bài tập về tổ hợp chỉnh hợp và nhị thức Niutơn

GIẢI TÍCH TỔ HP LOẠI TOÁN ĐẾM Bài 1: Với các chữ số 1,2,3 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có tính chất: 1. Mỗi số gồm 3 chữ số trong đó chữ số 1 là chữ số duy nhất lập lại nhiều nhất 2 lần. 2. Mỗi số gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 1 và 3 xuất hiện một lần, chữ số 2 xuất hiện ba lần. 1. Đs: 12 2. Đs: 20 Bài 2: Với các chữ số 0,1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số không trùng nhau và dó nhiên không có chữ số 0 ở vò trí đầu trừ số không. Đs:261 Bài 3: Với các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số không trùng nhau sao cho hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau. Đs :72 Bài 4: Với các chữ số 1,2,3, ,n có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có n chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau. Đs :n! - 2(n - 1)! Bài 5: Với các chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số lớn hơn 20.000 sao cho trong mỗi số các chữ số 2,3,4 có mặt một lần và chữ số 1 có mặt hai lần. Đs : ! . 4 3 2 Bài 6: Có tất cả bao nhiêu số đăng ký xe ôtô khác nhau có 5 chữ số nếu chữ số đầu tiên khác không. Đs :9x10 4 . Bài 7: Các số 1,2, .,n được xếp thành hàng ngang. Hỏi có mấy cách sắp xếp sao cho: 1. Hai chữ số 1 và 2 2. Ba chữ số 1,2,3 đứng cạnh nhau và theo thứ tự tăng dần. 1. Đs: (n - 1)! 2. Đs: (n - 2)! Bài 8: Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số tạo bỡi các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 sao cho các chữ số không lặp lại và chữ số cuối cùng là chẵn. Đs : .A 5 6 3 . Bài 9: Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn. Hd: - Có tất cả là 9x10 6 số nguyên dương có 7 chữ số. - Trong 10 số nguyên dương có 7 chữ số sau: a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 1 9 có 5 số có tổng các chữ số là chẵn và 5 số có tổng các chữ số là lẻ. Vậy đáp số là: . 6 10 9 2 . Bài 10: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số chỉ tạo bỡi các chữ số 1,2 và 3 với điều kiện chữ số 2 xuất hiện hai lần trong mỗi số. Trang 1 GIẢI TÍCH TỔ HP HD: Vì số các chữ số dùng để lập một số như yêu cầu của bài toán là không kiểm soát được như vậy ta lại dựa vào vò trí, thứ mà ta kiểm soát được. Cụ thể như sau:Ta sẽ chọn ra hai vò trí cho số 2: có C 2 7 cách. Còn lại 5 vò trí dành cho hai số 1 và 3: có 2 5 cách sắp. Vậy đáp số là: 2 5 C 2 7 . Bài 11 : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 10 4 viết dưới hệ cơ số thập phân có tất cả các chữ số khác nhau. Đs: A A A A A A A A+ + + − − − − 4 3 2 1 3 2 1 0 10 10 10 10 9 9 9 9 Bài 12: Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 4 tạo bỡi các chữ số 1,2,3,4,5 trong hai trường hợp sau: 1. Các chữ số có thể trùng nhau. 2. Các chữ số khác nhau. HD: 1. Các số chia hết cho 4 tận cùng bỡi các cặp: 24,44,32,12,52. Như vậy ta chỉ còn hai vò trí còn lại cho năm số: 1,2,3,4,5: có 5 2 . Đs: 5x5 2 . 2. Nếu các chữ số khác nhau thì các số chia hết cho 4 tận cùng bỡi các cặp: 24,32,12,52. Hai vò trí còn lại ta sẽ chọn có thứ tự hai số trong ba số còn lại. Đs: 4. A 2 3 Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 10 chữ số được viết bỡi các chữ số 1 và 2 Đs:2 10 Bài 14: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có bốn chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 1. Đs: 204 Bài 15: Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số mỗi số có tám chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần. HD: Để lập ra một số theo yêu cầu thì ta phải sắp xếp tám chữ số : 0,1,1,1,2,3,4,5 theo một thứ tự nào đó. Có 8! Cách sắp xếp như thế. Nhưng phải loại đi 7! Số có chữ số 0 đứng đầu. Ngoài ra 3 chữ số 1 giống nhau không kể thứ tự nên tính theo cách trên sẽ dôi ra 3! lần. Vậy đs: ! ! ! −8 7 3 . Bài 16 : Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 10 4 có các chữ số không trùng nhau, là bội số của 4 tạo bỡi các chữ số 0,1,2,3,5. Đs: 31 Bài 17: Có bao nhiêu số nguyên dương có bốn chữ số, trong đó nhiều nhất là hai chữ số trùng nhau. Đs:576 Bài 18: Có bao nhiêu số nguyên dương có sáu chữ số, trong đó chỉ có đúng bốn chữ số khác nhau. Bài 19: Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn . 8 2 10 chia hết cho 3 có các chữ số là 0, 1, 2. Đs: . − 7 2 3 1 Bài 20: Người ta xếp 12 cuốn sách vào 6 hộc, mỗi hộc có 2 cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách xếp. ĐS: ! C C C C C C 2 2 2 2 2 2 12 10 8 6 4 2 6 =10395= ! ! 6 12 2 6 Bài 21: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ta lập tất cả các số có 4 chữ số không trùng nhau. Tìm tổng của các số đó. HD: Có A 4 9 số có 4 chữ số khác nhau. Trong đó ta có thể sắp thành các cặp số bù nhau, ví dụ: 3562 và 7548, tổng của cặp số này là 1000x10 + 100x10 + 10x10 +1x10 = 11110 Vậy tổng của các số phải tìm là: . A 4 9 11110 2 . Bài 22: Trong một giải cờ vua có cả nam và nữ vận động viên. Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với mỗi vận động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván các vận động viên nam chơi với nhau nhiều hơn số Trang 2 GIẢI TÍCH TỔ HP ván mà họ chơi với 2 vận động viên nữ là 66. Hỏi có bao nhiêu vđv tham dự và có tất cả bao nhiêu ván cờ đã xảy ra. ĐS: Có 13 vđv và 2 C 2 13 ván cờ. Bài 23: Cho các số 3,5,7,11,13,17,19,23. Từ các số đó có thể lập được bao nhiêu phân số nhỏ hơn đơn vò, trong đó mỗi phân số được tạo thành bới hai số đã cho. ĐS: C 2 8 Bài24: Trong ba lần chọn ngẫu nhiên 3 chữ số thì có mấy trường hợp: 1. Có hai lần lặp lại. 2. Có một lần lặp lại. 3. Không có lần nào lặp lại. HD: 1. Chọn ba chữ số mà có hai lần lặp lại như vậy là thật ra ta chỉ chọn có một chữ số. Vậy trong trường hợp này có 10 cách chọn. 2.Chọn ba chữ số mà có một lần lặp lại như vậy là thật ra ta chọn 2 chữ số rồi sau đó ta thêm vào một chữ số trùng với một trong hai số đã chọn ta được C 2 10 2 . Sau đó ta thay đổi thứ tự của các chữ số trong số được lập, ta được ! . ! C 2 10 3 2 2 = 270. 3. A = 3 10 720 . Bài 25: Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất 2 phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp. HD: Số cách rút 5 phiếu tuỳ ý là: C 5 90 . Gọi a b c d e≤ < < < < ≤1 90 là số thứ tự của 5 phiếu mà sao cho bất kỳ hai phiếu nào cũng có hiệu số khác 1. Khi đó a, b - 1, c - 2, d - 3, e - 4 là 5 số phân biệt nằm giữa 1 và 86. Đảo lại, với năm số bất kỳ a’,b’,c’,d’,e’ sao cho ' ' ' ' 'a b c d e≤ < < < < ≤1 86 thì 5 số a’, b’ + 1, c’ + 2, d’ + 3, e’ + 4 sẽ có hiệu hai số bất kỳ khác 1. Vậy có C 5 86 phiếu không thoả