Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp véc tơ

A ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI MỞ ĐẦU Một nhiệm vụ chương trình hình học cải cách giáo dục phổ thông “Bồi dưỡng kỹ vận dụng phương pháp véctơ vào việc nghiên cứu số hình hình học, số quan hệ hình học Việc sử dụng vectơ để giải tốn hình học”.Chính việc giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ để giải toán cần thiết phù hợp với xu cải cách giáo dục Mặt khác đứng trước tốn hình học khơng gian học sinh dùng phương pháp hình học tổng hợp (lớp 11) phương pháp toạ độ (lớp 12) để giải mà chưa nghĩ đến việc dùng phương pháp véctơ để giải chúng Vì lí tơi chọn đề tài : “HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ ” II THỰC TRANG CỦA VẤN ĐỀ CẦN NGHIÊN CỨU Thực trạng Trong chương trình cải cách giáo dục, việc trình bày phương pháp vectơ có liên quan mật thiết đến phương pháp toạ độ Khái niệm trục toạ độ, hệ trục toạ độ học sinh làm quen chương trình tốn cấp 2.Trong chương trình hình học THPT, Ban khoa học tự nhiên: lớp 10 học sinh làm quen với phương pháp véctơ, sau dùng véctơ để xây dựng hệ toạ độ mặt phẳng Sang lớp 11 học sinh làm quen với véctơ không gian, sử dụng vectơ để nghiên cứu quan hệ vng góc khơng gian Ở lớp 12 vectơ sử dụng để nghiên cứu số quan hệ hình học xây dựng hệ trục toạ độ không gian.Nhưng chưa sâu vào việc trình bày lời giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ.Một số định lí đóng vai trò “bản lề ”trong việc chuyển từ khái niệm vectơ sang khái niệm toạ độ: Định lí hai véctơ phương; Định lí phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương mặt phẳng; Định lí phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng không gian Hiệu Trong trình giảng dạy lớp 10 thấy hướng dẫn học sinh sử dụng véc tơ để giải tốn hình học phẳng, tốn đại số học sinh vận dụng tốt hứng thú Từ thực trạng nên q trình dạy lớp 11,12 tơi mạnh dạn hình thành phương pháp cách phát triển từ toán đến toán mức độ khó q trình giảng dạy khố dạy bồi dưỡng, để trang bị đầy đủ kiến thức véc tơ phổ thông , trang bị thêm phương pháp giải tốn hình học khơng gian cho học sinh, để đứng trước tốn hình học khơng gian học sinh tự tin lựa chọn ba phương pháp để giải Tôi nhận thấy việc khai thác phương pháp véc tơ để giải hình học khơng gian để giúp học sinh tìm tòi, phát huy tính sáng tạo, hình thành nhiều cách giải khác đứng trước tốn hình học không gian điều cần thiết quan trọng.Hơn phương pháp khơng đòi hỏi học sinh phải tư trực quan cao, mà cần học sinh nắm vững số toán sách giáo khoa số kỹ biến đổi t mặt đại số vận dụng phương pháp để giải hình học khơng gian cách đơn giản nhanh chóng B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Các yêu cầu giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ 1.1.Học sinh cần nắm số định lí: Định lí hai véctơ phương; Định lí phân tích vectơ theo hai vectơ không phương mặt phẳng; Định lí phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng phẳng khơng gian 1.2.Học sinh cần có kỹ biến đổi biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước ghi nhớ số toán 2.Quy trình chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ Bước 1.Lựa chọn số véctơ mà ta gọi “ hệ véctơ sở’’; “phiên dịch” giả thiết, kết luận tốn hình học không gian cho “ngôn ngữ” véctơ Bước Thực yêu cầu toán thông qua việc tiến hành phép biến đổi hệ thức véctơ theo hệ vectơ sở Bước Chuyển kết luận vectơ sang tình chất hình học khơng gian tương ứng 3.Một số dạng tốn sử dụng phương pháp 3.1.Dạng Phần quan hệ song song Bài toánuuu Hai đường thẳng phân biệt AB CD song song với r uuur AB  kCD r r Bài toán Cho hai a, b không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không uuu r r r thuộc (P) Khi :AB//(P) � AB  xa  yb Bài toán Cho hai mặt phẳng phân biệt ( ABC) (MNP) Khi đó: (ABC) / /  MNP  uuu r uuuu r uuur �AB  xMN  yMP � � �uuur uuuu r uuur �AC  x1 MN  y1 MP Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E, F trọng tâm tam giác AA1B1, A1B1C1, ABC, BCC1 Chứng minh : MN // EF Lời giải: B1 Bước1:Chọn hệ véc tơ sở uuur r uuu r r uuur r  AA  a, AB  b, AC  c N A1 Theo ra: +M trọng tâm tam giác AA1B1: uuuu r uuur uuur AM  ( AA1  AB1 ) C1 M (1) +N trọng tâm tam giác A1B1C1: uuur uuur uuur uuuu r AN  ( AA1  AB1  AC1 ) (2) F B +E trọng tâm tam giác ABC: uuur uuur uuur AE  ( AB  AC ) E (3) C A +F trọng tâm tam giác BCC1: uuur uuu r uuur uuuu r AF  ( AB  AC  AC1 ) uuuu r uuur + MN / / EF � MN  k EF (4) Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ uuuu r uuur uuuu r r r a  c (5) uuur uuur uuur r r Từ (3), (4): EF  AF  AE  a  c (6) uuuu r uuur Từ (5), (6): MN  EF (7)  Từ (1), (2): MN  AN  AM     Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngôn ngữ hình học khơng gian Từ (7) : MN // EF Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1.Giả sử M, N trung điểm cạnh AA1, B1C1 Chứng minh: MN // (DA1C1) Lời giải: Bước 1: Chọn hệ véc tơ sở  B1 uuur r uuur r uuuur r DA  a, DC  c, DD1  b  uuuur r uuur uuuu DA  DA1 uuur r uuuur uuuu DB1  DC1 + M trung điểm AA1: DM  (1) + N trung điểm B1C1: DN     N C1 D1 A1  M (2) uuuu r uuuur uuuu r + MN / /  DA1C1  � MN  xDC1  yDA1 (3) Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ C B uuuu r uuur uuuur r r r Từ (1), (2): MN  DN  DM   a  2c  b r r r r  cacb     A D uuuu r uuuur uuuu r MN  DC1  DA1 Suy ra: (4) Bước 3: Chuyển ngôn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học khơng gian Từ (4) : MN // (DA1C1) Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 Gọi M, N trung điểm cạnh AA1, CC1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1) // (AB1N) Lời giải: Bước  1: Chọn uuur r uuu r r uuur r AA1  a, AB  b, AC  c  hệ véc tơ sở B1 G uuuu r uuur + M trung điểm AA1: AM  AA1 uuur uuur uuuu r + N trung điểm CC1: AN  AC  AC1   (1) (2) M + G trọng tâm tam giác A1B1C1: uuur uuur uuur uuuu r AG  ( AA1  AB1  AC1 ) (3) uuuu r uuur uuur � �MG  x AB1  y AN uuur uuur + (MGC1 ) / /  AB1 N  � �uuuur (4) �MC1  x1 AB1  y1 AN N B A C Bước 2: Biến đổi biểu thức véc tơ Ta có: uuuu r uuur uuuu r 1r 1r 1r MG  AG  AM  a  b  c (5) 3 uuuu r uuur uuuu r r r r MG  x AG  y AM  ( x  y )a  xb  yc (6) r r r Từ (5) (6) , a, b, c khơng đồng phẳng nên ta có: �1 �2  x  y � r uuur uuur uuuu �1 � x  y  � MG  AB1  AN �x 3 �3 �1 �3  y � Ta có: uuuur uuuu