đẳng thức ? 90. Tính : A 3 5 3 5 bằng hai cách. 91. So sánh : a) 3 7 5 2 và 6,9 b) 13 12 và 7 6 5 92. Tính : 2 3 2 3 P 2 2 3 2 2 3 . 93. Giải phương trình : x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2 . 94. Chứng minh rằng ta luôn có : n 1.3.5 (2n 1) 1 P 2.4.6 2n 2n 1 ; n Z + 95. Chứng minh rằng nếu a, b > 0 thì 2 2 a b a b b a . 96. Rút gọn biểu thức : A = 2 x 4(x 1) x 4(x 1) 1 . 1 x 1 x 4(x 1) . 97. Chứng minh các đẳng thức sau : a b b a 1 a) : a b ab a b (a, b > 0 ; a ≠ b) 14 7 15 5 1 a a a a b) : 2 c) 1 1 1 a 1 2 1 3 7 5 a 1 a 1 (a > 0). 98. Tính : a) 5 3 29 6 20 ; b) 2 3 5 13 48 . c) 7 48 28 16 3 . 7 48 . 99. So sánh : a) 3 5 và 15 b) 2 15 và 12 7 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 196 16 c) 18 19 và 9 d) và 5. 25 2 100. Cho hằng đẳng thức : 2 2 a a b a a b a b 2 2 (a, b > 0 và a 2 – b > 0). Áp dụng kết quả để rút gọn : 2 3 2 3 3 2 2 3 2 2 a) ; b) 2 2 3 2 2 3 17 12 2 17 12 2 2 10 30 2 2 6 2 c) : 2 10 2 2 3 1 101. Xác định giá trị các biểu thức sau : 2 2 2 2 xy x 1. y 1 a) A xy x 1. y 1 với 1 1 1 1 x a , y b 2 a 2 b (a > 1 ; b > 1) a bx a bx b) B a bx a bx với 2 2am x , m 1 b 1 m . 102. Cho biểu thức 2 2 2x x 1 P(x) 3x 4x 1 a) Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định. Rút gọn P(x). b) Chứng minh rằng nếu x > 1 thì P(x).P(- x) < 0. 103. Cho biểu thức 2 x 2 4 x 2 x 2 4 x 2 A 4 4 1 x x . a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên. 104. Tìm giá trị lớn nhất (nếu có) hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau: 2 a) 9 x b) x x (x 0) c) 1 2 x d) x 5 4 2 2 1 e) 1 2 1 3x g) 2x 2x 5 h) 1 x 2x 5 i) 2x x 3 105. Rút gọn biểu thức : A x 2x 1 x 2x 1 , bằng ba cách ? 106. Rút gọn các biểu thức sau : a) 5 3 5 48 10 7 4 3 b) 4 10 2 5 4 10 2 5 c) 94 42 5 94 42 5 . 107. Chứng minh các hằng đẳng thức với b ≥ 0 ; a ≥ b a) 2 a b a b 2 a a b b) 2 2 a a b a a b a b 2 2 108. Rút gọn biểu thức : A x 2 2x 4 x 2 2x 4 109. Tìm x và y sao cho : x y 2 x y 2 110. Chứng minh bất đẳng thức : 2 2 2 2 2 2 a b c d a c b d . CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 197 111. Cho a, b, c > 0. Chứng minh : 2 2 2 a b c a b c b c c a a b 2 . 112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Chứng minh : a) a 1 b 1 c 1 3,5 b) a b b c c a 6 . 113. CM : 2 2 2 2 2 2 2 2 a c b c a d b d (a b)(c d) với a, b, c, d > 0. 114. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A x x . 115. Tìm giá trị nhỏ nhất của : (x a)(x b) A x . 116. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x 2 + 3y 2 ≤ 5. 117. Tìm giá trị lớn nhất của A = x + 2 x . 