yêu cầu đề bài. ĐS: C 5 90 - C 5 86 . Bài 26: Người ta lập tích số của hai số nguyên khác nhau từ 1 đến 100. Hỏi có bao nhiêu tích số là bội số của 3. ĐS: C C+ 1 2 33 33 67 Bài 27: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh. Bài 28: Có bao nhiêu cách phát 10 phần thưởng giống nhau cho 6 học sinh sao cho mỗi học sinh có ít nhất một phần thưởng? HD: Đầu tiên phát cho mỗi học sinh một phần thưởng. Như vậy có một cách. Còn lại 4 phần thưởng phát cho 6 học sinh ( phát tuỳ ý ). Vì ta phát tất cả 4 phần thưởng cho 6 học sinh nên ta chỉ cần xét cách phân phối cho 5 học sinh, học sinh thứ 6 nhận số phần thưởng còn lại. Bỡi vì có thể xảy ra trường hợp có 5 học sinh không nhận phần thưởng nào trong 4 phần thưởng còn lại, cho nên ta thêm vào 4 phần thưởng đó 5 phần thưởng ảo tượng trưng cho không có phần thưởng. Vì các học sinh nhận là khác nhau nên ta có thể xem các phần thưởng là khác nhau. Như vậy ta sẽ lấy 5 phần thưởng trong 9 phần thưởng ra để phát cho 5 học sinh. Số còn lại học sinh thứ 6 sẽ nhận. Vậy có C 4 9 cách phát thưởng cho học sinh. Bài 29: Giả sử có n viên bi giống nhau và m cái hộp khác nhau. Ta xếp bi vào các hộp. Tìm số cách xếp: 1, Xếp tuỳ ý. 2, Tất cả các hộp đều phải có bi. HD: 1, Ta biểu diễn m hộp bỡi các khoảng ở giữa m + 1 gạch thẳng đứng, còn các viên bi biểu diễn bằng các ngôi sao. Ví dụ: |**|*| |****|….|*|. Trang 3 GIẢI TÍCH TỔ HP Như vậy ở ngoài cùng luôn lấcc vạch thẳng đứng, còn lại m – 1 vạch đứng và n ngôi sao được xếp theo thứ tự tuỳ ý. Như vậy số cách chọn n phần tử trong m-1+n phần tử, nó cũng là số cách chọn m-1 phần tử trong m-1+n phần tử: 1 1 1 m n n m n m C C − + − + − = . 2, Trường hợp mội hộp có chứa ít nhất một viên bitương ứng với cách biểu diễn mỗi gạch phải bao gồm giữa hai ngôi sao. Nhưng có tất cả n-1 khoảng trống giữa n ngôi sao. Vậy thì phải xếp m-1 vạch vào n-1 khoảng trống đó. Vậy có: 1 1 m n C − − . Hoặc có thể giải cách khác bằng cách trước tiên ta phân cho mỗi hộp một viên bi cái đã rồi sau đó số viên bi còn lại ta phân phối tuỳ ý như câu 1, Bài toán có thể phát biểu dưới dạng khác như sau: 1, Tìm số các nghiệm tự nhiên của pt: 1 2 3 . m x x x x n+ + + + = 2, Tìm số các nghiệm nguyên dương của pt: 1 2 3 . m x x x x n+ + + + = Bài 30: Có 5 cuốn sách khác nhau đặt trên giá sách. Rút lần lượt không hoàn lại ba cuốn sách. Có bao nhiêu cách rút được cuốn A; có bao nhiêu cách rút không được cuốn A? LOẠI TOÁN GIẢI PT, BPT,…: Lưu ý: Đặt đk, dùng các công thức, khử giai thừa, giải pt, bpt,… Vì giải trong tập hợp số tự nhiên nên có thể thử nghiệm nếu cần. ( ) 3 2 2 4 2 3 4 1 4 1 1 3 3 8 6 6 5 1 1 2 2 2 4 5 6 4 3 1 1 2 1 2 1 3 1 1 1 2 1 1 1, 14 2, 3, 5 4,3 4 5, 35 132 1 1 1 6, 7, 60 2 8, 3 9, 14 1 10, 79 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x A C x x C A C xC C A C C C C C C C A C C C A C x A C − − − − + − + + + − − − − + − + − + + − + = = − = = − = = = + = + − = ( ) 3 2 1 2 2 2 2 2 3 1 1 2 2 1 3 2 2 1 2 3 5 5 11, 14 12,3 2 13, 4 4 14, 5 15,3 4 16, 720 x x x x x x x x x x x x x x x A C x C A x C A x A C x C C P x A P A P − + + + + + − + = = + + − = = + = = Trang 4 GIẢI TÍCH TỔ HP 2 13 13 2 18 18 4 3 2 1 1 2 2 1 1 1 17, 18, 5 19, 0 4 20, 100 x x x x x x x x x x x C C C C C C A C C + − − − − − − + + < > − − < − ≤ ( ) ( ) 4 1 3 3 1 1 10 10 2 1 4 3 4 1 4 4 1 105 105 1 1 1 1 1 1 1 2 5 3 1 1 21, 14 22, 2 23, 48 24 24, 23 143 25, 2 ! 4 26,8 3 27, : : 5 : 5 : 3 28, : : 2 : 3 : 4 29, 60 ! 30, : : x x x x x x x x x x x x x x x x m m m n n n n n n m m m k n n y y x x x A P C C C A C A A C A x P C C C C C C C C P A n k C C C + − − − − − + + + + − + + + − + + + + + + < > = = − < + < = = ≤ − 1 6 : 5 : 2 y− = LOẠI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC Bài tập1: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 2 3 1 0 2 2 2 2 0 1 2 1 2 3 2 3 4 2 1, . 1 1 , 2 3 . 2 1 , 2 2, 2 3 . 1 1 3, 0 : 4, . − − − + − + + − − − = + − + + + + + + = + + + + + = + + = − + − + − = − ≤ ≤ ≤ + + + + ∑ r r n n n n n n n n n n n m m m m n n n n n n k n k n n n n n k n n n n k n k n k n n n n k n n n n k n C C r n n C C C a C n C C C b C C C C C C C nC C k n C C C C C C C C C C C 1 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2 1 1 1 2 3 4 1 . 2 5, 3 3 6, . 7, 4 6 4 + + − − − + + − − + + − − − + + + = + + + = + + + + + = + + + = n n n n k k k k k n n n n n k k k k k k n n n k k n k k k k k n n n n n C C C C C C C C C C C C C C C C C C Bài tập2: Chọn các số nguyên dương n và k như thế nào để: 1 1 , , k k k n n n C C C − + theo thứ tự là các số hạng của một cấp số cộng. Trang 5 GIẢI TÍCH TỔ HP Bài tập3: Chứng minh rằng với số nguyên dương n cho trước, có không quá hai số nguyên dương k sao cho 1 1 , , k k k n n n C C C − + theo thứ tự là các số hạng của một cấp số cộng. Bài tập4: Chứng minh số 2 1 1 m m C m + là một số nguyên dương. Bài tập5: Tìm số nguyên dương bé nhất k sao cho 2 1 m n n k C n m + + + là một số nguyên với mọi số nguyên dương n m≥ . Hd: đkc: n = m, suy ra k = 2m + 1. Đkđ: thử lại với n = m. Bài tập6: Tìm số nguyên dương n sao cho: 2432 .42 210 =++++ n n n nnn CCCC Bài tập7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: n nnnn n nnnn CCCCCCCC 2 2 4 2 2 2 0 2 12 2 5 2 3 2 1 2 ++++=++++ − Bài tập8: Chứng minh rằng: 1919 20 17 20 5 20 3 20 1 20 2 . =+++++ CCCCC Bài tập9: Tính tổng: 10 10 109 10 98 10 87 10 76 10 65 10 54 10 43 10 32 10 21 10 0 10 3333333333 CCCCCCCCCCCP +−+−+−+−+−= Bài tập10: CMR: 1 1 2 3 2 2 3 . n n n n n n n C C C nC − = + + + + Bài tập11: CMR: ( ) ( ) 2 2 3 4 1 2 1.2 2.3 3.4 . 1 n n n n n n n n C C C n n C − − = + + + + − Bài tập12: Tính tổng: n nnnn C n CCCS 1 1 . 3 1 2 1 210 + ++++= biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 79 21 =++ −− n n n n n n CCC . Bài tập13: Chứng minh rằng: ( ) n nnn n nnn nCCCCnCC 2 2 4 2 2 2 12 2 3 2 1 2 2 .4212 .31 +++=−+++ − Bài tập14: CMR: ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 1 1 2 . 1 0 n n n n n n nC n C n C C − − − − + − − + − = Bài tập15: Chứng tỏ rằng: ( ) ( ) ( ) 12 .5.3.1 222 .6.4.2 12 1 . 753 1 321 + − = + − ++−+− n nn n CCCC n n n nnn . Bài tập16: Chứng minh rằng: k n k n k n k n CCCCCCC =++ − − − −− 2 2 2 2 1 2 1 22 0 2 (n ≥ k+2 ; và là các số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) Bài tập17: CMR: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 2 . n n n n n n n C C C C C+ + + + = . LOẠI TOÁN TÌM HỆ SỐ CỦA NHỊ THỨC NEWTON Bài tập18: Tìm hệ số của 5 x trong khai triển của nhò thức ( ) 2007 2 x+ . Bài tập19: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhò thức: 2007 2 x x   −  ÷   . Bài tập20: Tìm hệ số của 2 x trong khai triển của nhò thức ( ) 2007 2 2 x x+ + . Bài tập21: Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển của nhò thức: ( ) 1 n x+ . Bài tập22: Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển của nhò thức: 15 1 2 3 3 x   +  ÷   . Trang 6 GIẢI TÍCH TỔ HP LUYỆN TẬP Bài tập23: ĐH, CĐ – Khối A – Năm 2002 Cho khai triển nhò thức: n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC         +                 ++                 +         =         + − − − − − − − −− − − 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 0 2 1 0 3 2 1 222 .22222 (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. ĐS: n = 7, x = 4 Bài tập24: ĐH, CĐ – Khối B – Năm 2002 Cho đa giác đều ( ) nguyênnnAAA n ,2 . 221 ≥ nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 , A 2 , . , A 2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1 , A 2 , . , A 2n , tìm n. ĐS: n = 8 Bài tập25: ĐH, CĐ – Dự Bò 1 – Năm 2002 Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn. ĐS: 41811 cách Bài tập26: ĐH, CĐ – Dự Bò 2 – Năm 2002 Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình: nCA n nn 92 23 ≤+ − , trong đó k n k n CvàA lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử. ĐS: n = 3 hoặc n = 4 Bài tập27: ĐH, CĐ – Dự Bò 4 – Năm 2002 Giả sử n là số nguyên dương và ( ) n n k k n xaxaxaxaax ++++++=+ 1 2 210 Biết rằng tồn tại số k nguyên ( ) 11 −≤≤ nk sao cho: 2492 11 +− == kkk aaa . Hãy tính n ĐS: n = 10 Bài tập28: ĐH, CĐ – Dự Bò 6 – Năm 2002 Gọi a 1 , a 2 , ., a 11 là các số hạng trong khai triển sau: ( ) ( ) 11 9 2 10 1 11 10 .2.1 axaxaxxx ++++=++ . Hãy tính hệ số a 5 ĐS: 6722 4 10 5 105 =+= CCa Bài tập29: ĐH, CĐ – Khối A – Năm 2003 Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhò thức Niutơn của n x x       + 5 3 1 , biết rằng ( ) 37 3 1 4 +=− + + + nCC n n n n (n là số nguyên dương, x > 0, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: 495 4 12 = C Bài tập30: ĐH, CĐ – Khối A – Dự Bò 1 – Năm 2003 Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau. ĐS: 952 Bài tập31: ĐH, CĐ – Khối A – Dự Bò 2 – Năm 2003 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3. Trang 7 GIẢI TÍCH TỔ HP ĐS: 192 số Bài tập32: ĐH, CĐ – Khối B – Năm 2003 Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 . 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0 + − ++ − + − + + ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). Bài tập33: ĐH, CĐ – Khối B – Dự Bò 1 – Năm 2003 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thỏa mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vò? ĐS: 108 số Bài tập34: ĐH, CĐ – Khối B – Dự Bò 2 – Năm 2003 Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em, trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách như vậy. ĐS: 462 cách Bài tập35: ĐH, CĐ – Khối D – Năm 2003 Với n là số nguyên dương, gọi a 3n-3 là hệ số của x 3n-3 trong khai triển thành đa thức của ( ) ( ) n n xx 21 2 ++ . Tìm n để a 3n-3 = 26n. ĐS: n =5 Bài tập36: ĐH, CĐ – Khối D – Dự Bò 1 – Năm 2003 Từ 9 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau. ĐS: 90720 Bài tập37: ĐH, CĐ – Khối D – Dự Bò 2 – Năm 2003 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: 1002 333222 =++ −− n nnnn n nn CCCCCC Trong đó k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử ĐS: n = 4 Bài tập38: CĐSP – Khối A – Năm 2002 Tìm số giao điểm tối đa của: 1. 