CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRÒN I SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN Đường trịn Đường trịn tâm O bán kính R (R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R Vị trí tương đối điểm đường tròn Cho đường tròn (O; R) điểm M • M nằm đường trịn (O; R) ⇔OM = R • M nằm đường trịn (O; R) ⇔OM < R • M nằm ngồi đường trịn (O; R) ⇔OM > R Cách xác định đường trịn Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Tính chất đối xứng đường trịn • Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường trịn tâm đối xứng đường trịn • Đường trịn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường trịn Bài Cho tứ giác ABCD có µC + µD = 900 Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BD, DC CA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường tròn HD: Chứng minh MNPQ hình chữ nhật Bài Cho hình thoi ABCD có µA = 600 Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường tròn HD: Chứng minh EFGH hình chữ nhật, ∆OBE tam giác Bài Cho hình thoi ABCD Đường trung trực cạnh AB cắt BD E cắt AC F Chứng minh E, F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABD HD: Chứng minh E, F giao điểm đường trung trực tương ứng Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường trịn (I) đường kính OA Bán kính OC đường trịn (O) cắt đường tròn (I) D Vẽ CH ⊥AB Chứng minh tứ giác ACDH hình thang cân HD: Chứng minh ∆ADO = ∆CHO ⇒OD = OH, AD = CH Chứng minh HD // AC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có µC = µD = 600 , CD = 2AD Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn HD: Chứng minh IA = IB = IC = ID , với I trung điểm CD Bài Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn HD: Bài Cho hai đường thẳng xy x′ y′ vng góc O Một đoạn thẳng AB = 6cm chuyển động cho A nằm xy B x′ y′ Hỏi trung điểm M AB chuyển động đường nào? HD: Bài Cho tam giác ABC có đường cao BH CK a) Chứng minh: B, K, H C nằm đường tròn Xác định tâm đường trịn b) So sánh KH BC II DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN So sánh độ dài đường kính dây Trong dây đường trịn, dây lớn đường kính Hình học Hồ Thanh Trung Quan hệ vng góc đường kính dây • Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây • Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây không qua tâm vng góc với dây Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây • Trong đường trịn: – Hai dây cách tâm – Hai dây cách tâm • Trong hai dây đường trịn: – Dây lớn dây gần tâm – Dây gần tâm dây lớn Bài Cho đường tròn (O; R) ba dây AB, AC, AD Gọi M, N hình chiếu B đường thẳng AC, AD Chứng minh MN ≤ 2R HD: Chứng minh bốn điểm A, B, M, N nằm đường trịn đường kính AB ⇒MN ≤ AB Bài Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai dây AB CD vng góc với Chứng minh rằng: SABCD ≤ 2R2 AB.CD Bài Cho đường tròn (O; R) dây AB không qua tâm Gọi M trung điểm AB Qua M vẽ dây CD không trùng với AB Chứng minh điểm M không trung điểm CD HD: Dùng phương pháp phản chứng Giả sử M trung điểm CD ⇒vơ lý Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vng góc với AB Lấy điểm E đối xứng với A qua M a) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? b) Giả sử R = 6,5cm, MA = 4cm Tính CD HD: SABCD = c)* Gọi H K hình chiếu M CA CB Chứng minh: MH MK = MC 2R HD: a) ACED hình thoi b) CD = 12cm MA.MC MB.MC , MK = c) MH = AC BC Bài Cho đường tròn (O; R) hai dây AB, CD vng góc với I Giả sử IA = 2cm, IB = 4cm Tính khoảng cách từ tâm O đến dây HD: OH = OK = 1cm Bài Cho đường tròn (O; R) Vẽ hai bán kính OA, OB Trên bán kính OA, OB lấy điểm M, N cho OM = ON Vẽ dây CD qua M, N (M C N) a) Chứng minh CM = DN b) Giả sử ·AOB = 900 Tính OM theo R cho CM = MN = ND HD: a) Vẽ OH ⊥CD ⇒H trung điểm CD MN b) Đặt OH = x C minh ∆HOM vuông cân ⇒HM = x Do CM = MN = ND ⇒HC = 3x R ⇒OM = Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Gọi M, N trung điểm OA, OB Qua M, N vẽ dây CD EF song song với (C E nằm nửa đường trịn đường kính AB) a) Chứng minh tứ giác CDEF hình chữ nhật b) Giả sử CD EF tạo với AB góc nhọn 300 Tính diện tích hình chữ nhật CDFE HD: a) Vẽ OH ⊥CD Đường thẳng OH cắt EF K ⇒OH = OK ⇒CD = EF Trang 2 R R ⇒ HK = Vì µE = 900 nên CF đường kính EF = 15R S = 15R 4 Bài Cho đường tròn (O) dây CD Từ O kẻ tia vng góc với CD M, cắt (O) H Tính bán kính R (O) biết: CD = 16cm MH = 4cm HD: Bài Cho đường trịn (O; 12cm) có đường kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I OC cho góc NID 300 Tính MN HD: III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN b) OH = Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Cho đường tròn (O; R) đường thẳng ∆ Đặt d = d(O, ∆) VTTĐ đường thẳng đường tròn Số điểm chung Đường thẳng đường tròn cắt Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường trịn khơng giao Hệ thức d R d< R d= R d> R Khi đường thẳng đường trịn tiếp xúc đường thẳng đgl tiếp tuyến đường tròn Điểm chung đường thẳng đường tròn đgl tiếp điểm Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường trịn • Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vng góc với bán kính qua tiếp điểm • Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường trịn Tính chất hai tiếp tuyến cắt Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì: • Điểm cách hai tiếp điểm • Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến • Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Đường trịn nội tiếp tam giác • Đường trịn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đgl đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác đgl ngoại tiếp đường trịn • Tâm đường trịn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc tam giác Đường trịn bàng tiếp tam giác • Đường trịn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh đgl đường tròn bàng tiếp tam giác • Với tam giác, có ba đường trịn bàng tiếp • Tâm đường trịn bàng tiếp tam giác góc A giao điểm hai đường phân giác góc ngồi B C, giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác B (hoặc C) Bài Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E nằm đường trịn (gọi tâm O) b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O) HD: a) D, E nằm đường trịn đường kính AH b) Chứng minh ·OEA = ·OAE = ·ECM = ·CEM ⇒·MEO = ·CEM + ·CEO = ·OEA + ·CEO = 900 Bài Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Vẽ dây AC cho ·CAB = 300 Trên tia đối tia BA, lấy điểm M cho BM = R Chứng minh rằng: Hình học a) MC tiếp tuyến đường tròn (O) Hồ Thanh Trung b) MC = 3R2 HD: a) Chứng minh ∆COM vuông C.b) MC = OM − OC Bài Cho tam giác ABC vng A có AB = 8, AC = 15 Vẽ đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với B qua H Vẽ đường trịn đường kính CD, cắt AC E a) Chứng minh HE tiếp tuyến đường trịn b) Tính độ dài HE HD: a) Gọi O F trung điểm CD AE Chứng minh DE // AB (C,O,D ∈ (O;CD) , HF ⊥AB(AEDB hình thang)⇒·HEO = 900 AB.AC 120 = BC 17 Bài Từ điểm M ngồi đường trịn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên tia OB lấy điểm C cho BC = BO Chứng minh ·BMC = ·BMA HD: Chú ý ∆OMC cân M Bài Cho đường trịn (O; R) điểm A ngồi đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB, AC Chứng minh ·BAC = 600 OA = 2R HD: Chú ý ∆ABO vuông B Bài Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Đường thẳng vng góc với OB O cắt AC N Đường thẳng vng góc với OC O cắt AB M a) Chứng minh tứ giác AMON hình thoi b) Điểm A phải cách điểm O khoảng MN tiếp tuyến (O) HD: a) Chứng minh ON // AB, OM // AC b) OA = 2R Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến đường tròn vẽ từ A C cắt M Trên tia AM lấy điểm D cho AD = BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình bình hành b) Ba đường thẳng AC, BD, OM đồng quy HD: a) Chứng minh AD // BC (cùng vng góc với OA) b) Gọi E giao điểm OM AC ⇒E trung điểm AC Bài Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC vuông A Chứng minh r = p − a , p nửa chu vi tam giác, a độ dài cạnh huyền HD: Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh tam giác ⇒AEOF hình vng Bài Chứng minh diện tích tam giác ngoại tiếp đường trịn tính theo cơng thức: S = pr , p nửa chu vi tam giác, r bán kính đường trịn nội tiếp HD: Diện tích tam giác tổng diện tích ba tam giác nhỏ Bài 10 Cho đường tròn (O), dây cung CD Qua O vẽ OH ⊥ CD H, cắt tiếp tuyến C đường tròn (O) M Chứng minh MD tiếp tuyến (O) HD: Cm cặp tam giác OCM=ODM=90 Bài 11 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ tia Ax ⊥ AB By ⊥ AB phía nửa đường trịn Gọi I điểm nửa đường tròn Tiếp tuyến I cắt A x C By D Chứng minh AC + BD = CD HD: CM: BD=ID; AC=CI Bài 12 Cho đường tròn (O; 5cm) Từ điểm M (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho MA ⊥ MB M a) Tính MA MB b) Qua trung điểm I cung nhỏ AB, vẽ tiếp tuyến cắt OA, OB C D Tính CD HD: a) MAOB Hvng;b) tính MI CD=2MI Bài 13 Cho đường trịn (O) Từ điểm M ngồi (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho góc ·AMB = 600 Biết chu vi tam giác MAB 18cm, tính độ dài dây AB HD: CM: ∆ ABC đều AB = 6(cm) b) HE = AH = Trang IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN Tính chất đường nối tâm • Đường nối tâm hai đường tròn trục đối xứng hình gồm hai đường trịn • Nếu hai đường tròn cắt thi hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm • Nếu hai đường trịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm Vị trí tương đối hai đường tròn Cho hai đường tròn (O; R) (O′ ; r) Đặt OO′ = d Số điểm VTTĐ hai đường tròn Hệ thức d với R r chung R− r < d < R+ r Hai đường tròn cắt Hai đường tròn tiếp xúc nhau: d = R+ r – Tiếp xúc d = R− r – Tiếp xúc Hai đường trịn khơng giao nhau: d > R+ r – Ở d < R− r – (O) đựng (O′ ) Tiếp tuyến chung hai đường tròn Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường trịn Tiếp tuyến chung ngồi tiếp tuyến chung khơng cắt đoạn nối tâm Tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm Bài Cho hai đường tròn (A; R1), (B; R2) (C; R3) đôi tiếp xúc ngồi Tính R 1, R2 R3 biết AB = 5cm, AC = 6cm BC =7cm HD: R1 = 2(cm) , R2 = 3(cm) , R3 = 4(cm) Bài Cho hai đường tròn (O; 5cm) (O′ ; 5cm) cắt A B Tính độ dài dây cung chung AB biết OO′ = 8cm HD: AB = 6(cm) Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O′ ; R′ ) cắt A B với R > R′ Vẽ đường kính AOC AO′ D Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng HD: Chứng minh BC, BD song song với OO′ chứng minh ·CBD = 1800 Bài Cho hai đường tròn (O) (O′ ) cắt A B Vẽ cát tuyến chung MAN cho MA = AN Đường vng góc với MN A cắt OO′ I Chứng minh I trung điểm OO′ HD: Bài Cho hai đường tròn (O) (O′ ) tiếp xúc A Gọi M giao điểm hai tiếp tuyến chung BC tiếp tuyến chung Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính OO′ M OO′ HD: Chứng minh IM = IM ⊥BC Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O′ ; R) tiếp xúc M Hai đường tròn (O) (O′ ) tiếp xúc với đường tròn lớn (O′′ ; R′′ ) E F Tính bán kính R′′ biết chu vi tam giác OO′ O′′ 20cm HD: Bài Cho đường tròn (O; 9cm) Vẽ đường tròn bán kính R tiếp xúc với (O) đường tròn tiếp xúc với hai đường khác bên cạnh Tính bán kính R HD: Bài Cho hai đường tròn đồng tâm Trong đường tròn lớn vẽ hai dây AB = CD tiếp xúc với đường tròn nhỏ M N cho AB ⊥ CD I Tính bán kính đường tròn nhỏ biết IA = 3cm IB = 9cm Hình học Hồ Thanh Trung HD: Bài Cho ba đường trịn (O1),(O2),(O3) có bán kính R tiếp xúc ngồi đơi Tính diện tích tam giác có ba đỉnh ba tiếp điểm HD: Tam giác cạnh R ⇒S = R Bài 10 Cho hai đường tròn (O) (O′ ) tiếp xúc A Qua A vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) B cắt đường tròn (O′ ) C Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) Từ C vẽ đường thẳng uv song song với xy Chứng minh uv tiếp tuyến đường tròn (O′ ) HD: Xét hai trường hợp tiếp xúc Chứng minh OB // O′ C ⇒O′ C ⊥uv Bài 11 Cho hình vng ABCD Vẽ đường trịn (D; DC) đường trịn (O) đường kính BC, chúng cắt điểm thứ hai E Tia CE cắt AB M, tia BE cắt AD N Chứng minh rằng: a) N trung điểm AD b) M trung điểm AB HD: a) ∆ABN = ∆CDO ⇒AN = CO b) ∆BCM = ∆CDO ⇒BM = CO Bài 12 Cho góc vng xOy Lấy điểm I K tia Ox Oy Vẽ đường tròn (I; OK) cắt tia Ox M (I nằm O M) Vẽ đường tròn (K; OI) cắt tia Oy N (K nằm O N) a) Chứng minh hai đường tròn (I) (K) cắt b) Tiếp tuyến M đường tròn (I) tiếp tuyến N đường tròn (K) cắt C Chứng minh tứ giác OMCN hình vng c) Gọi giao điểm hai đường tròn (I), (K) A B Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng d) Giả sử I K theo thứ tự di động tia Ox Oy cho OI + OK = a (không đổi) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định HD: a) Xét ∆OIK ⇒R − r < d < R + r b) µO = µM = µN = 900,OM = ON c) Gọi L = KB ∩ MC, P = AB ∩ MC OKBI hình chữ nhật, BLMI hình vng ∆BLP = ∆KOI ⇒LP = OI ⇒MP = OM = MC ⇒P ≡ C d) OM = a Hình vng OMCN cạnh a, cố định ⇒AB qua điểm C cố định BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Vẽ đường phân giác BI a) Chứng minh đường tròn (I; IA) tiếp xúc với BC b) Cho biết AB = a Chứng minh AI = ( − 1)a Từ suy tan22030′ = − HD: a) Vẽ ID ⊥BC ⇒IA = ID b) Xét ∆ABI ⇒AI = a.tan22030′ ∆DIC vuông cân ⇒AI = DC = ( − 1)a Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định đường trịn Qua A vẽ tiếp tuyến xy Từ điểm M xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) Hai đường cao AD BE tam giác MAB cắt H a) Chứng minh ba điểm M, H, O thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác AOBH hình thoi c) Khi điểm M di động xy điểm H di động đường nào? HD: a) Chứng minh ∆MAB cân, MH, MO tia phân giác ·AMB b) Chứng minh AOBH hình bình hành có hai cạnh kề c) H di động đường tròn (A; R) Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ điểm M nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD BC vng góc với xy a) Chứng minh MC = MD b) Chứng minh AD + BC có giá trị khơng đổi điểm M di động nửa đường tròn c) Chứng minh đường trịn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC AB d) Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn (O) diện tích tứ giác ABCD lớn Trang HD: a) OM đường trung bình hình thang ABCD b) AD + BC = 2R c) Vẽ ME ⊥AB ∆BME = ∆BMC ⇒ME = MC = MD d) S = 2R.ME ≤ 2R.MO ⇒S lớn ⇔M đầu mút bán kính OM ⊥AB Bài Cho tam giác ABC, O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm di động D, E cho ·DOE = 600 a) Chứng minh tích BD.CE khơng đổi b) Chứng minh ∆BOD # ∆OED Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE c) Vẽ đường trịn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường trịn ln tiếp xúc với DE BD OB HD: a) ∆BOD # ∆CEO ⇒BD.CE = BC b) ⇒∆BOD # ∆OED = OD OE c) Vẽ OK ⊥DE Gọi H tiếp điểm (O) với cạnh AB Chứng minh OK = OH Bài Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB điểm E di động nửa đường trịn (E khơng trùng với A B) Vẽ tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Tia AE cắt By C, tia BE cắt Ax D a) Chứng minh tích AD.BC khơng đổi b) Tiếp tuyến E nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự M N Chứng minh ba đường thẳng MN, AB, CD đồng quy song song với c) Xác định vị trí điểm E nửa đường trịn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ Tính diện tích nhỏ HD: a) ∆ABD # ∆BCA ⇒AD.BC = AB2 b) ∆MAE cân ⇒∆MDE cân ⇒MD = ME = MA Tương tự NC = NB = NE Sử dụng bổ đề hình thang ⇒đpcm c) S = 2R.MN ⇒S nhỏ ⇔MN nhỏ ⇔MN ⊥AD ⇔OE ⊥AB Smin = 4R2 Bài Cho đoạn thẳng AB cố định Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB A, đường tròn (O ′ ) tiếp xúc với AB B Hai đường trịn ln thuộc nửa mặt phẳng bờ AB tiếp xúc với Hỏi tiếp điểm M hai đường tròn di động đường nào? HD: Từ M vẽ tiếp tuyến chung hai đường tròn, cắt AB I Chứng minh IA = IB = IM Từ suy M di động đường trịn tâm I đường kính AB Bài Cho đường trịn (O; R) nội tiếp ∆ABC Gọi M, N, P tiếp điểm AB, AC, BC với (O) Chứng minh rằng: P∆ ABC = 2(AM + BP + NC ) Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Dây CD cắt đường kính AB I Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CH = DK HD: Vẽ EH ⊥CD Chứng minh EH = EK ⇒CH = DK Bài Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) Cho biết góc ·AMB = 400 a) Tính góc ·AOB b) Từ O kẽ đường thẳng vng góc với OA cắt MB N Chứng minh tam giác OMN tam giác cân HD: a) ·AOB = 1400 b) Chứng minh ·NOM = ·NMO Bài 10 Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường trịn phía AB Từ điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By C D a) Chứng minh: Tam giác COD tam giác vuông b) Chứng minh: MC.MD = OM2 c) Cho biết OC = BA = 2R, tính AC BD theo R HD: a) OC ⊥OD c) AC = R , BD = MD = R Hình học Hồ Thanh Trung Bài 11 Cho hai đường tròn (O) (O′ ) tiếp xúc với B Vẽ đường kính AB đường trịn (O) đường kính BC đường trịn (O′ ) Đường trịn đường kính OC cắt (O) M N a) Đường thẳng CM cắt (O′ ) P Chúng minh: OM // BP b) Từ C vẽ đường thẳng vng góc với CM cắt tia ON D Chứng minh tam giác OCD tam giác cân HD: a) OM ⊥MC, BP ⊥MC b) CD // OM; ∆OCD cân D Bài 12 Cho hai đường tròn (O; R) (O′ ; R′ ) cắt A B cho đường thẳng OA tiếp tuyến đường tròn (O′ ; R′ /) Biết R = 12cm, R′ = 5cm a) Chứng minh: O′ A tiếp tuyến đường trịn (O; R) b) Tính độ dài đoạn thẳng OO′ , AB 120 HD: a) O′ A ⊥OA b) OO′ = 13(cm) ; AB = (cm) 13 Bài 13 Cho đường trịn tâm O bán kính R = 6cm điểm A cách O khoảng 10cm Từ A vẽ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm) a) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB b) Vẽ cát tuyến ACD, gọi I trung điểm đoạn CD Hỏi C chạy đường tròn (O) I chạy đường ? HD: Bài 14 Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) Dây AB (O; R) tiếp xúc với (O; r) Trên tia AB lấy điểm E cho B trung điểm đoạn AE Từ E vẽ tiếp tuyến thứ hai (O; r) cắt (O; R) C D (D E C) a) Chứng minh: EA = EC b) Chứng minh: EO vuông góc với BD c) Điểm E chạy đường dây AB (O; R) thay đổi tiếp xúc với (O; r)? HD: Bài 15 Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB điểm M nằm nửa đường trịn H chân đường vng góc hạ từ M xuống AB a) Khi AH = 2cm, MH = 4cm, tính độ dài đoạn thẳng AB, MA, MB b) Khi điểm M di động nửa đường tròn (O) Hãy xác định vị trí M để biểu thức: 1 + có giá trị nhỏ MA MB2 c) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến (O) A D, OD cắt AM I Khi điểm M di động nửa đường trịn (O) I chạy đường ? HD: Bài 16 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường trịn (O) đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác a) Tính số đo góc ·ABD ? b) Tứ giác BHCD hình gì? Vì sao? c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH HD: a) ·ABD = 900 b) BHCD hình bình hành Bài 17 Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường tròn (O) D a) AD có phải đường kính đường trịn (O) khơng ? Vì sao? b) Chứng minh: BC2 = 4AH.DH c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm Tính bán kính đường trịn (O) HD: Bài 18 Cho đường trịn tâm O đường kính AB Gọi H trung điểm OA Dây CD vng góc với OA H a) Tứ giác ACOD hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tam giác OAC CBD tam giác Trang c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng d) Chứng minh: CD2 = AH HB HD: a) ACOD hình thoi Bài 19 Cho đường trịn đường kính 10 cm, đường thẳng d cách tâm O khoảng cm a) Xác định vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (O) b) Đường thẳng d cắt đường tròn (O) điểm A B Tính độ dài dây AB c) Kẻ đường kính AC đường trịn (O) Tính độ dài BC số đo góc CAB (làm tròn đến độ) d) Tiếp tuyến đường tròn (O) C cắt tia AB M Tính độ dài BM HD: Bài 20 Cho tam giác ABC nhọn Đường trịn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN a) Tính số đo góc BMC BNC b) Chứng minh AH vng góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH HD: a) ·BMC = ·BNC = 900 b) H trực tâm ∆ABCc) NK ⊥NO (K trung điểm AH) Bài 21 Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB điểm M đường trịn cho góc ·MAB = 600 Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Chứng minh MN2 = 4AH.HB c) Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường trịn (O) E, tia MB cắt (B) F Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng HD: Bài 22 Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường trịn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC HD: a) ·OBA = 900 , ·OAB = 300 , ·AOB = 600 Bài 23 Từ điểm A ngồi đường trịn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh OA ⊥ BC tính tích OH.OA theo R b) Kẻ đường kính BD đường trịn (O) Chứng minh CD // OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE HD: Bài 24 Từ điểm A đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE ⊥ AC CF ⊥ AB ( E ∈ AC, F ∈ AB ), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường trịn (O) HD: a) BOCH hình bình hành OB = OC b) H trực tâm ∆ABCc) OA = 2R Bài 25 Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự D E Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc ·DOE Hình học Hồ Thanh Trung · b) AB = 39cm) , PADE = 2AB = 3(cm) c) ·DOE = BOC = 600 Bài 26 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Gọi Ax , By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM BN theo R HD: Bài 27 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H cạnh AB AC a) Chứng minh AD.AB = AE.AC b) Gọi M, N trung điểm BH CH Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (M; MD) (N; NE) c) Gọi P trung điểm MN, Q giao điểm DE AH Giả sử AB = cm,AC = cm Tính độ dài PQ HD: Bài 28 Cho hai đường tròn (O) (O′ ) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung MN với M thuộc (O) N thuộc (O′ ) Gọi P điểm đối xứng với M qua OO′ , Q điểm đối xứng với N qua OO′ Chứng minh rằng: a) MNQP hình thang cân b) PQ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) (O′ ) c) MN + PQ = MP + NQ HD: a) OH = 1,5(cm) Xin giới thiệu quí thày cô website: tailieugiaovien.edu.vn Website cung cấp giáo án soạn theo định hướng phát triển lực người học theo tập huấn Có đủ môn khối THCS THPT https://tailieugiaovien.edu.vn/ Trang 10 ... dây • Trong đường trịn, đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây • Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây • Trong... đường tròn (O; 12cm) có đường kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I OC cho góc NID 300 Tính MN HD: III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN b) OH = Vị trí tương đối đường thẳng đường trịn... Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây • Trong đường trịn: – Hai dây cách tâm – Hai dây cách tâm • Trong hai dây đường trịn: – Dây lớn dây gần tâm – Dây gần tâm dây lớn Bài Cho đường trịn (O; R)