SKKN phát triển tư duy hàm cho học sinh qua các bài toán về hệ phương trình

TÊN ĐỀ TÀI PHÁT TRIỂN TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH QUA CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH A ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài Như biết, chuyên đề hệ phương trình, chiếm lượng lớn chương trình tốn học phổ thơng Tuy nhiên số tập có lượng lớn tập mà ta khơng thể giải phương pháp thơng thường giải gặp nhiều khó khăn phức tạp Nhưng ta biết hệ phương trình hàm số có mối liên hệ chặt chẻ với nhau, định nghĩa phương trình người ta dựa khái niệm hàm số, nên biết sử dụng kiến thức hàm số để giải tốn phương trình, hệ phương trình lời giải nhanh gọn đơn giản nhiều Tuy nhiên khơng phải tốn sử dụng hàm số để giải ứng dụng đạo hàm hàm số để giải phương trình, hệ phương trình…, lớn chon đề tài “ Phát triển tư hàm cho học sinh qua toán hệ phương trình ” nhằm giúp em học sinh có thêm phương pháp khi giải toán hệ phương trình tìm điều kiện cho hệ phương trình có nghiệm II Mục đích u cầu -Trang bị cho học sinh phương pháp giải hệ phương trìnhỉ tìm điều kiện cho hệ phương trình có nghiệm mang lại hiệu cao -Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khã tư duy, sáng tạo giải toán III Đối tượng nghiên cứu -Các dạng tốn hệ phương trình chương trình tốn học phổ thơng - Phân loại dạng tốn thường gặp phương pháp giải IV Phương pháp nghiên cứu Phương pháp chung dạng tập này: Sử dụng tính chất tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Các mệnh đề tính chât thường dùng 1) Cho phương trình f ( x )g ( x ) f(x) xác định g(x) a; b Nếu hai hàm số hàm đơn điệu, hàm lại hàm số đơn điệu ngược lại với hàm phương trình có nghiệm nghiệm f(x) f (u ) u,v g(v) 2)Nếu hàm số đơn điệu D tồn D cho u v 3)Phương trình f(x) = m có nghiệm m thuộc tập giá trị hàm số y = f(x) số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m 4) Các hệ phương trình giải cách làm xuất hàm đại diện f (u ) f ( v ) tTT T Khi hàm đại diện phương trình f (t ) với u v T ,T u v miền giá trị biến u v Có nghĩa tập giá trị biến t phải xác định hợp tập giá trị biến u tập giá trị biến v Trong ta chứng minh f hàm đơn điệu T (T khoảng, nửa khoảng ) Khi ta có u = v T ( ; ) ( ; ) ( ; ) Cịn phải u v thuộc ( ; ) thuộc LOẠI Biến đổi phương trình hệ để đưa hàm đại diện x 12 x y y 16 y y2 4x2 x2 Bài Giải hệ phương trình Lời giải ĐK : x [ 2; 2], y [0; 4] PT(1) : ( x Hàm số : [0;4] mà 2) 6( x 2) y y2 f (t ) t 6t , t [0; 4] , ta có f ( x 2) f ( y ) x y x f (t ) nghịch biến Thay vào phương trình (2) ta