10 đường thẳng phân biệt 2. 6 đường tròn phân biệt 3. số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng và 6 đường tròn. ĐS: 1. 45 điểm ; 2. 30 điểm ; 3. 120 điểm Bài tập39: CĐSP – Khối A – Dự Bò – Năm 2002 Cho đa giác lồi n cạnh. Xác đònh n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh. ĐS: n = 7 Bài tập40: CĐSP TD TW II – Năm 2002 Cho các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số trên. ĐS: 60 (số) Bài tập41: CĐXD số 3 – Năm 2002 1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có: n nnnn n nnnn CCCCCCCC 2 2 4 2 2 2 0 2 12 2 5 2 3 2 1 2 ++++=++++ − 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245. ĐS: 20 (số) Trang 8 GIẢI TÍCH TỔ HP Bài tập42: CĐSP Quảng Ngãi – Năm 2002 Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau. ĐS: 54 số lẻ Bài tập43: CĐSP Bến Tre – Khối A – Năm 2002 1. Giải phương trình: xxCCC xxx 14966 2321 −=++ 2. Chứng minh rằng: 1919 20 17 20 5 20 3 20 1 20 2 . =+++++ CCCCC ĐS: x = 7 Bài tập44: CĐ Khối A, D – Năm 2003 Chứng minh rằng : 1 .32 1321 −=++++ + nn PnPPPP Trong đó n là số nguyên dương và P n là số hoán vò của n phần tử. Bài tập45: CĐGT II – Dự Bò – Năm 2003 Tính tổng: ( ) n n n nnnn CCCCCS .1 .432 1 4321 − −++−+−= Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử ĐS: S = 0 Bài tập46: CĐGT III – Năm 2003 Tính tổng: n nnnn C n CCCS 1 1 . 3 1 2 1 210 + ++++= biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 79 21 =++ −− n n n n n n CCC ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: 12, 13 12 13 = − = nS Bài tập47: CĐ Tài Chính Kế Toán IV – Năm 2003 Chứng minh rằng: k n k n k n k n CCCCCCC =++ − − − −− 2 2 2 2 1 2 1 22 0 2 (n ≥ k+2 ; và là các số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) Bài tập48: CĐ Tài Chính Kế Toán IV – Dự Bò – Năm 2003 Giải bất phương trình: ( ) 720 .! 32 3 ≤ n n n n n n CCCn ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS:    ∈ ≤≤ Zn n 20 Bài tập49: CĐ Công Nghiệp Hà Nội – Năm 2003 Cho đa thức: ( ) ( ) 2003 1516 −= xxP , khai triển đa thức đó dưới dạng ( ) 2003 2003 2 210 . xaxaxaaxP ++++= . Tính tổng: 2003210 . aaaaS ++++= ĐS: S = 1 Bài tập50: CĐ Khí Tượng Thủy Văn – Khối A – Năm 2003 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn đẳng thức: nCA nn 162 23 =+ ( 3 n A là chỉnh hợp chập 3, 2 n C là số tổ hợp chập 2 của n phần tử) ĐS: n = 5 Bài tập51: CĐ Nông Lâm – Năm 2003 Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhò thức Niutơn của 15 3 2 3 1       + x Trang 9 GIẢI TÍCH TỔ HP ĐS: 15 10 10 3 2 .3003 = a Bài tập52: CĐSP Tây Ninh – Năm 2003 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5; mỗi số có 5 chữ số phân biệt. ĐS: 1560 (con số) Bài tập53: CĐ Cộng Đồng Tiền Giang – Năm 2003 Hãy khai triển nhò thức Niutơn của ( ) n x 2 1 − , với n là số nguyên dương. Từ đó chứng minh rằng: ( ) n nnn n nnn nCCCCnCC 2 2 4 2 2 2 12 2 3 2 1 2 2 .4212 .31 +++=−+++ − ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) Bài tập54: Tính ( ) ∫ − 1 0 2 1 dxx n (n là số nguyên dương) Từ kết quả đó chứng tỏ rằng: ( ) ( ) ( ) 12 .5.3.1 222 .6.4.2 12 1 . 