Đại số 10 – các phép toán trên tập hợp

1 Tổng hai vectơ: ur F Tổng hai vectơ: Định nghĩa: (Xem SGK) B r a r a r b A r b r r ab r r uuu r uuur uuur a  b  AB  BC  AC uuu r uuur uuur � AB  BC  AC C Quy tắc hình bình hành: uuur uuur uuur Nếu ABCD hình bình hành AB  AD  AC B A C D r uuur uuur uuu r uuur uuu AB  AD  AB  BC  AC Tính chất phép cộng vectơ: r b B r a A r r ab r r ba r b C r a E r r uuu r uuur uuur a  b  AB  BC  AC r r uuur uuur uuur b  a  AE  EC  AC Tính chất phép cộng vectơ: r b B r a A r r ab r r ba r b r r bc r a C r c D E r r r uuu r uuur uuur uuur uuur uuur a  b  c  ( AB  BC )  CD  AC  CD  AD r r r uuu uuu r uuur uuur r uuur uuur a  b  c  AB  ( BC  CD )  AB  BD  AD     Tính chất phép cộng vectơ: r r r Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có r r r r a  b  b  a ( tính chất giao hoán) r r r r r r a  b  c  a  b  c ( tính chất kết hợp) r r r r r a    a  a ( tính chất vectơ - khơng)     Hiệu hai vectơ: Hiệu hai vectơ: a) Vectơ đối: Hai vectơ đối chúng có độ dài ngược hướng B A r r r r a b đối nhau, ta viết: a =  b uuu r uuu r Ví dụ 1: AB   BA uuur uuur MP   NB uuur uuuu r NP   AM uuu r uuur PA   PC D C A M P B N C uuu r uuur r uuu r uuur Bài tập a: Chứng minh AB  BC  � AB   BC Giải: uuu r uuur r uuur r uuu r uuur AB  BC  � AC   A C � AB   BC uuur uuu r uuur uuur AB   BC � AB  CB uuu r uuur uuu r uuur � AB  BC  CB  BC uuu r uuur uuur uuu r uuur r � AB  BC  CC � AB  BC  r Ghi nhớ: Hai vec tơ đối có tổng ngược lại 4 Hiệu hai vectơ: b) Định nghĩa hiệu hai vectơ: (Xem SGK) B r a r b r r a b A r a r b O r r r r r uuu r uuu r uuu a  b  a  b  OA  AB  OB   uuu r uuu r uuu r � OB  OA  AB Chú ý: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta ln có: uuu r uuur uuur AB  BC  AC uuu r uuur uuu r AB  AC  CB (quy tắc ba điểm) (quy tắc trừ) uuu r uuur uuur uuu r Ví dụ 2: Cho A, B, C, D Chứng minh AB  CD  AD  CB Giải: Lấy O tùy ý uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuur VT  AB  CD  OB  OA  OD  OC r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuu  OD  OA  OB  OC  AD  CB  VP uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur Cách 2: VT  AB  CD  AD  DB  CB  BD uuur uuu r uuur uuur  AD  CB  DB  BD uuur uuu r r  AD  CB   VP                 Áp dụng: uu r uur r a) I trung điểm AB � IA  IB  uuu r uuu r uuur r b) G trọng tâm ΔABC � GA  GB  GC  Chứng minh: uu r uur uu r uur r a) I trung điểm AB � IA   IB � IA  IB  b) Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ΔABC nên GA=2GI Lấy D đối xứng với G qua I Khi đó, GADC hình bình hành G trung điểm AD uuu r uuur uuur uuu r uuur r � GB GD uuu r  GC uuu r u uur vàr GA  GD  � GA  GB  GC uuu r  0uuu r uuur r Ngược lai, GA  GB  GC  ta dựng bên suy G trọng tâm ΔABC I A B A G B C I D Bài 1/12: uCho uuurvà M uuurnằm AB cho MA>MB Vẽ uur đoạn uuur AB vectơ MA  MBvà MA  MB Giải: uuur uuur Lấy N AB cho AN  MB N M A B Vì MA>MB nên N nằm AM Ta có: uuur uuur uuur uuur uuuu r MA  MB  MA  AN  MN M uuur uuur uuu r A B MA  MB  BA Bài 2/12: Cho hìnhuubình ur uhành uuu r ABCD uuur uuvà uu r điểm M tùy ý Chứng minh rằng: MA  MC  MB  MD Giải: uuu r uuur Cách 1: ABCD hbh nên BA   DC B uuur uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur VT  MA  MC  MB  BA  MD  DC uuur uuuu r uuu r uuur  MB  MD  BA  DC A uuur uuuu r r D  MB  MD uu0ur VPuuur Cách 2: ABCD hbh nên BC   DA uuur uuuu r uuur uuuu r MA  MC  MB  MD uuur uuuu r uuuu r uuur  MA  MD  MC  MB r uuur uuur  DA  BC  uuur uuuu r uuur uuuu r � MA  MC  MB  MD             C Bài 3/12: Chứng minh với tứ giác ABCD la ln có: uuu r uuur uuur uuur r uuu r uuur uuu r uuur a) AB  BC  CD  DA  b) AB  AD  CB  CD Giải: uuu r uuur uuur uuur a) VT= AB  BC  CD  DA uuur uuu r r = AC  CA =0  VP uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur b) VT= AB  AD  DB b) AB  AD  CB  CD uuu r uuur uuur uuur uuur VP=CB  CD  DB      � VP=VT    r = DB  DB  uuu r uuur uuu r uuur � AB  AD  CB  CD Bài 4/12: Cho ΔABC Bên tam giác uuu rvẽ uur hình uuu r bình r hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh rằng: RJ  IQ  PS  Giải: uuu r uuu r uuu r Ta có: RJ  RA  AJ uur uur uuur IQ  IB  BQ uuu r uuur uuu r PS  PC  CS R J A S I B C mà ABIJ, BCPQ, CARS hình bình hành nên Q uuur uuu r uuu r uuu r uur uuur RA  CS ; AJ   IB; BQ   PC r uuu r uur uuur uuur uuu r uuu r uur uuu r uuu � RJ  IQ  PS  RA  AJ  IB  BQ  PC  CS r uuu r uuu r uuu r uur uuur uuur  RA  CS  AJ  IB  BQ  PC =0       P Bài 5/12: Cho ΔABC cạnh a Tính độ dài vectơ uuu r uuur uuur uuur AB  BC AB  BC Giải: uuu r uuur uuur *) Ta có: AB  BC  AC uuur uuur uuur AB  BC = AC nên A I a  AC  a E B **) Lấy E đối xứng với C qua B, I trung điểm AE a � AE  a ΔABI nửa tam giác cạnh a nên AI  uuur uuur uuu r uuu r  CB Ta có: AB  BC  AB uuu r uuu r uuur  AB  BE  AE uuu r uuur uuur AB  BC = AE  AE  a nên C Bài 6/12: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh rằng: uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r b) AB  BC  DB a ) CO  OB  BA uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r c) DA  DB  OD  OC d ) DA  DB  DC  Giải: uuur uuu r B a) Ta có: CO  OA r uuu r uuu r uuur uuur uuu O urOA  OB  BA urOBuu nên COuu b) Ta có: BC  AD A r uuur uuur uuu r uuur uuu D nên AB  BC  AB  AD  DB uuu r uuur c) Ta có: BA  CD uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur DA  DB  BA; OD  OC  CD nên DA  DB  OD  OC uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r uuur r d) Ta có: BA   DC nên DA  DB  DC  BA  DC  C r r Bài 8/12: So sánh độ dài, phương hướng hai vectơ a, b nếu: r r ab  Giải: r r r r r ab  � ab  r r � a  b r r � a, b độ dài ngược hướng r r r Bài 7/12: Cho hai vectơ a, b khác vectơ Khi có đẳng thức: r r r r r r r r b) a  b  a  b a) a  b  a  b Giải: uuu r r uuur r Dựng AB  a BC  b a) Ta có: r r r r uuu r uuur uuur a  b  AB  BC  AC � a  b  AC r r a  b  AB  BC r r r r a  b  a  b � AB  BC  AC B r a r a r b r r ab A A Suy A,B, C thẳng hàng, B nằm A,C r r Suy a, b phương r a r b B C r b C r r r Bài 7/12: Cho hai vectơ a, b khác vectơ Khi có đẳng thức: r r r r r r r r b) a  b  a  b a) a  b  a  b Giải: uuu r r uuu r r Dựng OA  a OB  b , lấy C để OACB hbh b) Ta có: r r r r uuu r uuu r uuur a  b  OA  OB  OC � a  b  OC r r r r uuu r uuu r uuu r a  b  OA  OB  BA � a  b  AB r r r r a  b  a  b � AB  OC A r a r a r r a b O r b r r ab C r b B r r Suy OABC hình chữ nhật Suy giá a, bvng góc với r r *) Nếu a, b phương đẳng thức không xảy  ... AB  BC  AC Tính chất phép cộng vectơ: r b B r a A r r ab r r ba r b C r a E r r uuu r uuur uuur a  b  AB  BC  AC r r uuur uuur uuur b  a  AE  EC  AC Tính chất phép cộng vectơ: r b B... AD     Tính chất phép cộng vectơ: r r r Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có r r r r a  b  b  a ( tính chất giao hốn) r r r r r r a  b  c  a  b  c ( tính chất kết hợp) r r r r r a  ... uuur Cách 1: ABCD hbh nên BA   DC B uuur uuuu r uuur uuu r uuuu r uuur VT  MA  MC  MB  BA  MD  DC uuur uuuu r uuu r uuur  MB  MD  BA  DC A uuur uuuu r r D  MB  MD uu0ur VPuuur Cách