KQ : (0;2) 3x x f ' 3t (t 4) 0, t [0; 4] x 22 y x y y (2) y y (1) Bài Giải hệ phương trình Lời giải Coi (2) pt bậc x, y sử dụng điều kiện có nghiệm pt bậc hai x [ ta ;3 ], y [ 2 ;1 ] 2 (3) 1) 12( x 1) ( y 1) 12( y 1) f (t ) t 12t PT(1) : ( x Xét hàm với x,y thỏa mãn (3) suy Khi f '(t ) 3(t 4) t [ ;3 ] 2 1 ( ; ),( ; ) KQ: 2 2 x 2y x y Bài Giải hệ phương trình 3x 2 3y (1) y (2) Lời giải y33 x x 1 ĐK y PT(1) Hàm số ( x 1) 3( x 1) f (t ) t 3t , t ( y 3) 3 y suy f đồng biến [1;+∞) x x4 4x3 8x2 17 x x x2 5x 0(3) Thế vào pt(2) ta Nếu sử dụng máy tính để giải (3) ta thấy có nghiệm lẻ nhỏ Do ta khơng giải trực tiếp (3) mà ta chứng minh (3) vô nghiệm [2;+∞) 2 Thật xét hàm g ( x ) x x x 2, có g ' x x x g ( x )13 x Mà g(2) = 13 nên (3) vơ nghiệm [2;+∞) KQ (3 ;1) (4 x 1) x ( y 3) 4x y 2 x 2y Bài Giải hệ phương trình Lời giải x Đk , y5 Pt (1) đưa dạng Hàm số f (t ) (2 x ) x ( 2y)3 2y f '(t ) 3t 0, t R nên f đồng biến R t t có 2 ( 4x2 ) x 4x vào (2) : g(x) 4x (5 4x ) Lại xét hàm 3) x (0; Xét ta có g ' x (4 x g( ) 2 4x x [0; ] với 2 3) 0, x (0; 4x 3) KQ (1/2;2) x Bài Giải hệ phương trình 2x y y x 3x y x (1) x 1 (2) 2x 2y Lời giải ĐK x 1, y x x ( x 1)( x vào (2) ta có x 1 ( x 1)( x 2 x 1) x t3 1 có y x3 y 3x x ( x 1)( x 1, t t t3 Hàm đại diện f (t ) Vậy (1) y v3 với u x , v f' 3t2 0, t u3 v PT(1) có dạng u x2 x 1) x ( 2 x 1 x) 2x 1 22 x 1 x x x 4(2 x 1) x 1) x ( 2 x 1 x )( x 2 x 1) ( x 2 x 1) G ( x ) x 2 (do x > nên G(x) > 0) 2x x 2x 2xy y ( x 2) y ( x Bài Giải hệ phương trình Lời giải Ta thấy x = không thỏa mãn 2( y ) ( y ) Xét x phương trình (1) : f (t ) t x 2t Hàm số đồng biến (x 3y2 Bài Giải hệ phương trình x6 1)2 2x x3 x yx ( Thế vào (2) ta có kq : x 3;3),( 3;3) x 1)( y y 1) x 12 x 12 y Lời giải ĐK x 0, y x x2 ( y) PT(1) Dễ thấy f ' suy ( y) Hàm đại diện f (t ) xy x Thế vào pt(2) ta có x x 12 x 12 x ) x 12 x 01 x 12 x 4(2 x Ta có x 12 t t2 12 3x 3) f ( x ) f ( ) 3( x 3) x 41 x 3x Suy KQ : (1 ;-1) 41 x (2 x )( x x ( x 3) 12 35 3 31 x ( x 3) 35 x 2 y2x y2 2y 5y x y xy x (x y)2 y Bài Giải hệ phương trình Lời giải Đk : x y y2 Phương trình (2) : y y 2( x y ) x y ( x y)2 f' t( ) có 2 Hàm số : f (t ) t t t , t [0; Suy hàm f nghịch biến (0;+∞) KQ (4;2) x y y x y x2 Bài Giải hệ phương trình 0, t 2t t2 2) x 24 x y y (x 2) Lời giải Đk x y Phương trình (1) : ( x 2) ( x 2) ( x 2) ( y ) f' t2 ( y ) ( y) t2 t R t t có Hàm số : f ( t ) t t x y Suy hàm số đồng biến R KQ (-1; -1) x x Bài 10 Giải hệ phương trình y x x y 1 y y 2 Lời giải Đk x,y phương trình (1) : t Hàm f (t ) 1 t x x x 1 y y (1 y) t có f ' t (0;1) x y KQ : (1/2 ;1/2) xy (1 (9 Bài 11 Giải hệ phương trình x y Lời giải (1) x 1x 1) 4( x 1) x 10 (2) 9y ) y y (3 y) PT(1) tương đương với x 0, y (1) suy Hàm số : y 3y f (t ) t t t 1, t 1 x x ( 1) x Dễ thấy f’ > nên f đồng biến x 10 2 PT x vào (2) : x x 4( x 1) Vì hàm số g ( x ) x x 4( x 1) x đồng biến (0 ;+∞) mà g(1) = 10 nên phương trình có nghiệm x = KQ : (1 ;1/3) 2x x2 x 2y y2 x y x3 Bài 12 Giải hệ phương trình: x y 0, Lời giải Điều kiện x x 2x Xét hàm số 2y không thỏa mãn hệ phương trình 2 (1) y2 x x (2 x 1) : Ta có x x2 Nhận thấy Xét x t f (t ) t 2y y2 2x y , (t 0) f '(t ) có t t2 t ;0 Suy hàm số f(t) nghịch biến khoàng 0; Từ (1) ta thấy 2x+1 y dấu, tức thuộc khoảng ; 0; Do (3) Lại x (3) f (2 x 1) f ( y ) x thuộc khoảng y y 2x vào (2), ta : x x3 x2 4x x x x3 x2 4x x 2 x x x 3 x x 3 x 3 x x x2 x x2 x 2 x2x x x x2 x x x x x 2 2 x x x x x x x x 2 x x2;3 x x x Do x x2 x x Suy Vậy nghiệm hệ phương trình x; y2;5 x; y1; 3x y x 9y 37x 2y 2y x 3y Bài 13 Giải hệ phương trình Lời giải x y y ĐK : y 3y x x x Phương trình (1) Xét hàm đặc trưng : t / f t Có t t2 f t 2t Mà : 2; t t t2 có dạng f 9 đồng biến y t 3t f t t với ; x f yx y x y2 Thế vào (2) ta : y y 2 y y 9y y 7y2 2y y y2 5y 9y y y x y x y3 4y2 y y 2 y 2y y 2 y y (t/m) Vậy : hệ có nghiệm x; y3; ; 8;3 3x y y 9 x xy y2 Bài 14 Giải hệ phương trình Lời giải ĐK 3x y x Nếu y x y y nên hệ vơ nghiệm Nếu y < (2) suy x > Khi (2) x 3x ( y) ( y) f (t ) t t , t R f '(t ) 2t2 t R t2 Xét hàm f( ) f( y) x 3x suy f đồng biến R mà y2 vào (1) ta có y y y2 (4) g(y) 18 y y ( ;0) g ' Xét hàm 0, y y3 y2 y y2 suy hàm số đồng biến (-∞ ;0) mà g(-3) = nên y = -3 KQ : (1/3 ;-3) 5 y ( xy y )(20 xy 38 y 20) ( xy 1)( x y) 12 x x3 y Bài 15 Giải hệ phương trình Lời giải Ta thấy y ≠ 1 x 20 x 38 x ( )5 20( ) 38( ) y y y PT(1) hàm đại diện f (t ) t 20t 38t có f '(t ) 5t 40t 38 f ''(t ) 20t 40, f ''(t ) t t f ''(t ) f '( t ) -∞ - 3 Bảng biến thiên +∞ + f '(3 2) ( Lê Minh) ta có x f '( 2) 5( 2) 40 38 38 30 f '(t ) 0, t R suy hàm f đồng biến từ y ( 5; );( 5; ) 2 KQ Nhận xét : Đây tốn hay khó mà hàm đại diện phải sử dụng đạo hàm bậc hai chứng minh tính đơn điệu 2.Nhóm Phối hợp hai phương trình (cộng đại số, thế) để tạo hàm đại diện Loại Hệ đối xứng loại PP : Ta cộng trừ hai phương trình để làm xuất hàm đại diện x y3 Bài Giải hệ phương trình x,y 3x 2x y 3y 2y x Lời giải ĐK Trừ hai phương trình theo vế ta x3 2x y3 3x f (t ) t 3t 2t 1,t Xét hàm f '(t ) 0, t Dễ thấy Ta có phương trình 3y 2y 1 Do x = y x3 2x 2x Lại xét hàm g (t ) t 2t 2t 1,t g '(t ) 3t 2 t 2t có [ 