SKKN rèn luyện kỹ năng ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng vào chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong đại số sơ cấp nói chung mảng kiến thức bất đẳng thức nói riêng, nhiều toán trở nên đơn giản ta biết vận dụng kiến thức phương pháp môn toán cao cấp vào việc giải chúng Một phương pháp hiệu ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng Biết phát ứng dụng kết lý thuyết đa thức đối xứng làm cho nhiều toán trở nên đơn giản Ứng dụng trở thành phương pháp giải thống cho nhiều loại toán đại số sơ cấp mà ta lợi dụng tính đối xứng Hơn nữa, phương pháp phát huy hiệu tính độc lập, sáng tạo phát triển tư logic, óc phân tích cho học sinh Đối với toán chứng minh bất đẳng thức đề thi, đề thi học sinh giỏi, thường toán vận dụng cao, khơng có cách giải theo khn mẫu nên đa số học sinh thấy ngại, chí bỏ qua khơng làm loại Chính lý nên chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng vào chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông”, với mong muốn khắc phục phần hạn chế nêu trên, góp phần nhỏ bé phục vụ công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Rất mong đồng chí, đồng nghiệp quan tâm, góp ý phê bình, bổ sung để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu Tơi mạnh dạn đưa phương pháp áp dụng toán cao cấp vào giải toán sơ cấp cho học sinh thông qua đề tài nhằm mục đích sau: - Phát triển tư logic, sáng tạo, khả tổng hợp, so sánh, phân tích học sinh - Thông qua đề tài giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết đa thức đối xứng vào toán chứng minh bất đẳng thức, giúp học sinh thấy tự tin có hứng thú gặp tốn - Tơi hy vọng đề tài nhỏ bé giúp bạn đồng nghiệp tham khảo thêm phương pháp chứng minh bất đẳng thức, giúp cho việc dạy học mơn Tốn, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đạt hiệu cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Đề tài nghiên cứu hướng tiếp cận, phương pháp kĩ vận dụng lý thuyết đa thức đối xứng vào toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu - Khảo sát, điều tra từ thực tế dạy học - Phương pháp đối chứng - Phương pháp tổng hợp, so sánh đúc rút kinh nghiệm PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Đa thức P(x,y) gọi đa thức đối xứng hai biến x, y khơng thay đổi đổi chỗ x y, nghĩa là: P(x,y) = P(y,x) 2.1.2 Các đa thức x y , x y gọi đa thức đối xứng sở biến x,y Mọi đa thức đối xứng P(x,y) biến x,y biểu diễn dạng đa thức p( , ) biến , 2.1.3 Mỗi tổng lũy thừa S m x m y m , ( m 0,1, ) biểu diễn dạng đa thức bậc m : S S m m1 S m Chẳng hạn như: S1 x y S2 x y ( x y) 2xy 2 2 3 S3 x y 3 ( x y ) xy ( x y) x 4 y S 41 2 5 S5 x y 2.1.4 Với m > n , (m ,n ) ta có: S m 5 12 * n n SmSn Sm n : Công thức Waring 2.1.5 Đa thức P(x,y,z) gọi đa thức đối xứng ba biến x, y ,z khơng thay đổi với hoán vị x, y, z, nghĩa là: P(x,y,z) = P(y,x,z) = P(y,z,x) = P(z,x,y) = P(z,y,x) = P(x,z,y) 2.1.6 Các đa thức x y , x y yz zx , xyz gọi đa thức đối xứng sở biến x,y,z Mọi đa thức đối xứng P(x,y,z) biến p( , , ) x,y,z biểu diễn dạng đa thức 2.1.7 Mỗi tổng lũy thừa S m x m y m z m , ( m 0,1, ) ta có: S S m S m1 S m k Chẳng hạn như: S0 S1 x S2 x S3 x S4 x S5 x y z y y y y 2 z 3 z 4 z 5 z 1 1 2 12 3 2 2 13 2 12 5 23 2.2 Thực trạng vấn đề Trong thực tế giảng dạy trường trung học phổ thơng , học sinh gặp nhiều khó khăn “ ngại ” giải tốn chứng minh bất đẳng thức Bởi vì, toán chứng minh bất đẳng thức thường vận dụng cao, lại khơng có cách giải theo khuôn mẫu, không theo phương pháp định nên học sinh khó xác định hướng giải toán Khi gặp toán chứng minh bất đẳng