Một số cách giải bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất cho học sinh THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ CÁCH GIẢI BÀI TỐN TÌM SỐ PHỨC CĨ MƠĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CHO HỌC SINH THPT Người thực hiện: Trịnh Đình Chiến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn MỤC LỤC THANH HOÁ, NĂM 2020 MỤC LỤC Nội dung Trang MỤC LỤC 1.MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Định nghĩa số phức………………… 2.1.2 Hai số phức nhau………………………………… 2.1.3 Biểu diễn hình học số phức… 2.1.4.Phép cộng phép trừ số phức……………………………… 2.1.5 phép nhân số phức…………………………………………… 2.1.6 Số phức liên hợp…………………………………………… 2.1.7 Môdun số phức…………………………………… 2.1.8 Phép chia số phức……………………………………… 2.1.9 Một số kiến thức áp dụng…………………………………… 2.1.10 Tập hợp điểm biểu diễn số phức thường gặp………… 2.2 Cơ sở thực tiễn 2.3 Các phương pháp tìm số phức có mơdun lớn nhất, nhỏ 2.3.1 Dạng 2.3.2 Dạng 2.3.3 Dạng 2.4 Kiểm chứng , so sánh KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ…………………………………… 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu kham khảo 1 2 3 3 3 3 4 5 5 10 11 13 13 13 14 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Số phức đưa vào giảng dạy bậc phổ thông nhiều nước giới, lại nội dung với học sinh trung học phổ thông Việt Nam, thực sự gây khơng khó khăn nguồn tài liệu tham khảo hạn chế Bên cạnh toán số phức năm gần thiếu đề thi THPT Quốc gia Đặc biệt việc giải tốn “Tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức” tốn q khó học sinh Các em cần nắm kiến thức số phức: phần thực, phần ảo, môđun số phức, phép toán số phức kết hợp với kiến thức phương trình đường thẳng, đường trịn, đường Elíp, em giải tốt tốn trên.Vấn đề thơng qua tốn học sinh biết khai thác kiến thức toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, toán cực trị hình học, để từ giải tốn “Tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ thoả mãn điều kiện cho trước” Trên sở em phát huy sức sáng tạo tư logíc Riêng thân, mối tiết dạy, dạy trăn trở tìm phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới đối tượng học sinh, tìm cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức cách thụ động Đồng thời nâng cao trình độ tư sức sáng tạo học sinh Chính mà tơi chọn đề tài “Một số cách giải tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ cho học sinh THPT” để viết sáng kiến kinh nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu Số phức vấn đề hồn tồn khó học sinh bậc trung học phổ thơng Vì đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức Sách giáo khoa cịn nhiều hạn chế Chính mà việc giảng dạy học tập giáo viên học sinh gặp khơng khó khăn Bài tốn tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z tốn tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ có quan hệ mật thiết vơi Trong trình giảng dạy phần nội dung tơi nhận thấy cịn số học sinh chưa giải tốn tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức tập hợp điểm cần tìm thơng thường đường thẳng, đường trịn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol, Nhiều học sinh lại gặp nhiều khó khăn giải tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhât Để làm tốt toán trước hết học sinh phải tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức sau áp dụng kiến thức bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích mặt phẳng: đường thẳng, đường trịn, Elíp, để từ tìm mơđun số phức lớn nhất, nhỏ 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đề tài áp dụng phần tìm GTLN-GTNN biểu thức có liên quan đến số phức Phương pháp dành cho học sinh ôn thi học sinh giỏi ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Ở tơi nêu phương pháp xây dựng sở lí thuyết thơng qua số tốn cụ thể số phức Trong ví dụ tơi cố gắng phân tích để dẫn dắt người đọc hiểu áp dụng phương pháp để giải tốt toán Bên cạnh tơi cịn nêu số tập để người đọc rèn luyện thêm kiến thức NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Định nghĩa số phức Một số phức biểu thức có dạng x + yi , x, y số thực số i thoả mãn i = −1 Ký hiệu số phức z viết z = x + yi i gọi đơn vị ảo x gọi phần thực y gọi phần ảo số phức z = x +yi Tập hợp số phức ký hiệu C 2.1.2 Hai số phức Cho z = x + yi z’ = x’ + y’i  x = x '  ' z = z’ ⇔  y = y 2.1.3 Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(x;y) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x +ybi 2.1.4 Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i   z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i 2.1.5 Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i 2.1.6 Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a + bi = a - bi Tính chất số phức liên hợp: (1): z = z (2): z + z ' = z + z ' (3): z.z ' = z.z ' 2 (4): z z = a + b (z = a + bi ) 2.1.7 Môđun số phức Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z mơđun số phư z, số thực không âm xác định sau: - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, - Nếu z = a + bi, z = z = uuuuu v OM 2 = a +b z.z = a + b 2.1.8 Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số z-1= 1 z= 2z a +b z z' Thương z phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z' z '.z = z.z −1 = z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hốn, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường 2.1.9 Một số kiến thức áp dụng + Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với số thực 2 2 Với số thực a, b, c, d ta có: ( ab + cd ) ≤ ( a + c )( b + d ) Dấu đẳng thức xảy ad=bc + Sự đồng biến nghịch biến hàm số, bảng biến thiên + Tính chất hàm số lượng giác 2.1.10 Tập hợp điểm biểu diễn số phức thường gặp Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0 2 Phương trình đường trịn: ( x − a ) + ( y − b ) = R x2 y2 + =1 Phương trình đường Elíp: a b 2.2 Cơ sở thực tiễn Trong trường THPT có nhiều đối tượng học sinh, cơng việc giảng dạy cho đa số học sinh tiếp thu, hiểu vận dụng giải tốn khơng phải cơng việc đơn giản giáo viên Để giảng dạy nâng cao kết học tập học sinh trường THPT Hàm Rồng, thực nhiều biện pháp từ giáo dục, động viên giúp đỡ khơng thể thiếu phương pháp giảng dạy khoa học lôgic, tạo động lực để học sinh say mê, tìm tịi, nghiên cứu, sở khoa học mà người thầy gieo Trong biện pháp có vấn đề liên quan đến đề tài mà tơi trình bày đề tài có nhấn mạnh đến số dạng tổng quát dành cho học sinh giỏi, khơng phải để dạy lớp có nhiều đối tượng học sinh Tuỳ thuộc vào yêu cầu rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải 2.3 Các phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ Tìm số phức z có mơđun lớn (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp chung: Bước Tìm tập hợp (G) điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện Bước 2.Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ∈(G ) cho khoảng cách OM có giá trị lớn (hoạc nhỏ nhất) 2.3.1 Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn (5 cách giải) Ví dụ 1: Trong số phức z thoả mãn điều kiên sau Tìm số phức z có mơđun lớn nhất, nhỏ z − − 4i = z +2−i = z + − i z − + 2i = z + − 5i = z − + 3i Lời giải Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi Khi đó: z − − 4i = ⇔ ( x − 2) + ( y − 4)i = ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = ⇔ ( x − 2) + ( y − 4) = (1) Suy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(2;4), bán kính R = z = OM = x + y = ( x − 2) + ( y − 4) + x + y − 20 = x + y − 15 = [ ( x − 2) + 2( y − 4) ] + 25 (2) Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: ( x − 2) + 2( y − 4) ≤ (12 + 2 ) ( x − 2) + ( y − 4)  = ⇒ −5 ≤ ( x − 2) + 4( y − 4) ≤ 5 ≤ z ≤3 Từ (2), (3) ta suy ra: Vậy: x = z = ⇔  ⇒ z = + 2i y =  x = z max = ⇔  ⇒ z = + 6i y = Cách giải 2: (định lý dấu tam thức bậc 2) 2 2 2 Đặt t = x + y Do ( x − 2) + ( y − 4) = ⇔ x + y + 15 = 4( x + y ) Ta có ( ) x + y ≤ x + y = 5.t , Suy t + 15 ≤ 5t ⇔ ≤ t ≤ x = z = ⇔  ⇒ z = + 2i y = x = z max = ⇔  ⇒ z = + 6i y =  Vậy Cách giải 3: ( Phương pháp lượng giác hóa) (3) Đặt x − = sin t , y − = cos t ( 2 Tacó : x + y = + sin t ) + (4 + cos t ) = 25 + ( sin t + cos t ) 2 Do − ≤ sin t + cos t ≤ ⇒ ≤ x + y ≤ 45 ⇔ ≤ z ≤ x = z = ⇔  ⇒ z = + 2i y = x = z max = ⇔  ⇒ z = + 6i y = Vậy Cách giải (Phương pháp hình học) Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn số phức z z ⇔ OM , z max ⇔ OM max Ta có phương trình đường thẳng OI là: x − y = Đường thẳng OI cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B có toạ độ nghiệm hệ phương trình: ( x − ) + ( y − ) =  x = 3, x = ⇔   y = 6, y = ⇒ A(1;2), B (3;6) 2 x − y = Với điểm M thuộc đường trịn (C) OA ≤ OM ≤ OB Hay ≤ z ≤ Vậy: x = z = ⇔  ⇒ z = + 2i y = x = z max = ⇔  ⇒ z = + 6i y = Cách giải (phương pháp hình học) Đường thẳng OI cắt đường trịn (C) tại điểm A, B hình vẽ Ta có z ⇔ OM ⇔ M trùng với điểm A (C) gần O y Ta có OI = + 16 = Kẻ AH ⊥ Ox theo định lý ta lét ta có: B AH OA − = = = OI 2 ⇒ AH = ⇒ OH = ⇒ z = + 2i A M trùng với điểm B (C) xa O Kẻ BK ⊥ Ox , theo định lý ta lét ta có: I O x H K OI = = = BK OB + ⇒ BK = ⇒ OK = ⇒ z = + 6i Các lại học sinh làm tương tự theo cách giải Đáp số: z= 4+ 4+ − i, 2 z= z = ( − + 10 )i, z = 5+ 4− 4− − i 2 ( ) z = − + 10 i 10   i, − 1 + 13 13   Ví dụ 2: Cho số phức z z = 5− 10   i, − 1 − 13 13   z − 1+ 2i = thỏa mãn Tìm mơđun lớn số phức z − 2i A 26 + 17 B 26 − 17 C 26 + 17 D 26 − 17 Giải: Gọi z = x + yi ; ( x∈ ¡ ; y ∈ ¡ ) ⇒ z − 2i = x + ( y − 2) i z − 1+ 2i = ⇔ ( x − 1) + ( y + 2) = Đặt Ta có: x = 1+ 3sin t; y = −2 + 3cost; t ∈ 0;2π  ⇒ z − 2i = ( 1+ 3sin t) + ( −4 + 3cost ) = 26 + 6( sin t − 4cost ) = 26 + 17 sin ( t + α ) ; ( α ∈ ¡ ) 2 ⇒ 26 − 17 ≤ z − 2i ≤ 26 + 17 ⇒ z − 2i max = 26+ 17 ⇒ Chọn đáp án A Lưu ý: Ta dùng máy tính bỏ túi nhập hàm số f (x) = 26 + 6( sinx− 4cosx) để tìm GTLN-GTNN Ví dụ 3: 10 z − − 4i = Gọi M m giá trị lớn giá Cho số phức z thoả mãn 2 trị nhỏ biểu thức P = z + − z − i Tính mơđun số phức w = M + mi A w = 2315 B w = 1258 C w = 137 D w = 309 Giải 2 P = ( x + ) + y −  x + ( y − 1)  = x + y + z = x + yi   Đặt Ta có z − − 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y − ) = Mặt khác Đặt x = + sin t , y = + cos t Suy P = sin t + cos t + 23 Ta có −10 ≤ sin t + cos t ≤ 10 m = 13 ⇒ w = 332 + 132 = 1258 Do 13 ≤ P ≤ 33 ⇒ M = 33 , Chọn B 2.3.2 Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đưởng thẳng (4 cách giải) Ví dụ 4: Tìm z cho z đạt giá trị nhỏ nhất.Biết số phức z thỏa mãn điều kiện sau: u = ( z + − i )( z + + 3i ) số thực u = ( z − 1) ( z + 2i ) số thực z + − 3i =1 z − + i z + i = z − − 3i Lời giải Cách giải 1: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R) u = ( x + + ( y − 1) i ) ( x + + ( − y ) i ) = x + y + x − y + + 2( x − y + ) i Ta có u ∈ R ⇔ x − y + = 11 tập hợp điểm biểu diễn số phức z dường thẳng (d): x − y + = Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn z z ⇔ OM ⇔ OM ⊥ (d ) Ta M(-2;2) ⇔ z = −2 + 2i Cách giải Ta có z = x + y = x + ( + x ) = 2( x + ) + ≥ 2 2 Vậy z = 2 ⇔ x = −2 ⇒ y = ⇔ z = −2 + 2i 2 2 Cách giải z = x + y = x + ( + x ) = x + x + 16 f ( x) = x + x + 16 , f ' ( x ) = Xét hàm số 2x + x + x + 16 f ' ( x ) = ⇔ x = −2 ⇒ z ⇔ f ( x) ⇔ x = −2 ⇒ y = ⇔ z = −2 + 2i Cách giải 4: Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn z = x+yi M ∈ ( d ) ⇒ x − y + = ⇔ x − y = −4 ⇒ 16 = ( x − y ) ≤ 2( x + y ) ⇒ x + y ≥ ⇒ z = x + y ≥ 2 ⇒ z = 2 ⇔ x = − y = −2 ⇔ z = −2 + 2i Các lại học sinh làm tương tự theo cách Đáp số: z= + i 5 z= − i 10 10 z= + i 5 2.3.3 Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Elíp (3 cách giải) Ví dụ 5: Tìm số phức z cho môđun z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.Biết số phức z thoả mãn điều kiện: z + + z −1 = z − 4i + z + 4i = 10 Lời giải 12 z+2 + z−2 =6 Trong mặt phẳng Oxy Giả sử điểm M, F1 , F2 biểu số phức z, -1, Suy ra: uuuur F1M biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ; uuuur F2 M biểu diễn số phức z-1.Với F1 , F2 nằm trục thực Ox -Khi điều kiện: z + + z − = ⇔ MF1 + MF2 = F1F2 = Vậy tập hợp điểm M Elip có trục lớn trục bé x2 y + =1 Phương trình Elip mặt phẳng tọa độ Oxy là: z , z max Tìm z cho Cách giải 1: Ta có z = OM = x + y = + x2 x2 y x2 + =1 ⇒ ≤ ≤1⇒ ≤ z ≤ Do z = ⇔ z = ± 3i Vậy : z max = ⇔ z = ±2 Cách giải 2: Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn z  x2 y2 OM = x + y = 4 +  Khi đó: ⇒ x2 y2 + =1   x2 y2   ≤ 4 +  = ⇒ OM ≤     x2 y2   x2 y2   ≥ 3 +  = ⇒ OM ≥ OM = x + y = 3 +     2 Từ ta ≤ z ≤ z = ⇔ z = ± 3i Vậy: z max = ⇔ z = ±2 Cách giải 3: Đặt x = sin t , y = cos t , t ∈ [ 0;2π ) 2 2 2 Ta có: OM = x + y = sin t + cos t = + sin t 13 2 Do ≤ sin t ≤ 1, ∀t ⇒ ≤ OM ≤ ⇒ ≤ z ≤ z = ⇔ z = ± 3i Vậy: z max = ⇔ z = ±2 Các lại học sinh làm tương tụ theo cách z = ⇔ z = ±3, z max = ⇔ z = ±4i Đáp số: z = ⇔ z = ± 5i, z max = ⇔ z = ±3i 2.4 Kiểm chứng - so sánh Năm