(SKKN 2022) ứng dụng của một hệ thức hình học vào giải toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG CỦA MỘT HỆ THỨC HÌNH HỌC VÀO GIẢI TỐN Người thực hiện: Lê Trí Dũng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Mai Ninh SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ NĂM 2022 1 Mục lục TT Nội dung Trang Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 10 Hiệu 10 11 Kết luận, kiến nghị 10 12 Kết luận 10 13 Kiến nghị 11 2 Mở đầu + Trong hoạt động dạy học tốn trường THCS, ngồi việc trang bị tốt kiến thức cho học sinh, cần phải rèn luyện kĩ giải toán, khả phát triển tư duy, suy luận, giúp học sinh biết cách khai thác, mở rộng kết qủa toán từ toán gốc + Trong q trình dạy Tốn bồi dưỡng học sinh giỏi tốn tơi thấy việc tìm tịi tốn quen thuộc thành tốn mới, tìm cách giải khác cho toán để từ khắc sâu kiến thức cho HS phương pháp khoa học hiệu Quá trình toán đơn giản đến toán khó bước phù hợp để rèn luyện lực tư cho học sinh + Một điều chắn việc tìm tịi mở rộng tốn kích thích hứng thú học tập tính sáng tạo học sinh Từ giúp học sinh có sở khoa học phân tích, định hướng tìm lời giải cho toán khác Hơn củng cố cho học sinh lịng tin vào giải tốn Có nhiều tập sau ta giải xong kết thật đơn giản ứng dụng khơng tầm thường chút Bởi người thầy khơng dạy học sinh cách giải tốn mà cịn người hướng dẫn em tìm tịi sáng tạo xung quanh kết tốn, qua giúp học sinh rèn luyện kĩ thuật giải tốn thói quen tìm tịi sáng tạo Sau vài kinh nghiệm nhỏ mà tơi tích lũy q trình dạy tốn giải tốn xuất phát từ toán gốc, xin trao đổi quý đồng nghiệp đề tài: “ Ứng dụng hệ thức hình học vào giải tốn” nhằm nâng cao chất lượng kì thi học sinh giỏi, thi vào THPT 2.1 Mục đích nghiên cứu Hướng dẫn học sinh tìm tòi sáng tạo xung quanh kết tốn, qua giúp học sinh: - Hình thành tính tích cực, độc lập, sáng tạo, rèn kĩ tính tốn cẩn thận, xác, góp phần giúp em u thích đam mê mơn tốn Từ kết học tập ngày nâng cao - Giáo dục cho học sinh cách trình bày giải hợp lí, khoa học sáng tạo 2.2 Đối tượng nghiên cứu + Nhóm học sinh khá, giỏi tốn trường THCS Trần Mai Ninh năm học 2020-2021 2.3 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận, thực tiễn + Phương pháp khảo sát thực tiễn + Phương pháp phân tích, tổng hợp + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận: Ở lứa tuổi THCS em muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự khám phá, tự nhận thức Các em có khả điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia hoạt động học tập khác cần phải có hướng dẫn điều chỉnh cách khoa học có nghệ thuật thầy giáo Hình thành phát huy tính tích cực học sinh q trình lâu dài + Tính tư tích cực, độc lập sáng tạo học sinh thể chỗ: - Biết tìm phương pháp nghiên cứu giải vấn đề, khắc phục tính rập khuân máy móc - Có kĩ phát kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh - Biết nhìn nhận vấn đề giải vấn đề - Có khả khai thác số vấn đề từ vấn đề quen biết + Khai thác, phát triển