118. Giải phương trình : x 1 5x 1 3x 2 119. Giải phương trình : x 2 x 1 x 2 x 1 2 120. Giải phương trình : 2 2 3x 21x 18 2 x 7x 7 2 121. Giải phương trình : 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 14 4 2x x 122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ : 3 2 ; 2 2 3 123. Chứng minh x 2 4 x 2 . 124. Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học : 2 2 2 2 a b . b c b(a c) với a, b, c > 0. 125. Chứng minh (a b)(c d) ac bd với a, b, c, d > 0. 126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài a , b, c cũng lập được thành một tam giác. 127. Chứng minh 2 (a b) a b a b b a 2 4 với a, b ≥ 0. 128. Chứng minh a b c 2 b c a c a b với a, b, c > 0. 129. Cho 2 2 x 1 y y 1 x 1 . Chứng minh rằng x 2 + y 2 = 1. 130. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x 2 x 1 x 2 x 1 131. Tìm GTNN, GTLN của A 1 x 1 x . 132. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 A x 1 x 2x 5 133. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 A x 4x 12 x 2x 3 . 134. Tìm GTNN, GTLN của : 2 2 a) A 2x 5 x b) A x 99 101 x 135. Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn a b 1 x y (a và b là hằng số dương). 136. Tìm GTNN của A = (x + y)(x + z) với x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1. 137. Tìm GTNN của xy yz zx A z x y với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. 138. Tìm GTNN của 2 2 2 x y z A x y y z z x biết x, y, z > 0 , xy yz zx 1 . CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 198 139. Tìm giá trị lớn nhất của : a) 2 A a b với a, b > 0 , a + b ≤ 1 b) 4 4 4 4 4 4 B a b a c a d b c b d c d với a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. 140. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 3 x + 3 y với x + y = 4. 141. Tìm GTNN của b c A c d a b với b + c ≥ a + d ; b, c > 0 ; a, d ≥ 0. 142. Giải các phương trình sau : 2 2 a) x 5x 2 3x 12 0 b) x 4x 8 x 1 c) 4x 1 3x 4 1 d) x 1 x 1 2 e) x 2 x 1 x 1 1 g) x 2x 1 x 2x 1 2 h) x 2 4 x 2 x 7 6 x 2 1 i) x x 1 x 1 2 2 2 k) 1 x x x 1 l) 2x 8x 6 x 1 2x 2 2 2 m) x 6 x 2 x 1 n) x 1 x 10 x 2 x 5 2 o) x 1 x 3 2 x 1 x 3x 5 4 2x p) 2x 3 x 2 2x 2 x 2 1 2 x 2 . 2 2 q) 2x 9x 4 3 2x 1 2x 21x 11 § 5. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI 143. Rút gọn biểu thức : A 2 2 5 3 2 18 20 2 2 . 144. Chứng minh rằng, n Z + , ta luôn có : 1 1 1 1 2 n 1 1 2 3 n . 145. Trục căn thức ở mẫu : 1 1 a) b) 1 2 5 x x 1 . 146. Tính : a) 5 3 29 6 20 b) 6 2 5 13 48 c) 5 3 29 12 5 147. Cho a 3 5. 3 5 10 2 . Chứng minh rằng a là số tự nhiên. 148. Cho 3 2 2 3 2 2 b 17 12 2 17 12 2 . b có phải là số tự nhiên không ? 