học 2018 - 2019 tơi phân dạy mơn tốn lớp 12C6, 12C7 trường THPT Hàm Rồng (là lớp chọn theo khối A1 nhà trường) Kết kiểm tra nhóm học sinh (có học lực từ TB trở lên) cuối năm lớp 12 chủ đề: Tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ tơi thu kết sau: Nhóm Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% Nhóm1 40 15 37,5% 20 50,0% 10,0% 3,0% Nhóm 48 10 20,8% 16 33,3% 18 37,5% 8,4% Nhóm (Được dạy phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất): học sinh lớp 12C6 Nhóm (khơng dạy phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất): học sinh lớp 12C7 14 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết thực Qua năm giảng dạy chương trình tốn học 12 ơn luyện thi THPT Quốc gia, thấy khả tiếp thu vận dụng phương pháp để giải tập tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ mang lại kết đáng mừng + Số học sinh hiểu vận dụng giải tập có hiệu cao dần thể số lượng chất lượng học sinh có điểm thi vào trường Đại học tăng + Đa số học sinh tỏ tự tin giải tập tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ tiếp cận với phương pháp giải nêu sáng kiến kinh nghiệm + Học sinh tự chọn cho cách giải cách giải nêu sáng kiến kinh nghiệm 3.2 Kiến nghị Qua đề tài phân dạng xây dựng số phương pháp giảng dạy cho dạng phù hợp với đối tượng học sinh Chính điều thuận lợi cho giáo viên dạy tiết giải tập q trình ơn luyện thi THPT Quốc gia Đề tài cịn mang màu sắc chủ quan, chưa hồn thiện, nhiều hạn chế Vì tơi mong sự đóng góp ý kiến quý báu Thầy Cô, bạn đồng nghiệp để ngày hoàn thiện Xin chân thành cám ơn! Thanh Hố, ngày 27 tháng năm 2020 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Xác nhận Hiệu trưởng Người viết đề tài Trịnh Đình Chiến 15 TÀI LỆU THAM KHẢO Phương pháp số phức hình học phẳng - Nguyễn Hữu Điển Phương pháp giải toán số phức ứng dụng - Nguyễn Văn Dũng Phân dạng phương pháp giải toán Số Phức - Lê Hồnh Phị Một số số báo “Tốn học tuổi trẻ” 16 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI Họ tên tác giả: Trịnh Đình Chiến Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên T T Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Phát sửa chữa sai Sở Giáo dục C 2013-2014 lầm học sinh giải Đào tạo tốn tổ hợp Thanh Hóa Một số phương pháp giải tốn Sở Giáo dục B 2015-2016 hình học khơng gian trường Đào tạo THPT Thanh Hóa Ứng dụng phương pháp lượng Sở Giáo dục C 2018-2019 giác hóa để giải số Đào tạo tốn đại số trường Thanh Hóa THPT 17 Năm học đánh giá xếp loại ... 8,4% Nhóm (Được dạy phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất) : học sinh lớp 12C6 Nhóm (khơng dạy phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ nhất) : học sinh lớp 12C7 14 KẾT LUẬN, KIẾN... rèn luyện, ôn tập cho học sinh mà người thầy linh hoạt giải 2.3 Các phương pháp tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ Tìm số phức z có mơđun lớn (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện cho trước Phương... tài ? ?Một số cách giải tốn tìm số phức có mơđun lớn nhất, nhỏ cho học sinh THPT? ?? để viết sáng kiến kinh nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu Số phức vấn đề hồn tồn khó học sinh bậc trung học phổ thơng