SKKN phương pháp phân loại dạng toán tính khoảng cách trong hình học không gia

PHƯƠNG PHÁP PHÂN LOẠI DẠNG TOÁÁ́N TÍNH KHOẢNG CÁÁ́CH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN I MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài Năm 2018 năm thứ triển khai thi trắc nghiệm mơn Tốn kỳ thi THPT quốc gia Đồng thời năm thi chương trình lớp 11 mà đặc biệt nội dung thi hình học có tới 50% tốn hình học khơng gian tổng hợp, trọng tâm kiến thức phần khoảng cách Qua đề thi THPT quốc gia năm 2017 đề tham khảo cho năm 2018 cho ta thấy tốn hình học khơng gian tổng hợp nói chung tốn khoảng cách nói riêng mức độ thơng hiểu phần đa vận dụng thấp số vận dụng cao Do để đạt kết cao cho thi mơn tốn địi hỏi học sinh ngồi việc có kiến thức vững vàng cịn cần có kỹ linh hoạt làm thời gian ngắn số lượng câu hỏi lại nhiều, đòi hỏi em gặp toán cần linh hoạt lựa chọn cho cách giải nhanh lại phải xác Ngồi tốn khoảng cách khơng gian giữ vai trị quan trọng, xuất hầu hết đề thi đề thi học sinh giỏi năm gần Vì phần kiến thức địi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Đối với học sinh giỏi, em làm tốt phần Tuy nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Trong sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo, loại tập nhiều song dừng việc cung cấp tập cách giải, chưa có tài liệu phân loại cách rõ nét phương pháp tính khoảng cách khơng gian Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian cịn hạn chế nên việc biên soạn chun đề có tính hệ thống phần cịn gặp nhiều khó khăn Khi cịn học sinh, suy nghĩ cac toán nhỏ, nhờ hương dẫn Thầy giao đã giúp tơi có tốn mới, lời giải mới.Và giúp tơi có phân tích hay, sâu sắc bục giảng, có thêm kinh nghiệm, sáng tạo, có niềm tin vào mình.Vì song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh lên lớp, ln coi việc bồi dưỡng lực tư tốn cho học sinh cách trực tiếp gián tiếp thơng qua giải tốn Đặc biệt bồi dưỡng lực sử dung phương phap hàm sô cho học sinh nhiệm vụ quan trọng việc giảng dạy toán Qua nhiều năm đứng bục giảng, ban tới vân đê này, băn khoăn làm dạy đạt kết cao nhất, em chủ động việc chiếm lĩĩ̃nh kiến thức Thầy đóng vai trị người điều khiến để em tìm đến đích lời giải Chính lẽ hai năm học 2016 - 2017 2017 - 2018, Tôi đãĩ̃ đầu tư thời gian nghiên cứu đề tai “Phương pháp phân loại dạng toáá́n tính khoảng cáá́ch hình học khơng gian ” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Một mặt giúp học sinh hiểu chất vấn đề, em co thê phat hiên đươc hương giải tốn tính khỏng cách hình học khơng gian tổng hợp, tạo cho em hứng thú giải tốn nói chung giai cac bai toan liên quan đến hình học khơng gian nói riêng Mặt khác sau nghiên cứu tơi có phương pháp giảng dạy có hiệu cao lên lớp, trả lời thoả đáng câu hỏi “Vì vẽ hình đẹp nhìn nhanh vậy” Cung câp cho hoc sinh cach tính khoảng cách tốn hình học khơng gian tổng hợp Giơi thiêu môt sô vi du minh hoa giai cac tốn tính khoảng cách khơng gian Tư đo giup hoc sinh nâng cao lưc tư hình học 1.3 Đới tượng nghiên cứu: Cac bai tâp sach giao khoa môn toan THPT va đê thi đai hoc cac năm gân phần tính khoảng cách toán liên quan 1.4 Phương pháp nghiên cưu: 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết Từ tài liệu tham khảo q trình giảng dạy tơi đúc rút hệ thống lý thuyết phương pháp hàm số nói chung để giải toán THPT đặc biệt vận dung vào tính khoảng cách tốn liên quan 1.4.2 Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin Qua q trình giảng dạy thực tiễn, qua kênh thông tin khác giao tập, làm đề khảo sát theo chuyên đề từ có điều chỉnh ngày phù hợp với thực tiễn nhận thức học sinh góp phần nâng cao chất lượng giáo dục phần tập tính khoảng cách khơng gian 1.4.3 Phương pháp thống kê, xửử̉ lý số liệu Từ báo kết kiểm tra qua thống kê xửử̉ lý số liệu để biết hiệu sáng kiến từ đề giải pháp tối ưu cho cơng tác giảng dạy phần mũ logarít năm học tới II PHÂN NỘI DUNG Phương pháp phân loại dạng toáá́n tính khoảng cáá́ch hình học khơng gian 2.1 Cơ sở lí luận sáÁ́ng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Khoảng cáÁ́ch từ điểm đến đường thẳng Cho điểm O đường thẳng Gọi H hình chiếu O Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến d (O, ) đường thẳng Kí hiệu * Nhận xét - M , OM d (O, ) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ta + Xác định hình chiếu H O tính OH + Áp dụng công thức 2.1.2 Khoảng cáÁ́ch từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm O mặt phẳng ( ) Gọi H hình chiếu O ( ) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ) Kí hiệu d (O,( )) * Nhận xét - M ( ),OM d ( O,( )) - Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ) ta sửử̉ dụng cách sau: CáÁ́ch Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H O ( ) tính OH * Phương pháÁ́p chung - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vng góc với ( ) - Tìm giao tuyến (P) ( ) - Kẻ OH( H) Khi d (O ,( )) OH Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường vng góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường trịn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường trịn nội tiếp đáy CáÁ́ch Sử dụng cơng thức thể tích V Thể tích khối chóp V S h h S Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính V S CáÁ́ch Sử dụng phép trượợ̣t đỉnh Ý tưởng phương pháp là: cách trượt đỉnh O đường d (O,( )) thẳng đến vị trí thuận lợi O ' , ta quy việc tính việc tính d (O ',( )) Ta thường sửử̉ dụng kết sau: Kết Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng ( ) M, N d (M ;( )) d (N;( )) Kết Nếu đường thẳng cắt mặt phẳng ( ) điểm I M, N (M, N khơng trùng với I) d (M ;( )) MI d (N;( )) NI Đặc biệt, M trung điểm NI d (M ;( )) d (N;( )) CáÁ́ch Sử dụng tính chất tứ diện vng Cơ sở phương pháp tính chất sau: Giả sửử̉ OABC tứ diện vuông O (OA OB , OB OC , OC OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính cơng thức OH 1 1 OA OB Sử dụng phương pháÁ́p tọa độ Cơ sở phương pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau sửử̉ dụng cơng thức sau: d (M ;( )) Ax0 By0 Cz0 D với M (x0 ; y0 ; z0 ) , ( ) : Ax By Cz D OC CáÁ́ch d (M , ) d ( , ') A2 B2 C2 MA u với đường thẳng qua A có vectơ phương u u u u '.AA' với ' đường thẳng qua A' có vtcp u ' u u' CáÁ́ch Sử dụng phương pháÁ́p vectơ 2.1.3 Khoảng cáÁ́ch từ đường thẳng đến mặt phẳng song song với Cho điểm đường thẳng song song với mặt phẳng ( ) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng ( ) khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ( ) Kí hiệu d ( ,( )) * Nhận xét - M , N ( ), MN d ( ,( )) - Việc tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng ( ) quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.1.4 Khoảng cáÁ́ch hai mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d (( );( )) * Nhận xét - M ( ), N ( ), MN d (( );( )) - Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.1.5 