149. Giải các phương trình sau : a) 3 1 x x 4 3 0 b) 3 1 x 2 3 1 x 3 3 5 x 5 x x 3 x 3 c) 2 d) x x 5 5 5 x x 3 150. Tính giá trị của biểu thức : M 12 5 29 25 4 21 12 5 29 25 4 21 151. Rút gọn : 1 1 1 1 A 1 2 2 3 3 4 n 1 n . CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 199 152. Cho biểu thức : 1 1 1 1 P 2 3 3 4 4 5 2n 2n 1 a) Rút gọn P. b) P có phải là số hữu tỉ không ? 153. Tính : 1 1 1 1 A 2 1 1 2 3 2 2 3 4 3 3 4 100 99 99 100 . 154. Chứng minh : 1 1 1 1 n 2 3 n . 155. Cho a 17 1 . Hãy tính giá trị của biểu thức: A = (a 5 + 2a 4 – 17a 3 – a 2 + 18a – 17) 2000 . 156. Chứng minh : a a 1 a 2 a 3 (a ≥ 3) 157. Chứng minh : 2 1 x x 0 2 (x ≥ 0) 158. Tìm giá trị lớn nhất của S x 1 y 2 , biết x + y = 4. 159. Tính giá trị của biểu thức sau với 3 1 2a 1 2a a : A 4 1 1 2a 1 1 2a . 160. Chứng minh các đẳng thức sau : a) 4 15 10 6 4 15 2 b) 4 2 2 6 2 3 1 2 c) 3 5 3 5 10 2 8 d) 7 48 3 1 e) 17 4 9 4 5 5 2 2 161. Chứng minh các bất đẳng thức sau : 5 5 5 5 a) 27 6 48 b) 10 0 5 5 5 5 5 1 5 1 1 c) 3 4 2 0,2 1,01 0 3 1 5 3 1 3 5 2 3 1 2 3 3 3 1 d) 3 2 0 2 6 2 6 2 6 2 6 2 e) 2 2 2 1 2 2 2 1 1,9 g) 17 12 2 2 3 1 2 2 3 2 2 h) 3 5 7 3 5 7 3 i) 0,8 4 162. Chứng minh rằng : 1 2 n 1 2 n 2 n 2 n 1 n . Từ đó suy ra: 1 1 1 2004 1 2005 2 3 1006009 163. Trục căn thức ở mẫu : 3 3 2 3 4 3 a) b) 2 3 6 8 4 2 2 4 . 164. Cho 3 2 3 2 x và y= 3 2 3 2 . Tính A = 5x 2 + 6xy + 5y 2 . 165. Chứng minh bất đẳng thức sau : 2002 2003 2002 2003 2003 2002 . CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 200 166. Tính giá trị của biểu thức : 2 2 x 3xy y A x y 2 với x 3 5 và y 3 5 . 167. Giải phương trình : 2 6x 3 3 2 x x x 1 x . 168. Giải bất các pt : a) 1 3 3 5x 72 b) 10x 14 1 c) 2 2 2 2x 4 4 . 169. Rút gọn các biểu thức sau : a 1 a) A 5 3 29 12 5 b) B 1 a a(a 1) a a 2 2 2 2 2 2 x 3 2 x 9 x 5x 6 x 9 x c) C d) D 2x 6 x 9 3x x (x 2) 9 x 1 1 1 1 E 1 2 2 3 3 4 24 25 170. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức 2 1 A 2 3 x . 171. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 1 A 1 x x với 0 < x < 1. 172. Tìm GTLN của : a) A x 1 y 2 biết x + y = 4 ; b) y 2 x 1 B x y 173. Cho a 1997 1996 ; b 1998 1997 . So sánh a với b, số nào lớn hơn ? 174. Tìm GTNN, GTLN của : 2 2 1 a) A b) B x 2x 4 5 2 6 x . 175. Tìm giá trị lớn nhất của 2 A x 1 x . 176. Tìm giá trị lớn nhất của A = | x – y | biết x 2 + 4y 2 = 1. 177. Tìm GTNN, GTLN của A = x 3 + y 3 biết x, y ≥ 0 ; x 2 + y 2 = 1. 178. Tìm GTNN, GTLN của A x x y y biết x y 1 . 179. Giải phương trình : 2 x 1 1 x x 3x 2 (x 2) 3 x 2 . § 6. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI 180. Giải phương trình : 2 2 x 2x 9 6 4x 2x . 181. CMR, n Z + , ta có : 1 1 1 1 2 2 3 2 4 3 (n 1) n . 182. Cho 1 1 1 1 A 1.1999 2.1998 3.1997 1999.1 . Hãy so sánh A và 1,999. 183. Cho 3 số x, y và x y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x ; y đều là số hữu tỉ 184. Cho 3 2 a 2 6 ; b 3 2 2 6 4 2 3 2 . CMR : a, b là các số hữu tỉ. [...]... 2x < 1 x2 – 2x < 1 (x – 1)2 < 2 - 2 < x – 1 < 2 kq 68 Đặt 0 ,99 9 99 = a Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của a là các chữ số 9 c) A < 2 20 chöõ soá 9 a < 1 Thật vậy ta có : 0 < a < 1 a2 < a Từ a2 < a < 1 suy ra a < a < 1 Vậy 0 ,99 9 99 0 ,99 9 99 Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < 20 chöõ soá 9 a(a – 1) < 0 a2 – a < 0 20 chöõ soá 9 69 a) Tìm giá trị lớn nhất Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b |... xem các biểu thức 1.(x 1) , y 2 x 1 1.(x 1) x x y 2 2.(y 2) y y 2 1 x 1 1 2x 2 2 y 2 1 2y 2 2 2 x 1 1 2 2 y 2 2 4 Theo bất đẳng thức Cauchy : max B 173 a 1 199 7 199 6 1 2 ,b 2 4 1 199 8 199 7 Ta thấy ab 199 7 2 4 x 2 2 y a b 2 2(y 2) 4 199 6 199 8 199 7 Nên a < b 174 a) min A = 5 - 2 6 với x = 0 max A = b) min B = 0 với x = 1 ± 5 max B = 1 với x = ± 5 5 với x = 1 x 2 (1 x 2 ) 175 Xét – 1 ≤ x ≤ 0 thì A ≤... – 5 ≤ x ≤ 5, nhưng không xảy ra A2 = - 5 Do tập xác định của A, ta có x2 ≤ 5 - 5 ≤x≤ 5 Do đó : 2x ≥ - 2 5 và 5 x 2 ≥ 0 Suy ra : A = 2x + 5 x 2 ≥ - 2 5 Min A = - 2 5 với x = - 5 b) Xét biểu thức phụ | A | và áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacôpxki và Cauchy : A x 99 99 1 101 x 2 10 x2 200 x 2 2 101 x2 A 99 1 1000 x (99 1) (99 101 x 2 ) x2 x 10 200 x 2 1000 99 101 x 2 200 x 2 x 10 Do đó : - 1000 < A... 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2. 199 8 ≥ 2. 199 8 M ≥ 199 8 a b 2 0 Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời : a 1 0 Vậy min M = 199 8 a = b = 1 b 1 0 14 Giải tương tự bài 13 15 Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0 16 A x 2 1 4x 9 1 x 2 2 5 1 1 max A= 5 5 x 2 15 9 16 3 4 7 Vậy 7 15 < 7 b) 17 5 1 16 4 1 4 2 1 7 49 45 23 2 19 23 2 16 23 2.4 5 25 27 c) 3 3 3 17 a) 7... 10 b) Số 7 4 3 có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy N*), ví dụ : n nhất (n a2 1 ; 212 Kí hiệu an là số nguyên gần 1 1 a1 1 ; 2 1, 4 1 1 1 1 Tính : a1 a 2 a 3 a 198 0 3 1,7 4 4 4 4 c) a n 214 Tìm phần nguyên của A với n 3 215 Chứng minh rằng khi viết số x = 2 2 199 6 4n 2 N: A 2; a) a n 213 Tìm phần nguyên của các số (có n dấu căn) : b) a n a3 4 2 199 6 2 2 199 6 a4 2 2 199 6 16n 2 8n 3 200 dưới dạng thập... b) Giả sử x > 1 Chứng minh rằng : y - | y | = 0 -HẾT - GIẢI BÀI TẬP NÂNG CAO CHƯƠNG I ĐẠI SỐ 9 § 1 SỐ THỰC VÀ CĂN BẬC HAI 1 Giả sử 7 là số hữu tỉ 7 m (tối giản) Suy ra 7 n m2 hay 7n 2 n2 m 2 (1) Đẳng thức này chứng tỏ m 2 7 mà 7 là số nguyên tố nên m 7 Đặt m = 7k (k Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên... : a + b = - 1 , ab = - nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = 1 + 4 2 2 9 1 17 3 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - 1 4 9 8 4 7 17 1 2 39 Do đó : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = 1 4 8 64 64 199 Gọi vế trái là A > 0 Ta có A 2 201 a) a 2 ( 2 1)2 a 3 3 2 2 ( 2 1) 3 9 7 4 8 2 2 6 3 2 1 5 2 7 50 49 2 )n = A - B 2 ; (1 + 2 )n = A + B 2 với A, B Suy ra : A2 – 2B2... được : 2 2x xy 2 2x.xy 4 Dấu “ = “ xảy ra khi : 2x = xy = 4 : 2 tức là khi x = 1, y = 2 21 Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng : 1 ab 2 a b max A = 2 x = 2, y = 2 Áp dụng ta có S > 2 199 8 199 9 22 Chứng minh như bài 1 23 a) x y y x x2 y2 b) Ta có : A A x2 y2 x2 2 y2 x2 y 2 2xy xy y2 x2 x 2 y c) Từ câu b suy ra : x4 y4 x y y x 2 y4 x4 (x y) 2 xy x 1 y x2 y2 x4 y4 x2 y2 y x 2 24 a) Giả sử 1 b) Giả... 0 a2 132 Áp dụng bất đẳng thức : A x 2 12 b2 (1 x)2 min A 133 Tập xác định : 10 x2 4x 12 x 2x 3 0 2 c2 d 2 0 (a c)2 (b d)2 (bài 23) 22 (x 1 x)2 (1 2)2 10 1 x 1 2 x x 3 (x 2)(6 x) 0 1 x 3 (1) (x 1)(3 x) 0 2 Xét hiệu : (- x + 4x + 12)(- x2 + 2x + 3) = 2x + 9 Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0 LÊ TRỌNG CHÂU – PHÒNG GD&ĐT LỘC HÀ – ST> Page 2 19 CÁC CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Xét : A 2 2... + c2 + d2 – 2ac – 2bd ≥ 0 (a – c)2 + (b – d)2 ≥ 0 : đúng 39 - Nếu 0 ≤ x - x < ½ thì 0 ≤ 2x - 2 x < 1 nên 2x = 2 x - Nếu ½ ≤ x - x < 1 thì 1 ≤ 2x - 2 x < 2 0 ≤ 2x – (2 x + 1) < 1 40 Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m, p sao cho : 96 000 00 ≤ a + 15p < 97 000 00 m chöõ soá 0 Tức là 96 ≤ 1 10 2x = 2 x + 1 m chöõ soá 0 a 10m a 10 k 15p < 97 (1) Gọi a + 15 là số có k chữ số : 10k – 1 ≤ a + 15 . : 1 1 1 1 2 2 3 2 4 3 (n 1) n . 182. Cho 1 1 1 1 A 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 . Hãy so sánh A và 1 ,99 9. 183. Cho 3 số x, y và x y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số x. kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 21. Cho 1 1 1 1 S 1. 199 8 2. 199 7 k( 199 8 k 1) 199 8 1 . Hãy so sánh S và 199 8 2. 199 9 . 22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số. Tính : 1 2 3 198 0 1 1 1 1 a a a a . 213. Tìm phần nguyên của các số (có n dấu căn) : a) n a 2 2 2 2 b) n a 4 4 4 4 c) n a 199 6 199 6 199 6 199 6 214. Tìm