Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức đối xứng với các biến cho học sinh trung học phổ thông

I - PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học rèn luyện tư trừu tượng Tốn học THPT lại mang tính trực quan, cụ thể mục tiêu mơn tốn bậc THPT hình thành biểu tượng toán học ban đầu rèn luyện kĩ toán cho học sinh, tạo sở phát triển tư phương pháp cho học sinh sau Dạy học tốn học trung học để học sinh hình thành kiến thức kĩ mới, biết phối hợp nhịp nhàng lực trí tuệ như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng chủ yếu lực tư mà đặc trưng lực tư độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận dụng hiểu biết học để giải vấn đề đặt cách tốt Trong toán bất đẳng thức toán khó, tốn điển hình để rèn luyện tư duy, trí thơng minh, óc sáng tạo cho học sinh Vì vậy, tơi nhận thấy việc hình thành cho học sinh kiến thức kĩ q trình giải tốn bất đẳng thức nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Đó lý tơi chọn đề tài ‘‘ Rèn luyện kĩ chứng minh bất đẳng thức đối xứng biến cho học sinh THPT’’ Mục đích nghiên cứu: Trong thực tế giảng dạy trường THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan bất đẳng thức, tốn chứng minh bất đẳng thức thường khơng có cách giải mẫu, khơng theo phương pháp định nên học sinh không xác định hướng giải toán Khi gặp loại tốn này, tơi nhận thấy em thường lúng túng, thụ động, đâu, phân tích tốn Chính dẫn đến thực trạng hầu hết em sợ, khơng có hứng thú chấp nhận bỏ qua toán bất đẳng thức Để khắc phục hạn chế trên, định hướng em tư logic, phát triển trí thơng minh, tơi mạnh dạn đưa số hướng tiếp cận với bất đẳng thức đối xứng biến, hy vọng em học sinh tự định hướng phương pháp chứng minh hứng thú học bất đẳng thức nói riêng mơn Tốn nói chung Đối tượng nghiên cứu Đề tài đưa nghiên cứu hướng tiếp cận, phương pháp chứng minh bất đẳng thức đối xứng biến cho bạn u thích tốn học, thầy cô giáo, em học sinh trường THPT làm tài liệu tham khảo tiếp tục phát triển Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, chủ yếu sử dụng phương pháp điều tra, phương pháp đối chứng phương pháp nghiên cứu tài liệu II - PHẦN NỘI DUNG II.1 Cơ sở lí luận: - Trong tốn bất đẳng thức (BĐT) chương trình tốn phổ thơng, BĐT Cauchy đóng vai trị vơ quan trọng Một phần lớn toán BĐT giải việc vận dụng kĩ thuật biến đổi BĐT Cauchy, đặc biệt bất đẳng thức đối xứng biến - Có tốn mặt biểu thức tốn học tương đối cồng kềnh khó giải, khó nhận biết phương hướng giải, ta chuyển tốn từ tình khó biến đổi trạng thái dễ biến đổi Đó sở phương pháp đổi biến số - Đối với bất đẳng thức đối xứng biến, biến tốn có vai trị nên khơng giảm tổng quát ta giả sử biến xếp theo thứ tự khơng giảm Khi đó, nhiều toán giải đơn giản - Ngoài bất đẳng thức đối xứng với tất biến trên, thường gặp số bất đẳng thức đối xứng với hai ba biến biểu thức Khi đó, tính đối xứng biến, đánh giá bất đẳng thức theo biến không đối xứng, đánh giá theo tổng, tích hai biến đối xứng Trên sở đó, tơi mạnh dạn đưa số định hướng để giải toán bất đẳng thức đối xứng biến II.2 Thực trạng vấn đề: - Bất đẳng thức kiến thức khó khơng thể thiếu vốn kiến thức học sinh phổ thông, học sinh giỏi Tuy nhiên, giảng dạy lớp gặp số tập bất đẳng thức tơi thấy học sinh cịn nhiều lúng túng việc làm tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt học sinh học mức độ trung bình Thực việc kiểm tra vài tập nội dung đề tài trước áp dụng để đưa vào giảng dạy hai lớp 10C2,10C7, thu kết sau: Lớp Sĩ số Điểm giỏi Điểm 12C2 12C7 42 40 12 10 Điểm tbình 14 15 Điểm yếu 10 11 Trước vấn đề thấy việc hướng dẫn học sinh số phương pháp chứng minh bất đẳng thức việc cần thiết để giúp học sinh có thêm kiến thức bất đẳng thức, tạo điều kiện cho học sinh định hướng tốt, vận dụng tốt phương pháp phù hợp để chứng minh bất đẳng thức Khi tạo nên hứng thú, kích thích phát triển tinh thần say mê, thích thú học tốn II.3 Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Để giải toán bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng thức, phải nắm phương pháp chứng minh định hướng để biến đổi bất đẳng thức Nếu khơng dễ bị dẫn đến khó khăn, bế tắc Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức ta phải vào đặc thù toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi toán chứng minh bất đẳng thức áp dụng nhiều phương pháp giải khác nhau, có phải phối hợp nhiều phương pháp cách hợp lí Sau đây, tơi trình bày số phương pháp biến đổi áp dụng cho bất đẳng thức đối xứng với biến Trong đề tài này, nghiên cứu dạng: Bất đẳng thức (BĐT) đối xứng tất biến bất đẳng thức (BĐT) đối xứng với biến A – BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI TẤT CẢ CÁC BIẾN: A.1 Sử dụng kĩ thuật biến đổi cách vận dụng BĐT Cauchy: A.1.1 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔSI) : Dạng cụ thể ( số, số ) n = 2: 1.1 1.2 x , y ≥ : x y x y 2 1.3 1.4 1.5 1.6 x y n = 3:x , y , z≥ : x y z xyz x y z 3 xyz xy xy xy x y z x y 4xy 1 x y x y x x y2 y xyz x y z 27xyz 1 x y z x y z xy x y z z Đẳng thức xảy x= y =z Đẳng thức xảy rax= y Dạng tổng quát (n số): Với số thực: x1 ; x2 ; x3 ; … ; xn khơng âm ta có: n x x x x1 x2 xn n Dạng 1: n x x x n n x x x Dạng 2: x x x Dạng 3: n n n n x1 x2 .xn n Dấu “ = ” xảy khi: x1 Hệ 1: x x Nếu: x 12 n S n .xn Max P x1 x2 Hệ 2: Nếu: x x S n x x S ( không đổi) thì: x1 x2 xn Khi: S n .x P (P khơng đổi) thì: Khi: x x Min S x x xn nn P n n n x 12 P n A.1.2 MỘT SỐ QUY TẮC CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG BĐT CAUCHY: Để giải dạng toán này, trước hết em học sinh cần nắm vững số quy tắc cần ý sử dụng BĐT Cauchy sau Quy tắc song hành: Hầu hết BĐT có tính đối xứng việc sử dụng chứng minh cách song hành, giúp ta hình dung kết nhanh chóng định hướng cách giải nhanh Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” BĐT quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào điểm rơi BĐT Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Khơng học sinh mà số giáo viên nghiên cứu chứng minh BĐT thường hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp song hành BĐT không ý đến điểm rơi dấu Một nguyên tắc áp dụng song hành BĐT điểm rơi phải đồng thời xảy ra, nghĩa dấu “ = ” phải được thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Cở sở quy tắc biên tốn quy hoạch tuyến tính, toán tối ưu, toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến miền đóng Ta biết giá trị lớn nhất, nhỏ thường xảy vị trí biên đỉnh nằm biên Quy tắc đối xứng: Các BĐT thường có tính chất đối xứng vai trò biến BĐT dấu “ = ” thường xảy vị trí biên Nếu tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng ta dấu “ = ” xảy biến mang giá trị cụ thể Chiều BĐT giúp ta định hướng cách chứng minh: đánh giá từ Trung bình cộng (TBC) sang Trung bình nhân (TBN) ngược lại A.1.3 VẬN DỤNG CÁC KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI SỬ DỤNG BĐT CAUCHY Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá BĐT theo chiều “ ” , đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nơm na thay a + b a.b cần ý biến tổng thành tích, tích phải triệt tiêu hết biến, lại số 2 2 2 2 Ví dụ Chứng minh rằng: a b b c c a 8a b c , a , b, c Giải Sử dụng BĐT Côsi : x2 + y2 x y2 = 2|xy| ta có: a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b b c c a a b b c c a 8| a 2b c | 8a 2b c a , b , c (đúng) Nhận xét: Chỉ nhân vế BĐT chiều vế không không âm x y Chú ý rằng: x2 + y2 2 = 2|xy| Trong toán có dấu “ ” nên ta đánh giá từ TBC sang TBN; = 2.2.2 gợi ý cho ta sử dụng bất đẳng thức Côsi cho số, cặp số a , b, c , d 1 1 Ví dụ Cho: a b c d Giải: Từ giả thiết suy ra: 1111 1 = b a Vậy: b c d CMR : abcd 81 c b c d d Côsi 3 bcd b c d 33 bcd b c d cda a 33 0 b 33 c d a dca c 33 d c a abc d 81 a b c d abcd a b1 c d a b c abcd 81 Bài toán tổng quát: x , x , x , , xn Cho: 1 x 1 x 1 1 x CMR : x1 x2 x3 xn 1 xn n n n Nhận xét: Đối với tốn có điều kiện biểu thức đối xứng biến việc biến đổi điều kiện mang tính đối xứng giúp ta xử lí tốn chứng minh BĐT dễ dàng a b 64 ab ( a b)2 Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh rằng: Bài 2: Cho )(c −1 ≥ 1 − {a+b+c=1 CMR: (a −1)(b a ,b ,c >0 1 ) a,b≥0 , (1) Bài toán tổng quát: Cho: , x ,x x3 , ., xn x x x x ; n CMR : x 1 x x x n 1n n Kỹ thuật chọn điểm rơi: Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” BĐT Cơsi quy tắc tính đồng thời dấu “ = ”, quy tắc biên quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biến a, b, c Ví dụ Cho a b c S a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 a b c Sai lầm thường gặp: 1 6 a.b.c.1 a b c abc S a b c Min S = Nguyên nhân sai lầm : a b c 1 1a b c a b c (trái với giả thiết) Min S = Phân tích: Do S biểu thức đối xứng với a,b,c nên dự đoán Min S đạt điểm rơi a b c a b c a b c 1 2a Sơ đồ điểm rơi: Hoặc ta có sơ đồ điểm rơi sau : a b c b c 2 24 1 1 a b c 2a b c Vậy ta có cách giải theo sơ đồ sau: S a 4b 4c 1 a b c 6 a.4b.4c 1 a b c a b c 15 a b c 12 2 15 1 Với a b c MinS = Nhận xét: Trong toán dùng kĩ thuật đánh giá từ TBN sang TBC, chiều dấu bất đẳng thức không phụ thuộc vào chiều đánh cịn phụ thuộc vào biểu thức đánh nằm mẫu số hay tử số Ví dụ Cho a , b , c , d>0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b d a b c S a b c d b c d c d a b cd c d a a b d a b c a b c d Sai lầm thường gặp a b c d a b c d b c d a c a b d d a b c a c d a b c d b c d a b c a b d a b d d c a b c a b c d Nguyên nhân sai lầm: b c d a c d a b a b d c a b c d S 2+2+2+2=8 a b c d b c d a c d a b d a b c Min S = a + b + c + d = 3(a + b + c + d) = vơ lí Phân tích: Để tìm MinS ta cần ý S biểu thức đối xứng với a , b , c , d ≥ Do MinS có thường đạt điểm rơi tự là: a=b=c=d>0 a=b=c=d Min S 12 40 3 Từ suy Vậy ta cho trước , dự đoán đánh giá BĐT phận phải có điều kiện dấu xảy tập điều kiện dự đoán: a=b=c=d>0 Ta có sơ đồ điểm rơi : Cho a=b=c=d>0, ta có: a b c d 1 3 b c d c d a a b d a b c b c d c d a a b d a b c a b c d Giải: Sử dụng BĐT Cơsi ta có : a b c d b c d S a ,b , c , d b 88 c d b c c d a a b d a,b,c,d 9a b c d d a b c 9a b c d c d a a b d a b c9 a a a b b c c c d d a b c d a c d a 9b b d a b d a b c 9c 9d Tuy nhiên nắm kỹ thuật điểm rơi việc viết đầu theo hướng giải a , b, c Ví dụ a b c Tìm giá trị lớn của: S a b b c c a Cho Phân tích: Do S biểu thức đối xứng với a,b,c nên Max S thường xảy điều kiện : a b b c 22 c a a b c a b c a , b, c Hằng số cần nhân thêm là: 3 a b 22 2 3 a b a b Ta có lời giải: 3 22 32 b c 3 3 b c b c 3.3 2 a 2 c 3 3c a 3 c a 3 3 9.2 a b c S 3a b 3b c 3c a a b 9 18 3 b c c a Vậy Max S = 18 a b c Dấu “ = ” xảy Bài tập tương tự: a b Tìm giá trị lớn của: Bài 1: Cho c S ab c bc a ca b 22 a , b, c , d Bài 2: Cho a b c d S Tìm giá trị lớn biểu thức: a b c b c d c d a d a b 11 Kỹ thuật ghép đối xứng: Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm số thao tác sau : 2x y z x y y z z x x y z x y y z z * Phép cộng : * Phép x2y2z2 nhân : x xy yz z x ; xyz= xy yz zx x, y, z b ca a a b c a , b, c c b Ví dụ Chứng minh : a b c Giải: Áp dụng BĐT Cơsi ta có: bc ca bc c c a a a b b ca ab ca a b a b b c c b a b a c b c a a b c c b c b c a b a c a c a b c Dấu “ = ” xảy a=b=c Ví dụ Cho tam giác ABC với a , b , c số đo cạnh tam giác p b p c p a a) CMR : abc b) p a Giải: 1 p b p c 21 1 a b c a) Áp dụng BĐT Cơsi ta có: pa p b p a p b p b pb p c p a p c c p c a 2 p c p a b) Áp dụng BĐT Cơsi ta có: b p a p b p c ab 8c 12 1 p a p b p a p b 1 1 2 p b p a p b c p b p c p b p c p c 2 a 1 1 p a p c p a p c p a p c b 1 p a p b 1 p c a c b Dấu “ = ” xảy cho a) b) : a=b=c p p a b c ( nửa chu vi ABC: Bài tập tương tự: a Bài Chứng minh rằng: b Bài Cho ) b c c 2 a 2 b c a a c b , abc ABC, a, b, c số đo cạnh tam giác Chứng minh : b c a c a b a b c abc Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho số, n số : Nội dung cần nắm thao tác sau : x y z 1 9,x, y , z x * y x1 x2 xn z 1 * x x x 2 Ví dụ Chứng minh : a b b c n , x1 , x2 , , xn n c a a b c , a, b, c Giải: Ta biến đổi tương đương BĐT sau: 2a b c a b a b b c a c 1 b c c a 1 b c a b c a (đpcm ) 13 c a b c , b c a Ví dụ Chứng minh : a b Giải: Ta biến đổi tương đương BĐT sau: c a b a b c b c a a b c a b c b c 1 b c a b a b b c a c a b c c a c a a b c2 (BĐT Nesbit) a b a b c Bài tập tương tự: a, b, c a2 b2 b c c a (đpcm) a b c , a, b, c Bài 1: Chứng minh : a b b c c a 1 a , b, c Bài 2: Bài 3: a b c Cho CMR: a , b, c a b c a b 1 b c 1c a 9 CMR: a 2bc Cho A.2 Phương pháp đổi biến số : b 2ca c 2ab Có toán mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh khó giải, khó nhận biết phương hướng giải, ta chuyển tốn từ tình khó biến đổi trạng thái dễ biến đổi Phương pháp gọi phương pháp đổi biến số Ví dụ Chứng minh rằng: c a, b, c a b (BĐT Nesbit) a b b c c a 2, b c x a y z x;b z x y;c x y z c a y 222 Giải : Đặt : Khi bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau: y z x z x y x y z y x z x y z6 2x 2y 2z x y x z z y Bất đẳng thức hiển nhiên Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : 14 z x y z 2226 y x VT x y x z z y Dấu “ = ” xảy x= y =z a=b=c Ví dụ Cho ABC Chứng minh : a2 b2 c2 a b c b c a c a b a b c y z c a b y 0a Giải : a b c z b c a x z x ;b x y ;c 2 Đặt : Khi bất đẳng thức cho tương đương với bất đẳng thức sau: x y z y z2 z x2 x y2 4x 4y 4z y z x Ta có : VT (2) zx x y z y yz zx (2) yz zx zx xy yz xy y y z x z x yz xy zx xy x y z Côsi x Bài tập tương tự: y y z x z Bài 1: Cho a , b , c >0 ;a+b+c ≤1 Chứng minh : +1 +1 ≥9 a +2 bc b +2 ca c +2 ab Bài 2: Cho ABC CMR : (b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)≥ abc Bài 3: Cho ABC CMR: p 1 p a2 p b2 p c2 p a p b p c A.3 Phương pháp thứ tự biến Do biến tốn có vai trị nên khơng giảm tổng quát ta giả sử biến xếp theo thứ tự khơng giảm Khi đó, nhiều tốn giải đơn giản Ví dụ 1: Cho số thực a , b , c không âm Chứng minh rằng: a (a−b )( a−c )+b (b−c ) (b−a)+c (c−a)(c−b)≥ (*) Giải: Do vai trò a , b , c nên giả sử a ≥ b ≥ c 15 a,b,c + Nếu có hai ba số BĐT hiển nhiên Nếu a>b>c, chia hai vế (*) cho (a−b)(b−c )(a−c) ta BĐT tương a − b + c đương: ≥0 (1) + b−c c−a a−b ❑ a>b>c (1) {00 b−c a−c a−b Ví dụ : Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a b c abc Chứng minh : a b c ab bc ca Giải: Do vai trò a, b, c nên giả sử a Từ giả thiết ta có: 3c c + a b c abc 3a a Nếu a b c a b ab b c a c ab Do đó: (a b 2) 4(a 1)(b 1) ab(a 1)(b 1) (a b ab) (ab 1) (4 a b)(a b 1) a b ab a b (a b 1) (1) ab c a b ab Kết hợp với (1) ta có: Mặt khác, từ giả thiết suy a b ab c(a b 1) a b c ab bc ca (đpcm) + Nếu a b c ta có (a 1)(b 1)(c 1) a b c ab bc ca abc (2) Mặt khác, áp dụng BĐT Cô-si cho số dương, ta có: a b c abc 4 abcabc abc Kết hợp với (2) ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b= c = Bài tập tương tự: Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1 1a 1b 1c 2 16 B – BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI HAI TRONG BA BIẾN: Ngoài bất đẳng thức đối xứng với tất biến trên, thường gặp số bất đẳng thức đối xứng với hai ba biến biểu thức Khi đó, tính đối xứng biến, đánh giá bất đẳng thức theo biến khơng đối xứng, đánh giá theo tổng, tích hai biến đối xứng Để giải dạng tốn này, ngồi việc nắm vững tính chất bất đẳng thức, em cần nắm vững cách xét tính đơn điệu hàm số, sử dụng bảng biến thiên hàm số để giải toán bất đẳng thức Sau đây, tơi đưa số ví dụ: B.1 Đánh giá biểu thức theo biến khơng đối xứng: Ví dụ 1: Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn x P x2 y2 2 2yz 2y 2xz 2x trị lớn biểu thức Giải: Ta có: yz+1=x2+ y2+z2 +2 yz=x2+( y+ z )2 ≥ x ( y+ z ) y2 z2 Tìm giá x y Suy ra: x2 +2 yz +1≥ x2 +2 x ( y +z )=2 x (x + y +z ) 1x x2 ≤ 2 x +2 yz +1 x + y +z y2 y y2 +2 xz+1 ≤ x+ y+z Tương tự: z x+y x + y Suy : P ≤ x+ y +z +√ = 1− x+ y+z +√ x + y ) ( ) ( Ta có : x + y ≤ √ 2( x2 + y2 ) =√ (1−z2 ) =√ 2−2 z2 Suy ra: P ≤ z ( √ 1− 2−2 z +z )√ + 2−2 z z 2 Xét hàm số : [0 ; 1] f ( z )= 1− √ 2−2 z +z +√2−2 z −1 − z