753 1 321 + − = + − ++−+− n nn n CCCC n n n nnn Trong đó: ( ) !! ! mnm n C m n − = Bài tập55: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, trong đó chữ số đầu tiên phải khác 0. ĐS: 1260 số Bài tập56: Có bao nhiêu số tự nhiên có đúng 2004 chữ số mà tổng các chữ số bằng 4. Bài tập57: Trong khai triển 21 3 3         + a b b a . Tìm số hạng chứa a, b có số mũ bằng nhau. Bài tập58: Tính tổng: 2002 2003 4 2003 2 2003 0 2003 2003 1 . 5 1 3 1 CCCCS ++++= Bài tập59: ĐH – Bộ Quốc Phòng – Khối A – Năm 2002 Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau, biết rằng các chữ số này chia hết cho 3. Bài tập60: ĐH – Bộ Quốc Phòng – Khối D – Năm 2002 Đa thức ( ) ( ) 10 2 1 xxxP ++= được viết lại dưới dạng: ( ) 20 2010 . xaxaaxP +++= . Tìm hệ số a 4 của x 4 . Bài tập61: ĐH, CĐ – Khối A – Năm 2004 Tìm hệ số x 8 trong khai triển thành đa thức của ( ) [ ] 8 2 11 xx −+ Bài tập62: ĐH, CĐ – Khối B – Năm 2004 Trong một nôn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? Trang 10 [...].. .Bài tập6 3: GIẢI TÍCH TỔ HP ĐH, CĐ – Khối D – Năm 2004 7  1  Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Niutơn của  3 x + 4  với x > 0   x  Bài tập6 4: Để viết số đăng ký xe hơi người ta dùng 3 chữ cái ( có 30 chữ cái được dùng ) và 4 chữ số ( có 10 chữ số được dùng ) Hỏi tối đa có bao nhiêu xe hơi đăng ký Đs: 303.104 Bài tập6 5: Có m cuốn sách bìa đen và n cuốn sách... 1)!.m! Bài tập6 6: Trong một buổi họp mặt có 5 nam sinh và 5 nữ sinh Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai nam sinh hay hai nữ sinh nào ngồi cạnh nhau ĐS: 2.5!.5! Bài tập6 7: Trong một hội nhgò về y khoa có 40 bác só tham dự Người ta muốn thành lập một nhóm bác só để thực hành một ca phẫu thuật Hỏi có bao nhiêu cách thành lập một nhóm có: 1 Một bác só chính và một... ĐS: C4 C7 + C4 C7 + C4 C7 = 371 Bài tập7 0: Cho một tam giác, trên một cạnh của tam giác ta lấy n điểm, trên cạnh kia ta lấy m điểm và trên cạnh còn lại ta lấy k điểm Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là các điểm được chọn? Bài tập7 1: Được biết một con cá sấu có không quá 68 cái răng Chứng minh rằng trong số 1 + 1617 con cá sấu phải có ít nhất hai con coa cùng bộ răng Bài tập6 8: Có bao nhiêu cách phân... nhóm có: 1 Một bác só chính và một phụ tá 2 Một bác só chính và 4 phụ tá 2 1 4 ĐS: 1 A40 ; 2 C40C39 Một tàu điện có ba toa tàu dừng lại tại một ga Ở sân ga có 15 hành khách đợi tàu Hỏi khi tàu đến, có mấy cách lên tàu của 15 hành khách đó, sao toa đầu có 6 người, toa thứ hai có 7 người 15! ĐS: 6 ! 7 !2 ! Bài tập6 9: Tổ một có 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ Thầy chủ nhiệm chọn một nhóm gồm 6 học sinh... con coa cùng bộ răng Bài tập6 8: Có bao nhiêu cách phân phối 15 phần thưởng cho 3 học sinh giỏi sao cho học sinh thứ nhất có 2 phần thưởng, học sinh thứ hai có 3 phần thưởng và học sinh thứ tư có 10 phần thưởng 15! Đs: 2 !3!10 ! Bài tập7 2: Trang 11 . = . LOẠI TOÁN TÌM HỆ SỐ CỦA NHỊ THỨC NEWTON Bài tập1 8: Tìm hệ số của 5 x trong khai triển của nhò thức ( ) 2007 2 x+ . Bài tập1 9: Tìm số hạng không chứa. là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử. ĐS: n = 3 hoặc n = 4 Bài tập2 7: ĐH, CĐ – Dự Bò 4 – Năm 2002 Giả sử n là số nguyên dương và ( ) n n k