Giải tích 12 – ứng dụng của tích phân trong hình học

Xét toán thực tế sau đây: Bài toán 1: Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12, m Người ta cần lắp cửa sắt khép kín Biết cửa sắt có giá 300.000 VNĐ mét vuông Hỏi Nhà trường phải trả tiền để làm cửa sắt vậy? Bài toán 2: Ơng An có mảnh vườn elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.00 đồng/1m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC (tiết 1) I Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG : Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành : Cho ( C ) :y = f( x ) liên tục đoạn [a ; b] Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị ( C ), trục hoành hai đường thẳng x = a, x=b?  Nếu f(x) ≥ [a, b] thì: b y=f(x ) S a O b S = ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x ) dx a y (1) y b x y= - f(x) a  Nếu f(x) ≤ [a, b] – f(x) ≥ nên: b S = S1 = ∫  − f ( x ) dx = a b ∫ f ( x ) dx ( ) a a O s1 b x S b Từ ( ) ( ), ta : S = ∫ f ( x ) dx a y=f(x ) I) Tính diện tích hình phẳng: Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f(x) liên tục,trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b là: b |f(x)|.dx S ∫ =a (1) + Chú ý: Nếu giả thiết tốn khơng cho biết a b ta tìm a, b cách giải phương trình: f(x) = Khi đó, nghiệm bé a, nghiệm lớn b b |f(x)|.dx S ∫ =a (1) Ví dụ: VD1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 1, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = 11 là: 3 A.S = B S= C S = D S = 12 VD2: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 + x − với trục Ox ? Cho hình phẳng sau đây: Có thể tính S thơng qua S1 S2 khơng? có tính nào? I TÍNH DIÊN TÍCH HÌNH PHẲNG : Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh : Hình phẳng giới hạn hai đường cong : Cho hai hàm số y = f1( x ) y = f2( x ) liên tục y =f1(x) y đoạn [a ; b].Gọi D hình phẳng giới hạn D đồ thị hai hàm số đường thẳng x = a x = b Trong trường hợp f2( x ) ≤ f1( x ), ∀ x ∈ [a ; b] Gọi S1, S2 diện tích hai hình thang cong giới hạn 0x, đường thẳng x = a, x = b y = f2( x ) o a b x đường cong y = f1( x ) y = f2( x ) tương ứng Khi diện tích S hình D b b a a S S= = S1 − S = ∫ =f1∫( (x )f1−?( fx?2 )(?x−)?dx f?2 ( x ) ) dx I TÍNH DIÊN TÍCH HÌNH PHẲNG : Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh : Hình phẳng giới hạn hai đường cong : Trong trường hợp tổng qt ta có cơng thức b S = ∫ fS1 (= x ) f1−( xf) 2−( fx2 () xdx ) dx b ∫ a Chú ý a Khi áp dụng công thức ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân cách:  Giải phương trình f1( x ) – f2( x ) = [a ; b] Giả sử phương trình có nghiệm c, d ( c < d )  Trên đoạn [a ; c], [c ; d], [d ; b] f 1( x ) – f2( x ) khơng đổi dấu  Đưa dấu trị tuyệt đối khỏi tích phân Thí dụ [a ; c] ta có c c ∫ ∫f f( x( x) −) −f f ( x( x) dx ) dx==∫ ∫ f f( x( x) −) −f f ( x( x) ) dxdx c a a 2 c a a 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x3 –3x y = x Ví dụ Giải Ta có   f1 ( x ) − f ( x ) = Phương trình x ( − 3) − ( x ) = x − x f1 ( x ) − f ( x ) = có nghiệm x1 = -2, x2 = 0, x3 =2 Vậy diện tích hình phẳng cho S= ∫ ∫( x3 −?4?x ?dx?=? −2 ) 0 ) x x 2 2 =  − 2x ÷ +  − 2x ÷   −2  0 ∫( x − x ?dx? +? ? ?x − x dx −2 =8 10 Một số công thức cần nhớ a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b], trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = ∫ f ( x ) dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a;b] hai đường thẳng x = a, x = b b S = ∫ f ( x ) − g( x) dx a Quay lại… Trở TIẾT HỌC ĐẾN ĐÂY LÀ KẾT THÚC, XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN SỰ CHÚ Ý CỦA QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH! • Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12, m Người ta cần lắp cửa sắt khép kín Biết cửa sắt có giá 300.000 VNĐ Hỏi Nhà trường phải trả bao 1m nhiêu tiền để làm cửa sắt vậy? 13 HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG • • Giải: Giả sử parabol có phương trình: y = ax + bx + c, (a ≠ 0) • Parabol qua C(0; 12,5), D(4;0), nên ta có hệ phương trình:  c = 12.5 c = 12,5   b = ⇔  b = 16a + 12.5 =  25  a = − 32  ⇒ y=− S = 2∫ − T= 25 x + 12.5 32 25 200 x + 12.5 dx = m 32 200 300.000 = 20.000.000 14 ... đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.00 đồng/1m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) BÀI 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC... TRONG HÌNH HỌC (tiết 1) I Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Hình phẳng giới hạn hai đường cong I TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG : Hình phẳng giới hạn đường cong trục... x ) tương ứng Khi diện tích S hình D b b a a S S= = S1 − S = ∫ =f1∫( (x )f1−?( fx?2 )(?x−)?dx f?2 ( x ) ) dx I TÍNH DIÊN TÍCH HÌNH PHẲNG : Hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh : Hình phẳng