Rèn luyện kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao năng lực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ MÔĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO NĂ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ MÔĐUN SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG NHẰM NÂNG CAO NĂNG LỰC

GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH.

Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm Tổ: Toán - Tin

Trường: THPT Như Thanh SKKN thuộc môn Toán.

THANH HÓA, NĂM 2018

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.2 Thực trạng 2

2.3 Giải quyết vấn đề 2

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 4

2.3.2 Một số dạng bài toán cực trị số phức 7

2.4 Một số bài tập trắc nghiệm vận dụng 15

2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 16

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17

3.1 Kết luận 17

3.2 Kiến nghị 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 18

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài.

Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổimới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu.Đổi mới phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt nhất tính tích cực, sángtạo của người học Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phươngpháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy họchiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyềnthống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụđộng sang chủ động

Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưavào chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12 Số phức

là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi người dạy phải có tầmnhìn sâu, rộng về nó Do những tính chất đặc biệt của số phức nên khi giảng dạynội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán để tạo nên

sự lôi cuốn, hấp dẫn người học Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức vớimột số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáoviên có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàntoàn mới mẻ Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy, việc chuyển bài toán Đại số nóichung và số phức nói riêng sang bài toán hình học ở nhiều học sinh nói chungcòn khá nhiều lúng túng, vì vậy việc giải bài toán về số phức gây ra khá nhiềukhó khăn cho học sinh

Bài toán cực trị số phức thông thường có khá nhiều cách lựa chọn để giảinhư Bất đẳng thức, khảo sát hàm số… Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôimuốn rèn luyện cho học sinh một lối tư duy vận dụng linh hoạt phương phápchuyển đổi từ bài toán đại số sang bài toán hình học cho học sinh Với mục tiêu

đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ tập trung giải quyết theo hướng hình

học Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải bài

toán cực trị môđun số phức bằng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học sinh” để nghiên cứu.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán vậndụng cao về cực trị môđun số phức,

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu là các bài toán cực trịmôđun số phức, được nghiên cứu ở nhiều dạng toán khác nhau

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã sử dụng phối kết hợpnhiều phương pháp như:

-Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra cơ bản, thực nghiệm so sánh, phântích kết quả thực nghiệm, … phù hợp với môn học thuộc lĩnh vực Toán học

- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận.

Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI chỉ đạo: “Giáo dục và đạotạo là Quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của toàn dân.Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước cho các chươngtrình, kế hoạch phát triển KT-XH; phát triển giáo dục và đạo tạo là nâng cao dântrí, đạo tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh quá trình giáo dục từchủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chấtngười học Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trườngkết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”

Nghị quyết hội nghị Trung ương VIII khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối vớigiáo dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất,năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệpcho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lýtưởng truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năngthực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo và tựhọc, khuyến khích học tập suốt đời, hoàn thành đào tạo giáo dục phổ thông giaiđoạn sau 2015”

2.2 Thực trạng.

Trong quá trình dạy học ở trường THPT Như Thanh nhiều năm nay tôinhận thấy việc học bộ môn toán của học sinh là rất khó khăn, đặc biệt là phầncực trị môđun số phức Các em không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thứcliên quan nào… Chính những khó khăn đó đã ảnh hưởng không nhỏ đến chấtlượng học tập môn Toán, dẫn đến các em không có hứng thú trong việc học mônToán

Khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học giải bài tậpcực trị môđun của số phức, các em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toán

và phụ thuộc nhiều vào các cách giải mà giáo viên cung cấp chứ chưa chú ý đếnviệc khai thác các bài toán cực trị trong hình học phẳng để giải các dạng bài toánnày

Kết quả khảo sát ở một số lớp chọn khối A của trường chỉ có 10% họcsinh hứng thú với bài toán cực trị môđun số phức

(Trích câu 46 đề minh họa THPT Quốc gia 2018).

Đây là bài toán tương đối khó với các em học sinh phổ thông, kể cả những học sinh có học lực giỏi Cái khó khăn của bái toán trên chính là mối liên hệ giữa hai điều kiện z 4 3  i  5 và z  1 3i  z  1 i Sau đây là một số

cách giải bài toán này.

Đặt A( 1;3); (1; 1),  B  I là trung điểm của AB thì I0;1.

Khi đó: z  1 3i  z  1 i MA MB Ta biết rằng MA MB lớn nhất khi

O A

B

I M

O

5 5

Nhận xét: Bài toán trên có thể vẫn còn nhiều cách giải khác, qua ba cách

giải trên, ta thấy tiếp cận bài toán theo cách 1 (phương pháp hình học) là đơn giản và nhanh gọn Hơn nữa, phương pháp sử dụng bất đẳng thức để giải quyết bài toán là điều không dễ dàng với phần lớn học sinh.

2.3.1 Cơ sở lý thuyết.

2.3.1.1 Các định nghĩa và kí hiệu.

a) Số i: Ta thừa nhận có một số mà bình phương của nó bằng -1.

b) Số phức: Cho x y, , biểu thức z x yi  gọi là một (dạng đại số) số phức.Trong đó x: phần thực, y: phần ảo

c) Với mỗi số phức z x yi  , giá trị biểu thức x2 y2 gọi là môđun của z Kíhiệu: z Như vậy, z  x2 y2 .

d) Cho số phức z x yi  Số phức z x yi  gọi là số phức liên hợp với sốphức z

e) Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M x y( ; )trên mặt phẳng toạ độOxy Ngược lại, mỗi điểm M x y( ; )biểu diễn một số phức là z x yi 

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi kí hiệu M x y( ; )M  z , hay đơn giản

+) Với M0 M z0 ( ), 0 R 0, tập hợp các điểm M M z( ) thỏa mãn hệ thức:0

z z R là đường tròn tâm M0 bán kính R

+) Với M0 M z0 ( ), 0 a 0, tập hợp các điểm M M z( ) thỏa mãn hệ thức:

2

z z  z z  a là đường Elíp có hai tiêu điểm A, B

2.3.1.4 Một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bài toán 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) :  Ax By C   0 và điểm M x y0 ( ; ) 0 0 Tìm trên ( )  điểm M x y( ; ) sao cho M M0 nhỏ nhất.

Giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M0trên ( )  với M  ( )thì ta có:

0 0

M M M H, do đó M M0 nhỏ nhất thì M H Từ đó ta viết phương trình đườngthẳng ( )d đi qua M vuông góc với ( )  Giải hệ gồm hai phương trình đườngthẳng ( )  và ( )d ta suy ra nghiệm x y;  Từ đó ta tìm được điểm M

Bài toán 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) :  Ax By C   0 và hai điểm A x y( ;A A), B x y( ;B B) Tìm trên ( )  điểm M x y( ; ) sao cho: MA MB nhỏ nhất.

Giải: Đây là bài toán khá cơ bản trong hình học phẳng mà học sinh đã được học

+) Nếu hai điểm A, B nằm về cùng một phía so với ( )  thì ta gọi A' là điểm đối

xứng với Aqua ( )  Khi đó với mọi M  ,MA MB MA MB A B  '   ' Vậy

M

0

H M

MA MB nhỏ nhất là MA MB A B' khi và chỉ khi ba điểm A M B', , thẳng hàng,hay M  A B' .

Bài toán 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( ) :  Ax By C   0 và hai điểm A x y( ;A A), B x y( ;B B) Tìm trên ( )  điểm M x y( ; ) sao cho: MA2 MB2nhỏ nhất.

Giải Gọi I là trung điểm AB Khi đó, với mọi M   ta có:

Giải: Với hai điểm A, B cố định

+) Nếu A, B cùng phía so với ( )  thì với mọi M  ta luôn có: MA MB AB,dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm M A B, , thẳng hàng, hay M  AB

+) Nếu hai điểm A, B nằm khác phía so với ( )  thì ta gọi A' là điểm đối xứng

với Aqua ( )  Khi đó với mọi M  ta luôn có MA MB MA MB'  A B' Dấubằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm M A B, ', thẳng hàng, hay M  A B' .

Bài toán 5 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) tâm I bán kính R

và hai điểm A x y( ;A A), B x y( ;B B) Tìm trên ( )C điểm M x y( ; ) sao cho: MA2 MB2

độ dài trục bé để xác định giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

2.3.2 Một số dạng bài toán cực trị số phức.

Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

Với dạng này thì ta thường gặp một số bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho số phức z thỏa mãn: z z 1  z z2 (với z z z z1 , , , 2 3 4là các số phứccho trước)

0 0

z z MM Từ đẳng thức z z 1  z z2 , suy ra M thuộc đường thẳng ( )  làtrung trực của đoạn thẳng AB Khi đó bài toán trở thành:

1) Tìm trên ( )  điểm M sao cho: M M0 nhỏ nhất

2) Tìm trên ( )  điểm M sao cho: MC MD nhỏ nhất

3) Tìm trên ( )  điểm M sao cho: MC2 MD2nhỏ nhất

4) Tìm trên ( )  điểm M sao cho: MC MD lớn nhất

Ví dụ 1 Trong tất cả các số phức z thỏa mãn hệ thức z  1 3i  z 3 5  i Tìmgiá trị nhỏ nhất của: z  2 i

A’

M o

Dễ dàng kiểm tra được A, B nằm cùng phía so với  Khi đó:

P  z i  z  i MA MB Áp dụng kết quả bài toán 3 ta có:

minPA B' với A' là điểm đối xứng với Aqua 

Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với  thì d:4x y   9 0 Gọi

I   d , thì tọa độ I là cặp ( ; )x y thỏa mãn hệ phương trình:

Ví dụ 3 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z  1 2i   z 3 i Tìm giá trị nhỏnhất của: P z i2 z 2  i2

Ví dụ 4 Cho số phức z thỏa mãn hệ thức z 1  z i Biết rằng số phức

M  x y  , kiểm tra được hai điểm A B, khác phía so với 

Theo bài toán 4 ở trên, gọi A’ đối xứng với A qua đường thẳng  :x y  0ta tínhđược A'(1;3) Phương trình đường thẳng A B x y' :3   0, tọa độ giao điểm của 

Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn.

Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho số phức z thỏa mãn: z z 0  R 0, với z z z z0 ; ; ;A B C là số phức chotrước.

1 Tìm số phức z để z z A đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

2 Tìm số phức z để z z B 2 z z C 2 đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Nhận xét: Đặt M M z A A z ;   A ,B B z  B ,C B z  C Từ đẳng thức z z 0 R

, suy ra M thuộc đường tròn (C) tâm I bán kính R Khi đó bài toán trở thành

1. Tìm M ( )C sao cho AM đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

2. Tìm M ( )C sao cho MA2 MB2 đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

-3

-2

1

1 A

-3

1

I

tâm I(3; 2);  R 3.

Ta cóP  z 1 2i  z 5 2  i MA MB Trong đó A(1;2); (5 :2)B Nhận thấy IA IBGọi ( )  là đường thẳng trung trực AB thì ( ) :  x 3 0  Khi đó

Từ hình vẽ ta thấy M3; 5   thỏa mãn, vậy P Max  2MA 2 53

Ví dụ 3 Cho số phức z thỏa mãn 2

z z  z z z Tính giá trị lớn nhất củabiểu thức: P z 5 2  i

Trong bài toán này, nếu sử dụng phương pháp đại số thì chắc chắn chúng ta sẽ nghĩ tới việc biến đổi biểu thức P về biểu thức một biến Tuy nhiên từ giả thiết của bài toán thì ý tưởng này có thể nói là không thể Từ đó ta có thể nghĩ tới phương pháp hình học.

1

O

I1 I3

I2 I4

A

I O

M O

Khi đó P z 5 2  i MA với A(5; 2)  Từ hình vẽ ta thấy

P I A R  

Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng và đường tròn.

Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho hai số phức z z, ' thỏa mãn các hệ thức: z z 1 R z z; '  2 z z'  3 Trong đó z z z1 ; ; 2 3 là các số phức cho trước Tính giá trị nhỏ nhất của P z z'

Nhận xét:

Đặt M M z M ; ' M z ' Từ đẳng thức z z 1 R suy ra M thuộc đường tròn(C) Từ đẳng thức z z'  2 z z'  3 suy ra M’ thuộc đường thẳng ( )  và

z z MM Khi đó bài toán trở thành

Tìm M  ( ),M' ( )  C sao cho MM' đạt giá trị nhỏ nhất

+) Trường hợp   ( )C  thì giá trị nhỏ nhất của z z '  0

+) Trường hợp   ( )C  thì giá trị nhỏ nhất của z z ' là z z ' d I( ; )   R

  

  

Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp.

Với các dạng bài này ta thường gặp bài toán cơ bản sau đây:

Bài toán: Cho số phức z thỏa mãn: z z A  z z B  2a 0 Tính giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của P z z0 với z z z0 ; ;A B là số phức cho trước

Tìm M ( )E sao cho MM0 đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất)

Ví dụ áp dụng Cho số phức z thỏa mãn z 4  z 4 10  Gọi M, m lần lượt làgiá trị lớn nhất, nhỏ nhất của z Tính M m :

Lời giải:

Cách 1 Đặt M M z  Từ đẳng thức: z 4  z 4 10   MA MB  10

với M x y A ; ; 4;0 ; B  4;0 Suy ra M ( )E có hai tiêu điểm A, B và

(Trích câu 45 trường chuyên Thái Bình lần 6).

Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhấtcủa biểu thức P z 8 6  i2 z 4 10  i2 lần lượt là:

Bài 6: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  5 i  13 , tìm số phức z saocho z  1 5i2 z  3 9i2 nhỏ nhất

A. z  3 4i B z  2 3i C z  7 2i D.2

(Trích câu 46 THPT Thanh Chương 1 lần 2).

Bài 8: Cho số phức z x yi x y  ; ,   thỏa mãn z  1 i  1, z 3 3  i  5 Gọi M

và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P x  2y Tính tỉ số

(Trích câu 46 chuyên Quốc học Huế lần 2).

Bài 9: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2  i  2 2 Gọi M và m lần lượt làgiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của H   z 3 2i  z 3 4  i Tính M+m

(Trích câu 37 chuyên Lê Quý Đôn Quảng trị lần 2).

2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.

- SKKN này đã được tôi thực hiện giảng dạy trong năm học 2016-2017 vànăm học 2017-2018 Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh rất hứng thú

và tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán về cực trị môđun số phức, tạo chohọc sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận,vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học Kết quả đạt được có thể nói

là rất khả quan, sau khi học xong chuyên đề thì tất cả các em đề giả`i quyết đượccâu hỏi về dạng này

- Đối với đồng nghiệp: được chia sẻ kinh nghiệm học hỏi lẫn nhau, thúcđẩy phong trào tự học, tự nghiên cứu trong nhà trường

- Đối với học sinh: Trang bị thêm cho học sinh một phương pháp giảinhanh các bài toán cực trị số phức trong kì thi THPT Quốc gia