SKKN hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU Một nhiệm vụ chương trình hình học cải cách giáo dục phổ thông “Bồi dưỡng kỹ vận dụng phương pháp véctơ vào việc nghiên cứu số hình hình học, số quan hệ hình học Việc sử dụng vectơ để giải tốn hình học”.Chính việc giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải toán cần thiết phù hợp với xu cải cách giáo dục Mặt khác đứng trước tốn hình học khơng gian học sinh dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) phương pháp toạ độ (lớp 12) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng Vì lí tơi chọn đề tài : “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” II THỰC TRANG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU Thực trạng Trong chương trình cải cách giáo dục, việc trình bày phương pháp vectơ có liên quan mật thiết đến phương pháp toạ độ Khái niệm trục toạ độ, hệ trục toạ độ học sinh làm quen chương trình tốn cấp 2.Trong chương trình hình học THPT, Ban khoa học tự nhiên: lớp 10 học sinh làm quen với phương pháp véctơ, sau dùng véctơ để xây dựng hệ toạ độ mặt phẳng Sang lớp 11 học sinh làm quen với véctơ không gian, sử dụng vectơ để nghiên cứu quan hệ vng góc khơng gian Ở lớp 12 vectơ sử dụng để nghiên cứu số quan hệ hình học xây dựng hệ trục toạ độ không gian.Nhưng chưa sâu vào việc trình bày lời giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ.Một số định lí đóng vai trị “bản lề ”trong việc chuyển từ khái niệm vectơ sang khái niệm toạ độ: Định lí hai véctơ phương; Định lí phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương mặt phẳng; Định lí phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng không gian Hiệu Trong trình giảng dạy lớp 10 thấy hướng dẫn học sinh sử dụng véc tơ để giải tốn hình học phẳng, tốn đại số học sinh vận dụng tốt hứng thú Từ thực trạng nên q trình dạy lớp 11,12 tơi mạnh dạn hình thành phương pháp cách phát triển từ toán đến toán mức độ khó q trình giảng dạy khố dạy bồi dưỡng, để trang bị đầy đủ kiến thức véc tơ phổ thông , trang bị thêm phương pháp giải tốn hình học khơng gian cho học sinh, để đứng trước tốn hình học khơng gian học sinh tự tin lựa chọn ba phương pháp để giải Tôi nhận thấy việc khai thác phương pháp véc tơ để giải hình học khơng gian để giúp học sinh tìm tịi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác đứng trước tốn hình học không gian điều cần thiết quan trọng.Hơn phương pháp khơng địi hỏi học sinh phải tư trực quan cao, mà cần học sinh nắm vững số toán sách giáo khoa số kỹ biến đổi t mặt đại số vận dụng phương pháp để giải hình học khơng gian cách đơn giản nhanh chóng B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Các yêu cầu giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ 1.1.Học sinh cần nắm số định lí: Định lí hai véctơ phương; Định lí phân tích vectơ theo hai vectơ không phương mặt phẳng; Định lí phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng không gian 2.Học sinh cần có kỹ biến đổi biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước ghi nhớ số toán Quy trình chung để giải tốn hình học không gian phương pháp véctơ Bước 1.Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận tốn hình học khơng gian cho “ngơn ngữ” véctơ Bước Thực yêu cầu tốn thơng qua việc tiến hành phép biến đổi hệ thức véctơ theo hệ vectơ sở Bước Chuyển kết luận vectơ sang tình chất hình học khơng gian tương ứng 3.Một số dạng toán sử dụng phương pháp 3.1.Dạng Phần quan hệ song song Bài toán Hai đường thẳng phân biệt AB CD song song với AB kCD Bài toán Cho hai a ,b không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không thuộc (P) Khi :AB//(P) AB xa yb Bài toán Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) (MNP) Khi đó: (ABC) / / MNP AB xMN yMP AC x MN y MP 1 Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F trọng tâm tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF Lời giải: B1 Bước1:Chọn hệ véc tơ sở AA1 a , AB b , AC c N Theo ra: C1 A1 M +M trọng tâm tam giác AA1B1: AM (1) (AA1 AB1) +N trọng tâm tam giác A1B1C1: AN (AA1 F AB1 AC1 ) (2) B +E trọng tâm tam giác ABC: AE E (3) 3( AB AC) C A +F trọng tâm tam giác BCC1: (4) AF (AB AC AC1) + MN / /EF MN k EF Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ Từ (1), (2): (5) MN AN AM Từ (3), (4): EF AF AE 3 a c a c (6) Từ (5), (6): MN EF (7) Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (7) : MN // EF Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1 D 1.Giả sử M, N trung điểm cạnh AA1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1) Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở DA a , DC c , DD1 b B1 + M trung điểm AA1: DM (1) + N trung điểm B1C1: DN DA DA1 2 D1 A1 M MN / / DA1C1MN xDC1 yDA1 DM 2 A a 2c b c C B (3) Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ Từ (1), (2): MN DN C1 DB1 DC1 (2) + N a cb D Suy ra: DA1 MN DC1 (4) Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (4) : MN // (DA1C1) Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Gọi M, N trung điểm cạnh AA1, CC1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1) // (AB1N) Lời giải: Bước AA1 1: Chọn hệ véc tơ sở B1 G a , AB b , AC c + M trung điểm AA1: + N trung điểm CC1: AM AA1 AC AC1 AN C1 (1) A1 (2) M + G trọng tâm tam giác A1B1C1: AG N B (3) (AA1 AB1 AC1) A MG x AB y AN + (MGC1) / / AB1N (4) MC x AB 1 y AN C Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ Ta có: MG AG AM 1 (5) a b 3c (x MG x AG y AM y )a (6) xb yc Từ (5) (6) , a ,b , c không đồng phẳng nên ta có: x 1y x x y y 3 MG AB 1 AN Ta có: AMa c AN AC CN a c Từ (8) (9): MC1 AN MC1 AC1 a 2 a c (8) (9) (10) (7) Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (7) : MG ANMG//mp(AB1N ) Từ (10) : MC1 AN MC1 / /mp ( AB1 N ) Từ (11) (12) : mp (MGC1 ) / /mp ( AB1 N ) AB1 (11) (12) Bài tập vận dung Bài Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1D1 Giả sử E tâm mặt ABB1A1; N, I trung điểm CC1 CD Chứng minh : EN//AI Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 Giả sử M, N lần trọng tâm tam giác ABA1 ABC Chứng minh : MN//(AA1C1) Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E trung điểm BB1, CC1, AA1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1)//(BA1N) (A1GN)//(B1CE) 3.2.Dạng Phần góc khoảng cách Bài tốn Góc hai đường thẳng AB CD tính theo cơng thức: cos AB.CD AB.CD Bài toán Khoảng cách hai điểm A B : AB AB A B Bài toán Cho điểm M đường thẳng l có véc tơ phương a , điểm A thuộc l Tính khoảng cách từ M đến l Phương pháp giải: Đặt AM m , gọi N hình chiếu M lên l MN axa m a Khi đó: MN AN AM xa m Khoảng cách cần tìm : MN xa m Bài tốn Cho (ABC), điểm M khơng thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) góc MA (ABC) Phương pháp giải: Đặt AM m , AB a , AC b , gọi N hình chiếu M lên (ABC) Khi : MN AN AM xa yb m Do MN ( ABC) nên (xa yb m ) a (xa yb m )b Khi cho biết x,y ta tìm khoảng cách từ M đến (ABC) xa yb m Nếu xa yb góc AM (ABC) góc m xa yb , cịn xa yb AM (ABC) Bài toán Cho đường thẳng chéo nhau, d1 qua A1 có véc tơ phương a1 ; đường thẳng d2 qua A2 có véc tơ phương a2 Tính khoảng cách góc hai đường thẳng Phương pháp giải: + Góc hai đường thẳng : cos a1 a2 a1 a2 +Đoạn vng góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), đó: P P a P1 P2 xa1 m ya2 Do P P a Khoảng cách cần tìm: x,y ( xa1 m ya2 )2 P1P2 Ví dụ Cạnh đáy lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 a, điểm O O1 tương ứng trọng tâm dáy ABC A1B1C1.Độ dài hình chiếu đoạn a thẳng AO1 đường thẳng B1O Hãy tính đường cao lăng trụ Lời giải: Chọn hệ véc tơ sở AA1 m, AB n, AC p A1 C1 O1 B1 Giả sử h m Ta có: AO1 AA1 AB1 AC1 B 1O AO AB1 AO 3m 2n p AO1 BO AO1.B1O nên 3m n p CO Suy ra: Vì: B h 3a2 16 h 6h a2 a , c os 3h a2 cos = a 9h 3a (6 h a ) 6(3h a2 ) h a a Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=4.Điểm D nằm cạnh SC, CD=3, khoảng cách từ A đến đường thẳng BD Tính thể tích hình chóp Lời giải: Chọn hệ véc tơ S sở D SA a , SB b , SC c Đặt góc phẳng đỉnh hình chóp N hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng BD A C N AN DN DA xDB DA a xb ) (1 x ) B Do AN DB AN DB 0a xb (1 x ) c (b c) (17x 1) 8(x 1)cos Mặt khác: AN AN 17x 2x 13 8(x 1)2 cos0 Vì : Từ (1) (2) ta x (2) 55 cos64 Ta tính độ dàiđường cao hình chóp SO Vì O trọng tâm tam giác ABC nên SO ab SA SB SC 48 96cos1 SO AB a b 4c 2 ABC S 58 b a Vậy: V 4c AB SO 3 174 16 Ví dụ Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC cạnh , cạnh bên SC vng góc với đáy có độ dài M,N trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo góc khoảng cách SM CN Lời giải: S Ta chọn hệ véc tơ sở CA a ,CB b ,CS c +Ta tìm góc SM CN? Ta có: P SM CM CS CN 2(a b) C 2(b 2c) A Q Khi đó: N cos SM.CN SM CN 45 B +Tính khoảng cách SM CN? M Gọi P thuộc SM Q thuộc CN Khi đó: PQ xSM yCN SC 2x x yb ya c Do PQ đoạn vng góc chung SM CN nên: 3x 3y x PQ.SM PQ.CN PQ x 2y 6a b y 2cPQ a b 2c 3 Ví dụ Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC với cạnh 1, cạnh SA vng góc vng góc với đáy, SA Mặt phẳng song song với đường thẳng SB AC, mặt phẳng song song với đường thẳng SC AB Tính giá trị góc hai mặt phẳng Lời giải: Chon hệ véc tơ sở AS a , AB b , AC c A C Giả sử m, n véc tơ khác , tương ứng vng góc hai mặt phẳng , cịn góc hai mặt phẳng S B Thế thì: cos m.n m n Đặt m xa yb zc Ta có: m b c xa yb SB.m AC m 6x 2y z y 2z zc c ( xa yb zc) 0 y 23 z x Số phương trình bé số ẩn, điều chứng tỏ m không xác định Chọn z x 1, y nên m a 4b 2c véc tơ vng góc với Tương tự : n ta ub vc SC n o AB.n m.n m n u v 2u Chọn : u v 4, t n a 2b 4c Khi : cos t Bài tập vân dụng Bài Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin góc cạnh đối diện Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h Tính cosin góc: 1.Giữa AB1 BC1 2.Giữa AB B1C Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Bài Cho tứ diện SABC cạnh BD đường cao tam giác ABC Tam giác BDE nằm mặt phẳng