toán nói chung có nhiều hướng khác nhau: - Nhìn lại toàn bước giải rút bước giải tốn Rút kinh nghiệm giải tốn -Tìm thêm cách giải khác - Khai thác thêm kết có từ toán, đề xuất toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn trường THCS sâu nghiên cứu nội dung chương trình qua thực tế dạy học tơi thấy: Trong chương trình Tốn THCS "Các tốn hình học" đa dạng, phong phú trừu tượng Học sinh học tốn khó, hình học lại khó vì: Để làm tốn hình học học sinh phải vận dụng tất định nghĩa, tính chất,…, mà học cách linh hoạt Bên cạnh để giải tốn hình học lớp học sinh phải nắm vững tất kiến thức, toán lớp Trong toán (bài tốn gốc) có nhiều tốn vận dụng để giải toán khác liên quan Nhưng thực tế giảng dạy thấy: - Học sinh giải tốn hình học học sinh biết sử dụng toán gốc để giải (Học sinh khơng biết tốn có liên quan đến tốn nào), việc tìm lời giải tốn vơ khó khăn - Đa số học sinh sau tìm lời giải em hài lịng dừng lại mà khơng tìm tịi lời giải khác, khơng khai thác thêm tốn, khơng sáng tạo thêm nên khơng phát huy tính tư duy, độc lập, sáng tạo thân - Học sinh cịn học vẹt, làm theo khn mẫu nên khơng phát huy tính tích cực, tư thân - Đa số học sinh yếu mơn tốn nói chung yếu mơn hình nói riêng bị hổng kiến thức, lười tư duy, lười học, lười suy nghĩ q trình học tập Có khơng học sinh chăm học chưa có phương pháp học phù hợp Chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh tri thức nên hiệu học tập chưa cao - Các em học không đôi với hành, làm cho thân không củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ để làm tảng tiếp thu kiến thức mới, lực cá nhân chưa phát huy hết - Một số giáo viên chưa thực quan tâm đến việc khai thác, phát triển sáng tạo toán tiết học trình giảng dạy - Việc chuyên sâu vào vấn đề đó, liên hệ tốn giúp HS khắc sâu kiến thức Quan trọng nâng cao khả tư cho em, giúp học sinh hứng thú học toán Khi chưa áp dụng cách dạy kết kiểm tra nhóm 40 học sinh giỏi trường THCS Trần Mai Ninh Rất thích Thích Bình thường Sĩ số SL % SL % SL % 40 14 37,5 24 57,5 2.3.Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Qua mà em giải được, định hướng cho em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm lời giải, kết tốn cách: - Kiểm tra kết - Xem lại cách lập luận, nghiên cứu, tìm tịi: Liệu tốn có cách giải khác khơng? Có thể thay đổi kiện tốn để đề xuất tốn khơng? - Trong đề tài xin minh họa cách khai thác, phát triển từ kết toán Nhằm giúp học sinh thấy hay, thú vị toán học nói chung hình học nói riêng Từ đó, giúp học sinh tích cực, tự tin sáng tạo học tốn, giúp học sinh u thích mơn tốn, nâng cao chất lượng, kết học tập mơn tốn Từ toán đơn giản ban đầu, chịu khó suy xét tiếp khai thác theo nhiều khía cạnh tìm lời giải khác, phát triển toán tạo chuỗi toán hay thú vị Sau ví dụ minh họa: * Bài toán Cho tam giác ABC, đường thẳng cắt cạnh AB AC theo thứ tự E F Chứng minh rằng: S AEF AE AF = S ABC AB AC Lời giải: Kẻ đường cao EH BK tam giác AEF ABC Do EH song song BK nên EH AE = BK AB 1 AF EH AE AF S AEF AE AF = =2 = Ta có: S ABC BK AC AB AC AB AC 2 S AE AF AEF Vậy S = AB AC ABC Nhận xét: Khi kẻ thêm đường trung tuyến AM, ta có tốn Bài tốn Cho tam giác ABC có AM đường trung tuyến.Đường thẳng cắt cạnh AB, AC AM theo thứ tự E,F I Chứng minh rằng: AB AC AM + = AE AF AI Lời giải Ta có: S AEF S AEI + S AIF S AEI S AIF = = + S ABC S ABC S ABC S ABC =  S AEI S S 1 S + AIF =  AEI + AIF ÷ S ABM 2S ACM  S ABM S ACM  AE AF  AE AI AF AI  =  + ÷ AB AC  AB AM AC AM  ⇔ AE AF AM = AI ( AE AC + AF AB ) ⇔ ⇔ AB AC AM + = AE AF AI Nhận xét: Khi I trọng tâm tam giác ABC ta có tốn Bài tốn Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Đường thẳng d qua trọng tâm G cắt cạnh AB AC theo thứ tự E F.Chứng minh AB AC + =3 AE AF Lời giải: Cách 1: Vì G trọng tâm tam giác ABC nên AI = AM Áp dụng kết tốn 1, ta có: AB AC AM + = =3 AE AF AI Cách 2: Kẻ BI ⊥ AM , CK ⊥ AM ( I , K thuộc AM) AB AI AC AK = ; = AE AG AF AG AB AC AI + AK + = Từ có (1) AE AF AG MẶT KHÁC ∆BIM = ∆CKM ⇒ MI = MK (2) AB AC AM + = =3 Từ (1) (2) suy AE AF AG Ta có: Nhận xét: Áp dụng tốn ta có kết số toán khác Bài toán Cho tam giác ABC vuông A với trung tuyến AM.Một đường thẳng qua trọng tâm G tam giác cắt cạnh AB AC theo thứ tự E F Chứng minh 1 + ≥ 2 AE AF BC Cách 1: Áp dụng kết toán , BĐT Bunyakovsky định lí Pythagore ta có:   AB AC  2  9= + + ÷ ÷ ≤ ( AB + AC )   AE AF   AB AF  ⇔ 1 9 + ≥ = 2 2 AE AF AB + AC BC Vậy 1 + ≥ 2 AE AF BC Cách 2: Kẻ AH ⊥ EF ( H thuộc EF) Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông AEF, ta có: 1 + = (1) 2 AE AF AH 2 Mặt khác AH ≤ AG ⇒ AH ≤ AM = ⇒ ≥ AH BC BC (2) Từ (1) (2) ta có 1 + ≥ 2 AE AF BC Đẳng thức xảy H ≡ G (đpcm) Bài toán Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM Đường thẳng d qua trọng tâm G cắt cạnh AB AC theo thứ tự E F Tìm giá tri nhỏ diện tích tam giác AEF Lời giải: Áp dụng BĐT ( a + b ) ≥ 4ab , đẳng thức xảy a = b kết toán 2, ta 2 AB AC  AB AC  + có  ÷ ≥ AE AF  AE AF  ⇔ ≥ S ABC ⇔ S AEF ≥ S ABC S AEF Đẳng thức xảy AB AC = ⇔ d // BC AE AF Vậy s AEF = s ABC d // BC (đpcm) Bài toán Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Một đường thẳng qua trọng tâm G cắt cạnh AB AC theo thứ tự E F Tìm giá trị lớn diện tích tam giac AEF Lời giải: Áp dụng kết tốn đặt AB = x(1 ≤ x ≤ 2) AE S ABC AB AC AB = = x(3 − x) = ( x − 1)(2 − x) + ≥ = − x Ta có S AEF AE AF AF Suy S AEF ≤ S ABC Đẳng thức xảy x = x = 2 Vậy max S AEF = S ABC đạt E trùng B F trùng C Nhận xét: Từ hai toán ta tìm giá trị nhỏ giá trị lớn diện tích tứ giác BCFE Bài tốn Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Đường thẳng d qua trọng tâm G cắt cạnh AB AC theo thứ tự E F Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích tam giác BEF CEF Lời giải: Kẻ AH, BP, MI, CN vng góc với đường thẳng d Khi BP + CN = MI Do AH // MI nên ⇒ AH = MI AH AG = =2 MI GM (1) Ta có: S BEF + SCEF = EF ( BP + CN ) = 1 EF MI = EF MI = EF AH = S AEF (2) 2 Ta thấy S AEF ≥ S ABC (Theo toán 4) (3) Từ (1), (2), (3) suy S BEF + SCEF ≥ S ABC Vậy min( S BEF + SCEF ) = S ABC , đạt d//BC (đpcm) Nhận xét: Tiếp tục khai thác kết tốn gốc Ta có tốn Bài toán Giả sử AP, BF,CE đường cao tam giác nhọn ABC Chứng minh S EFP = − ( cos A + cos B + cos C ) S ABC Lời giải: S EFP AE AF AE AE = = = cos A S ABC AB AC AC AB S S 2 CFP BEP Tương tự S = cos B ; S = cos C ABC ABC Do đó: S EFP S ABC − ( S AEF + S BEP + SCPF ) = S ABC S ABC Vậy: S EFP = − ( cos A + cos B + cos C ) (đpcm) S ABC Bài toán Gọi AP, BF, CE đường phân giác tam giác nhọn ABC có cạnh AB = c, Ac = b, BC = a S 2abc EFP Chứng minh S = ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ABC Lời giải: S AE AF AE AE b c AEF Ta có: S = AB AC = AC AB = ( b + a ) ( c + a ) ABC S a SCEP a b = S ABC ( c + a ) ( c + b ) c BEP Tương tự: S = ( b + a ) ( c + b ) ABC S EFP S ABC − ( S AEF + S BEP + SCPF ) = S ABC S ABC Do đó: S 2abc EFP Vậy: S = ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) (đpcm) ABC Nhận xét: Như biết độ dài ba cạnh tam giác ABC, kết hợp với định lí Héron ta tính diện tích tam giác EFP Bài toán Trên ba cạnh AB, BC, CA tam giác ABC lấy điểm M, N, P cho S MNP AM BN CP = = = = k Tìm k cho S ABC AB BC PA Lời giải: Từ giả thiết có: AM BN CP k = = = AB BC AC k + BM CN PA = = = AB BC AC k + S AM AP k AMP ta có: S = AB AC = , ( k + 1) ABC S S k BMN CNP Tương tự S = S = ( k + 1) ABC ABC S MNP Suy S = ABC S S ABC − ( S AMP + S BMN + SCNP ) S ABC 3k = 1− 3k ( k + 1) MNP = ⇒ k − 6k + = ⇒ k = ± 2 Do S = ⇔ − ( k + 1) ABC Bài toán 10 Cho hình bình hành ABCD có diện tích S.Trên cạnh BC, CD lấy điểm M N cho BM CN = = k Gọi P Q theo thứ tự MC DN giao điểm AM AN với BD a) So sánh diện tích tứ giác PMNQ tam giác APQ b) Tính diện tích tam giác AMN theo k S Lời giải: AP + PM AQ + QN  PM = 1 + AP AQ AP  BM BM k DN DN =k⇒ = = ⇒ = Vì MC BC k + CN 2k DC 2k + S AM AN AMN = = a)Ta có: S AP AQ APQ   QN  ÷ (*) ÷ + AQ   Do BC // AD CD // AB nên QN DN DN PM BM BM k = = = AQ = AB = DC = 2k + AP AD BC k + Thay vào (*) ta có S AMN  k   = 1 + ÷1 + ÷= S APQ  k +  2k +  Suy S MNPQ = S APQ b) Chú ý S ABCD = S ABC = 2S ADC = SCBD S ABM BM k = = S ABC BC k + S ADN DN = = S ABD DC 2k + Ta có: CB CD 2k + = 1+ k ; = CM CN 2k SCMN Suy S BCD = CM CM 2k = CB.CD ( + k ) ( 2k + 1) S ANM S ABCD − ( S ABM + S ADN + SCMN ) = S ABCD S ABCD = 1− = S S S AMB 1 k 2k − ADN − CMN = −  + +  2S ABC S ADC S DBC  k + 2k + ( k + 1) ( 2k + 1) 2k + 2k + 2k + 2k + S (đpcm) Vậy S AMN = 2(k + 1)(2k + 1) 2(k + 1)(2k + 1) 10  ÷ ÷  Qua ta thấy tốn gốc có nhiều ứng dụng để giải toán khác 2.4 Hiệu sáng kiến Sau điều tra 40 học sinh lớp 8A trường THCS Trần Mai Ninh, kết cụ thể sau: Sau áp dụng cách dạy kết là: Sĩ số 40 Rất thích SL % 15 37,5 Thích SL 20 % 50 Khơng thích SL % 12,5 3.Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Để chất lượng học tập học sinh ngày nâng cao, người giáo viên cần phải nắm vững kiến thức dạy, kiến thức trọng tâm cần truyền thụ cho học sinh tiết học Cần vận dụng linh hoạt, sáng tạo kết tốn vận dụng triệt để hình vẽ tập để khai thác phát triển thành tập hay hơn, khó Đồng thời phải lựa chọn phương pháp phù hợp cho dạy, cho đối tượng học sinh, cho em tự chiếm lĩnh tri thức cách sâu sắc, xây dựng ý thức tự học, tính cẩn thận, xác, tư duy, óc sáng tạo, kĩ phân tích, tổng hợp, biết xử lí vấn đề tình huống, giúp học sinh chủ động chiếm lĩnh tri thức mới, thụ động tiếp cận tri thức có sẵn Bên cạnh giáo viên phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng, tìm tịi nghiên cứu tài liệu, khơng ngừng sáng tạo, thường xuyên trau dồi chuyên môn nghiệp vụ cho thơng qua hình thức, đặc biệt dự thăm lớp, góp ý trao đổi chun mơn với đồng nghiệp, phải xây dựng mối quan hệ tốt, gần gũi thân thiện với học sinh, chỗ dựa, gương để em noi theo 3.2.Kiến nghị - Đối với học sinh trung bình trở xuống, khả lĩnh hội kiến thức, tư chậm nên chuyển tải kiến thức khó khăn Do cần có thời gian, vận dụng kiến thức linh hoạt thường xuyên kiên trì - Muốn dạy học sinh biết khai thác toán, thân giáo viên phải thường xun thực điều đó, liên tục tìm tòi, học hỏi qua bạn bè đồng nghiệp, qua sách báo tài liệu - Việc khai thác phát triển tốn quen thuộc giúp học sinh định hướng tìm lời giải tốn hình học vấn đề quan trọng thiếu 11 cơng tác dạy học tốn nói chung dạy hình học nói riêng, triển khai đến chương trình lớp Tôi hy vọng với chút kinh nghiệm nhỏ tơi xin đưa để trao đổi với đồng nghiệp Tôi mong nhận ủng hộ đóng góp quý đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện Xin chân thành cám ơn! Xin chân thành cám ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ TP Thanh Hoá, ngày 30 tháng năm 2022 CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết đề tài Lê Trí Dũng 12 Tài liệu tham khảo Bộ Giáo dục đào tạo Sách giáo khoa toán tập 2, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Tôn Thân cộng Sách tập toán tập 2, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Vũ Hữu Bình Nâng cao phát triển toán 8, toán 9, tập 2, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Vũ Hữu Bình Tơn Thân Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8, toán tập 2, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Vũ Dương Thụy Luyện giải ơn tập tốn tập 2, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam 6.Nguồn internet 13 ... trình dạy tốn giải tốn xuất phát từ toán gốc, xin trao đổi quý đồng nghiệp đề tài: “ Ứng dụng hệ thức hình học vào giải tốn” nhằm nâng cao chất lượng kì thi học sinh giỏi, thi vào THPT 2.1 Mục... thấy: - Học sinh giải tốn hình học học sinh biết sử dụng toán gốc để giải (Học sinh khơng biết tốn có liên quan đến tốn nào), việc tìm lời giải tốn vơ khó khăn - Đa số học sinh sau tìm lời giải. .. thực tế dạy học tơi thấy: Trong chương trình Tốn THCS "Các tốn hình học" đa dạng, phong phú trừu tượng Học sinh học tốn khó, hình học lại khó vì: Để làm tốn hình học học sinh phải vận dụng tất định