Khoảng cáÁ́ch hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo a b Đường thẳng cắt a b đồng thời vng góc với a b gọi đường vng góc chung a b Đường vng góc chung cắt a H cắt b K độ dài đoạn thẳng MN gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Kí hiệu d ( a , b ) * Nhận xét - M a , N b , MN d ( a , b) - Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b ta làm sau: + Tìm H K từ suy d ( a , b ) HK + Tìm mặt phẳng (P) chứa a song song với b Khi d ( a , b ) d (b,(P)) + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) chứa a b Khi d ( a , b ) d ((P ),(Q)) + Sửử̉ dụng phương pháp tọa độ * Đặc biệt - Nếu a b ta tìm mặt phẳng (P) chứa a vng góc với b, ta tìm giao điểm I (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi d ( a , b ) IH - Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD 2.2 Thực trạng vấn đề trước áÁ́p dụng sáÁ́ng kiến kinh nghiệm Bài tập tính khoảng cách không gian số vấn đề khó học sinh nói chung với học sinh trường Lê Lai nói riêng Bởi tốn học tập tính khoảng cách khơng gian coi nội dung địi hỏi học sinh phải có khả tư trừ tượng tốt Khó khăn lớn học sinh vấn đề việc dựng độ dài khoảng cách không gian địi hỏi em phải có kiến thức hình học khơng gian chắc, đặc biệt phần quan hệ vng góc chương III sách giáo khoa lớp 11 Đặc biệt việc tính khoảng cách khơng gian cần chuyển qua việc tính độ dài đoạn thẳng phải ghép vào tam giác giải tam giác đó, học sinh cần có kỹ giải tam giác không gian Tuy nhiên công việc không đơn giản hình biểu diễn quan hệ vng góc, bàng thường khơng bảo tồn việc sửử̉ dụng không gian chiều để biểu diễn không gian ba chiều việc vận dụng công thức giải tam giác không gian lại trở nên khó khăn Thực tế kết kiểm tra trước áp dụng sáng kiến lớp 12 năm học 2016 – 2017 sau Lớp kiểm tra Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 12B5 3% 40% 40% 17% Lớp 12B4 1% 30% 51% 18% Lớp 12B8 0% 15% 43% 40% Từ thực trạng tơi đãĩ̃ trăn trở tìm giải pháp để áp dụng cho lớp dạy năm học 2017 – 2018 nhằm giải khó khăn nâng cao chất lượng giải tập tính khoảng cách khơng gian kỳ thi THPT săp tới 2.3 CáÁ́c sáÁ́ng kiến kinh nghiệm cáÁ́c giải pháÁ́p sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháÁ́p tính trực tiếp Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc BAD 600 , có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) S Lời giải a) Hạ OK BC BC SOK Trong (SOK) kẻ OH SK OH SBC F d O , SBCOH BD a BO Ta có ABD Trong tam giác vng OBC có: 1 13 OK OK OB OC 3a2 Trong tam giác vng SOK có: 1 16 OH OH OS OK 3a2 a ; AC a a 39 13 H E D a Vậy d O , SBCOH B A O K C a b) Ta có AD / / BC AD / / SBC d AD , SBC d Kẻ EF / /OH E, SBC F SK DoOH SBC EF SBC d AD , SBCd E , SBCEF 2OH a Ví dụ (Đề thi Đại học khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN với DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC A theo a Lời giải S K N D H M Ta có: C MAD NCD ADM DCN B MD NC Do SH ABCD MD MD SHC KẻHK SC K SC SH Suy HK đoạn vng góc chung DM SC nên d DM , SC HK Ta có: SH HC 3a HC CD2 2a CN , HK SH HC2 19 Vậy d DM , SC 3a 19 2.3.2 Phương pháÁ́p sử dụng công thức tính thể tích Ví dụ Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh SA, SB, CD Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP dễ dàng Vậy ta nghĩĩ̃ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) việc tính thể tích khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) thay