Bài tập nâng cao toán 9 (có hướng dẫn)

Hiện nay, BỘ GIÁO DỤC đã có quy định thi kỳ thi THPT Quốc gia bằng hình thức trắc nghiệm, và đặc biệt là đối với môn Toán. Học sinh lớp 9 cũng có thể làm quen dần với hình thức trắc nghiệm toán. Tài liệu này gồm các dạng bài tập trắc nghiệm toán 9 nâng cao, gồm các dạng bám sát theo chương trình giáo dục lớp 9 hiện nay, và có các bài tập hay được tuyển tập từ các sách của các tác giả nổi tiếng như: Vũ Hữu Bình với quyển Nâng cao phát triển toán 9,... và hưỡng dẫn giải các bài khó cũng như đưa ra các công thức phổ biến phục vụ cho việc làm các bài toán. Rất giúp ích cho những bạn yêu thích môn Toán và ôn thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9.

Bài tập nâng cao Toán 9

I – CĂN THứC ĐA THứC BậC HAI

Câu 1 Cho x, y > 0 thỏa mãn 3x2 5xy2y2  Tính 0 3x 2y

7x 5y





Câu 2 Giá trị của Ex2 2xy2y2 2y 10 với x2y3  y2x3 (với các giá trị của x, y để E có nghĩa) là:

Câu 3 Giá trị của a2b2 nếu a, b   và 6 a 2 b 3

3 2 2 3  

Câu 4 Nếu x2 6x 13  x2 6x 10 1 thì x2 6x 13  x2 6x 10 

Câu 5 Giá trị nhỏ nhất của P x4 y 3 với xy 15

Câu 6 Giá trị nhỏ nhất của

4 3

3x 16 F

x



 với x > 0

Câu 7 Tìm GTLN của: A = x2 9x2 (Amax=2 2 )

Câu 8 Chứng minh rằng nếu có các số x, y thỏa mãn đẳng thức

2

xyxy(xy) thì 1 x 1; 1 y 1

Câu 9 Chứng minh rằng nếu có các số x, y thỏa mãn đẳng thức

x 3(xyyy ) thì 0y 4 Câu 10 Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 5 và ab + bc + ca =

8 thì 1 a 7, 1 b 7, 1 c 7

Câu 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x4 4x3 8x20

Câu 12 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A =

x xy y

x xy y

Câu 13 Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

2 2

3

Câu 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x x2 1

x

  với x > 0

Câu 15 Tìm các số m, n để biểu thức A =

2 2

2x mx n

x 1

 nhận giá trị nhỏ nhất bằng 1, giá trị lớn nhất bằng 6

Câu 16 Tìm giá trị nhỏ nhất của B =

2 1 xy xy



với x + y = 1

Câu 17 Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x 5

1 x  x với 0 < x < 1 Câu 18 Cho phương trình x4 2x2 2ax(a 1) 2  0

Tìm giá trị của a để nghệm của phương trình đó:

a) Đạt giá trị nhỏ nhất; b) Đạt giá trị lớn nhất

Câu 19 Cho phương trình x2 ax(a5) với a 0  1 Tìm giá trị lớn nhất mà nghiệm của phương trình đó có thể đạt được

Câu 20 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:

x mx x mx 1  0 Câu 21 Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:

2x43 xm Câu 22 Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình sau chỉ có 1 phần tử:

a) 4x2  4x2 m; b) 6x x2 m

Hướng dẫn: a) Nếu a là nghiệm thì -a cũng là nghiệm, do đó a = 0, m = 4

b) Nếu là nghiệm thì 6a  a2 m (Cần chọn N sao cho 6N  a 2 và

N2 6 a, được N4a, để chứng minh N cũng là nghiệm) Trình bày tiếp:

