Các hệ thức liên quan đến đường tròn nội tiếp và cách chứng minh bằng công cụ Toán THCS
Bài Cho tam giác ABC vng B có BD đường cao Các đường DE DF vng góc với AB BC E, F Gọi r, r1 r2 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, AED DFC Chứng minh r1 + r2 = r */ Hướng dẫn: Cách 1: Gọi O tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Gọi M, N hình chiếu O lên BA, BC BN + BM BC − NC + BA − MA BC + BA − ( AD + DC) r = ON = = = 2 Ta có: BC + BA − AC = (1) Chứng minh tương tự: AE + ED − AD DF + FC − DC r1 = r2 = 2 AE + ED − AD DF + FC − DC r + r2 = + 2 AE + DF + ED + FC − ( AD + DC ) BA + BC − AC = = 2 Từ (1), (2) ⇒ r1 + r2 = r Cách 2: Chứng minh ∆DFC : ∆ABC : ∆AED SAED rp = AED S rpABC Ta có: ABC r1 AD AD r1 AD ữ = ì = r AC AC r AC (1) r2 DC = r AC (2) Chứng minh tương tự: r r AD DC ⇒ 1+ 2= + =1 Từ (1), (2) r r AC AC ⇒ r1 + r2 = r Bài Cho tam giác ABC vng B có BD đường cao Gọi r, r1 r2 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ADB BDC Chứng minh rằng: r + r1 + r2 = BD */ Hướng dẫn: Ta có: AB2 AB = AD.AC ⇒ AD = AC Ta có: BD.AC = AB.BC ⇒ BD = AB.BC AC AB3 BC AB.BC AB2 × AC2 AC AC = = SABD DB.DA AB( AB + AC + BC) AB2 AB.BC r1 = = + AB + pABD AD + AB + BD AC AC AC AB BC = AC ( AB + AC + BC) (1) BC2AB r2 = AC ( AB + AC + BC ) Chứng minh tương tự: (2) S BA.BC BA.BC.AC r = ABC = = pABC AB + AC + BC AC.( AB + AC + BC ) Ta có: (3) Từ (1), (2), (3) AB2 BC BC2AB BA.BC.AC ⇒ r1 + r + r = + + AC ( AB + AC + BC ) AC ( AB + AC + BC ) AC.( AB + AC + BC ) = AB.BC ( AB + BC + AC) AC ( AB + BC + AC) = AB.BC AC = BD Trang Bài Cho tam giác ABC vng B có BD đường cao Gọi r, r1 r2 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ADB BDC Chứng minh rằng: r2 = r12 + r22 */ Hướng dẫn: Cách 1: Gọi P chu vi ∆ABC Áp dụng ta có: AB2 BC BC2 AB r1 = r = AC.P AC.P BA.BC.AC r= AC.P ( ) 2 2 AB4 BC2 BC4 AB2 AB BC AB + BC AB2 BC2 AC2 ⇒ r + r2 = + = = = r2 2 2 2 2 AC P AC P AC P AC P Cách 2: 2 2 S pABD r1 AB AB ⇒ ABD = = ÷ ⇒ ÷ S AC p r AC ∆ ABD : ∆ ACB ACB ACB Ta có: AB r1 AB r AB ⇒ ÷ = ÷ ⇒ 1= AC r AC r AC r2 BC = Chứng minh tương tự: r AC 2 2 r r AB BC AB2 + BC2 AC2 ⇒ ÷ + ÷ = = =1 ÷ + ÷ = 2 r r AC AC AC AC ⇒ r2 = r12 + r22 Trang Bài Cho tam giác ABC vng B có BD đường cao Gọi O, O1 O2; r, r1 r2 tâm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ADB BDC Chứng minh rằng: O1O2 = r */ Hướng dẫn: Gọi P hình chiếu O2 lên AC N hình chiếu O1 lên O2P Ta có: O1O2 = O1N2 + O2 N = ( r1 + r2 ) + ( r1 − r2 ) ( = r12 + r2 2 ) (1) Áp dụng ta có: r2 = r12 + r22 (2) ⇒ O1O2 = r2 ⇒ O1O2 = r Từ (1), (2) Trang Bài Cho tam giác ABC vng B có BD đường cao Gọi O, O1 O2; r, r1 r2 tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ADB BDC Chứng minh rằng: a) BO = O1O2 b) BO ⊥ O1O2 */ Hướng dẫn: a) BO = O1O2 Gọi M hình chiếu O lên BC ⇒ ∆BOM vng cân M ⇒ BO2 = BM + OM (Định lý Pytago) ⇒ BO2 = r2 + r2 = 2r2 (1) Áp dụng ta có: r2 = r12 + r22 (2) O1O2 = r12 + r2 Áp dụng số 5, ta có: (3) 2⇒ ⇒ Từ (1), (2), (3) BO = O1O2 BO = O1O2 b) BO ⊥ O1O2 Gọi Q hình chiếu O lên BD R, K giao điểm O1O2 BD, BO Áp dụng ta có BD = r + r1 + r2 Ta có: BQ = BD – QD = r + r1 + r2 – r = r1 + r2 = O1N · O N = OBQ · ⇒ ∆O1O2 N = ∆BOQ ⇒ O · · Ta co BD // O2P ( ⊥ AC ) ⇒ O1RD = O1O2N (2 góc đồng vị) · · · · RD + O · ON BKR = 1800 − BRK + RBK = 1800 − O ( ( ( ) ) · O N+O · O N = 900 = 1800 − O 2 ⇒ BO ⊥ O1O2 ) ( ) Trang Bài Cho tam giác ABC vng B có BD đường cao O tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, Từ O vẽ đường thẳng song song AB cắt CB, CA G, F; song song với BC cắt AB, AC H, M Gọi r1 r2 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác AHM FGC tương ứng Gọi D E điểm tiếp tuyến AC với đường tròn nội tiếp tam giác AHM FGC Chứng minh DE = r1 + r2 */ Hướng dẫn: Gọi O1, O2 tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHM FGC µ Ta có AO1, AO tia phân giác A ⇒ A, O1, O thẳng hàng Chứng minh tương tự: C, O2, O thẳng hàng Gọi G, K hình chiếu O lên CB CA I, P hình chiếu O2 lên OG OK Ta có: IO = PO (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) OG = OK (tính chất phân giác) ⇒ r2 = IG = OG − OI = OK − OP = PK = KE Chứng minh tương tự: r1 = KD ⇒ DE = DK + KE = r1 + r2 Trang Bài Cho tam giác ABC vng B có BD đường cao Gọi r, r1 r2 bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ADB BDC E điểm tiếp xúc AC với đường tròn nội tiếp ∆ABC ; F, G điểm tiếp xúc BD với đường tròn nội tiếp ∆BDC,∆BAD Chứng minh: a) OB = r b) 2r = AB + BC – AC c) DE = FG = r2 – r1 */ Hướng dẫn: a) OB = r Gọi O tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC M, N hình chiếu O lên BC, BA Xét tứ giác BMON có: µ =M µ =N µ B ⇒ tứ giác BMON hình chữ nhật µ Mà BO tia phân giác B (O tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC ) ⇒ tứ giác BMON hình vng ⇒ BM = MO = ON = NB = r ⇒ OB2 = OM + BM = 2OM = r2 ⇒ OB = r b) 2r = AB + BC – AC Ta có: AB + BC = AN + NB + BM + MC = AE + r + r + CE = 2r + AC ⇒ 2r = AB + BC – AC c) DE = FG = r2 – r1 Chứng minh tương tự: 2r1 = DA + DB – AB; 2r2 = DB + DC – BC DE = DC – EC = DC – CM = DC – (BC – BM) = DC – BC + r 2DE = 2DC – 2BC + 2r 2DE = 2DC – 2BC + AB + BC – AC 2DE = 2DC – 2BC + AB + BC – DC – AD = DC – BC + AB – AD = DC – BC + AB – AD 2DE = 2DC – 2BC + AB + BC – DC – AD = DC – BC + AB – AD Mà 2r2 – 2r1 = DB + DC – BC – (DA + DB – AB) = DC – BC + AB – AD ⇒ 2DE = 2r2 – 2r1 ⇒ DE = r2 – r1 (1) Ta có: FG = r2 – r1 (2) Từ (1), (2) ⇒ DE = FG = r2 – r1 Trang Bài Cho tam giác ABC vng B có BD đường cao Gọi r, r1 r2 bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ADB BDC Chứng minh: r1.AB + r2 BC = r.AC */ Hướng dẫn: AB.BC BD.AC = AB.BC ⇒ BD = AC AB AB2 = AD.AC ⇒ AD = AC Ta có: SABD = r1.pABD ⇒ AD.BD = r1 ( AB + BD + AD) ⇒ r1 = AD.BD AB + BD + AD AB3BC AB2 AB.BC × AC AC AC2 = AB.BC AB2 AB AB + + ( AC + BC + AB) AC AC AC BA BC ⇒ r1 = AC ( AC + BC + AC ) BC2 BA AB.BC r2 = r = AC ( AC + BC + AC ) AB + AC + BC Chứng minh tương tự: ; Xét biểu thức r1.AB + r2 BC BA BC BC2 BA = ×AB + ×BC AC ( AB + AC + BC ) AC ( AC + BC + AC ) = = ( AB.BC AB2 + BC2 )= AC ( AB + AC + BC ) AB.BC.AC2 AC ( AB + AC + BC ) AB.BC.AC AB.BC = ×AC = r.AC AB + AC + BC AB + AC + BC Trang Bài Cho tam giác ABC vng B có BD đường cao Gọi O, O1 O2 tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ADB BDC Chứng minh: O trực tâm ∆BO1O2 */ Hướng dẫn: µ AO1, AO tia phân giác A ⇒ A,O1,O thằng hàng Chứng minh tương tự: C, O2, O thằng hàng Gọi E giao điểm AO BO2 F giao điểm CO BO1 Xét ∆CFB có: · · · BFC + BCF + FBC = 1800 µ ·BFC + C + FBD · · + DBC = 1800 µ ABD · C · µ = 1800 BFC + + +A 2 µ C µ C · µ = 1800 BFC + + +A 2 · µ +A µ = 1800 BFC +C · BFC + 900 = 1800 · BFC = 900 ⇒ CF ⊥ BO1 Chứng minh tương tự: AE ⊥ BO2 ⇒ O trực tâm ∆BO1O2 Trang Bài 10 Cho ∆ABC vuông B; D điểm đoạn AC (O; r) đường trịn nội tiếp ∆ABC tiếp xúc với AB, BC, CA E, F, G; (O’) đường tròn nội tiếp ∆ABD tiếp xúc với AB, BD, DA H, J, K; (O”) đường tròn nội tiếp ∆BDC tiếp xúc với BC, CD, DB M, N, L Chứng minh rằng: a) DN = GK = EH b) r = BJ - DL */ Hướng dẫn: a) DN = GK = EH Ta có: DN = DL; BL = BM; BJ = BH; BE = BF; AE = AG; AK = AH; CM = CN (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ AG − AK = AE − AH ⇒ KG = HE (1) Chứng minh tương tự: FM = GN DN = LD = BD – BL = BJ + JD – BM = BH + DK – (BF + FM) = BE + EH + DG + KG – BE – GN = KG + KG + GN – DN – GN = 2KG – DN ⇒ 2DN = KG ⇒ DN = KG (2) Từ (1), (2) ⇒ DN = GK = EH b) r = BJ – DL µ µ $ Ta có: B = E = F = 90 ⇒ BEOF hình chữ nhật µ Mà BO tia phân giác B ⇒ BEOF hình vng ⇒ BE = OF = r BJ – DL = BH – DN = BH – EH = BE = r Trang 10 Bài 11 Cho ∆ABC ; D điểm đoạn AC (E; EH) đường tròn nội tiếp ∆ABC (H thuộc AC); (F; FL) đường tròn nội tiếp ∆ABD (L thuộc BD); (G; GK) đường tròn nội tiếp ∆BDC (K thuộc BD) Chứng minh rằng: DH = LK */ Hướng dẫn: Gọi M hình chiếu F lên AC Áp dụng 16 ta có: DK = MH Mà MD = DL (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ DM – MH = DL – DK ⇒ DH = LK Trang 11 Bài 12 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn E, F, G H tâm; ra, rb, rc, rd bán kính tam giác ABD, ABC, BCD ACD Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEHD nội tiếp b) Tứ giác EFGH hình chữ nhật c) + rc = rb + rd */ Hướng dẫn: a) Tứ giác AEHD nội tiếp » · · ABD = ACD = sđAD ÷ Ta có: µ µ ·AHD = 1800 − A + D · · 1800 − ACD ACD 0 = 180 − = 90 + 2 Chứng minh tương tự: · ABD · AED = 900 + · · ⇒ AED = AHD Mà đỉnh E, H nhìn đoạn AD ⇒ Tứ giác AEHD nội tiếp b) Tứ giác EFGH hình chữ nhật Chứng minh tương tự câu a: tứ giác BFEA nội tiếp · DBA · AED = 900 + Ta có: · DCA = 900 + · ADB · AEB = 900 + · CAD · · HED = HAD = (tứ giác AEHD nội tiếp, chắn cung HD; AH tia phân · giác CAD ) · · BAC BDC ·FEB = FAB · = = 2 (tứ giác AEHD nội tiếp, chắn cung FB; AH tia · phân giác CAD ; chắn cung BC) Trang 12 · · · · · Mà AED + DEH + HEF + FEB + BEA = 360 · · ·BDC · DCA CAD ADB · ⇒ 90 + + + HEF + + 90 + = 3600 2 2 · · µ DCA + CAD +D · ⇒ + HEF = 1800 180 · · ⇒ + HEF = 1800 ⇒ HEF = 900 · · · Chứng minh tương tự HEF = EFG = FGH = 90 ⇒ Tứ giác EFGH hình chữ nhật c) + rc = rb + rd Gọi M, N hình chiếu E, H lên AC Gọi I hình chiếu E lên HN ⇒ MEIN hình chữ nhật Gọi P, Q hình chiếu E lên BA, BD Ta có: MD = AD – AM = AD – AP = AD – (AB – BP) = AD – AB + BQ = AD – AB + (BD – DQ) = AD – AB + BD – DM ⇒ 2MD = DA + DB – AB DA + DB − AB ⇒ MD = Gọi R, S hình chiếu H lên DC, DA Ta có: DN = DR = DC – CR = DC – CS = DC – (CA – AS) = DC – CA + AN = DC – CA + DA – DN ⇒ 2DN = DC + DA – CA DC + DA − CA ⇒ DN = Ta có: EI = MN = DM – DN DA + DB − AB DC + DA − CA = − 2 Trang 13 DB − DC + AC − AB Xét ∆EHI vuông I, ta có: = EH2 = ( HN − IN ) + MN2 EH = HI + EH 2 EH = ( rd − ) ⇒ ( rd − ) 2 2 DB − DC + AC − AB + ÷ DB − DC + AC − AB = EH − ÷ (1) 2 DB − DC + AC − AB ⇒ ( rc − rb ) = FG − ÷ (2) Chứng minh tương tự: Ta có:Tứ giác EFGH hình chữ nhật ⇒ EH = FG ⇒ EH2 = FG2 (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ ( rd − ) = ( rc − rb ) 2 Ta có: rd > ra; rc > rb ⇒ rd − = rc − rb ⇒ + rc = rb + rd Trang 14 ... DEH + HEF + FEB + BEA = 360 · · ·BDC · DCA CAD ADB · ⇒ 90 + + + HEF + + 90 + = 3600 2 2 · · µ DCA + CAD +D · ⇒ + HEF = 1800 180 · · ⇒ + HEF = 1800 ⇒ HEF = 900 · · · Chứng minh tương tự HEF =... a: tứ giác BFEA nội tiếp · DBA · AED = 900 + Ta có: · DCA = 900 + · ADB · AEB = 900 + · CAD · · HED = HAD = (tứ giác AEHD nội tiếp, chắn cung HD; AH tia phân · giác CAD ) · · BAC BDC ·FEB = FAB... BH; BE = BF; AE = AG; AK = AH; CM = CN (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ AG − AK = AE − AH ⇒ KG = HE (1) Chứng minh tương tự: FM = GN DN = LD = BD – BL = BJ + JD – BM = BH + DK – (BF + FM) = BE