khoảng cách từ C đến (SAB) Lời giải Gọi O tâm hình vng ABCD, SO (ABCD) S ABS a2 16 PC / /(AMN) M, N trung điểm SA SB nên SAMN 12 SANS d (P,( AMN )) d (C,( AMN )) S Vậy: N P M C D B O A VP AMN S AMN d (P ,(AMN )) 1 S ABS d (C ,(AMN )) SA2 AO2 1V 1V 1 S ABC SO S ABC a , SO C.ABS S.ABC 2 Vậy V AMNP 1 a a a d (P ,( AMN )) 12 2 3V PAMN a a S 48 AMN Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK) S Phân tích Khối chóp AOHK ASBD có chung đỉnh, đáy nằm mặt phẳng nên ta tính thể tích khối chóp OAHK, tam giác AHK cân nên ta tính diện tích K Lời giải CáÁ́ch 1: VOAHK H S AHK d O ; AHK D A O B C Áp dụng công thức V AH , AK AO CáÁ́ch 4: SC (AHK) nên chân đường vng góc hạ từ O xng (AHK) xác định theo phương SC * AH SB, AH BC (do BC (SAB)) AH SC Tương tự AK SC Vậy SC (AHK) * Giả sửử̉ (AHK) cắt SC I, gọi J trung điểm AI, OJ // SC OJ (AHK) SA = AC = a 2SAC cân A I trung điểm SC Vậy OJ 1 IC SC a 2a 2.3.3 Phương pháÁ́p trượợ̣t Ví dụ (Đề thi Đại học khối B năm 2011) Cho lăng trụ ABCDA1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB a, AD a Hình chiếu vng góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD, góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ đãĩ̃ cho khoảng cách từ điểm B1 đến B1 C1 A1 D1 B C mặt phẳng (A1BD) theo a K O Phân tích Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 vị trí D H thuận lợi C quy việc tính d B1 ; A1BD A E thành tính d C; A1BD Bài giải * Gọi O giao điểm AC BD AO ABCD Gọi E trung điểm AD OE AD & A1E AD A1EO 600 a suy SABCD a AO OE.tan A EO 1 10 V AO.S lt1 3a3 ABCD * Tính d B1 ; A1 BD : CáÁ́ch 1: Do B1C // (A1BD) d B1 ; A1 BDd C ; A1 BD Hạ CH BD CH A1 BDd C; A1BDCH CáÁ́ch 2: 3V A1BD d B1 ; A1 BDd C ; A1 BDd A; CB.CD CB2 CD2 1V S lt A BD a3 AO.BD a A1BD 1 A ABD S Trong đó: V A ABD a 2a a2 a3 a d B1 ; A1 BD a2 Ví dụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có cạnh a, SA a vng góc với mặt phẳng (ABCD) a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b)Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC) Phân tích: Do OA SBC C , nên thay việc tính d O , SBC ta tính d A, SBC , tương tự ta quy việc tính d G , SAC việc tính d E , SAC Lời giải a) Ta có: OA d O , SBC hay d B , SAC S SBC OC d O , SBC d A, SBC thông qua C nên: AC G H d A, SBC A D F E O B C 11 AH SB Gọi H hình chiếu A SB ta có: BC Trong tam giác vng SAB có: AH 1 AH SA d O , SBC AB AH a 3a2 A, SBC 1 AH SBC a 43 d AH 2 b) Gọi E trung điểm AB, G trọng tâm tam giác SAB Do EG SAB S nên d G , SAC GS 2 d E , SAC E SAC E, SAC dG, d 3 S BO AC Ta có: BO SAC ;BE SAC A BO SA E, SAC d d G , SAC B, SAC a 42 2d BO a a 62 2.3.4 Phương pháÁ́p sử dụng tính chất tứ diện vuông Định nghĩa Tứ diện vuông tứ diện có đỉnh mà ba góc phẳng A đỉnh góc vng 2.Tính chất Giả sửử̉ OABC tứ diện vuông O ( OA OB , OB OC , OC OA ) H H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) Khi đường cao OH tính O cơng thức 1 1 D OH OA OB OC C B Chứng minh Giả sửử̉ AH BC D , OH (ABC) OH BC (1) OA OB,OA OC OA BC (2) Từ (1) (2) suy BC OD Trong tam giác vuông OAD OBC ta có 1 , 1 OH OA OD OD OB OC 12 Vì OH 1 OA OB OC2 Mục tiêu phương pháp sử dụng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách từ đỉnh tam diện vng đến mặt huyền áp dụng tính chất Ví dụ Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm AA' BB ' Tính khoảng cách B ' M CN C' A' Phân tích Để tính khoảng cách B ' M CN ta tìm mặt phẳng chứa CN song song với B ' M , ta dùng phép trượt để quy việc B' tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng M việc tính khoảng cách tứ diện vuông N D Lời giải C A Gọi O, D trung điểm BC CN O OACD tứ diện vng O AMB ' N hình bình hành NA / / B ' M Mặt phẳng (ACN) chứa B CN song song với B ' M nên d (B 'M ,CN ) d (B 'M ,(ACN )) d (B ',(ACN )) d (B,( ACN )) 2d (O,( ACD)) 2h Áp dụng tính chất tứ diện vng ta a a 1 1 64 h Vậy d (B 'M ,CN ) 2 2 h OA OC OD 3a Ví dụ Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CM A ' D Lời giải A ' NCM hình bình hành nên A'N / /CM Gọi N trung điểm BB 'thì Mặt phẳng ( A ' ND ) chứa A ' D song song với CM nên d (CM , A' D) d (CM ,(A' ND)) với d (M ,( A' ND)) d(M ,( A' DE)) E AB A ' N Gọi O AD ' A ' D , G AD ' AM G trọng tâm tam giác ADD ' Do D' A' C' M B' O G N D C d (M ,( A' DE)) GM d ( A,( A' DE)) GA Tứ diện AA ' DE vuông A nên A B E 13 1 d ( A,( A ' DE)) 2 2 d ( A,( A ' DE )) AA' AD AE 4a Vậy d (CM , A ' D ) d ( M ,(A ' DE )) d ( A,( 2a A ' DE)) a 2.3.5 Sử dụng phương pháÁ́p tọa độ * Phương pháá́p: Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình xét Bước 2: Chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ toạ độ - véc tơ Bước 3: Giải toán phương pháp toạ độ, chuyển sang ngơn ngữ hình học Ví dụ Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳngbất kì qua đường chéo B’D a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) b) Xác định vị trí mặt phẳng cho diện tích thiết diện cắt mp z A N B hình lập phương bé Phân tích: Với hình lập phương ta ln chọn hệ toạ độ thích hợp, tạo độ đỉnh đãĩ̃ biết nên việc tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) trở nên dễ dàng Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng DB’ Lời giải Chọn hệ toạ độ cho gốc toạ độ D C H y A' B' x D' M C' O D' 0;0;0 A ' 0;1;0 , B ' 1;1;0 ,C ' 1;0;0 , A 0;1;1 ,C 1;0;1 Gọi M điểm đoạn thẳng C’D’, tức M x;0;0 ; x a) Dễ dàng chứng minh (ACD’) // (A’BC’) d ACD ' , A ' BC ' d A ', ACD ' Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x y z d ACD ' , A ' BC ' d A ', ACD ' 14 b) Giả sửử̉ cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, hình lập phương có mặt đối diện song song với nên cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM DN//MB’ Vậy thiết diện hình bình hành DMB’N Gọi H hình chiếu M DB’ Khi đó: S DMB ' N DB ' MH DB ' d M , DB ' Ta có: DB ' MD; DB ' d ( M , DB ') DB ' 2x 2x 2 S x 2x 12 3 Dấu đẳng thức xảy x x DMB'N 2 2 Nên diện tích SDMB ' N nhỏ M ;0;0 , hay M trung điểm D’C’ Hoàn toàn tương tự M 0; y ;0M 0; ;0 Vậy diện tích SDMB ' N nhỏ M trung điểm D’C’ M trung điểm D’A’ Ví dụ 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a SA ABCD , SA a Gọi M điểm di động cạnh CD Xác định vị trí M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ Lời giải Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho O A 0;0;0 , B 1;0;0 ,C 1;1;0 , D 0;1;0 , S 0;0;1 M điểm di động CD nên M t;1;0 với t z BM t 1;1;0 SB,BM t d S , BM t 2t BM Xét hàm số f t f ' t2 t t2 S 2t t 2t [0;1] t 2t A C y K M 2t 2 Ta có bảng biến thiên: B D x t f’(t) f(t) - + - 3 Từ bảng biến thiên ta có f t , đạt t = 0;1 max f t 2, đạt t = 0;1 Do d S,MB lớn M C & d S , BM d S , MB nhỏ M D & d S , BM 2.3.6 Sử dụng phương pháÁ́p véc tơ * Phương pháá́p: Bước 1: Chon hệ véc tơ gốc, đưa giả thiết kết luận tốn hình học đãĩ̃ cho ngơn ngữ “véc tơ” Bước 2: Thực yêu cầu tốn thơng qua việc tiến hành biến đổi hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc Bước 3: Chuyển kết luận “véc tơ” sang kết hình học tương ứng Ví dụ 11 (Đề thi đại học khối D năm 2007) ABC BAD 900 , BA BC a , SA a Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang AD 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ S H đến mặt phẳng ( SCD) Lời giải Đặt AB a ; AD b; AS c Ta có: a c 0;b c 0;a b N H SB a c; SC a b c ; SD K b c Gọi N chân đường vng góc hạ từ H lên mặt phẳng (SCD) d ( H ;(SCD )) HN Dễ dàng tính SH SB E A Q D P B C M 16 Khi : HN HS SN x x 3 a yb Ta có: SB xSC ySD x yc 2 1x 2 x a HNSC x HNSD 2 2 HN a b 12 CáÁ́ch 2: x c HN 1 y a 6 x yc x yc 2 yb yb a b c Gọi d1 ,d2 khoảng cách từ điểm H B đến mp(SCD), ta có: d SH d 2d 3VBSCD 2VBSCD S d SB 32 S SCD SCD Trong VBSCD SA S BCD Ta có: CD AC SA S BID SA AB ID a3 3 2 CD SC CD SA S SC CD SCD d1 a SA AB2 BC2 CE2 ED2 a2 CáÁ́ch 3: Sử dụng tính chất tứ diện vng Phân tích Trong tốn này, việc tìm chân đường vng góc hạ từ H xuống mặt phẳng (SCD) khó khăn Vì vậy, ta tìm giao điểm K AH (SCD) quy việc tính khoảng cách từ H đến (SCD) việc tính khoảng cách từ A đến (SCD) Gọi M giao điểm AB CD, K giao điểm AH với SM Ta có: BH Từ ta có: d H , SCD KH d A, SCD KA Do tứ diện ASDM vuông A nên: 17 d A, SCD 2 AS Vậy d H , SCD AD AM d A, SCDa a a * Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc quan trọng giải toán phương pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãĩ̃n hai yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải ba véc tơ không đồng phẳng + Hệ véc tơ gốc nên hệ véc tơ mà chuyển yêu cầu tốn thành ngơn ngữ véc tơ cách đơn giản Ví dụ 12 (Đề thi ĐH khối B năm 2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M , N trung điểm AE BC Tính khoảng cách MN AC E S Giải: Đặt : OA a , OB b , OS c Ta có : a c 0, c 0, a b b P M 1 MN MA AC CN SD AC C B SO OD AC 2a D a CO OB c A bO B N 2c C AC 2a Gọi PQ đoạn vng góc chung MN AC , ta có: PQ PM MA AQ xMN x a c PQ MN PQ AC c b 2y ya 2xa 2y SD y AO y 2 xa 1x xa 2 a x c 2 b x y 2 18 PQ b PQ MP AD 2 a 4O B CáÁ́ch 2: MP / /AD Ta có: a 2 PQ NC / /AD ; NC AD nên tứ giác MNCP hình bình hành MN// SAC Do hình chóp SABCD BO SO BO SAC BO AC d B ; SAC BO BD a d MN ; AC d N; SAC 2 4 2.4 Hiệu sáÁ́ng kiến kinh nghiệm đốÁ́i với hoạt động giáÁ́o dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Tâm lý học sinh ngại học hình mà đặc biệt lại cịn hình học khơng gian tổng hợp ngại Đồng la dang toan hay va la chu đê thương găp đê thi THPT quốc gia năm Do đo hoc sinh thương co tâm trang lo lăng chưa năm vưng đươc phương phap tính đã nêu Tuy nhiên, đươc giao viên chi va hương dẫn cac em qua trinh day cac em đã tư tin va cam thây thich thu vơi chu đê Đo co thê coi la môt công cua đê tai Qua đo đã giup cac em hăng say va yêu bô môn Toan đồng thời cung tao cho cac em tâm li tư tin bươc vao ky thi quan Kết thúc đề tài đãĩ̃ tổ chức cho em học sinh lớp 12A5 12A2 làm đề kiểm tra 45 phút với nội dung toán thuộc dạng có đề tài Đồng thời lấy lớp 12A1 ( Trường THPT Lê Lai) để làm lớp đối chứng với đề kiểm tra Kết khả quan, cụ thể sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 12A5( Thực nghiệm) 13% 50% 30% 7% Lớp 12A2( Thực nghiệm) 11% 50% 31% 8% Lớp 12A1( Đối chứng) 2% 15% 43% 40% Rõ ràng đãĩ̃ có khác biệt hai đối tượng học sinh Như chắn phương pháp mà nêu đề tài đãĩ̃ giúp em phận loại dạng vận dụng tốt phương pháp hàm số việc giải tốn tập tính khoảng cách không gian, giúp em tự tin học tập thi III KẾT LUẬN, KIẾÁ́N NGHỊ 3.1 Kết luận Qua ví dụ có vài nhận xét sau : 19 Khi giải tập tính khoảng cách không gian đưa ta giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng mà cách giải lựa chọn hướng sau : - Trực tiếp dựng đoạn thănngr qua điểm A vng góc với mặt phẳng H từ ta có AH khoảng cách cần tìm - Dùng phương vec tơ - Dùng phương pháp tọa độ Ngồi tốn khoảng cách cịn sửử̉ dụng số dạng tốn khác tính thể tích khối đa diện đặc biệt khối chóp, tính loại góc… Từ ví dụ thấy tầm quan trọng tốn tính khoảng cách hình học khơng gian Trong loại khoảng cách khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách quan trọng khoảng cách cịn lại dựa vào để tính trừ khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Vấn đề dặt cần biết cách quy khoảng cách Kinh nghiệm cho thấy em cần quy lợi dụng chân đường cao để tính 3.2 Kiên nghi - Kiến nghị với Sở GD&ĐT phổ biến rộng rãĩ̃i đề tài giải để giáo viên tham khảo - Mở rộng khuyến khích việc mở lớp chuyên đề, ôn luyện, kiểm tra đánh giá việc ôn luyện học sinh - Mong muốn lớn thực đề tài giúp em học sinh thy c phng pháp tính loại khoảng cách khơng gian Đề tài hẳn tránh khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ,đồng nghiệp đọc đóng góp ý kiến cho tơi, để đề tài tụi c hon thin hn./ Xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Nguyễn Thị Hoa 20 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Sách giáo khoa Hình học nâng cao 12 – Đồn Quỳnh, Văn Như cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân - Nhà xuất Giáo dục, 2007 [2] Giải tốn hình học 11 – Trần Thành Minh – Trần Đức huyên – Nguyễn Quang Nghĩĩ̃a - Nhà xuất Hà Nội, 2004 [3] Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng mơn Tốn từ năm 2002 đến năm 2017 [4] Các phương pháp giải tốn hình học khơng gian lớp 11 - Huỳnh Cơng Thái - Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2012 [6] Đề khảo sát chất lượng khối 12 năm học 2017 – 2018 Sở GD&ĐT Thanh Hóa [7] Đề minh họa Bộ giáo dục đào tạo năm 2018 [8] Tham khảo số tài liệu mạng internet - Nguồn: http://MathVN.com.vn - Nguồn: http://toanhoc247.edu.vn 22 Danh mục cáÁ́c đề tài SKKN mà thân đượợ̣c Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT đáÁ́nh giáÁ́ đạt từ loại C trở lên Tên đề tài Năm cấp Xếp SốÁ́, ngày, tháÁ́ng, năm định công nhận, SáÁ́ng kiến loại quan ban hành QĐ Phương pháp tọa độ hóa giải 2014-2015 tốn THPT “ Hướng dẫĩ̃n học sinh nâng cao kỹ giải tốn hình 2015-2016 học khơng gian lớp 11 bản” Phương phap hàm sơ giải 2016- 2017 phương trình mũ logarit C QĐ số: 988/QĐ-SGD&ĐT ngày 03/11/2015 QĐ số: 972/QĐ-SGD&ĐT C ngày 28/11/2016 C QĐ số 1112./QĐ-SGD&ĐT ngày 18/10/2017 23 ... quan trọng toán tính khoảng cách hình học khơng gian Trong loại khoảng cách khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng khoảng cách quan trọng khoảng cách cịn lại dựa vào để tính trừ khoảng cách từ điểm... nghiệm Bài tập tính khoảng cách khơng gian số vấn đề khó học sinh nói chung với học sinh trường Lê Lai nói riêng Bởi tốn học tập tính khoảng cách khơng gian coi nội dung địi hỏi học sinh phải... hai đối tượng học sinh Như chắn phương pháp mà nêu đề tài đãĩ̃ giúp em phận loại dạng vận dụng tốt phương pháp hàm số việc giải tốn tập tính khoảng cách khơng gian, giúp em tự tin học tập thi