thức, em thường lúng túng, thụ động, đâu, khơng biết phân tích tốn nào, dẫn đến thực trạng phần lớn em khơng có hứng thú, thiếu tự tin, chí chấp nhận bỏ qua tốn chứng minh bất đẳng thức Thực việc kiểm tra số tập chứng minh bất đẳng thức trước áp dụng đề tài vào giảng dạy hai lớp 10B1, 10B2, thu kết sau: Lớp Sĩ Số Điểm giỏi Điểm Điểm Điểm yếu trung bình 10B1 10B2 42 40 12 10 16 17 10 11 Bất đẳng thức kiến thức khó khơng thể thiếu vốn kiến thức học sinh phổ thông, học sinh khá, giỏi Bởi vậy, thấy việc hướng dẫn học sinh số phương pháp chứng minh bất đẳng thức việc làm cần thiết để giúp học sinh có thêm kiến thức kĩ chứng minh bất đẳng thức, góp phần tạo nên hứng thú, kích thích tinh thần say mê học toán cho học sinh 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Đối với toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến đa thức đối xứng hai biến x, y Ta áp dụng kết đa thức đối xứng để chứng minh nhiều bất đẳng thức Cơ sở phương pháp là: -Giả sử x,y số thực Muốn tồn số x,y xác định điều kiện: x y xy điều kiện có đủ Muốn cho số x,y số thực khơng âm, điều kiện có đủ là: 4 Giả sử cho đa thức đối xứng f (x , y) ta cần phải chứng minh đa thức f (x , y) lấy giá trị không âm với giá trị thực x,y ( với x, y khơng âm bất kì, với giá trị x,y cho x y a, a số thực cho trước) tùy theo điều kiện toán Muốn vậy, ta phải thực bước sau: Bước 1: Biểu thị f (x, y) biểu thức qua , đa thức p( , ) Bước 2: Trong đa thức p( , số không âm Vậy ta có p ( , 2) , thay biểu thức qua , ta 2) 2 ( 1 ) F ( 1, ) Bước 3: Chứng minh với giá trị không âm điều kiện cho, đa thức F ( với ) lấy giá trị không âm Thơng thường cách làm dễ chứng minh bất đẳng thức cho Tôi mạnh dạn đưa phương pháp dùng kiến thức toán cao cấp để giải toán đại số sơ cấp vào giảng dạy cho học sinh lớp 10, 11, 12, đặc biệt học sinh khá, giỏi để kích chủ động, tìm tịi, sáng tạo em việc khám phá vấn đề mới, tri thức Sau tốn chọn lọc mà tơi sử dụng để minh họa cho giải pháp nêu Quy ước: x y, xy 42 Bài toán 1: Cho x y số thực thỏa mãn điều kiện Chứng minh x y c c rằng: a)x2 y2 c ) x y8 c2 b ) x y4 c4 c8 128 Lời giải: Đặt12 a) x ta có0 c2 y2 Bước 1: Áp dụng kết 2.1.3 đa thức đối xứng ta có: x2 y2 Bước 2: 2 2 2 2 ( ) 1 Bước 3: Chứng minh 1 2 Thật vậy, vì0 theo giả thiết c 2 2 12 c nên 1 2 (đpcm) Đẳng thức xảy x y b) x4 c4 y4 Bước 1: Áp dụng kết 2.1.3 đa thức đối xứng ta có x y4 4 12 2 2 Bước 2: 4 12 2 22 4 12 4( 22 ) 2[ 4( 22 )]2 c2 2 Bước 3: Chứng minh Thật vậy, vì0 theo giả thiết 8 Đẳng thức xảy c ) x y8 2 c4 c nên 1 (1 c ) c4 (đpcm) 2 x y c8 128 Tương tự câu a), câu b) ta có kết quả: x y4 (1 c4 )2 c8 (đpcm) 128 Đẳng thức xảy x y Mở rộng: Bằng quy nạp toán học ta chứng minh kết sau: n số tự nhiên ta có x n “ Nếu x y c y2 n c 22 n Đẳng thức xảy x y c2n Lưu ý: Cho c giá trị khác ta có tốn khác chung cách làm Bài toán 2: Chứng minh với x,y ta có x y x y xy3 (1) Lời giải: (1) x y x y xy x y x y xy3 Áp dụng kết 2.1.3 đa thức đối xứng ta có: x y xy ( x y2 ) (12 42)(12 2) 4 12 2 2 2 2 0 [(x y ) - xy ].[(x y ) - xy] (x y ) [(x y ) - xy] : với x, y (đpcm) Đẳng thức xảy Bài toán 3: Cho x, y a)8(a x y Chứng minh rằng: 4 b ) ( a b) 6 b) a b Lời giải: 5 a b ab 4 a)8(a b ) ( a b) Bước 1: Áp dụng kết 2.1.3 đa thức đối xứng ta có: 8( a b ) ( a b ) 8( a b ) ( a b) 8(14 4122 222) 14 Bước 2: 8(14 4122 222) 71 21 321 4(1 ) Bước 3: 14 32 12 4( 12 )2 12 :luôn (đpcm) b) a b a 5b ab5 Bước 1: a b a 5b ab a b a 5b ab5 a b ab(a b4 ) Áp dụng kết 2.1.3 đa thức đối xứng ta có: a b ab (a b4 ) 14 13 12 2 13 Bước 2: 7142 131222 413 1 14 4( 12 ) 13 12.16 ( 12 )2 4.64 ( 12 )3 16 13 16 Chứng minh 16 Bước 3: 1 2 1 16 Vì x, y hai số thực Do 16 22 16 13 ln (đpcm) Bài tốn 4: Chứng minh với x, y khơng âm ta có bất đẳng thức: a ) x2 y y2 xy, (x 0, y 0) x y ) 64 xy ( x b)( x y) Lời giải: a) x xy (1) y y x Đặt x u , y v , ( x 0, y u 0, v 0) (1) trở thành: u v2 v u v u3 v uv (u v) u 312 12 1(1 412) Chứng minh ( 2) Từ giả thiết tốn ta có u 0, v , từ suy 10,1 420 Do ( 12 2) (đpcm) Đẳng thức xảy b)( x y)8 Bước 1: Đặt x y 64 xy ( x y) (2) x u, y v ,(u 0, v 0) (2) trở thành: (u v ) (u v ) 8uv (u 2 v ) 8uv (u 2 v )0 82(1 22) 2 16 1 2 Bước 2: Áp dụng kết 2.1.3 đa thức đối xứng ta có: 4 81221622 1 12 ( 12 ) 16.16 ( 12 12 ( 12 ) 16 16 ( 12 ) (*) Thật vậy, (*) Bước 3: Chứng minh )2 0 :luôn (đpcm) x y Đẳng thức xảy 2.3.2 Đối với toán chứng minh bất đẳng thức liên quan đến đa thức đối xứng ba biến x, y, z Quy ước: x y , x y yz zx , xyz Lưu ý: Với x, y, z số thực hiển nhiên ta có: (x y ) (y z) Đẳng thức xảy ( z x) x 2 y 2 Đặt f(x, y) ( x y ) ( y z ) ( z x) đa thức đối xứng x, y, z Áp dụng kết 2.1.7 đa thức đối xứng ta có: 10 f ( x, y , z ) 2( x y 2 z ) 2( xy yz zx) 2 22 2221 62 Vì ** Bài toán Chứng minh xy yz zx với x ,y, z thỏa mãn điều kiện x y z2 Lời giải: Để giải toán ta chứng minh bất đẳng thức kép 2 2 2 ( x y z ) xy yz zx x y z Thật vậy, áp dụng kết 2.1.7 đa thức đối xứng ta có: 2 2 2 ( x y z ) xy yz zx x y z 2 (1 22) 2 22 +) Vì theo (**): +) ( 2 nên ta có ) 2 2 2 : Bài toán x Chứng minh bất đẳng thức: Lời giải: x 2 y z x y z 2 y z x y z 3 x y 3 2 z x y z 3 11 Áp dụng kết 2.1.7 đa thức đối xứng ta có: 22 2 26 21 399 20 2( ) : ln (**)(đpcm) Bài tốn Chứng minh a, b, c độ dài cạnh tam giác thì: 2( ab bc ca ) a b c2 Lời giải: Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên ta đặt x = a + b- c, y = a + c – b, z = b + c – a x, y, z số dương Khi : x a y , b x z , c y z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : 2( x y x zz y x y 2 x y2 y z2 z z y ) x z2 222 Đặt x x y, x y yz zx , xyz , S x y z2 Áp dụng kết 2.1.7 đa thức đối xứng ta có: 2(S2 2) 2S2 22 42 Dễ thấy bất đẳng thức cuối bất đẳng thức Vậy bất đẳng thức cho chứng minh 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp Nhà trường 12 - Đối với hoạt động giáo dục thân: Để kiểm chứng hiệu SKKN, chọn lớp 10B1; 10B2 với tương đồng mặt sĩ số, trình độ nhận thức, lực cá nhân Lớp 10B1 lớp đối chứng; lớp 10B2 lớp thực nghiệm Kết khảo sát chưa áp dụng đề tài vào giảng dạy sau: Bảng 1: Lớp Sĩ số 10B1 42 10B2 40 Giỏi SL % 9,5 7,5 Khá SL % 12 28,6 10 25 Trung bình Yếu Kém SL % SL % SL % 16 38,1 10 23,8 0 16 40 11 27,5 0 Với lớp thực nghiệm (10B2), cho em tiếp cận với phương pháp nghiên cứu Sau tơi đề kiểm tra cho lớp để kiểm tra, đánh giá so sánh, kết sau: Bảng 2: Lớp Sĩ số 10B1 42 10B2 40 Giỏi Khá SL % SL % 11,9 10 23,8 22,5 15 37,5 Trung bình Yếu Kém SL % SL % SL % 17 40,5 10 23,8 0 11 27,5 12,5 0 So sánh bảng ta thấy, lớp thực nghiệm 10B2 số học sinh giỏi tăng lên đáng kể, số học sinh yếu giảm xuống Thấy có hiệu rõ rệt, tơi áp dụng phương pháp cho tất lớp giảng dạy thu kết tốt - Đối với đồng nghiệp: Tôi giới thiệu đề tài trước tổ chuyên môn tất thành viên tổ hưởng ứng Với lớp mà giáo viên thực theo phương pháp nêu thu kết đáng mừng giáo viên học sinh Với phương pháp giáo viên kích thích tính sáng tạo học sinh; tạo hứng thú học tập cho học sinh; giúp học sinh chủ động sáng tạo 13 việc khám phá tri thức Bên cạnh phương pháp cịn giúp giáo viên trau dồi chun mơn - Đối với học sinh: Với phong cách trình bày đề tài giúp em học sinh học sinh khá, giỏi rèn luyện lực vận vụng lý thuyết học vào