6 (4 a) 2 (4 a) m

       , nên 4a cũng là nghiệm, do đó a 4a, m = 4 Câu 23 Tìm các giá trị của m sao cho phương trình x4 – 40x2 + 6m = 0 có bốn nghiệm,

và khi biểu diễn các nghiệm đó từ nhỏ đến lớn trên trục số bởi các điểm A, B, C, D thì

AB = BC = CD

Gợi ý: Đặt y = x2, phương trình có các nghiệm 3n, n, n, 3n, từ y1 = n2, y2 = 9n2, từ

n2 + 9n2 = 40 và n2.9n2 = 6m, n = 2, m = 24, các nghiệm x =  6,  2, 2, 6

II - HàM Số PHƯƠNG TRìNH – Hệ PHƯƠNG TRìNH

Hàm số bậc nhất - Hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn

Cho 2 phương trình  

(d) ' ' ' (d')

ax by c

a x b y c

* Song song (vô nghiệm):  

' ' '

* Cắt nhau (nghiệm duy nhất):  

' ' '

* Trùng nhau (vô số nghiệm):  

' ' '

* Vuông góc với nhau: 'a a  b b '

(Nếu là đường thẳng dạng yax thì là 'b a a   ) 1

Câu 1 Cho hàm số yf (x)ax Biết f (1)b f (2), f (5)f (6) và f (2016)2017 Tính f (2017)

Câu 2 Cho M(-2;0) và (d): y 2x 3x

x

  Qua M có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng không cắt (d)?

Câu 3 Cho (d): y2x Đường thẳng (d’) đối xứng (d) qua (d’’): y3 x là

Câu 4 Cho (O;1) trên Oxy và (d): 3x4ym2 m 3

a) Tìm m để (d) tiếp xúc (O)

b) Khoảng cách từ O đến (d) nhỏ nhất là?

Câu 5 Cho (d): 3x4y21 Các điểm có tọa độ nguyên và nằm trong góc phần tư thứ

ba là?

Câu 6 Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a3b và 3a6 4c 1

Câu 7 Cho hệ (m 1)x y 3m 4

x (m 1)y m







Tìm m để hệ có nghiệm dương duy nhất

Câu 8 Cho hệ (2m 1)x2 y2 2m 2

m x y m 3m







(m;m 1) Tìm m để x, y   ?

Câu 9 Giá trị nhỏ nhất P(6x5y 16) 2 x2 y2 2xy2x2y ? 2

Câu 10 Đường thẳng (2m3)x(m5)y4m 1 0 luôn đi qua điểm cố định nào?

Mẹo: Xác định điểm cố định đường thẳng luôn đi qua với mọi m: cho m = 0, m = 1,

sau đó giải hệ phương trình bằng máy tính, nghiệm tìm được chính là điểm cố định

Câu 11 Đường thẳng axby 6 (a, b > 0) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 9 Giá trị ab là:

Câu 12 Cho đường thẳng (m2)x my  1 Giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa

độ O đến đường thẳng trên là lớn nhất là:

Câu 13 Điểm có tung độ và hoành độ là các số nguyên nằm trên đường thẳng

  

8x 9y 79 và nằm trong góc phần tư thứ III của trục tọa độ Oxy là:

Câu 14 Đường thẳng đối xứng với đường thẳng y = 2x + 4 qua đường thẳng y = x là:

Công thức: Đối xứng với điểm (x; y) qua (d): y = x là điểm (y; x)

Câu 15 Giá trị của x để 3 điểm A(x;14), B(-5;20), C(7;-16) thẳng hàng là:

Câu 16 Biết các điểm A(m;3) và B(1;m) nằm trên một đường thẳng có hệ số góc m (m

> 0) Giá trị của m là:

Câu 9 Cho hai điểm A(3; 17) và B(33; 193) Số điểm thuộc đoạn thẳng AB có hoành

độ và tung độ là các số nguyên là:

Câu 10 Cho A(0; -1) và B(-4; 3) Phương trình đường trung trực d của AB là:

Gợi ý: Đường trung trực là đường vuông góc tại trung điểm

Câu 11 Cho đường tròn có tâm là gốc tọa độ O bán kính 1 và đường thẳng d có phương trình 3x – 4y = m2 – m + 3 Tìm m để đường thẳng d tiếp xúc với (O) là:

Câu 12 Trên mặt phẳng tọa độ, cho đa giác OABCDE có tọa độ các đỉnh A(0 ; 3), B(3

; 3), C(3 ; 1), D(5 ; 1), E(5 ; 0) Tìm hệ số a để đường thẳng y = ax chia đa giác thành hai phần có diện tích bằng nhau

Hướng dẫn: F(3 ; 3a), diện tích hình thang OABF bằng nửa diện tích OABCDE, a = 7/9

Câu 13 Tìm các số dương m, n sao cho hệ số góc của đường thẳng y = mx gấp bốn hệ

số góc của đường thẳng y = nx, đường thẳng y = nx chia góc tạo bởi đường thẳng

ymx với trục hoành thành 2 góc bằng nhau

Hướng dẫn: Kẻ đường thẳng vuông góc với Ox qua (1;0) cắt 2 đường thẳng tại A,B

AC = n, BC = m = 4n Tính OB, BC = 2 2 , m = 2 2 , n = 2 2

Câu 14 Cho 2 điểm A(3 ; 17) và B(33 ; 193) Tính số điểm thuộc đoạn thẳng AB có hoành độ và tung độ là các số nguyên

Câu 15 Cho hệ: 1







Trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất thì giá trị

của m để xy nhỏ nhất là:

Mẹo: nếu dạng khoanh thì thử từng kết quả, nếu dạng điền thì giải từng nghiệm theo m,

sau đó nhân vào, dùng  tính giá trị nhỏ nhất Kết quả: m = 0

Câu 16 Cho các số x, y, z không âm thỏa mãn 4 4 2 1





 a) Biểu thị x và y theo z

b) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức A = x + y – z

Hướng dẫn: z = 3 – 4x, suy ra 4x + 4y = 5, từ đó: 7 4A5 4

Câu 17 Cho M(x ; y) cách đều 2 trục tọa độ và (d): y =  x + 2 Tìm x

Gợi ý: Không xác định được duy nhất Vì cách đều 3 cạnh của 1 tam giác có 4 điểm

Câu 18 Chứng minh đường thẳng cắt trục Ox tại hoành độ a, Oy tại tung độ b có phương trình là: x  y 1

Câu 19 Xác định đường thẳng qua A(4;3), cắt trục tung tại điểm có tung độ nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ nguyên tố

Gợi ý: dựa vào câu 18 Có 2 đường thẳng: y 3x 15 và y   x 7

Hàm số bậc hai - Phương trình bậc 2 một ẩn

Câu 1 Cặp số (x,y) thỏa mãn phương trình 3x2 6x  y20 sao cho y đạt giá trị lớn nhất là:

Câu 2 Cho (P): 1 2

2



y x và (d): mx  y2 Với điều kiện m để độ dài AB nhỏ nhất thì

độ dài nhỏ nhất của AB là:

Hướng dẫn: Phương trình hoành độ: x2 2mx40,(x1 x2)2 S2 4P4m2 16,

y1  y22 2mx1 (2mx2)2 m x( 1 x2)2, từ đó AB  4

Câu 3 Xác định giá trị của m để hai phương trình 2016x2 mx20 và

2

2016x 2xm0 có nghiệm chung

Hướng dẫn: Gọi x0 là nghiệm chung, trừ vế với vế 2 phương trình, x1 hoặc m2 Câu 4 Tìm các giá trị của m để 2 phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:

a) x2 (m2)x 3 0 và 2x2 mx(m2)0;

b) 2x2 (3m5)x 9 0 và 6x2 (7m15)x190

Phương pháp: Giải hệ 2 phương trình trên với ẩn x chung, trừ 2 phương trình, tính x

theo m(có khi phải xét các giá trị của m), thay vào 1 trong 2 phương trình, tìm m

