3 ỨNG DỤNG HÀM PHẦN NGUYÊN VÀO VIỆC NGHIÊN
3.4 Quan sát và giả thuyết
Cho a và m là số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Để xác định trung bình cộng định nghĩa bởi (31) cho hàm sàn ta phải xác định tổng
ordm(a) ∑ i=1 (ai mod m). (39) Để ý đến quan hệ ordm(a) ∑ i=1 ai = a(aordm(a)−1) a−1 , và ordm(a) ∑ i=1 (ai mod m)≡ord∑m(a) i=1 ai (mod m),
ta suy ra khi a=1 và m là nguyên tố cùng nhau, tổng (39) là chia hết cho m. Dùng Maple để xác định tổng này, người ta nhận thấy quan hệ sau:
Giả thuyết 3.1: Cho a và m là số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Nếu
ordm(a)
∑
i=1 (ai mod m)=m.ordm(a)
2 .
Dùng Maple để xác định giá trị của một vài tổng như
ordm(a)
∑
i=1 ((2ai+m)mod 2m),
cần để xác định trung bình cộng (31) cho hàm tròn, người ta nhận thấy đồng nhất thức thú vị khác.
Giả thuyết 3.2: Cho a và m là số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Nếu
m nguyên tố và ordm(a) chẵn thì:
ordm(a)
∑
i=1 ((2ai+m)mod 2m)=m.ordm(a)
Theo (36) ta suy ra tổng π(m) các số Fibonacci liên tiếp là bội của m. Điều này gợi ý cho chúng ta phát biểu rằng tổng:
π(m)
∑
i=1 (Fimod m)
là bội của m. Dùng Maple để xác định trung bình cộng định nghĩa bằng (37), chúng ta nhận thấy đồng nhất thức sau:
Giả thuyết 3.3: Cho m là số nguyên dương, m>1. Khi đó:
π(m)
∑
i=1 (Fimod m)=m.ω(m) trong đó ω(m) là số vòng quay Fibonacci (xem [4])
Kết luận
Luận văn đã trình bày một số kết quả nghiên cứu gần đây về một bài toán cổ điển liên quan đến bất đẳng thức và đồng nhất thức về tổng các hàm phần nguyên. Các kết quả chính của luận văn:
- Trình bày các khái niệm về phần nguyên và các tính chất của phần nguyên. - Trình bày các khái niệm hàm phần nguyên, hàm trần, hàm sàn và hàm tròn. - Trình bày các kết quả nghiên cứu gần đây của Mircea Merca,Inequalities and Identities Involving Sums of Integer Functions, Journal of Integer Sequences, Vol. 14 (2011).
Tài liệu tham khảo
[A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục.
[2] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB ĐHQGHN.
[B] Tài liệu tiếng Anh
[3] Knuth D. E. (1993), "Johann Faulhaber and sums of powers", Math. Comp. 61, pp. 277 - 294.
[4] Merca M. (2011), "Inequalities and identities involving sums of integer funcions", Journal of Integer Sequencees, 14(9), 11.9.1.
[5] Sloane N. J. A. (2010), The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Published electronically at http://oeis.org.
[6] Wall D. D. (1960), "Fibonacci series modulo m", Amer. Math. Monthly. 67, pp. 525 - 532.