giải toán Biết phát ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng làm cho nhiều toán trở nên đơn giản Các em tỏ thích thú với phương pháp mẻ, có em gặp toán tưởng chừng bế tắc cuối lại giải nhờ phương pháp Nhiều bất ngờ em phát vấn đề tương tự lí thú từ kiến thức mà em có Việc mạnh dạn đưa kiến thức phương pháp toán học cao cấp, cụ thể ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng để giải toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông tạo điều kiện cho học sinh tiếp cận với kiến thức phương pháp hoàn toàn mẻ, tạo động lực thúc đẩy học sinh tìm tịi, sáng tạo cách tích cực, tạo lý thú đặc biệt cho học sinh, rèn luyện tốt kỹ giải tốn, kích thích trí tuệ phát triển, có vai trị quan trọng khơng thể thiếu nghiên cứu khoa học KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua việc đưa toán cụ thể, vận dụng linh hoạt kết lý thuyết đa thức đối xứng để giải toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông phần khắc phục hạn chế việc dạy học dạng tốn khó Học sinh cảm thấy hứng thú với phương pháp mẻ hiệu việc giải toán chứng minh bất đẳng thức 3.2 Kiến nghị 14 Phương pháp ứng dụng toán học cao cấp vào giải toán sơ cấp áp dụng phần lớn trường chuyên để bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia, quốc tế Nó cịn mẻ chưa áp dụng rộng rãi trường trung học phổ thông Tôi mong muốn phương pháp mẻ không phần hiệu sử dụng ngày rộng rãi tích cực việc dạy học trường phổ thông, để bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trên kinh nghiệm nhỏ mà thân đúc rút trình giảng dạy, chắn khơng tránh khỏi có thiếu sót Rất mong đồng chí, đồng nghiệp quan tâm, góp ý kiến xây dựng, bổ sung để SKKN tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Nguyễn Văn Ngọc, Chuyên đề đa thức đối xứng áp dụng, NXB Giáo dục, năm 2009 Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán – Tập 1,2, NXB Giáo dục, năm 1992 Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán bất đẳng thức, NXB Hà Nội , năm 2003 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ , NXB Giáo dục XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN Thanh Hóa , ngày 21 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN VỊ viết, không chép nội dung người khác Người thực hiện: Vũ Thị Minh Phượng MỤC LỤC 16 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 NỘI DUNG PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm TRANG SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 1 2 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 13 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3.1 Kết luận 14 3.2 RÈNKiếnLUYỆNnghị KỸ NĂNG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT15ĐA TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ THỨC ĐỐI XỨNG VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Người thực hiện: Vũ Thị Minh Phượng Chức vụ: Tổ trưởng chuyên mơn SKKN thuộc lĩnh vực mơn: Tốn 17 THANH HĨA NĂM 2018 18 ... RÈNKiếnLUYỆNnghị KỸ NĂNG ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT1 5ĐA TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ THỨC ĐỐI XỨNG VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Người thực hiện: Vũ Thị Minh. .. vận dụng linh hoạt kết lý thuyết đa thức đối xứng để giải toán chứng minh bất đẳng thức cho học sinh trung học phổ thông phần khắc phục hạn chế việc dạy học dạng tốn khó Học sinh cảm thấy hứng... - Đối với học sinh: Với phong cách trình bày đề tài giúp em học sinh học sinh khá, giỏi rèn luyện lực vận vụng lý thuyết học vào giải toán Biết phát ứng dụng lý thuyết đa thức đối xứng làm cho