1; ) Do g(t) đồng biến mà g(0) = Vậy hệ có nghiệm (0;0) ( x 1) 21 ( y 1) 21 y ( y 1) x ( x 1)2 Bài Giải hệ phương trình Lời giải x,y0 xy ( x , y) ĐK Ta thấy không nghiệm hệ Với x 0, y Trừ hai phương trình xét hàm ta x = y Phương trình ( x 1) x ( x 1) 21 g' 2x Hàm số g ( x ) ( x 1) x ( x 1) x ( x 1) 21 x 21 có x | x 1| g(1) = Vậy hệ có nghiệm (1;1) Loại Hệ tổng hợp x 22x 3y y x x2 y2 3x 3y Bài Giải hệ phương trình Lời giải Cộng hai phương trình ta có ( x 1) ( x 1) y 2y2 t 4, t f Xét hàm f (t ) ' 1 0, t t t Mà f ( x 1) f ( y ) x y Thay vào (2) ta KQ : (1/2;-1/2), (3/4;1/4) ( y 1) Bài Giải hệ phương trình y y x x 2x 2x 4y 2 x Lời giải ĐK : x y Phương trình (1) tương đương với : x y ( y 1) y y2 y2 ta có : x ( x 1) 2x 4y ( 2( y x ( y) f' t t t21 t có Hàm số : f (t ) t R KQ : (5/2;3/2) y y)2 x 2) t2 t2 2x Bài Giải hệ phương trình Lời giải Đk x 2, y x x 2 y 2y x2 y x y ( x 1) Xét hàm số : f (t ) t t x t 1,t 4y2 2y Với t 10 2y 1 ta y y t | t | 0, t R t2 2y 1 (1) – (2) ta có : ( x 1) Thay vào phương trình (2) có nên f đồng biến f ' 2t 1 2(t 1) t1 t 1 1(Cauchy) t1 Suy hàm f đồng biến (-1 ;+∞) Từ x 2y 31 Kq : 10 (1; 2),( xy ( y x ) x x x3 Bài Giải hệ phương trình x y3 y Giải y ) ( x y ) (1 x ) x PT(2) – 3xPT(1) ta ( x Hàm đại diện f (t ) t t KQ (1 ;-1) 3y4 y y3 y x Bài Giải hệ phương trình ( x 1)(9 y 12 y 4) ( Lê Minh) Lời giải ĐK y > Từ phương trình thứ hai ta có (x−1)(3 y−2)2 +1=0 → x (*) Nếu y < chưa thể khẳng định (*) Do ta phải tìm cách khác x 1x y 1y (1) 2y x3 1(2) Bài Giải hệ phương trình Lời giải ĐK xy f (t ) t t f '(t ) 1 t t2 Xét hàm suy hàm f đồng biến R\{0} có Do từ PT(1) suy x y vào (2)… Hỏi lời giải có khơng ? ? Trả lời : lời giải sai ta kết luận hàm số đồng biến khoảng (- ∞,0) (0;+∞) không kết luận hàm f đồng biến R\{0} Do : x y âm dương suy x = y, cịn x, y trái dấu từ f(x) = f(y) không suy x = y x4 16 8x x2 xy Bài Giải hệ phương trình y4 1(1) y y 8(2) Lời giải ( ĐK xy PT(1) f (t ) t3 Hàm đại diện x y x )3 ( 2) y3 x y t có f ' 3t t2 suy f đồng biến tập xác định Do PT(1) ? Đúng khơng ? 12 Ta xét tiếp toán sau 3 3x y x x 3y y Bài Giải hệ phương trình Một bạn giải sau Lời giải f (t ) t 3t , t ta có f ' x 1, y Đk Xét hàm số biến [1 ;+ ∞) 3t t nên hàm f đồng Do (1) suy x = y từ vào (2) giải x y Liệu lập luận có khơng ? ? Hệ sử dụng hàm không đưa hàm đại diện Một số hệ không sử dụng hàm đại diện lại sử dụng cơng cụ hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến để giải f(x) g ( y) H ( x , y) Các hệ thường có dạng Trong từ (2) ta tìm điều kiện ràng buộc x,y (sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc 2) xét hàm f(x), g(y) Bài Giải hệ phương trình y 4) 18 (1) x y xy x y 14 (2) 4)(2 y 2(2x23x Lời giải Coi phương trình (2) phương trình bậc hai ẩn x, phương trình bậc hai ẩn y sử dụng điều x 10,1 y kiện có nghiệm ta có đồng biến [1;+ ) Hàm số f (t ) 2t 3t (1) f ( x ) f ( y ) 18 18 f (2) f (1) 6.3 18 x 2, y Vậy nghiệm hệ (2;1) 4x x ( y 1) y Bài Giải hệ phương trình 2x xy (2 y (1) 1) (2) Lời giải ĐK 8x3 y Viết phương trình (1) x ( y 1) 3 Từ (2) ta có Xét hàm số 2x2 x y (3) y (2 y 1) x f (t ) t 3t , | t | Phương trình (3) : f (2 x ) x 01 x Và y 1 f '(t ) 3(t 1) f ( y 1) 13 suy f nghịch biến [-1;1] 2x x y y 1) f ( 1) f (0) Mặt khác f (2 x ) f ( Vì (3) 2y ;1 ) Vậy hệ có nghiệm ( 2 2x 24y 32y 2y 32 (1) 2 2x 2y x y (2) 8x Bài Giải hệ phương trình Lời giải Từ phương trình (2) sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai ta có x y 2 f(x) 8x 2x ,x [ ;3 ] 2 Ta tìm max, hàm số đoạn Xét hàm số Ta có f ' 24 x 4x x 1 0, x f (0) 0, f ( ) 54 , f ( ) x [ ;3] max f ( x ) f ( 3) với Suy g(y) 4y3 22 2y2 Tiếp theo ta xét hàm số g ' 12 y y 1, g ' y 1, y Có y 32, y [ ;1 ] 2 g ( 3) 22 Ta có 79 , g ( ) 63 , g ( 1) 1733 , g(1) 63 22 65 2 63 63 63 ) g ( ) f ( x ) g ( y) 2 20 Suy max g ( y ) g ( x f ( x ) g ( y) y y thử lại phương trình (2) ta Do (3 ; 1) KQ 2 y 3) x 3 16(4 x 3) (x (2 x y 3) y (2 xy x x ) x Bài Giải hệ phương trình , f ( 2) 63 14 Lời giải Bài Giải hệ phương trình 2 (x x 9)( x y ) 22( y 1) 4y y Lời giải x x )( y y) ( Bài Giải hệ phương trình (2 y 5) 3 y x 10x Lời giải y2 y 2x x ( y 4)(2 y 12) x y (x2 2)( x y) Bài Giải hệ phương trình Lời giải 3 x ) x(y Bài Giải hệ phương trình x x3y 9y y3x x2y2 9x Sau em nghiên cứu kỹ phần trình bày trên, lúc em áp dụng để giải hệ tương tự Nhớ tốn có thú vị riêng nên em phải giải hết trình bày cẩn thận vào chuyên đề BÀI TẬP VẬN DỤNG x 3x (x 21 y2 2) y 2x 1) x ( y 4) y 22 x y 18 x 76 4x 2y Bài Giải hệ phương trình (y 2x x2 Bài Giải hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình y y2 2y x2 x x2 x2 x y 15 3) y ( y 3) 2) 4(2 y) 2x(x (x xy ( x y) Bài Giải hệ phương trình ( y 2) x x y x 1.( y 1) ( y 3)(1 x y 3x) Bài Giải hệ phương trình x11 xy10 y11 y22 y 13 x y 3 x 3xy x Bài Giải hệ phương trình x y Bài Giải hệ phương trình 16 y x 216 16 ( x y ) x 4 y ( y 2) y 2 xy y 3y 1) x y xy x Bài Giải hệ phương trình (3 x y 22 y y Bài Giải hệ phương trình ( x 11)3 3y2 4x x 3x 3x3y 7x 3x x 3y 3x x y x y 12 xy y 4 y ) Bài 10 Giải hệ phương trình y ( x x 2x y x x y yxy y yx xyxy Bài 11 Giải hệ phương trình x y xy y x Bài 12 Giải hệ phương trình x (x y) Bài 13 Giải hệ phương trình x 1)2 x xy xy (2 (2 y 1) y 4x (x x 2 xy y 2) x y ( x y ) 2(1 x y2 ) 2 y2 2x x x Bài 14 Giải hệ phương trình y x x (2 x 4y2 y ( x 1) 3x x )(2 y y 2) x y x 6( y Bài 15 Giải hệ phương trình (17 x ) x) x (3 y 14) y Bài 16 Giải hệ phương trình x 19 y x 16 2x 3 x x3 x 3 14 x y 4x (2 y ) y Bài 17 Giải hệ phương trình x x2 xy y x y Bài 18 Giải hệ phương trình 2 x y x 2x x x2 ( 14 x y 2)( Bài 19 Giải hệ phương trình y 2 x) Bài 20 Giải hệ phương trình ( y x )( y 1) ( y x2 y ( 5x3 y Bài 24 Giải hệ phương trình y) 4y x xy y2 x Bài 25 Giải hệ phương trình (3 y 11) 2 y 1) 4) x 2x y (x y ) ( x 1) x x 4 y 8)( y 2) 2( x2 2x x3 2y ( xy x 2)3 xy ( y x ) x 11 2x x y x ( y 21 x ) y 21 y 17 ( y 24 y 18 2 2 y 2)( x x x2 y3 y ( x 4y Bài 23 Giải hệ phương trình 11) 8x x2 y 2) x 1 Bài 22 Giải hệ phương trình y x x 1)( y (x Bài 21 Giải hệ phương trình x y y2 x y x 26 y 13 y 2 (2 y xy x y3 y2 xy x y 14 x) 0 Bài 26 Giải hệ phương trình C KẾT LUẬN Hàm số có nhiều ứng dụng ứng dụng sử dụng vào việc giải hệ phương trình tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiêm Đề tài nêu phương pháp giải cho dạng toán loại hệ phương trình , đồng thời đưa hệ thống tập tương đối đầy đủ với mực độ khác 17 Tuy nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan khách quan nên đề tài khơng tránh khỏi sai sót định Rất mong nhận góp ý bạn đồng nghiệp, hội đồng khoa học trường THPT Nông Cống 1, Hội đồng khoa học sở GD & ĐT Thanh Hoá để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! TÁC GIẢ LÊ TRỌNG VŨ 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO - Tuyển tập phương trình – Hệ phương trình Tác giả: Nguyễn Văn Nho – NXB ĐHQG Hà Nội - Rèn luyện tư sáng tạo qua tốn phương trình – Hệ phương trình Tác giả: Nguyễn Kim Chung – NXB TP Hồ Chí Minh – 2013 - Các tốn phương trình – Hệ phương trình chọn lọc Tác giả: Lê Hồng Đức – Lê Đình Hùng – NXB ĐHQG Hà Nội 19 ... x 76 4x 2y Bài Giải hệ phương trình (y 2x x2 Bài Giải hệ phương trình Bài Giải hệ phương trình y y2 2y x2 x x2 x2 x y 15 3) y ( y 3) 2) 4(2 y) 2x(x (x xy ( x y) Bài Giải hệ phương trình ( y 2)... y Bài 15 Giải hệ phương trình (17 x ) x) x (3 y 14) y Bài 16 Giải hệ phương trình x 19 y x 16 2x 3 x x3 x 3 14 x y 4x (2 y ) y Bài 17 Giải hệ phương trình x x2 xy y x y Bài 18 Giải hệ phương trình. .. x2 ( 14 x y 2)( Bài 19 Giải hệ phương trình y 2 x) Bài 20 Giải hệ phương trình ( y x )( y 1) ( y x2 y ( 5x3 y Bài 24 Giải hệ phương trình y) 4y x xy y2 x Bài 25 Giải hệ phương trình (3 y 11) 2