SKKN rèn luyện kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao năng lực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ MÔĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO NĂ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ MÔĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO NĂNG

LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH.

Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.2 Thực trạng 2

2.3 Giải quyết vấn đề 2

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 4

2.3.2 Một số dạng bài toán cực trị số phức 7

2.4 Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng 15

2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 16

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17

3.1 Kết luận 17

3.2 Kiến nghị 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 18

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổimới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu.Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sángtạo của người học Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phươngpháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy họchiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyềnthống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụđộng sang chủ động

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưavào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Số phức

là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầmnhìn sâu, rộng về nó Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạynội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên

sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức vớimột số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáoviên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàntoàn mới mẻ Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy, việc chuyển bài toán Đại số nóichung và số phức nói riêng sang bài toán hình học ở nhiều học sinh nói chungcòn khá nhiều lúng túng, vì vậy việc giải bài toán về số phức gây ra khá nhiềukhó khăn cho học sinh

Bài toán cực trị số phức thông thường có khá nhiều cách lựa chọn để giảinhư Bất đẳng thức, khảo sát hàm số… Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôimuốn rèn luyện cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt phương phápchuyển đổi từ bài toán đại số sang bài toán hình học cho học sinh Với mục tiêu

đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ tập trung giải quyết theo hướng hình

học Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh” để nghiên cứu.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đê tai này nghiên cưu nhằm giup hoc sinh giai quyêt tôt cac bai toan vậndụng cao vê cực trị môđun số phức,

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Sang kiên kinh nghiêm co đôi tương nghiên cưu la cac bai toan cực trịmôđun số phức, được nghiên cứu ở nhiều dạng toán khác nhau

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Đê trinh bay sang kiên kinh nghiêm nay, tôi đã sử dung phôi kêt hơpnhiêu phương phap như:

-Nghiên cưu tai liêu, quan sát, điều tra cơ bản, thưc nghiêm so sanh, phântich kêt qua thưc nghiêm, … phù hơp vơi môn hoc thuôc lĩnh vưc Toán hoc

- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

1

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận.

Nghi quyêt hôi nghi Trung ương VIII khoa XI chi đao: “Giao duc va đaotao la Quôc sach hang đâu, la sư nghiêp cua Đang va Nha nươc va cua toan dân.Đâu tư cho giao duc la đâu tư phat triên, đươc ưu tiên đi trươc cho cac chươngtrinh, kê hoach phat triên KT-XH; phat triên giao duc va đao tao la nâng cao dântri, đao tao nhân lưc, bôi dưỡng nhân tai Chuyên manh qua trinh giao duc tư chuyêu trang bi kiên thưc sang phat triên toan diên năng lưc va phẩm chât ngươihoc Hoc đi đôi vơi hanh, ly luân gắn vơi thưc tiễn, giao duc nha trương kêt hơpvơi giao duc gia đinh va giao duc xã hôi”

Nghi quyêt hôi nghi Trung ương VIII khoa XI đê ra muc tiêu: “Đôi vơigiao duc phô thông tâp trung phat triên tri tuê, thê chât, hinh thanh phẩm chât,năng lưc công dân, phat hiên va bôi dưỡng năng khiêu, đinh hương nghê nghiêpcho hoc sinh Nâng cao chât lương giao duc toan diên, chu trong giao duc lytương truyên thông đao đưc, lôi sông, ngoai ngư, tin hoc, năng lưc va kỹ năngthưc hanh, vân dung kiên thưc vao thưc tiễn, phat triên kha năng sang tao va tưhoc, khuyên khich hoc tâp suôt đơi, hoan thanh đao tao giao duc phô thông giaiđoan sau 2015”

2.2 Thực trạng.

Trong quá trình dạy học ở trường THPT Như Thanh nhiều năm nay tôinhận thấy việc học bộ môn toán của học sinh là rất khó khăn, đặc biệt là phầncực trị môđun số phức Các em không biết bắ́t đầu từ đâu, vận dụng kiến thứcliên quan nào… Chính những khó khăn đó đã̃ ảnh hưởng không nhỏ đến chấtlượng học tập môn Toán, dẫn đến các em không có hứng thú trong việc học mônToán

Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tậpcực trị môđun của số phức, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán

và phụ thuộc nhiều vào các cách giải mà giáo viên cung cấp chứ chưa chú ý đếnviệc khai thác các bài toán cực trị trong hình học phẳng để giải các dạng bài toánnày

Kết quả khảo sát ở một số lớp chọn khối A của trường chỉ có 10% họcsinh hứng thú với bài toán cực trị môđun số phức

2.3 Giải quyết vấn đề.

Năm học 2017-2018 sau khi nội dung thi THPT QG có cả nội dung lớp

11 thì Bộ GD&ĐT có công bố đề minh họa 2018 và có bài toán sau:

Xét các số phức z a bi ( a , b R) thỏa mã̃n z 4 3i 5 TínhP a b khi

z 1 3i z 1 i đạt giá trị lớn nhất

(Trích câu 46 đề minh họa THPT Quốc gia 2018).

Đây là bài toán tương đối khó với các em học sinh phổ thông, kể cả những học sinh có học lực giỏi Cái khó khăn của bái toán trên chính là mối liên hệ giữa hai điều kiện z 4 3i 5 và z 1 3i z 1 i Sau đây là một số cách giải bài toán này.

2

Cách 1:

Đặt M M( z) Từ hệ thức z 4 3i5ta suy ra:

M(C ) : x 4 2 y 3 2 5

Đặt A( 1;3); B(1; 1), I là trung điểm của AB thì I 0;1

Khi đó: z 1 3i z1i MA MB Ta biết rằng MA MB lớn nhất khi MI lớn nhất

7 4 a 2b

Ta có: 4a 2b 4(a 4) 2(b 3) 22 4a 2b 22

4 a 2b 22 10 4 a 2b 32 Suy ra: M 2 25 M 2 200 M 10 2 Vậy,

Nhận xét: Bài toán trên có thể vẫn còn nhiều cách giải khác, qua ba

cách giải trên, ta thấy tiếp cận bài toán theo cách 1 (phương pháp hình học) là

đơn giản và nhanh gọn Hơn nữa, phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải quyết bài toán là điều không dễ dàng với phần lớn học sinh.

2.3.1 Cơ sở lý thuyết.

2.3.1.1 Các định nghĩa và kí hiệu.

a) Số i: Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng -1.

b) Số phức: Cho x, y , biểu thức z x yi gọi là một (dạng đại số) số phức Trong đó

x: phần thực, y: phần ảo

c) Với mỗi số phức z x yi , giá trị biểu thức x 2y2 gọi là môđun của z Kí hiệu: z

Như vậy, z x2y2

d) Cho số phức z x yi Số phức z x yi gọi là số phức liên hợp với số phức z

e) Mỗi số phức được biểu diễ̃n bởi một điểm M ( x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, mỗi điểm M ( x; y) biểu diễ̃n một số phức là z x yi

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi kí hiệu M (x; y) M z , hay đơn giản M z để chỉ M là điểm biểu diễ̃n cho số phức z x yi

+) Với A A( z A ), B B ( z B ) , trong đó z A, z B là hai số phức khác nhau cho trước

thì tập hợp các điểm M M ( z ) thỏa mã̃n hệ thức z z A z z B là đường trungtrực của đoạn thẳng AB

+) Với M0 M0 (z0 ), R 0 , tập hợp các điểm M M ( z ) thỏa mã̃n hệ thức:

z z 0 R là đường tròn tâm M0 bán kính R

+) Với M0 M0 (z 0 ),a 0 , tập hợp các điểm M M ( z ) thỏa mã̃n hệ thức:

z z A z z B 2a là đường Elíp có hai tiêu điểm A, B

2.3.1.4 Một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bài toán 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) :Ax By C 0 và điểm M0 (x0 ;y0 ) Tìm trên ( ) điểm M( x; y) sao cho M0M nhỏ nhất.

Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0 trên ( ) với M ( ) thì ta có:

thẳng (d) đi qua M vuông góc với ( ) Giải hệ gồm hai phương trình đườngthẳng ( ) và (d) ta suy ra nghiệm x; y Từ đó ta tìm được điểm M

Giải: Đây là bài toán khá cơ bản trong hình học phẳng mà học sinh đ được học ã̃ được học

từ chương trình THCS Ta thấy rằng:

+) Nếu hai điểm A, B nằm về hai phía so với ( ) thì với mọi

M , MA MB AB Vậy MA MB nhỏ nhất làMA MB ABkhi và chỉ khi bađiểm A, B, M thẳng hàng, hay M AB A

+)BNếu hai điểm A, B nằm về cù̀ng một phía A’ ( ) thì ta gọi A' là điểm đốixứng với A qua ( ) Khi đó với mọi M MA MB MA ' MB A ' B Vậy

5

MA MB nhỏ nhất là MA MB A ' B khi và chỉ khi ba điểm A ', M , B thẳng hàng,

hay M A ' B

Bài toán 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) :Ax By C 0 và hai điểm A( x A;y A) , B (x B;y B) Tìm trên ( ) điểm M(x; y) sao cho: MA2 MB2 nhỏ nhất.

Giải Gọi I là trung điểm AB Khi đó, với mọi Mta có:

Giải: Với hai điểm A, B cố định

+) Nếu A, B cù̀ng phía so với ( ) thì với mọi M ta luôn có: MA MB AB , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm M ,A, B thẳng hàng, hay M AB

A, B cù̀ng phía với ( ) A, B khác phía với ( )

+) Nếu hai điểm A, B nằm khác phía so với ( ) thì ta gọi A' là điểm đối xứngvới A qua ( ) Khi đó với mọi Mta luôn có MA MB MA' MB A ' B .Dấubằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm M ,A ',B thẳng hàng, hay M A ' B

Bài toán 5 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) tâm I bán kính R

và hai điểm A( x A;y A) , B(x B;y B) Tìm trên (C) điểm M(x; y) sao cho: MA2 MB2

MA 2 MB2 là 2 R IH 2 AB

22 .

7

z1 , z 2 , z 3 , z4 là các số phức

+) MA2MB2 lớn nhất khi và chỉ khi: MH lớn nhất M M 2 và giá trị lớn nhất của MA2

Bài toán 6 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường Elíp (E) có hai tiêu điểm

A( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) Tìm trên ( E) điểm M ( x; y) sao cho: OM nhỏ nhất (lớn nhất).

2.3.2 Một số dạng bài toán cực trị số phức.

Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

Với dạng này thì ta thường gặp một số bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho số phức z thỏa mã̃n: z z1 z z2 (với cho

trước)

trung trực của đoạn thẳng AB Khi đó bài toán trở thành:

1) Tìm trên ( ) điểm M sao cho: M0M nhỏ nhất

2) Tìm trên ( ) điểm M sao cho: MC MD nhỏ nhất

3) Tìm trên ( ) điểm M sao cho: MC2 MD2 nhỏ nhất

4) Tìm trên ( ) điểm M sao cho: MC MD lớn nhất

Ví dụ 1 Trong tất cả các số phức z thỏa mã̃n hệ thức z 1 3i z 3 5i Tìmgiá trị nhỏ nhất của: z 2 i

Lời giải: Đặt z x yi ; x , y R và M M ( z ) Ta có:

y 6

Dễ̃ dàng kiểm tra được A, B nằm cù̀ng phía so với Khi đó:

P z 2 i z 3 2i MA MB Áp dụng kết quả bài toán 3 ta có:

min P A ' B với A' là điểm đối xứng với A qua

Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với thì d :4 x y 9 0 Gọi

I d, thì tọa độ I là cặp ( x; y) thỏa mã̃n hệ phương trình:

Qua ví dụ trên ta thấy việc khai thác các bài toán cực trị trong hình học vào giải các bài toán cực trị của số phức

sẽ đơn giản hơn rất nhiều so với phương pháp đại số và các phương pháp khác Giúp học sinh giải các bài toán dạng này một cách nhanh nhất, phù hợp với xu thế làm bài trắc nghiệm trong một khoảng thời gian ngắn.

Ví dụ 3 Cho số phức z thỏa mã̃n hệ thức z 1 2i z 3 i Tìm giá trị nhỏ

nhất của: P z i z 2 i

Lời giải: Đặt z x yi ;x,y R và M M (z)

Từ hệ thức z 1 2i z 3 i ta suy ra:

M: 8 x 2 y 5 0 , đặt A(0; 1), B(2;1) và gọiI là trung điểm của AB thì I (1;0)

gọi d là khoảng cách từ I đến .Ta có: d I , 13 ,AB

Ví dụ 4 Cho số phức z thỏa mã̃n hệ thức z 1 z i Biết rằng số phức

z x yi ; x , y R thỏa mã̃n: z 3 i z 2 6i đạt giá trị lớn nhất Tính giá trịcủa biểu thức P x 2 y .

Lời giải: Đặt M M ( z ), A(3;1); B(2; 6) Từ hệ thức z 1 z i ta suy ra:

M : x y 0 , kiểm tra được hai điểm A, B khác phía so với .

Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn.

Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:

10

Bài toán: Cho số phức z thỏa mã̃n: z z 0R0 , với z0 ;z A ;z B; z C là số phức cho

trước

1 Tìm số phức z để z z A đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

2 Tìm số phức z để z z B 2 z z C2 đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Nhận xét: Đặt M M z ; A A z A , B B z B ,C B z C Từ đẳng thức z z 0 R

, suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm I bán kính R Khi đó bài toán trở thành

1 Tìm M (C) sao cho AM đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

2 Tìm M (C) sao cho MA2 MB2 đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Ta có P z 1 2i z 5 2i MA MB Trong đó A(1; 2); B(5 :2) Nhận thấyIA IB

Gọi ( ) là đường thẳng trung trực AB thì ( ) :x 3 0 Khi đó

P Max M ( ) ( C)

x 3 x 3; y 1

Xét hệ phương trình: x 3 2y 2 2 9 x 3; y 5

Từ hình vẽ ta thấy M 3; 5 thỏa mã̃n, vậy P Max 2 MA 2 53

Ví dụ 3 Cho số phức z thỏa mã̃n z z z z z2 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: P z

5 2i

Trong bài toán này, nếu sử dụng phương pháp đại số thì chắc chắn chúng ta sẽ nghĩ tới việc biến đổi biểu thức

P về biểu thức một biến Tuy nhiên từ giả thiết

của bài toán thì ý tưởng này có thể nói là không thể Từ đó ta có thể nghĩ tới phương pháp hình học. 7

Khi đó P z 5 2i MA với A(5; 2) Từ hình vẽ ta thấy

Pmax I 2 A R 2 3 5

Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng và đường tròn.

Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho hai số phức z,z ' thỏa mã̃n các hệ thức: z z1 R; z ' z 2 z ' z3 .Trong đó z1 ;z2 ;z3 là các số phức cho trước Tính giá trị nhỏ nhất của P z z ' .

Nhận xét:

Đặt M M z ;M' M z' Từ đẳng thức z z1 R suy ra M thuộc đường tròn

(C) Từ đẳng thức z ' z 2 z ' z3 suy ra M’ thuộc đường thẳng ( ) và

z z ' MM ' Khi đó bài toán trở thành

Tìm M ( ),M ' (C) sao cho MM' đạt giá trị nhỏ nhất

+) Trường hợp(C)thì giá trị nhỏ nhất của z z ' 0

+) Trường hợp(C)thì giá trị nhỏ nhất của z z ' là z z ' d ( I ; ) R

- Từ hệ thức z ' z 2 z ' z3 ta tìm được phương trình .

- Tính khoảng cách d từ I đến

+) Nếu d R thì min z z ' d R và M là hình chiếu của I lên

M '' (C) , trong đó ' là đường thẳng đi qua I và vuông góc với

Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp.

Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho số phức z thỏa mã̃n: z z A z z B 2 a 0 Tính giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của P z z0 với z0 ;z A;z B là số phức cho trước

Nhận xét:

Đặt M M z ;A A z A ,B B z B ,M0 M z0 Từ đẳng thức:

z z A z z B 2a 0 MA MB 2a suy ra M thuộc đường Elíp (E) có hai tiêuđiểm A, B Khi đó yêu cầu bài toán được phiên dịch sang ngôn ngữ hình họcnhư sau:

Tìm M ( E) sao cho MM0 đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Ví dụ áp dụng Cho số phức z thỏa mã̃n z 4 z 4 10 Gọi M, m lần lượt là giá trị

lớn nhất, nhỏ nhất của z Tính M m :

Lời giải:

Cách 1 Đặt M M z Từ đẳng thức: z 4 z 4 10 MA MB 10

với M x; y ; A 4; 0 ; B 4; 0 Suy ra M ( E) có hai tiêu điểm A, B và

Bài 1: Cho số phức z thỏa mã̃n 2z 3 4i10 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của z Khi đó M-m bằng:

(Trích câu 45 trường chuyên Thái Bình lần 6).

Bài 5: Cho số phức z thỏa mã̃n điều kiện z 5 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhấtcủa biểu thức P z 8 6i 2 z 4 10i 2 lần lượt là: