Bất Đẳng Thức Và Đồng Nhất Thức Về Tổng Các Hàm Phần Nguyên.PDF

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ VĂN TRƯỜNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC VỀ TỔNG CÁC HÀM PHẦN NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ VĂN TRƯỜNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC VỀ TỔNG CÁC HÀM PHẦN NGUYÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên, năm 2015 Mục lục Mục lục Mở đầu HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ MỘT SỐ HÀM LIÊN QUAN 1.1 Khái niệm phần nguyên 1.2 Tính chất phần nguyên 1.3 Hàm trần, Hàm sàn, Hàm tròn BIỂU DIỄN MỘT SỐ HÀM QUA HÀM PHẦN NGUYÊN 10 2.1 Kết 11 2.2 Các hệ 13 ỨNG DỤNG HÀM PHẦN NGUYÊN VÀO VIỆC NGHIÊN CỨU CÁC DÃY SỐ NGUYÊN DƯƠNG 17 3.1 Tổng lũy thừa 17 3.2 Lũy thừa số nguyên dương 28 3.3 Số Fibonacci 32 3.4 Quan sát giả thuyết 34 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Hà Huy Khoái Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS TSKH Hà Huy Khối, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hồn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình bạn lớp Cao học Tốn Lớp Q khóa 2013-2015, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Lê Văn Trường Học viên Cao học Tốn Lớp Q khóa 6/2013-6/2015, Trường ĐH Khoa học-ĐH Thái Nguyên CÁC KÝ HIỆU Trong luận văn sử dụng ký hiệu sau: R: Tập số thực Q: Tập số hữu tỷ Z: Tập số nguyên N: Tập số tự nhiên [x]: Số làm tròn x ⌈x⌉: Trần x ⌊x⌋: Sàn của x Mở đầu Luận văn nhằm trình bày số kết nghiên cứu gần (xem Mircea Merca, Inequalities and Identities Involving Sums of Integer Functions, Journal of Integer Sequences, Vol 14 (2011)) toán cổ điển liên quan đến công thức biểu diễn tổng hàm phần nguyên Trong báo đó, tác giả giới thiệu phương pháp tạo bất đẳng thức, vài đồng thức với tổng nâng lên lũy thừa hàm sàn, hàm trần hàm tròn, đồng thời áp dụng phương pháp vào dãy số nguyên không âm, biến chúng trở thành dãy có chu kỳ Dù nghiêm túc cố gắng thực luận văn này, với trình độ hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn không tránh khỏi khiếm khuyết định Kính mong góp ý Thầy Cơ để luận văn hồn chỉnh có nhiều ý nghĩa Bố cục luận văn sau: Chương 1: Hàm phần nguyên số hàm liên quan Chương 2: Biểu diễn hàm qua số hàm phần nguyên Chương 3: Ứng dụng nghiên cứu dãy số nguyên dương Chương HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ MỘT SỐ HÀM LIÊN QUAN 1.1 Khái niệm phần nguyên Định nghĩa 1.1 : Cho số thực x ∈ R Số nguyên lớn không vượt x gọi phần nguyên x Nhiều tài liệu gọi phần nguyên x sàn kí hiệu phần nguyên x ⌊x⌋ Định nghĩa 1.2 : Cho số thực x ∈ R Số nguyên bé không nhỏ x gọi trần x kí hiệu ⌈x⌉ Từ định nghĩa 1.1 định nghĩa 1.2 ta suy ra: ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ y ≤x y Tính chất 1.10 : a) Cả hai số x y hai số nguyên {x} + {y} = b) Trong hai số x y có số nguyên số khơng phải ngun thì: < {x} + {y} < c) Hai số x y khơng ngun có tổng x + y số nguyên {x} + {y} = Tính chất 1.11 : Với x, y ∈ R ta có: {x + y} ≤ {x} + {y} ≤ {x + y} + 1; ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋ ≤ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + Nhận xét: Tính chất 1.11 phát biểu dạng sau đây: ⎧ ⎪ ⎪ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ {x} + {y} < 1; a) ⌊x + y⌋ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩⌊x⌋ + ⌊y⌋ + ≤ {x} + {y} < là: ⎧ ⎪ ⎪ ⌊x + y⌋ ≤ {x} + {y} < 1; b) ⌊x⌋ + ⌊y⌋ = ⎨ ⎪ ⎪ ⌊x + y⌋ − ≤ {x} + {y} < ⎩ Hệ 1.2 : ⌊2x⌋ ≥ 2⌊x⌋ với x ∈ R Hệ 1.3 :⌊−x⌋ = −⌊x⌋ {−x} = {x} = x ∈ Z; ⌊x⌋ + ⌊−x⌋ = −1 {−x} = − {x} x ∉ Z Hệ 1.4 :⌈x⌉ = −⌊−x⌋ với x ∈ R Tính chất 1.12 : Với x y số thực ta có: ⌊x⌋ + ⌊2y⌋ ≥ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + ⌊x + y⌋ ≥ 2(⌊x⌋ + ⌊y⌋) Tính chất 1.13 : Với x ∈ R ta ln có: ⌊x + 21 ⌋ = ⌊2x⌋ ⌊x + ⌋ = ⌊2x⌋ − ⌊x⌋ Tính chất 1.14 : Với số ngun k ta ln có:⌊ k2 ⌋ + ⌈ k2 ⌉ = k Tính chất 1.15 : Nếu x, y số thực n số nguyên cho y − x < x ≤ n ≤ y thì: ⌈x⌉ = ⌊y⌋ = n (1) Tính chất 1.16 : Mọi số nguyên m số nguyên dương n đồng thức sau dùng để chuyển sàn thành trần ngược lại: m+n−1 ⌈m n ⌉ = ⌊ n ⌋ (2) Tính chất 1.17 : Khi m số nguyên n số nguyên dương, thương m chia cho n ⌊ m n ⌋ giá trị: m mod n=m − n ⌊ m n⌋ số dư (hay thặng dư) phép chia 1.3 Hàm trần, Hàm sàn, Hàm tròn 1.3.1 Hàm trần Định nghĩa: Hàm số f ∶ R → Z, f (x) = ⌈x⌉ cho tương ứng số x ∈ R với trần ⌈x⌉ ∈ Z gọi hàm trần 1.3.2 Hàm sàn Định nghĩa: Hàm số f ∶ R → Z, f (x) = ⌊x⌋ cho tương ứng số x ∈ R với sàn ⌊x⌋ ∈ Z gọi hàm sàn 1.3.3 Hàm tròn k m k m 21 3,4,7,9,36,43,49,81,196,441 5,7,13,17,29 22 5,7,13,17,49,121,343 3,4,5,7,9,11,36,52„117 23 3,4,5,11,16,47 7,17,49 24 17,31,73 3,4,11,25 25 3,4,11,25,101,125,500 5,13,17 26 5,7,13,29,53,157,169 3,4,5,11,13,16 27 3,4,5,7,9,11,16,19,27,36,37,52,81,117,171,189,324 7,17,31 28 7,43,49,113,343 3,4,7,9,11,19,27,36,171,189 29 3,4,11,17,59 10 5,7,13,25,31,49,325 30 5,13,25,29,61,325 11 3,4,5,16,23,25,37,121 31 3,4,5,13,16,25 12 32 13 3,4,11,17 33 3,4,7,9,23,36,67,81,121 14 5,7,13,29,43,49 34 5,7,13,17,49,289 15 3,4,5,9,11,16,25,31,36,52,117 35 3,4,5,11,16,25,27,71,125 16 7,23,49 36 17,53,73 17 3,4,11,27 37 3,4,11 18 5,7,13,23,37 38 5,7,13,17,23,31 19 3,4,5,11,13,16 39 3,4,5,7,9,11,16,36,52,79,117 20 7,17,31,41 40 7,17,23,31,49 Bảng 3.2: Bảng giá trị m k cho đồng thức (23 ) cho số nguyên không âm bất kỳ? Câu hỏi khẳng định, chứng minh Để chứng minh điều này, cần với số nguyên không âm k với m = 3, điều kiện (24) thỏa mãn Do 2.22k+1 ≡ (mod 6) 2.32k+1 ≡ (mod 6), với số nguyên không âm k ta viết Mf (3, 3, 2k + 1) = 13 (5 + + 3) = 3, Gf (3, 1, 2k + 1) = 16 (5 − 3) = 13 , Gf (3, 2, 2k + 1) = 16 (5 + − 2.3) = 0, Gf (3, 3, 2k + 1) = 16 (5 + + − 3.3) = 0, f hàm trịn Do đó, đồng thức (25) Tương tự chứng minh đồng thức sau 23 n n k ∑ [ i4 ] = [ 14 ∑ ik ] , k ≡ (mod 2),k > 1, i=1 i=1 n n k ∑ [ i5 ] = [ 15 ∑ ik ] , k ≡ 2, (mod 4), i=1 i=1 n n k ∑ [ i7 ] = [ 17 ∑ ik ] , k ≡ 2, 3, 4(mod 6), i=1 i=1 n n k ∑ [ i9 ] = [ 19 ∑ ik ] , k ≡ (mod 6), i=1 n i=1 n k i , ] = [ 11 ∑ [ 11 ∑ ik ] , k ≡ 3, 5, 7, (mod 10), i=1 i =1 n n k i ] = [ 13 ∑ ik ] , k ≡ (mod 4), ∑ [ 13 i=1 i=1 n n k i ] = [ 16 ∑ ik ] , k ≡ (mod 4),k > 3, ∑ [ 16 i=1 i=1 n n k i ] = [ 17 ∑ [ 17 ∑ ik ] , k ≡ 2, 4, 6, 8, 13, 20, 22, 24, 29 (mod 32), i=1 i=1 n n k i ] = [ 19 ∑ ik ] , k ≡ (mod 18), ∑ [ 19 i=1 i=1 n n k i ] = [ 23 ∑ [ 23 ∑ ik ] , k ≡ 11, 16, 18(mod 22), i=1 n i=1 n k i ] = [ 25 ∑ [ 25 ∑ ik ] , k ≡ 5, 10, 11, 15(mod 20) i=1 i=1 Có câu hỏi khác đặt từ Bảng 3.2 liệu có tồn số nguyên m nào, m > với k = 12 cho đồng thức (23) đúng? Từ (16) (19) ta suy đồng thức sau n k n ∑ [ im ] = [ m1 ∑ ik ] , m > (26) i=1 i=1 Mf (m, m, k) = m, Lf (m, k) = Rf (m, k) < 1, (27) 24 f hàm trịn Bảng 3.3 đưa giá trị m k để đồng thức (26) Trường hợp k chẵn, người ta khơng tìm số m cho điều kiện (27) thỏa mãn Phải đồng thức (26) sai giá trị chẵn k? k m 3,5,7 3,4,7,8,8,27 3,4,5,8,11,13,25 3,4,7,8,9 3,4,5,7,8,9,25,27,81 11 3,4,8,17,23 13 3,4,5,7,8,9,169 15 3,4,7,8,9,11,31 17 3,4,5,8,13 19 3,4,7,8,9 21 3,4,5,7,8,9,27,49 23 3,4,8,47 25 3,4,5,7,8,9,11,25,31,125 k m 27 3,4,7,8,9,17,27,81,243 29 3,4,5,8,13,25,59 31 3,4,7,8,9 33 3,4,5,7,8,9,23 35 3,4,8,11,43,49,71 37 3,4,5,7,8,9 39 3,4,7,8,9,27,79 41 3,4,5,8,13,83 43 3,4,7,8,9,17 45 3,4,5,7,8,9,11,25,27,31 47 3,4,8 49 3,4,5,7,8,9,25 51 3,4,7,8,9,103 Bảng 3.3: Bảng giá trị m k cho đồng thức (26 ) Xét chứng minh đồng thức (25) ta suy đồng thức sau: n 2k+1 i=1 ∑ [i 2k+1 ] = [ 13 ∑ ] , k ≥ i=1 Với k > ta có 2.22k+1 ≡ (mod 8), 2.32k+1 ≡ (mod 8) 2.42k+1 ≡ (mod 8) Ta viết Mf (4, 4, 2k + 1) = 14 (6 + + + 4) = 4, Gf (4, 1, 2k + 1) = 18 (6 − 4) = 14 , Gf (4, 2, 2k + 1) = 81 (6 + − 2.4) = 14 , 25 Gf (4, 3, 2k + 1) = 18 (6 + + − 3.4) = 0, Gf (4, 4, 2k + 1) = 18 (6 + + + − 4.4) = 0, f hàm trịn Điều kiện (27) thỏa mãn, ta nhận đồng thức sau n 2k+1 i=1 ∑ [i 2k+1 ] = [ 14 ∑ ] , k ≥ i=1 Tương tự ta đồng thức sau: n n k ∑ [ i5 ] = ⌊ 15 ∑ ik ⌋ , k ≡ (mod 4,) i=1 i=1 n n k ∑ [ i7 ] = ⌊ 17 ∑ ik ⌋ , k ≡ 1, (mod 6), i=1 i=1 n n k ∑ [ i8 ] = ⌊ 18 ∑ ik ⌋ , k ≡ (mod 2), i=1 i=1 n n k ∑ [ i9 ] = ⌊ 19 ∑ ik ⌋ , k ≡ 1, (mod 6), i=1 i=1 n n k i ] = ⌊ 11 ∑ [ 11 ∑ ik ⌋ , k ≡ (mod 10), i=1 i=1 n n k i ] = ⌊ 13 ∑ [ 13 ∑ ik ⌋ , k ≡ (mod 12), i=1 n i=1 n k i ] = ⌊ 17 ∑ [ 17 ∑ ik ⌋ , k ≡ 11 (mod 16), i=1 i=1 n n k i ] = ⌊ 23 ∑ ik ⌋ , k ≡ 11 (mod 22), ∑ [ 23 i=1 n i=1 n k i ] = ⌊ 25 ∑ [ 25 ∑ ik ⌋ , k ≡ 5, (mod 20) i=1 i=1 Từ (16) (20) ta suy đồng thức sau: n k n ∑ [ im ] = ⌈ m1 ∑ ik ⌉, m > 1, (28) i =1 i=1 26 nếu: Mf (m, m, k) = m, Rf (m, k) = Lf (m, k) > −1 (29) Dùng Maple người ta tìm giá trị m k cho điều kiện (29) thực hiện, nhiên chưa tìm giá trị Phải đồng thức (28) sai số nguyên dương k số nguyên m, m>1 ? Ví dụ 3.3: Lời giải toán Khi f hàm sàn, k = m = 12 dùng Maple ta thu được: M= 19 ,L −13 72 = R = 49 Ta có (f,12) b2,1 = (−1)2 B2 − M = 16 − 19 = −3 Các giá trị b2,2 b2,3 tính tốn Ví dụ 3.1 Theo (21) ta đẳng thức n i S1 (n) = ∑ ⌊ 12 ⌋ = [ 36 n + 24 n − 14 n] i=1 Khi f hàm tròn, k = m = 12 ta nhận : M= 43 ,L = −1 R = 29 Ta có: (f,12) b2,1 = (−1)2 B2 + 12−2M = 61 − 67 = −1, Theo (21) ta được: n i S2 (n) = ∑ [ 12 ] = [ 36 n + 24 n − 12 n] , i=1 đề giải 27 3.2 Lũy thừa số nguyên dương Với số nguyên dương m số nguyên tố với m, ta gọi ordm (a) cấp a modulo m, tức số nguyên dương bé n cho an ≡ (mod m): ordm (a)= min{n ∈ N∗ ∣an ≡ (mod m)} Lưu ý ordm (a) chia hết ϕ(m), ϕ hàm Euler Nếu ordm (a) = ϕ(m) a gọi nguyên thủy modulo m Nếu m số nguyên tố ϕ(m) = m−1 Với số nguyên dương m, m > số nguyên k nguyên tố với m,k > 1, dãy (xn )n>0 , xn = k n có tính chất xn+ordm (k) ≡ xn (mod m) Quan hệ: n ∑ ki = i=1 kn+1 −k k−1 (30) Hệ 2.9 cho phép nhận quan hệ truy hồi tuyến tính sau: an − (k + 1)an−1 + k.an−2 − an−ordm (k) + (k + 1)an−ordm (k)−1 − k.an−ordm (k)−2 = 0, n i đó: an = ∑ f ( km ) f hàm sàn, hàm trần hàm i=1 tròn Nếu m số nguyên tố k nguyên thủy modulo m ta có: an − (k + 1)an−1 + k.an−2 − an−m+1 + (k + 1)an−m − k.an−m−1 = Với số nguyên dương m, m > số nguyên k nguyên tố với m, k > dãy : (f,k,m) x(f,k,m) = (xn (f,k,m) xn )n>0 , ⎧ ⎪ f hàm sàn, ⎪ kn, =⎨ n ⎪ ⎪ ⎩2k +m, f hàm trịn, có tính chất (f,k,m) xn+ordm (k) ⎧ (f,k,m) ⎪ (mod m), f hàm sàn, ⎪ xn ≡ ⎨ (f,k,m) ⎪ ⎪ (mod 2m), f hàm tròn, ⎩xn Do m k nguyên tố nên 28 n n ⌈ km ⌉ = ⌊ km ⌋ + 1, ta viết: n n i i ∑ ⌈ km ⌉ = n + ∑ ⌊ km ⌋ i=1 i=1 sau ý cần xem xét tổng có chứa hàm trần hàm trịn Ta kí hiệu: ⎧ ⎪ ⎪ M (m, ordm (k), x(f,k,m) ), f hàm sàn, Mf (m, k) = ⎨ (31) (f,k,m) ), f hàm tròn, ⎪ ⎪ M(2m,ord (k), x m ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ F (m, ordm (k), n, x(f,k,m) ), f hàm sàn, (32) Ff (m, n, k) = ⎨ (f,k,m) ), f hàm tròn, ⎪ ⎪ F(2m,ord (k), n, x m ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ L(m, ordm (k), x(f,k,m) ), f hàm sàn, Lf (m, k) = ⎨ (f,k,m) ), f hàm tròn, ⎪ ⎪ ⎩L(2m,ordm (k), x ⎧ ⎪ ⎪ R(m, ordm (k), x(f,k,m) ), f hàm sàn, Rf (m, k) = ⎨ (f,k,m) ), f hàm tròn ⎪ ⎪ ⎩R(2m,ordm (k), x Theo (30), (31), (32) ta nhận được: Ff (m, n, k) = kn+1 −k m(k−1) + n m ⎧ ⎪ −Mf (m, k), f hàm sàn, ⎪ ⎨1 ⎪ ⎪ ⎩ (m − Mf (m, k)), f hàm tròn Nếu a số nguyên dương cho a ≡ k (mod m) ordm (a) = ordm (k) Do đó, a ≡ k (mod m), ta suy ra: Mf (m, a) = Mf (m, k), Lf (m, a) = Lf (m, k) Rf (m, a) = Rf (m, k) (33) f hàm sàn hàm trịn Ví dụ 3.4: Nếu k ≡ (mod m) nghĩa ordm (k) = rõ ràng là: Mf (m, k) = Lf (m, k) = Rf (m, k) = 0, 29 f hàm sàn Theo Định lý 2.1 ta đồng thức sau: n kn+1 −(n+1)k+n , m(k−1) i ∑ ⌊ km ⌋ = i=1 k ≡ (mod m),k > 1, (34) viết lại theo cách: n ∑⌊ i=1 (km+1)i ⌋ m = (km+1)n+1 −(n+1)km−1 ,k m2 k > Chẳng hạn từ (34) cho m = k = ta được: n 6n+1 −5n−6 25 i ∑ ⌊ 65 ⌋ = i=1 Ví dụ 3.5: Nếu m số nguyên tố k nguyên thủy modulo m ta có Mf (m, k) = m−1 m−1 ∑ i= i=1 m 2, f hàm sàn Theo Hệ 2.6 ta đồng thức sau: n n+1 n k −k ∑ ⌊ km ⌋ = [ m (k−1) − ] i i=1 Ví dụ 3.6: Nếu k số lẻ ta có: ord2 (k) = 1, (2k + 2) mod 4=0,Mf (2, k) = Lf (2, k) = Rf (2, k) = 0, f hàm trịn Theo Định lý 2.1, ta đồng thức sau: n ∑ ⌊ k2 ⌋ = k2 kk−−11 + n2 , k ≡ (mod m),k > i n i=1 Ví dụ 3.7: Nếu m > k ≡ (mod m) ta được: Mf (m, k) = (2k + m) mod 2m=m + Lf (m, k) = Rf (m, k) = 0, f hàm trịn Theo Định lý 2.1, ta đồng thức sau: n i ∑ [ km ] = i=1 kn+1 −(n+1)k+n , m(k−1) k ≡ (mod m),k > 1, m > (35) Từ (34) (35), ta suy đồng thức n i n i ∑ [ km ] = ∑ ⌊ km ⌋, k ≡ (mod m),k > 1, m > i=1 i=1 30 Ví dụ 3.8: Nếu k = m − k ≡ (mod m), nghĩa ordm (k) = Hơn nữa, ta có (2(m − 1) + m)mod 2m=m − (2(m − 1)2 + m) mod 2m=m + Từ suy Mf (m, m − 1) = m, Lf (m, m − 1) = −1 m , Rf (m, m − 1) = 0, f hàm tròn Bây theo (33) bất đẳng thức sau hệ trực tiếp Định lý 2.3 −1 m ≤ kn+1 −k m(k−1) n i − ∑ [ km ] ≤ 0, k ≡ −1 (mod m), i=1 n+1 n k −k k ∣m (k−1) + 2m − ∑ [ m ]∣ ≤ i i=1 2m , k≡ −1 (mod m), theo Hệ 2.5 Hệ 2.8, đồng thức: n n+1 k −k i [1 ∑ [ km ] = [ m (k−1) + 2m ] = m ( + ∑i=1 k )] i n i=1 n+1 n 1 k −k i = ⌊m (k−1) + m ⌋ = ⌊ m (1 + ∑ k )⌋ i=1 n+1 n k −k i = ⌈m (k−1) ⌉ = ⌈ m ∑ k ⌉ i=1 n+1 n k −k i = [m (k−1) ] = [ m ∑ k ],k ≡ −1 (mod m) i=1 Dùng Maple để xác định giá trị ordm (k), Lf (m, k) Rf (m, k) người ta tạo nhiều bất đẳng thức số đồng thức Ví dụ 3.9: Số nguyên m = 7, k = nguyên tố nhau, nguyên thủy modulo 7, nghĩa ϕ(7) = ord7 (2) = Khi f hàm sàn ta được: M = 73 , L = −1 21 R = 21 Theo Định lý 2.1 Hệ 2.1 ta bất đẳng thức 31 −1 21 ≤ 2n+1 n i − n3 − 27 − ∑ ⌊ 27 ⌋ ≤ i=1 n+1 n i ∣ − n3 − 14 − ∑ ⌊ 27 ⌋∣ ≤ i=1 21 , 42 , theo Hệ 2.3 Hệ 2.6 ta đồng thức n n+1 i n+1 5 ] = ⌊ − n3 − 21 ⌋ ∑ ⌊ 27 ⌋ = [ − n3 − 14 i=1 n+1 n+1 n = ⌈ − n3 − 10 21 ⌉ = [ − − ] 3.3 Số Fibonacci Theo định nghĩa, hai số Fibonacci 1, số tổng hai số liền trước Trong thuật ngữ toán học, dãy (Fn )n>0 số Fibonacci định nghĩa công thức truy hồi sau: Fn = Fn−1 + Fn−2 với giá trị ban đầu F0 , F1 = Một cách để khám phá vài tính chất đặc trưng chuỗi Fibonacci xét dãy thặng dư không âm bé số Fibonacci theo số modulo Một câu hỏi lĩnh vực nghiên cứu đưa D.D.Wall [6] vào năm 1960 Chẳng hạn, ta biết F(mod m) tuần hoàn, chu kỳ biết chu kỳ Pisano π(m) Mặt khác người ta biết nhiều đồng thức chứa đựng tổng số Fibonacci Kết hợp với Định lý 2.1, điều cho phép thiết lập nhiều bất đẳng thức, đồng thức với tổng chứa hàm nguyên số Fibonacci Các ứng dụng sau dựa đồng thức: n ∑ Fi = Fn+2 − (36) i=1 mà nó, với Hệ 2.9, cho phép ta thu quan hệ sau: 32 n n−π (m) i=1 i=1 ∑ f ( Fmi ) − ∑ π (m) f ( Fmi ) − ∑ f ( Fmi ) = i=1 m (Fn+2 − Fn+2−π(m) − Fπ(m)+2 + 1) f hàm sàn, hàm trần hàm tròn (f,m) Đối với số nguyên dương m, dãy: x(f,m) = (xn )n>0 , ⎧ ⎪ ⎪ Fn , f hàm sàn, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (f,m) xn = ⎨ Fn +m −1, f hàm trần, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2F +m, f hàm trịn ⎪ ⎩ n có tính chất: (f,m) xn+Π(m) ⎧ (f,m) ⎪ (mod m), f hàm sàn hàm trần, ⎪x n ≡⎨ (f,m) ⎪ ⎪ xn (mod 2m), f hàm trịn ⎩ Ta kí hiệu ⎧ ⎪ ⎪M (m, π(m), x(f,m) ), f hàm sàn hàm trần, (37) Mf (m) = ⎨ (f,m) ), f hàm tròn, ⎪ ⎪ M(2m,π(m), x ⎩ ⎧ ⎪ ⎪F (m, π(m), n, x(f,m) ), f hàm sàn hàm trần, (38) Ff (m, n) = ⎨ (f,m) ), f hàm tròn, ⎪ ⎪ F(2m,π(m), n, x ⎩ ⎧ ⎪ ⎪L(m, π(m), x(f,m) ), f hàm sàn hàm trần, Lf (m) = ⎨ ⎪ ⎪ L(2m,π(m), x(f,m) ), f hàm tròn, ⎩ ⎧ ⎪ ⎪R(m, π(m), x(f,m) ), f hàm sàn hàm trần, Rf (m) = ⎨ ⎪ ⎪ R(2m,π(m), x(f,m) ), f hàm tròn ⎩ Theo (36), (37) (38) ta được: ⎧ ⎪ ⎪ −Mf (m), f hàm sàn, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n Ff (m, n) = Fn+m2 −1 + m ⎨m − − Mf (m), f hàm trần, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (m − Mf (m)), f hàm tròn, ⎪ ⎩2 Để tạo đồng thức người ta dùng Maple để tìm giá trị cho m cho Rf (m) − Lf (m) < Những giá trị sau tìm thấy: 33 ⎧ ⎪ ⎪ (2, 3, 4), f hàm sàn, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ m ∈ ⎨(2, 3, 4, 11), f hàm trần, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (2, 4, 11), f hàm trịn ⎪ ⎩ Ví dụ 3.10: Để ý π(4) = 6, f hàm trịn, ta có M = 4, L = R = −1 Theo Định lý 2.3, ta bất đẳng thức −1 ≤ Fn+2 −1 n − ∑ [ F4i ] ≤ 12 i=1 viết lại theo cách sau n ∣ Fn4+2 − 38 − ∑ [ F4i ] ∣ ≤ 38 i=1 Theo Hệ 2.5, ta n ∑ [ F4i ] = [ Fn4+2 − 83 ] = ⌊ Fn4+2 ⌋ = ⌈ Fn+42 −3 ⌉ i=1 3.4 Quan sát giả thuyết Cho a m số nguyên dương nguyên tố Để xác định trung bình cộng định nghĩa (31) cho hàm sàn ta phải xác định tổng ordm (a) ∑ (ai mod m) (39) i=1 Để ý đến quan hệ ordm (a) ∑ i=1 = a(aordm (a) −1) , a−1 ordm (a) ∑ i=1 (ai ordm (a) mod m)≡ ∑ i =1 (mod m), ta suy a = m nguyên tố nhau, tổng (39) chia hết cho m Dùng Maple để xác định tổng này, người ta nhận thấy quan hệ sau: Giả thuyết 3.1: Cho a m số nguyên dương nguyên tố Nếu a − m nguyên tố ordm (a) chẵn thì: 34 ordm (a) m.ordm (a) ∑ (ai mod m)= i=1 Dùng Maple để xác định giá trị vài tổng ordm (a) ∑ ((2ai + m)mod 2m), i=1 cần để xác định trung bình cộng (31) cho hàm trịn, người ta nhận thấy đồng thức thú vị khác Giả thuyết 3.2: Cho a m số nguyên dương nguyên tố Nếu m nguyên tố ordm (a) chẵn thì: ordm (a) ∑ ((2ai + m)mod 2m)=m.ordm (a) i=1 Theo (36) ta suy tổng π(m) số Fibonacci liên tiếp bội m Điều gợi ý cho phát biểu tổng: π (m) ∑ (Fi mod m) i=1 bội m Dùng Maple để xác định trung bình cộng định nghĩa (37), nhận thấy đồng thức sau: Giả thuyết 3.3: Cho m số nguyên dương, m > Khi đó: π (m) ∑ (Fi mod m)=m.ω(m) i=1 ω(m) số vòng quay Fibonacci (xem [4]) 35 Kết luận Luận văn trình bày số kết nghiên cứu gần toán cổ điển liên quan đến bất đẳng thức đồng thức tổng hàm phần nguyên Các kết luận văn: - Trình bày khái niệm phần nguyên tính chất phần nguyên - Trình bày khái niệm hàm phần nguyên, hàm trần, hàm sàn hàm trịn - Trình bày kết nghiên cứu gần Mircea Merca, Inequalities and Identities Involving Sums of Integer Functions, Journal of Integer Sequences, Vol 14 (2011) 36 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục [2] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB ĐHQGHN [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Knuth D E (1993), "Johann Faulhaber and sums of powers", Math Comp 61, pp 277 - 294 [4] Merca M (2011), "Inequalities and identities involving sums of integer funcions", Journal of Integer Sequencees, 14(9), 11.9.1 [5] Sloane N J A (2010), The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences Published electronically at http://oeis.org [6] Wall D D (1960), "Fibonacci series modulo m", Amer Math Monthly 67, pp 525 - 532 37 ... quan đến bất đẳng thức đồng thức tổng hàm phần nguyên Các kết luận văn: - Trình bày khái niệm phần nguyên tính chất phần nguyên - Trình bày khái niệm hàm phần nguyên, hàm trần, hàm sàn hàm trịn... quan đến cơng thức biểu diễn tổng hàm phần nguyên Trong báo đó, tác giả giới thiệu phương pháp tạo bất đẳng thức, vài đồng thức với tổng nâng lên lũy thừa hàm sàn, hàm trần hàm tròn, đồng thời áp... Để thu bất đẳng thức thứ nhất, trừ từ vế bất đẳng thức (5) cho F (m, p, n, x), sau nhân vế bất đẳng thức n với -1 cuối ý ∑ ⌊ xmi ⌋ số nguyên không âm Tương tự ta i=1 thu hai bất đẳng thức lại