Câu 5 Tìm các giá trị của m để một nghiệm của phương trình 2x2 13x2m0 gấp

đôi một nghiệm của phương trình x2 4xm0

Hướng dẫn: Gọi x(2) a thì x(1) 2a , thay vào 2 phương trình, khử m, tìm a 0 3 Câu 6 Cho các phương trình: ax2 bx c 0 và cx2 bxa0 Biết phương trình (1) luôn có nghiệm dương m, chứng minh phương trình (2) luôn có nghiệm n sao cho

2

 

Câu 7 Cho a, b > 0 thỏa mãn 3a2 2b2 5ab Tính a:b

Hướng dẫn: chia cả 2 vế cho b 2

Câu 8 Tìm số nguyên tố p, biết rằng phương trình x2  px12p0 có 2 nghiệm đều

là những số nguyên, số nguyên tố p đó là: (p2)

Câu 9 Tìm các số a, b sao cho phương trình x2 ax 6 0 và x2 bx120 có ít nhất một nghiệm chung và a  b nhỏ nhất

Hướng dẫn: Gọi m là nghiệm chung thì m2 am 6 0 và m2 bx120, suy ra 2

2m (ab m) 180(*), với:  ab2 1440, ab 12 a  b  ab , xảy

ra đẳng thức khi ab 12 và ab > 0, thay a b vào (*), tìm m, tìm a b,    5; 7

Câu 10 Tìm các số nguyên n sao cho: x2 (n4)x2n0 có các nghiệm nguyên

Mẹo: nếu đề dạng khoanh thì thử các giá trị, nếu đề là dạng điền thì n là các số làm cho

 chính phương, và thường chỉ có trên dưới 4 giá trị (nhớ cả nghiệm âm), tìm n0; 3

Câu 11 Gọi x x1, 2 là các nghiệm của phương trình x26x 1 0 Kí hiệu s n x1n x 2n

với n là số nguyên dương

a) Tính s s s1, ,2 3

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa s s n, n1,s n2

c) Chứng minh rằng s n là số nguyên với mọi số n nguyên dương

d) Tìm số dư khi chia s50 cho 5

Hướng dẫn: b) s n2 x1n2 x2n2 (x1n1x2n1)(x1x2)x x x1 2( 1n x2n)6s n1s n

d) Hãy chứng minh s n s n6(mod 5) s50 s2 4(mod 5)

III - ĐịNH Lý TA-LéT TAM GIáC Đồng DạNG

Câu 1 Cho tam giác ABC có AB cm, AC3  cm, 6 A 120  Độ dài phân giác AD?

Câu 2 Cho tam giác ABC có AB 1AC

3

 Một đường thẳng cắt AB tại D, BC ở K và tia

đối tia CA ở E sao cho BD = CE Chứng minh KE 1

KD 3 Câu 3 Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, phân giác AD Điểm O chia trong AD theo tỉ số 2:1 Gọi K là giao BO và AC Tỉ số AK:KC bằng?

Câu 4 Cho tam giác ABC có AB , AC 128  , BC 10 Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác và trọng tâm G tam giác Độ dài IG là?

Gợi ý: IG // BC Gọi trung tuyến AM và phân giác AD, tính CM và CD  DM

Câu 5 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Các tia phân giác AMB, AMC  cắt AB,

AC tại D, E Biết BC = a, AM = m Chứng minh DE 2am

a 2m



 Câu 6 Cho tam giác ABC có trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh diện tích tam giác

có độ dài 3 cạnh bằng AD, BE, CF bằng 3

4 diện tích tam giác ABC

Câu 7 Cho 2 tam giác có tỉ số đồng dạng là 1 số tự nhiên Một cạnh của tam giác nhỏ bằng 3cm Diện tích tam giác nhỏ cũng là 1 số tự nhiên Hiệu diện tích 2 tam giác là 18cm2 Tính diện tích 2 tam giác đó

Gợi ý: Hai tam giác đó là: (3; 4; 5) và (6; 8; 10)

Câu 8 Tam giác ABC có B60, C20, BC = 4cm Gọi D là trung điểm của AC Trên CB lấy E sao cho CE = CD Tính tổng diện tích các tam giác ECD và ABD

Gợi ý: Vẽ tam giác đều KBC cùng phía với tam giác ABC, kết quả là 1SKBC 3

Câu 9 Tam giác ABC cân tại A, trực tâm H chia đường cao AE theo tỉ số 7:1 Giao

điểm I các đường phân giác chia AE theo tỉ số nào? (IE/IA=1/3)

Câu 10 Một người đứng cách 1 ngôi nhà 200m, đặt 1 que dài 5cm, cách mắt 40cm theo phương thẳng đứng thì vừa vặn che lấp chiều cao của ngôi nhà Vậy chiều cao của ngôi nhà là?

Câu 11 Cho tam giác ABC, đường cao AH Kẻ HMAB, HNAC Tính tỉ số AMHN

ABC

S

S ?

Câu 12 Cho tam giác ABC cân tại A, trung tuyến AM, O là trung điểm của AM Tia

BO cắt AC tại D, tia CO cắt AB tại E Biết diện tích tam giác ADE bằng 9cm2 Diện tích tam giác ABC là?

Câu 13 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, điểm O thuộc AM, CO, BO cắt AB,AC lần lượt tại M,N Chứng minh SBOM SCON

Câu 14 Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 28cm, CD = 70cm, AD = 35cm Vẽ một đường thẳng song song với 2 đáy cắt AD,BC tại M,N Biết AM = 25cm Độ dài

MN là:

Câu 15 Cho tam giác ABC vuông tại A D,E thuộc BC sao cho BD = DE = EC Biết

AD = 10cm, AE = 15cm Độ dài đoạn BC là:

Gợi ý: Kẻ DMAB, EKAC, AB3EK, AC3DM, AM2EK, AK2DM, dùng Pythagores trong tam giác ADM và AEK Đáp số: 3 65

Câu 16 Cho tam giác ABC vuông tại A Hình vuông EFGH nội tiếp tam giác có

EAB, FAC, H,GBC Biết BH = 2cm, GC = 8cm Độ dài cạnh hình vuông là:

Gợi ý: Sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra EH.GFHB.GC= 16 Đáp số: 4

Câu 17 Hình thang vuông ABCD có AB//CD, AB = 7, BC = 10, CD = 13 M là trung

điểm của BC, MNBC(NAD) Tính MN

Câu 18 Hình thang vuông ABCD có AD 90

, AB = 4, DC = 9, BC =13 Khoảng cách từ trung điểm M của AD đến BC là:

Câu 19 Hình thang ABCD có AB = 8, CD = 12 Điểm M thuộc AB sao cho DM chia hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau Độ dài đoạn BM là:

Gợi ý: (M thuộc tia BA’) Gọi K là giao DM với BC Tính diện tích KDC, ABCD theo

1 2

h , h , tính tỉ lệ h : h1 2 Đáp số: 2,4

Câu 20 Cho hình vuông ABCD cạnh 2cm Gọi E, F thứ tự là trung điểm của AD, DC I,H thứ tự là giao của AF với BE,BD Diện tích tứ giác EIHD là:

Gợi ý: AH AB 2;EM AE 1

HF  DF  BM  BK  4,  K AFBC Đáp số: 7

15

Câu 21 Cho tam giác ABC có đường cao AH = 16, HB:HC = 1:8 M thuộc BC, N thuộc AC, MN//AH và MN chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

Độ dài MN là:

Gợi ý: Đặt MNx, NC , tính các diện tích theo x,y Đáp số: 12 y

Câu 22 Cho tam giác ABC và hình bình hành AEDF có E thuộc AB, D thuộc BC, F thuộc AC Biết diện tích tam giác EBD và FDC lần lượt là 3cm2 và 12cm2 Diện tích hình bình hành đó là:

Gợi ý: Xét BED ~ DFC  , suy ra tỉ số các cạnh tương ứng Đáp số: 12cm2

*Chú ý: Tổng quát, nếu SEBD = m, SFDC = n, thì SAEDF = 2 mn

Câu 23 Cho tam giác có góc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h Hình vuông EFGH nội tiếp tam giác có EAB, FAC, H,GBC Tính độ dài cạnh hình vuông

*Chú ý: Độ dài bằng ah

ah Câu 24 Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M và N sao cho AM:AB = 2:5; AN:AC = 3:4 Biết rằng diện tích tam giác AMN bằng 18cm2 Diện tích tam giác ABC là:

ABC

1

S AB.AC.sin A

2



ABC

S 5.4 10 Đáp số: 60cm

2

Câu 25 Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích 54 cm2 Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 3cm Khi đó độ dài hình chiếu của cạnh góc vuông dài hơn trên cạnh huyền là:

Câu 26 Hình thang ABCD (AB//CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O Gọi M,N thứ tự

là trung điểm của BD và AC Biết rằng OB = 2MO, đáy lớn CD = 16cm Đáy nhỏ AB là:

Gợi ý: Dùng định lý Ta-lét trong hai tam giác ODC và OAB Đáp số: 8 cm

Câu 27 Cho tam giác ABC có B 2C, AB = 5, AC = 8 Tính BC

Đáp số: 39

5

Câu 28 Cho tam giác ABC (AB < AC), phân giác AD Đường trung trực của AD cắt

BC tại K, KD = 2, DC = 4 Tính KD

Gợi ý: KAB∽KCA  KB AB DB

KD  AC  DC  KD = 4

Câu 29 Hình thang ABCD có các đáy AB = b, CD = a (a > b) Đoạn thẳng MN có M thuộc AD, N thuộc BC, song song với AB, CD và chia hình thang thành 2 phần có diện tích bằng nhau Chứng minh rằng

2 2

MN

2



IV hệ thức lượng trong tam giác vuông

Câu 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao Ah Gọi D là điểm đối xứng với A qua B, E là điểm thuộc tia đối tia HA sao cho HE = 2HA Tính góc DEC bằng: (90) Câu 2 Tam giác ABC có trung tuyến BD = 6cm, trung tuyến CE = 4,5cm và BD vuông góc với CE tại O Diện tích tam giác BOE là:

Câu 3 Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau Biết AB = 18, CD = 32 Tính AC

Gợi ý: Tam giác BAD đồng dạng ADC

Câu 4 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH bằng 10cm, đường cao BK bằng 12cm Tính BC

Câu 5 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Biết chu vi tam giác ABH là 30cm, chu vi tam giác ACH là 40cm Chu tam giác ABC là

Câu 6 Cho tam giác ABC có A60, AB = 6, AC = 10, AD là phân giác Tính AD

* Chú ý: Công thức tính độ dài đường phân giác:

 2

cos 2





A

b c

Câu 6 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi I là giao các đường phâ giác, M là trung

điểm của BC Biết rằng góc BIM bằng 90 Chứng minh AB:AC:BC = 3:4:5

Câu 7 Một tam giác vuông có chu vi 72cm, hiệu giữa đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh huyền là 7cm Diện tích tam giác vuông đó bằng: (144 cm2)

Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD Kẻ

DKAC Biết BC = 25cm, DK = 6 cm Tính AB

Kết quả: AB = 10 cm hoặc 15 cm

Câu 9 Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, trung tuyến BD, CE vuông góc với nhau Tính BC (2 5 cm)

Câu 10 Tam giác BC vuông tại A, trung tuyến BM Gọi D là hình chiếu của C trên BM,

H là hình chiếu của D trên AC Chứng minh AH = 3HD