r uuuu r r r 1r 1r r MC1  AC1  AM  a  c  a  a  c 2 uuur uuur uuur r r AN  AC  CN  a  c uuuur uuur (10) Từ (8) (9): MC1  AN   C1 A1 (8) (9) (7) Bước 3: Chuyển ngơn ngữ véc tơ sang ngơn ngữ hình học không gian uuuu r uuur uuur uuuur uuur Từ (10) : MC1  AN � MC1 / / mp( AB1 N ) Từ (11) (12) : mp( MGC1 ) / / mp( AB1 N ) Từ (7) : MG  AB1  AN � MG//mp(AB1 N ) (11) (12) Bài tập vận dung Bài Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Giả sử E tâm mặt ABB1A1; N, I trung điểm CC1 CD Chứng minh : EN//AI Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N lần trọng tâm tam giác ABA1 ABC Chứng minh : MN//(AA1C1) Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 Giả sử M, N, E trung điểm BB1, CC1, AA1 G trọng tâm tam giác A1B1C1 Chứng minh: (MGC1)//(BA1N) (A1GN)//(B1CE) 3.2.Dạng Phần góc khoảng cách Bài tốn Góc hai đường thẳng AB CD tính theo công thức: uuur uuur AB.CD cos  uuu r uuur AB CD uuu r uuur2 Bài toán Khoảng cách hai điểm A B : AB  AB  AB r Bài toán Cho điểm M đường thẳng l có véc tơ phương a , điểm A thuộc l Tính khoảng cách từ M đến l Phương pháp giải: uuuur ur Đặt AM  m , gọi N hình chiếu M lên l uuuu r uuur uuuu r r ur uuuu r r  r ur r  Khi đó: MN  AN  AM  xa  m MN  a � xa  m a  uuuu r Khoảng cách cần tìm : MN  r ur  xa  m  Bài toán Cho (ABC), điểm M khơng thuộc (ABC).Tính khoảng cách từ M đến (ABC) góc MA (ABC) Phương pháp u giải: r r uuur r uuuur ur uu Đặt AM  m , AB  a, AC  b , gọi N hình chiếu M lên (ABC) uuuu r uuur uuuu r r r ur Khi : MN  AN  AM  xa  yb  m r r ur r ( xa  yb  m)a  �� � Do MN  ( ABC ) nên � � r r ur r ( xa  yb  m)b  �� r r xa  yb  m r r r r r ur Nếu xa  yb �0 góc AM (ABC) góc m xa  yb , r r r xa  yb  AM  (ABC) Khi cho biết x,y ta tìm khoảng cách từ M đến (ABC)   Bài toán Cho đường thẳng chéo nhau, d1 qua A1uvà có véc tơ phương ur u r a1 ; đường thẳng d2 qua A2 có véc tơ phương a2 Tính khoảng cách góc hai đường thẳng Phương pháp giải: ur uu r a1.a2 + Góc hai đường thẳng : cos  ur uur a1 a2 +Đoạn vng góc chung P1P2 ( P1 thuộc d1, P2 thuộc d2), đó: uuuu r ur � P P �1 a1  � x, y r uu r �uuuu �P1 P2 a2  uuuu r ur ur uu r Khoảng cách cần tìm: P1 P2  ( xa1  m  ya2 )2 uuuu r ur ur uu r P1 P2  xa1  m  ya2 Do Ví dụ Cạnh đáy lăng trụ tam giác ABC.A 1B1C1 a, điểm O O tương ứng trọng tâm dáy ABC A 1B1C1.Độ dài hình chiếu đoạn thẳng AO1 đường thẳng B1O Lời giải: Chọn hệ véc tơ sở 5a Hãy tính đường cao lăng trụ A1 uuuur ur uuu r r uuur ur AA1  m, AB  n, AC  p ur Giả sử h  m   C1 O1 B1 Ta có: uuuu r uuuur uuur uuuu r ur r ur AO1  AA1  AB1  AC1  3m  n  p 3 uuur uuur uuur ur r ur B1O  AO  AB1  3m  2n  p       Suy ra: uuuu r uuur AO1  B1O  9h  3a uuuu r uuur 6h  a AO1.B1O    6h  a  , cos   3h  a  uuuu r 5a Vì: AO1 cos = 2 9h  3a (6h  a ) 5a a  �h nên 2 6(3h  a ) A C O B Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA=4.Điểm D nằm cạnh SC, CD=3, khoảng cách từ A đến đường thẳng BD Tính thể tích hình chóp Lời giải: Chọn hệ véc tơ sở S uur r uur r uuu r r SA  a, SB  b, SC  c Đặt  góc phẳng đỉnh hình chóp   D N hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng BD uuur uuur uuur uuur uuur r r r C A N AN  DN  DA  xDB  DA   a  xb)  (1  x)c Do AN  DB B uuur uuur r r r r r � AN DB  � a  xb  (1  x )c (b  c )    � (17 x  1)  8( x  1)cos  (1) uuur Mặt khác: AN  � AN  � 17 x  x  13  8( x  1) cos   (2) Từ (1) (2) ta x  Vì : cos  55 64 Ta tính độ dàiđường cao hình chóp SO Vì O trọng tâm tam giác ABC nên uuu r uur uur uuu r r r r SO  SA  SB  SC  a  b  4c 3 uuu r r r r 1 � SO  a  b  4c  48  96cos  58 3 uuu r2 r r2 AB  b  a  uuu r2 AB uuu r 174 Vậy: VS ABC  SO  16       Ví dụ Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC cạnh , cạnh bên SC vng góc với đáy có độ dài M,N trung điểm BC, AB.Hãy tìm số đo góc khoảng cách SM CN Lời giải: S Ta chọn hệ véc tơ sở uuu r r uuu r r uuu r r  CA  a, CB  b, CS  c +Ta tìm góc  SM CN? Ta có: P uuur uuuu r uuu r r r SM  CM  CS  (b  2c) uuur r r CN  (a  b) C A Q Khi đó: N uuur uuur SM CN cos  uuur uuur  �   450 SM CN B +Tính khoảng cách SM CN? M Gọi P thuộc SM Q thuộc CN Khi đó: uuur uuur uuur uuu r r r r � PQ  xSM  yCN  SC  � ya  x  y b  x  c     � 2� Do PQ đoạn vng góc chung SM CN nên: � uuur uuur r x � � PQ SM  x  y   � � � �� �uuur uuur r � � �x  y  �y  �PQ.CN  � uuur r r r uuur r r r � PQ  a  b  2c � PQ  a  b  2c 6      3 Ví dụ Đáy hình chóp S.ABC tam giác ABC với cạnh 1, cạnh SA vng góc vng góc với đáy, SA  Mặt phẳng    song song với đường thẳng SB AC, mặt phẳng    song song với đường thẳng SC AB Tính giá trị góc hai mặt phẳng       Lời giải: Chon hệ véc tơ sở uuu r r uuu r r uuur r AS  a, AB  b, AC  c A   ur r Giả sử m, n véc tơ r khác , C tương ứng vng góc hai mặt phẳng       ,  góc hai mặt phẳng     S B ur r m.n Thế thì: cos  ur r m.n ur r r r Đặt m  xa  yb  zc r r r r r uur ur �b  c xa  yb  zc  ur � �SB.m  � � �r r Ta có: m     � �uuur ur r r �AC.m  � c ( xa  yb  zc )  � �y  23 6x  y  z  � � �� � x z �y  z  � � ur Số phương trình bé số ẩn, điều chứng tỏ m     không xác định    ur r r r Chọn z  1 � x  1, y  nên m  a  4b  2c véc tơ vng góc với    uuu rr � r r r r � t u �SC.n  o � �� Tương tự : n  ta  ub  vc     � �uuur r � �AB.n  v  2u � r r r r Chọn : u  2 � v  4, t  � n  a  2b  4c ur r m.n Khi : cos  ur r  m.n Bài tập vân dụng Bài Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a, CA=BD=b, AD=BC=c Tính cosin góc cạnh đối diện Bài Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A1B1C1 có BC=a, AC=b, Ab=c, AA1=h Tính cosin góc: 1.Giữa AB1 BC1 2.Giữa AB B1C Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=b, CC’=c Tính khoảng cách hai đường thẳng BC’ CD’ Bài Cho tứ diện SABC cạnh BD đường cao tam giác ABC Tam giác BDE nằm mặt phẳng tạo với cạnh AC góc  , biết điểm S E nằm phía mặt phẳng (ABC) Tính SE 3.3.Dạng Phần quan hệ vng góc Bài tốnuuu Hai đường thẳng phân biệt AB CD vuông góc với r uuur AB.CD  r r Bài toán 10 Cho hai a, b không phương thuộc mặt phẳng (P), AB không uuur r � �AB.a  thuộc (P) Khi :AB  (P) � �uuur r �AB.b  Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 M N điểm thuộc đường chéo BA1 CB1 cho: BM CN  ,  Chứng minh rằng: MA1 NB1 MN  BA1 , MN  CB1 Lời giải: uuu r r uuur r uuur r Chọn hệ véc tơ sở BA  a, BB1  b, BC  c r r r  rr rr  rr Khi đó: a  b  c  a; a.b  c.b  a.c  Theo : uuuu r uuur BM  � BM  BA1  3 MA1 CN uuur uuur  � CN  CB1  3 NB1   r r ab r r bc C1 D1 A1 B1 N  M D  C A B Mặt khác: uuur uuur uuur r r BN  BC  CN  2b  c uuuu r uuur uuuu r r r r MN  BN  MN  a  b  c    Do đó: uuuu r uuur r r r MN BA1  a  b  c uuuu r uuur r r r MN CB1   a  b  c  r r a  b  � MN  BA1       b  c   � MN  CB r r Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có mặt hình thoi nhau.Các góc phẳng góc tam diện đỉnh A1 Chứng minh rằng: A1C  ( AB1D1 ) Lời giải: Chọn hệ véc tơ sở D1 uuur r uuuur r uuuur r  A A  a, A B  b, A D  c 1 1 B1 A1 �A B  � AA1D1  D AA1B1   Theo giả thiết : � 1 Gọi m độ dài cạch hình hộp Ta có: uuur r r r uuur uuur r r r r r A1C  a  b  c � A1C AB1  ( a  b  c ) b  a  uuur uuur � A1C  AB1 (1) uuur uuuu r r r r r r A1C AD1  (a  b  c ) c  a  uuur uuuu r � A1C  AD1 (2) Từ (1) (2) suy A1C  ( AB1D1 )   C1 O1  D C A B  Bài tập vân dụng Bài Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M,N trung điểm cạnh AD BB’ Chứng minh : MN  A’C Bài Cho hình chóp S.ABC, SA  (ABC), SA=a , AC=2a, AB=a, � ABC  900 Gọi M N hai điếm cho: uuur uuur r 3MB  MS  uuu r uuur r NS  3NC  Chứng minh: SC  (AMN) Bài Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC, đáy ABC tam giác cân A Vẽ SO  (ABC), D trung điểm cạnh AB, E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh: DC  (SOE)) 10 II CÁC BIỆN PHÁP ĐỂ TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1.Hình thức luyện tập lớp có hướng dẫn Thầy giáo - Thực phạm vi số buổi chữa tập buổi học khố với tập mức độ vừa phải Thầy giáo đưa phương pháp giải, ví dụ mẫu hệ thống tập, học sinh nêu lời giải có tốn Sau cho học sinh tìm tòi, phát số vấn đề xung quanh giải mức độ đơn giản - Thực số buổi công tác bồi dưỡng học sinh mức độ tốn cao 2.Hình thức tự nghiên cứu tốn có hướng dẫn Thầy giáo Hình thức cần thực liên tục trình học tập học sinh, làm cho khả tư duy, tính sáng tạo học sinh ngày tăng lên C.KẾT LUẬN I KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Sau dạy số tiết lớp số buổi bồi dưỡng tơi cho tiến hành kiểm tra khả tiếp thu kiến thức học sinh lớp tơi dạy số lượng học sinh đạt yêu cầu sau năm tăng lên, khả tư duy, sáng tạo học sinh thay đổi theo chiều hướng tích cực II KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Cần tăng cường hệ thống ví dụ giải tốn hình học khơng gian phương pháp véc tơ hệ thống tập sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để học sinh tự nghiên cứu vận dụng véc tơ q trình giải tốn Xác nhận thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Người viết Phạm Đình Thương 11 ... khơng gian 1.2 .Học sinh cần có kỹ biến đổi biểu thức véc tơ, phân tích véc tơ theo hệ véc tơ cho trước ghi nhớ số tốn 2.Quy trình chung để giải tốn hình học khơng gian phương pháp véctơ Bước... khoa số kỹ biến đổi t mặt đại số vận dụng phương pháp để giải hình học khơng gian cách đơn giản nhanh chóng B.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Các yêu cầu giải tốn hình học khơng gian phương. .. gian phương pháp véc tơ 1.1 .Học sinh cần nắm số định lí: Định lí hai véctơ phương; Định lí phân tích vectơ theo hai vectơ khơng phương mặt phẳng; Định lí phân tích vectơ theo ba vectơ khơng đồng