ôn tập nhịthức niu-tơn I. lí thuyết 1. Khi khai triển nhịthức (a + b) n , ta nhận đợc công thức (a + b) n = c n 0 a n + c n 1 a n-1 b + c n 2 a n-2 b 2 ++c n n-1 ab n-1 + c n n b n (1) ( công thức nhịthức Niu Tơn) 2. Trong vế phải của công thức (1) ta có: a) số các hạng tử là n + 1; b) số hạng (hạng tử) thứ k + 1 là c n k a n-k b k ; k = 0,1,2( quy ớc a 0 = 1) c) số mũ của a giảm dần từ n đến 0, sô mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhng tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. d) các hạng tử cách đều hạng tử đầu và cuối có hệ số bằng nhau 3. Tam giác Pascal n hệ số trong khai triển của (a + b) n 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 L u ý : * Ta còn có thể nói số hạng thứ k + 1 là số hạng tổng quát và ký hiệu là T k+1 = C n k a n-k b k * (a b) n = C n o a n C n 1 a n-1 b + C n 2 a n-2 b 2 + + (-1) k C n k a n-k b k + +(-1) n C n n b n II. bài tập Bài 1) khai triển các biểu thức sau: a) (x y) 5 b) (2x - 1/x) 6 c) (1 + 3x) 7 Bài 2) Tìm số hạng thứ 6 trong khai triển (x + 2/x) 10 , mà trong khai triển đó số mũ của x giảm dần. Bài 3. Biết hệ số của x 2 trong khai triển của (3x +1) n là 90. Hãy tìm n. Bài 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (2x 1/x 2 ) 6 Bài 5. Từ khai triển biểu thức (3x 4) 17 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận đợc Bài 6. Cho đa thức P(x) = (1 x) 10 + (1 x) 11 + + (1 x) 16 . Khai triển P(x) để có dạng P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 16 x 16 . Tính a 4 , a 7 , a 15 . Bài 7. Trong khai triển đa thức P = (a 2 - b 1/3 ) 6 , tìm hệ số của a 12 b 4 . Các bài toán liên quan đến công thức P n =n! = n.(n 1).(n 2)2.1. A n k = n!/(n k)! và C k n = n!/k!.(n-k)! L u ý : n;k N, n k 1 0! = 1 C k n = C n n-k . a) Chứng minh một đẳng thức, b) Phơng trình và bất phơng trình. Bài 1 . Chứng minh: a) C k n + C n k-1 = C k n+1 b) Suy ra C k n + 2C n k-1 + C n k-2 = C k n+2 (n, k N và n k 2 ) Bài 2. Chứng minh rằng C k n = n.C k-1 /k với 0 k n và k, n N n-1 Bài 3. Chứng minh rằng với mọi k, n N; 2 k n, ta luôn có k(k 1).C k n = n.(n 1)C k-2 n-2 Bài 4. Giải phơng trình 1/C x 4 1/C x 5 = 1/C x 6 . Bài 5. Giải phơng trình C a+b = 35. 7 Bài 6. Tìm các số x nguyên dơng thoả mãn phơng trình: C 1 x + 6C 2 x + 6C 3 x = 9x 2 14x. Bài 7. Tìm k N biết rằng C k 14 + C k+2 = 2C k+1 14 14 Bài 8. Giải bất phơng trình C n-3 /A 4 n+1 < 1/14P3. n-1 Bài 9. Giải bất phơng trình ( với 2 ẩn n, k N) P n+5 /(n-k)! 60A k+2 Bài 10. Giải bất phơng trình A 4 / (n+2)! < 15/(n 1)! n+3 n+4