tạo với cạnh AC góc , biết điểm S E nằm phía mặt phẳng (ABC) Tính SE 3.3.Dạng Phần quan hệ vng góc Bài tốn Hai đường thẳng phân biệt AB CD vng góc với AB.CD Bài tốn 10 Cho hai a ,b khơng phương thuộc mặt phẳng (P), AB không AB.a thuộc (P) Khi :AB (P) AB.b Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M N điểm thuộc đường BM CN chéo BA1 CB1 cho: , Chứng minh rằng: MA1 NB1 MN BA1, MN CB1 Lời giải: Chọn hệ véc tơ sở BA a , BB1 Khi đó: a b c b , BC c a ; a.b c.b a.c D1 C1 A1 B1 Theo : BM MA 1 BM N 1 BA1 a b M D C N NB CN CB1 b c C A B Mặt khác: BN BC CN MN BN 3 MN 2b c a b c Do đó: MN BA1 MN CB1 3 a b c a b MN BA1 a b c b c MN CB1 Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1 B1C1 D1 có mặt hình thoi nhau.Các góc phẳng góc tam diện đỉnh A1 Chứng minh rằng: A1C ( AB1 D1 ) Lời giải: Chọn hệ véc tơ sở A1 A a , A1 B1 D1 b , A1 D1 c C1 O1 A1 Theo giả thiết : AA1 D1 D1 A1 B1 AA1 B1 Gọi m độ dài cạch hình hộp Ta có: A1C a b c A1C AB1 ( a b c ) b a (1) A1C AB1 A1C AD1 (a b c ) c a A1C B1 D C A B AD1(2) Từ (1) (2) suy A1C (AB1 D1 ) Bài tập vân dụng Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh : MN A’C Bài Cho hình chóp S.ABC, SA (ABC), SA=a , AC=2a, AB=a, ABC 900 Gọi M N hai điếm cho: 3MB MS 4NS 3NC Chứng minh: SC (AMN) Bài Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC tam giác cân A Vẽ SO (ABC), D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: DC (SOE)) 10 II CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1.Hình thức luyện tập lớp có hướng dẫn Thầy giáo - Thực phạm vi số buổi chữa tập buổi học khố với tập mức độ vừa phải Thầy giáo đưa phương pháp giải, ví dụ mẫu hệ thống tập, học sinh nêu lời giải có tốn Sau cho học sinh tìm tịi, phát số vấn đề xung quanh giải mức độ đơn giản - Thực số buổi công tác bồi dưỡng học sinh mức độ toán cao 2.Hình thức tự nghiên cứu tốn có hướng dẫn Thầy giáo Hình thức cần thực liên tục trình học tập học sinh, làm cho khả tư duy, tính sáng tạo học sinh ngày tăng lên C.KẾT LUẬN I KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Sau dạy số tiết lớp số buổi bồi dưỡng tơi cho tiến hành kiểm tra khả tiếp thu kiến thức học sinh lớp tơi dạy số lượng học sinh đạt u cầu sau năm tăng lên, khả tư duy, sáng tạo học sinh thay đổi theo chiều hướng tích cực II KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Cần tăng cường hệ thống ví dụ giải tốn hình học không gian phương pháp véc tơ hệ thống tập sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để học sinh tự nghiên cứu vận dụng véc tơ q trình giải tốn Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Người viết Phạm Đình Thương 11 ... phẳng khơng gian 2 .Học sinh cần có kỹ biến đổi biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước ghi nhớ số toán Quy trình chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ Bước... khoa số kỹ biến đổi t mặt đại số vận dụng phương pháp để giải hình học khơng gian cách đơn giản nhanh chóng B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Các yêu cầu giải tốn hình học khơng gian phương. .. gian phương pháp véc tơ 1.1 .Học sinh cần nắm số định lí: Định lí hai véctơ phương; Định lí phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương mặt phẳng; Định lí phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng