Ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số

PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lí chọn đề tài Trong giảng dạy mơn tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm kiến thức việc phát huy tính tích cực học sinh, biết ứng dụng phương pháp học vào giải toán điều cần thiết Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức dạng toán phổ biến quan trọng chương trình tốn phổ thơng, thường gặp đề thi tuyển sinh vào đại học- cao đẳng chuyên đề hay gặp đề thi học sinh giỏi phổ thông Các giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức đa dạng phong phú Cả lý luận thực tiễn dạy học chứng tỏ chúng có hiệu việc phát triển tư cho học sinh Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc nhiều vào đặc thù toán Đứng trước toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng phương pháp giải, nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụng Bunhiacopski Các tài liệu, sách tham khảo trình bày đầy đủ vấn đề này, viết tập trung vào vấn đề: “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ” Nói đến phương pháp toạ độ, học sinh thường hay nghĩ đến toán khảo sát hàm số, vẽ đồ thị tốn hình học giải tích mà học sinh nghĩ đến cịn ứng dụng phương pháp tọa độ để làm tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức II Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức III Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, tài liệu liên quan khác,… - Phương pháp quan sát: Quan sát trình dạy học trường THPT Triệu Sơn - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng IV Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm - Mục lục - Mở đầu - Nội dung - Thực nghiệm sư phạm - Tài liệu tham khảo PHẦN 2: NỘI DUNG I Cơ sở lí thuyết Sử dụng phương pháp tọa độ để chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ cần phải khai thác tốt số bất đẳng thức thường dùng bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski số bất đẳng thức vectơ, bất đẳng thức hình học sơ cấp Một số toán thường dùng: 1) Bất đẳng thức Côsi: Cho n số không âm a1,a2, an ( n ³ 2) , ta ln có: a1 + a2 + + an ³ n Dấu “=” xảy Û a1 = a2 = = an 2) n a1a2 an Bất đẳng thức Bunhiacopski Cho n số a1,a2, ,an n số b1,b2 , ,bn tùy ý, ta có: ( a12 + a22 + an2 )(b12 + b22 + bn2 ) ³ ( a1b1 + a2b2 + anbn ) Dấu “=” xảy Û 3) a1 a2 a = = = n b1 b2 bn Bất đẳng thức vectơ: r r r r r r a b £ a + b £ a + b i) r r r r r r r - Dấu “=” bên trái xảy a ngược hướng với b ar = r r r r r r b = - Dấu “=” bên phải xảy a hướng với b a = r r b =0 n Tổng quát: å i =1 ur £ r r rr r r ii) - a b £ a.b £ a b n å i =1 ur ( n Ỵ ¢ *+ ) r - Dấu “=” bên trái xảy a ngược hướng với b ar = r r b =0 r - Dấu “=” bên phải xảy a hướng với b ar = r r b =0 4) Bất đẳng thức tam giác: Với điểm A, B, C ta ln có AB + BC ³ AC Dấu xảy A, B, C theo thứ tự thẳng hàng Tổng quát: Trong tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ 5) Cho điểm M nằm đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P)) Khi đường thẳng vng góc kẻ từ M xuống đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P)) ngắn đường xiên kẻ từ M xuống đường thẳng (hoặc mặt phẳng (P)) 6) GTLN hàm liên tục đạt biên 7) Trong tam giác nội tiếp đường trịn bán kính R, tam giác có chu vi lớn (có giá trị 3R ) có diện tích lớn 8) Cho DABC có ba góc nhọn điểm M tùy ý mặt phẳng ( ABC ) tổng MA + MB + MC nhỏ M nhìn cạnh AB, BC, CA góc 1200 II Bài tập Phương pháp: + Biến đổi hàm số (hoặc biểu thức) cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ dạng tọa độ để xác định vectơ, điểm, đường có tọa độ từ điều kiện biểu thức cần tìm + Chuyển tốn từ dạng đại số dạng hình học tọa độ, giải tốn phương pháp hình học từ suy kết dạng đại số Bài 1: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f( x) = x2 - x + + x2 - 3x + với x Ỵ ¡ Giải: Viết lại hàm số dạng: f( x) = ( x - 3 ) +( ) + (x) +( ) 2 2 Hàm xác định ¡ Xét hệ trục tọa độ Oxy r Cách 1: Chọn u = ( - x + ; r ) , v =( x ; ) 2 r r 3 |u + v|= ( - ) +( + ) =2 2 2 r r r r f( x) = | u | + | v | ³ |u + v|= Khi r r Đẳng thức xảy vectơ u,v ïìï k = r r u = kv( k > 0) Û ïí ïï x = - ïỵ Vậy minf( x) = x = - hướng hay: 3 ); B( , - );C( x,0) Khi đó: 2 2 Cách 2: Gọi A( , ) +( ) CB = ( x 2 Nên ta có: f(x) = AC + BC AC = ( x - ) +( ) 2 Theo bất đẳng thức tam giác ta có: AC + BC ³ AB= ( - ) +( - 2 ) = Nên : f(x) ³ " x Î ¡ Vậy f( x)min = C giao điểm AB trục Ox, từ x = - Bình luận: - Nếu áp dụng phương pháp hàm số việc xét biến thiên gặp khó khăn để tìm nghiệm phương trình f '( x ) = dẫn tới việc giải phương trình bậc - Về cách chọn điểm chọn vectơ 1: r r r r + Cách 1: Việc chọn vectơ u,v cần phải khéo léo để cho |u + v| số đồng thời dấu “=” phải xảy + Cách 2: Câu hỏi đặt lại chọn cặp điểm A( 3 , ); B( , - ) mà cặp điểm khác, biểu thức 2 2 3 ) ; B( , ) 2 2 tính khoảng cách AC, BC khơng đổi Ta chọn A( , có f(x) = AC + BC Lúc A B nằm phía so với trục Ox Khi để tìm giá trị nhỏ AC + BC toán dài cách lấy điểm B’ đối xứng với B qua Ox, tức B '( AB ' trục Ox Nên ta chọn điểm B( , - ) M giao điểm 2 ,- ) 2 - Mở rộng toán: + Thứ nhất: liệu hệ số biểu thức có phải khơng? Nếu thay x - x + biểu thức x2 - x hay x2 - x - sao? Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách độ dài vectơ nên biểu thức dấu phải dương + Thứ hai: Hệ số x2 hai biểu thức hàm số có thiết phải khơng? Nếu khơng sao? Ví dụ: f( x) = x2 - x + + 2x2 - x + Trả lời: Do áp dụng: “Trong tất đường gấp khúc nối điểm A, B cho trước đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách điểm đầu cuối không đổi, nên cặp điểm A, B phải có dạng A( m; n),B( p; q) A( x + m; n), B( x + n;q) A( m; y + n),B( p; y + q) A( x; y), B( x + m; y + q) (trong m, n, p, q giá trị không đổi) Và với điểm C thay đổi áp dụng cơng thức khoảng cách để tính AC , BC ta hệ số x2 + Thứ ba: Khi thay hàm số f( x) = x2 - x + - x2 - 3x + đạt giá trị lớn nhỏ hay không? Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số f( x) đạt giá trị lớn Nếu muốn tìm tìm giá trị lớn hàm số ta chọn A( 3 , ) ; B( , ) cho phía so với trục Ox ta có 2 2 f(x) = AC - BC £ AB Từ ta tìm giá trị lớn hàm số f( x) = x2 - x + - x2 - 3x + + Thứ tư: Ta tìm thêm giá trị lớn hàm số không? Trả lời: Nếu giới hạn giá trị biến x lại tập D ta tìm giá trị lớn hàm số Các vấn đề áp dụng trình bày qua tốn Bài 2: Tìm giá trị lớn hàm số: f( x) = x2 - 2px + 2p2 + x2 - 2qx + 2q2 (p, q hai số cho trước) Giải: Xét p + q > : Trên mặt phẳng toạ độ Oxy xét điểm A( x - p; p) B( x - q; - q) ) Khi đó: f ( x) = ( x - p) + p + ( x - q) + q = OA +OB Rõ ràng có: OA + OB ≥ AB Mà AB = ( p - q) +( p + q) không đổi với vị trí A B Vậy ta ln có f ( x) ³ ( p - q) +( p + q) (1) Dấu “=” xảy Û A, O, B theo thứ tự thẳng hàng uur uuur OA = ( x p; p ); BO = ( q - x; q) Ta có: Khi A, O, B theo thứ tự thẳng hàng Û p q p +pq x- p = Û x= q- x q p +q Do độ dài đoạn AB không đổi với vị trí A, B nên ta có: ỉ çq p + p q ÷ ÷ fç = AB = ( p - q) +( p + q) ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố p+q ứ (2) Xét p + q = (⇔ p = q = 0) Lúc f ( x) = x Û f( x)min = x = (3) Tóm lại, với trường hợp ta có: f( x)min = ( p - q) +( p + q) Bài 3: Cho a, b , c, h bốn số dương cho trước x, y, z ba số thực thay đổi cho: ax + by + cz = k (1) ( k số cho trước) Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x,y,z) = a h2 + x2 + b h2 + y2 + c h2 + z2 với (x, y, z) thoả mãn điều kiện (1) Giải: Trên hệ trục Ouv, lấy điểm: ( ) ( A ( ah;ax) ,B ( a + b) h; ax +by ,C ( a + b + c) h;ax +by + cz ) Ta có: OA = a h2 + x2 ; AB = b h2 + y2 ; BC = c h2 + z2 Vậy f ( x; y; z) = OA + AB +BC(2) Và OA + AB + BC độ dài đường gấp khúc OABC nối hai điểm cố định O ( 0;0) C ( ( a + b + c) h; k) Từ (2) suy ra: f ( x; y; z) ³ OC = k2 + h2( a + b + c) (3) Dấu “=” (3) xảy ⇔ O,A,B,C theo thứ tự thẳng hàng ax ax + by ax + by + cz k = = Û x =y =z = ah ah + bh ah + bh + ch a +b +c ỉ k k k ÷ ÷ , , = k2 +( a + b + c) 2h2 ỗ Nh vy: f ỗ ữ ç ÷ èa + b + c a + b + c a + b + c ø Û (4) Từ (3) (4) ta có: f ( x; y; z) = k2 +( a + b + c) 2h2 x = y = z = k a +b + c Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: ìï f( x) = x2 - 2x + + x2 + 2x + miền D = ïí x \ - £ x Ê ùợù ỹ ù 1ùý ùỵ ù Phân tích: Nếu làm ta tìm giá trị nhỏ mà khơng tìm giá trị lớn Với ta sử dụng tính chất: giá trị lớn hàm liên tục đạt biên Giải: Viết lại hàm số dạng: f( x) = +( x - 1) + +( x + 1) Xét hệ trục tọa độ Ouv , xét điểm cố định N(2; 2) điểm chuyển động M(1; 1-x) - £ x £ ta £ - x £ 2 M giới hạn đoạn thẳng M 0M với Khi M 0( 1;0) M ( 1; ) OM = +( x - 1) ; MN = +( x + 1) Do: Suy f(x) = OM + MN • Nên f(x) ³ ON = Vậy f( x) đạt Giá trị nhỏ O, M, N theo thứ tự thẳng hàng hay M giao điểm ON M 0M Dễ dàng tìm M ( 1,1) hay x = • Và max f( x) = max (OM + MN ) - M Ỵ [ M 0M ] £ x£ = max(OM + M 1N , OM + M 0N ) = max( Vậy Max - £ x£ - £ x£ f( x) = + Min f( x) = 13 + ; + 5) = + 2 x = x=0 Bình luận: - Bài sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương trình f '( x ) = khơng khó - Sử dụng phương pháp dạy cho học sinh lớp 10 Bài 5: Cho x, y số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = ( x - 1) + y2 + ( x + 1) + y2 + y - (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006) Phân tích: Hai thức làm ta nghĩ tới tọa độ điểm M( x - 1; - y), N( x + 1; y) sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá hai thức Tuy nhiên cần khéo kéo chọn để có dấu xảy Giải: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xét M( x - 1; - y), N( x + 1; y) Ta OM +ON = ( x - 1) + y2 + ( x + 1) + y2 Do OM +ON ³ MN nên ( x - 1) + y2 + ( x + 1) + y2 ³ + y2 Đẳng thức xảy M, O, N theo thứ tự thẳng hàng Từ ta x = Do A ³ + y2 + y - = f( y) Ta tìm giá trị nhỏ f( y) hai trường hợp: + Nếu y £ ta f( y) = + y2 + - y f '( y) = 2y - , f '( y) = Û 2y = + y2 Û y = 1+y Bảng biến thiên: y 3 - ¥ f’(y) - + f(y) 2+ 3 Từ suy ra: f( y) ³ + " y £ Dấu xảy y = + Nếu y ³ ta f( y) = + y + y - ³ > + 3 Binh luận: Nếu chọn cặp điểm M( x - 1; y), N( x + 1; y) MN = Vậy Amin = + x = 0; y = nhỏ + khơng có dấu “=” xảy Bài 6: Với x Î ¡ , tìm giá trị nhỏ hàm số: f( x) = 2x2 - 2x + + 2x2 +( + 1)x + + 2x2 - ( + 1)x + Giải: f( x) = ( x - 1) + x2 + ( x + ) +( x + ) + ( x 2 ) +( x - ) 2 Trong mặt phẳng tọa độ, ta xét điểm M( x; x),A( 1;0),B( - 3 ; - ),C( ; - ) Khi đó: f( x) = MA + MB + MC 2 2 Nên f( x) nhỏ M nhìn cạnh AB, AC, BC tam giác ABC góc 1200 Dễ thấy tam giác ABC đều, tâm O nên đề f( x) nhỏ M º O hay x = Và ta f ( x )min = f ( ) = Bất đẳng thức cho chứng minh Chứng minh toán phụ: Cho DABC có ba góc nhọn điểm M tùy ý nằm mặt phẳng( ABC ) tổng MA + MB + MC nhỏ M nhìn cạnh AB, BC, CA góc 1200 Hướng dẫn: Xét phép quay tâm A góc quay 600: - Biến điểm M thành điểm N - Biến điểm C thành điểm P Khi đó, theo tính chất phép quay góc quay 600 ta được: AM = MN; CM = NP Vậy tổng MA + MB + MC nhỏ Û tổng (BM + MN + NP) nhỏ Û B, M, N, P thẳng hàng Nói riêng, B, M, N thẳng hàng mà ·AMN = 600 nên ·AMB = 1200 Tương tự ta ·BMC = ·CMA = 1200 Từ ta điều phải chứng minh Bài 7: Tìm giá trị nhỏ hàm số: f( x; y) = ( x + 1) +( y - 1) + ( x - 1) +( y + 1) + ( x + 2) +( y + 2) Trong x, y số thực (Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998) Phân tích: Trong hàm số f( x; y) xuất bậc hai, gợi nghĩ đến công thức khoảng cách hai điểm Giải: Xét điểm A ( - 1,1) ; B ( 1, - 1) ;C ( - 2, - 2) điểm M ( x;y) hệ trục tọa độ vng góc Oxy Ta có: MA = ( x + 1) +( y - 1) MB = ( x - 1) +( y + 1) MC = ( x + 2) +( y + 2) Suy f ( x; y) = MA + MB + MC Nên hàm số f( x; y) đạt giá trị nhỏ tổng MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ 10 M nhìn cạnh AB, AC, BC tam giác ABC góc 1200 Với ý VABC cân C nên M Ỵ [OC] Ta tính f( x; y) : OA Xét tam giác vng OMA có ·AMO = 600 , OA = nên OM = tan60 Khi xM = yM = Suy f( - ,- OM = Tức x = y = - = ) = +2 Vậy f(x; y) = + 2 Bài 8: Cho a2 + b2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a +b +b + a Giải: r r Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn u = ( a;b) v = ( + b; + a) r r 2 Khi ta u = a + b = ; v = + a + b Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: = ( + 1)( a2 + b2 ) ³ ( a + b) r v ta được: £ 2+ rr r r P = a + b + b + a = u.v £ u v £ Từ suy ra: 2+ ìï a b ïï = ï Dấu “=” xảy Û íï + b +a Û a = b ïï a =b ïỵ Kết hợp với điều kiện ban đầu a2 + b2 = ta a = b = 2 2 Bài 9: Cho x, y, z ba số dương x + y + z £ Tìm giá trị nhỏ biểu Vậy Pmin = + a = b = thức: A = x2 + 1 2 + y + + z + x2 y2 z2 Giải: r r ur 1 Gọi u = ( x; ) , v = ( y; ) , w = ( z; ) y x z r r ur 1 Khi u + v + w = ( x + y + z; + + ) x y z 11 r r ur 1 Ta có: u = x + , v = y2 + , w = z2 + y x z r r ur 1 2 A = x + + y + + z + = u +v +w Khi x2 y2 z2 r r ur 1 Và u + v + w = ( x + y + z) +( + + ) x y z 1 + + ) - 80( x + y + z) x y z Áp dụng bất đẳng thức Côsi, kết hợp x + y + z £ ta được: é ù ê81( x + y + z) +( + + 1) ú- 80( x + y + z) ê x y z ú ë û 1 1 ³ 81( x + y + z)( + + ) - 80.1³ 2.9.3 xyz 3 - 80 = 162 - 80 = 82 x y z xyz r r ur r r ur u + v + w ³ u + v + w ta A ≥ 82 Áp dụng bất đẳng thức r r ur Dấu “=” xảy vectơ u,v,w hướng x + y + z = hay: r r ur ïìï x = ky = lz ïìï k = l = ìï ï ïí u = kv = lw ( k > 0; l > 0) Û ïí k l Û í ïï x + y + z = ïï x = = ïï x = y = z = ïỵ ïïỵ ïỵ y z = 81( x + y + z) +( Vậy Amin = 82 đạt x = y = z = Bình luận: Đây dạng đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A, năm 2003 Bài 10: Cho số thực dương a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 + 2b2 b2 + 2c2 c2 + 2a2 P = + + ab bc ca Giải: Ta có a2 + 2b2 b2 + 2c2 c2 + 2a2 + + ³ ab bc ca 2 + + 2+ + 2+ ³ b a c b a c r ỉ r ỉ ur ỉ 2ư 2ử 2ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ;v =ỗ ; ;w =ỗ ; ữ ữ ữ Trong h trc ta Oxy, xột ba vect u = ỗ ; ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ b a c b a c ÷ ÷ ÷ è ø è ø è ø 2 2 2 r r ur Khi ta có | u |= a + 2b ; | v |= b + 2c ; | w |= c + 2a ab bc ca Û 12 r r ur æ r r ur æ 1 2 2ử 1 1ử ữ ỗ ữ ỗ ữ u +v +w = ỗ + + ; + + ; | u + v + w |= ỗ + + ữ = ữ ỗ ữ ữ ỗ ữ ỗ a b c a b c a b c ÷ è ø è ø 1 + + =1 a b c r r ur r r ur Áp dụng bất đẳng thức | u | + | v | + | w |³ | u + v + w | ta được: P ³ r r ur r Vì ba vectơ ta xét khác vectơ nên dấu “=” xảy vectơ u,v,w hướng ab + bc + ca = abc ìï k ïï = = l ïï b c a r r ur ìï ìï k = l = ïï k l u = kv = lw ( k > 0;l > 0) ïï ï Û = = Û hay í í í ïï ab + bc + ca = abc ïï a b c ïï a = b = c = ỵ ïỵ ïï 1 ïï + + = ïïỵ a b c Vì ab + bc + ca = abc Û Vậy Pmin = a = b = c = Bình luận: Đây dạng đề thi đại học Quốc Gia Hà Nội, năm 2000 Bài 11: Tìm giá trị nhỏ hàm số: 2 16 32 2 x +2 + x x+ + x - 4x + 10 + x - x+ 2 5 2 5 f( x) = Giải: Ta có: f( x) = ( x2 +22 + ( x - 16 8 ) +( ) + ( x - 2) + 22 + ( x - ) +( ) 5 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét vectơ: r r 16 r r a(x, 2); b(x, ); c(4-x, 2); d( -x, ) 5 5 r r 16 Ta có: |a |= x2 +22 ; |b |= ( x ) +( ) 5 r r |c |= ( x - 2) + 22 ; |d |= ( x - ) +( ) 5 Khi đó: f( x) = uu r r r uuu r ( |a | + |b | + |c | +|d | ) r r r r ³ ( |a + c | + |b + d |) = ( + 4) = + 2 2 r r r r Dấu xảy a , c hướng b , d hướng, tức là: 13 ìï x = k( - x) ïï ïï = 2k r r ìï ïï ìï k = l = ïï a = kc ï 16 r Û ïí Û ír í = l( - x) ïï b = ld ïï x ïï x = 5 ỵ ïỵ ïï 8l ïï = ïïỵ 5 Vậy f( x)min = +2 x = n Bài 12: Cho xi, yj (i = 1,2, , n) 2n số thực thoả mãn: å i =1 n Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = å n xi + å yi = i =1 xi2 + yi2 i =1 Giải: Xét mặt phẳng tọa độ Oxy: ổk ỗồ xi ; Gi Mk l im cú to M k ỗ ỗ ối =1 ữ y , å i ø÷ ÷ ÷ i =1 k k= 1, 2, , n ổn M ỗồ xi ; Núi riờng im n ỗ ỗ ối =1 n i =1 ÷ y thỏa mãn å i ø÷ ÷ ÷ i =1 n x+y=1 n xi + å yi = nên M n nằm đường i =1 thẳng x + y = Dễ thấy: ổk M k- 1M k = ỗ ỗ xi ç ç èi =1 Mn H ỉk ÷ ç ÷ + çå yi å xi ø÷ ÷ ç ç èi =1 i =1 k- ÷ 2 å yi ø÷ ÷ ÷ = xk + yk (k= 1, 2, , n) i =1 k- Từ ta được: P  = OM + M 1M + M 2M + + M n- M n Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng x + y = 1, OH = 2 Khi ta ln có: O   M + M 1M + + M n- 1M n ³ OH , 2 Dấu “=” xảy Û O, M 1, M 2, , M n theo thứ tự thẳng hàng M n º H hay P ³ Û y1 y y = = = n = tan 450 = x1 x2 xn Û x1=x2 = = xn =y1 = y2 = = yn = 2n 14 Vậy Pmin = Û x1= x2 = = xn=y1 = y2 = = yn = 2n Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x; y) = x2 + y2 Trên miền D = {( x; y) \ x - 2y + ³ 0; x + y + ³ 0; 2x - y + £ 0} Giải: Miền D miền VABC tính biên Với A(0; 4) , B( - 4; 2), C( - 2;0) Gọi M( x; y) Ỵ D M nằm VABC (cả biên) Ta có OM = x2 + y2 Suy ra: • f(x; y) = OM ³ OH H chân đường cao hạ từ O xuống AC OH = d(O,AC ) = 2.0 - + 22 + 12 = • f(x;y) £ max(OA; OB; OC)= max(4; 20; 2) = 20 M º B hay x = - 4; y = 4 x = - ; y = 5 f(x;y)max = 20 x = - 4; y = Vậy: f( x; y)min = Bài 14: Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = c2 + d2 = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = - a - 2b + - c - 2d + - ac - bd Giải: Nếu gọi M( a;b),N( c;d),P( 1; 2) từ điều kiện a2 + b2 = c2 + d2 = ta thấy M ,N ,P điểm nằm đường trịn tâm O bán kính Và vế trái bất đẳng thức viết dạng: a2 + b2 c2 + d2 a2 + b2 + c2 + d2 - 2ac - 2bd + - a - 2b + + - c - 2d + 2 2 = ( a - 1) +(b - 2) + ( c - 1) +( d - 2) + ( a - c) +(b - d) 2 ( ) 15 = ( MP + NP + MN ) Vế trái giá trị chu vi tam giác MNP Sử dụng tính chất: “Trong tam giác nội tiếp đường tròn, tam giác có chu vi diện tích lớn nhất” Nên vế trái đạt giá trị lớn tam giác MNP nội tiếp đường trịn bán kính Khi ta chu vi tam giác MNP 15 Vậy: - a - 2b + - c - 2d + - ac - bd £ Dấu “=” xảy M( Tức là: a = Vậy Pm ax = 15 = 30 - 1- - + - 1+2 - - ; ),N( ; ) 2 2 - 1- - 2+ - 1+2 - 2- ,b = ,c = ,d = 2 2 30 - 1- - 2+ - 1+2 - 2- a = ,b = ,c = ,d = 2 2 Bài 15: Cho a,b,c,d bốn số thực thỏa mãn điều kiện sau: ìï a2 + b2 + = 2( a + b) ï í ïï c + d2 + 73 = 14( c + d) ïỵ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P = ( a - c) +(b - d) Giải: Từ điều kiện ta có ìï ( a - 1) +(b - 1) = ï í ïï ( c - 7) +( d - 7) = 25 ïỵ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , ta xét điểm M( a;b),N( c;d) , từ điều kiện ta thấy M ,N hai điểm nằm hai đường tròn tâm O1( 1; 1) bán kính đường trịn tâm O2(7;7) bán kính Và ta có: MN = ( a - c) +(b - d) Nối O1 với O2 cắt đường tròn bé G, E cắt đường tròn lớn F, H Khi tính tọa độ điểm: 16 G( - ; 12 2 ),E( + ;1 + ) 2 5 5 ;7 ),H(7 + ;7 + ) 2 2 Ta có O1O2 £ O1M + MN +O2N F(7 - Û O1E + EF + FO2 £ O1M + MN +O2N Û EF £ MN (do O1E = O1M ,FO2 = O2N ) Và MN £ O1M +O1O2 +O2N = GO1 +O1O2 +O2H = GH (1) (2) Từ (1) (2) suy EF £ MN £ GH nên ta có EF £ MN £ GH Lại có EF = 2(6 - 2) = 36( - 2) ; GH = 2( + 2) = 36( + 2) Từ ta được: 36( - 2) £ P £ 36( + 2) Dấu “=” vế trái xảy M º E ,N º F hay 2 ,c = d = + 2 M º G,N º H hay Dấu “=” vế phải xảy a =b =7 - a = b = 1- ,c = d = + 2 III Bài tập áp dụng Xin đưa số tập áp dụng phương pháp tọa độ để q thầy tham khảo, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số tốn bất đẳng thức Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x) = x2 - 2x + + x2 + 4x + - 1£ x £ Bài 2: Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 + c2 + ca + a2 Bài 3: Tìm giá trị lớn hàm số: y = f( x) = x2 - 4x + 29 - x2 - 4x + ¡ Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f( x) = x + - { } { } - x miền D = x \ - £ x £ Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y = f( x) = x + + - x miền D = x \ - £ x £ Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x) = + x + - x - { } ( + x)(6 - x) miền D = x \ - £ x £ Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: 17 { } f( x) = x + x - x2 miền D = x \ £ x £ Bài 8: Cho hàm số f( x) = A sin x + B cosx ( A + B ¹ 0) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số b) Chứng minh cos3x + acos3x + 1 + + 3a2 £ 2cos3x " x,a Ỵ ¡ Bài 9: Tìm giá trị lớn biểu thức A = f( x,y) = x2 + y2 + 2x + 12y + 37 + x2 + y2 - 6x + 6y + 18 Bài 10: Tìm giá trị lớn hàm số f( x) = ( x + 6) + 100 + ( x + 1) + 18 PHẦN 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM Mục đích thực nghiệm Mục đích thực nghiệm để kiểm chứng khả ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải số tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức toán chứng minh bất đẳng thức Tổ chức thực nghiệm 2.1 Hình thức thực nghiệm Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo phần nội dung đề cập phần nội dung (phần II) Sau cho học sinh làm thực nghiệm, đối chiếu kết thực nghiệm 2.2 Đối tượng thực nghiệm Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10C (gọi nhóm 1) 20 em học sinh lớp 10C7 (gọi nhóm 2) năm học 2018- 2019 trường THPT Triệu Sơn – Thanh Hóa Trong nhóm nhóm thực nghiệm nhóm nhóm đối chứng Chọn học sinh hai nhóm có lực học tốn tương đương Nội dung thực nghiệm Dạy thực nghiệm bao gồm nội dung: + Ứng dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ + Ứng dụng phương pháp tọa độ chứng minh bất đẳng thức Đánh giá kết thực nghiệm 4.1 Đề kiểm tra Phát phiếu kiểm tra khả giải tập học sinh, thời gian làm 30’: A Phiếu Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: { } y = f( x) = x + + - x miền D = x \ - £ x £ Bài 2: Cho x, y ∈, chứng minh rẳng: cos x.cos y + sin ( x − y ) + sin x.sin y + sin ( x − y ) ≥ B Phiếu Bài 1: Cho α số thực bất kì, chứng minh rằng: 17 ≤ cos 2α + cos α + + cos 2α − 2cos α + ≤ + 11 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x) = x2 + x + + x2 - { } 5x + D = x \ - £ x £ - Nhận xét: Trong phiếu tập làm theo số cách khác Phiếu số tăng độ khó yêu cầu cao phiếu số Kết kiểm tra a) Kết kiểm tra theo phiếu học tập số 1: Điểm Lớp 10 Số 19 Nhóm Nhóm thực nghiệm Nhóm 2 Nhóm đối chứng - Điểm trung bình: 0 20 4 0 20 k Trong đó: ni xi n1 x1 + n2 x2 + + nk xk ∑ x= = i =1 n1 + n2 + + nk n xi : điểm kiểm tra ni : tần số giá trị xi n: số học sinh tham gia ( n = 20 ) Kết thu được: xTN = ,95 xDC = 5,00 b) Kết kiểm tra theo phiếu học tập số 2: Điểm Lớp Nhóm Nhóm thực nghiệm Nhóm Nhóm đối chứng - Điểm trung bình: xTN = 5,85 10 Số 4 2 20 2 0 20 xDC = 4,15 Kết kuận Dựa kết thực nghiệm thấy kết nhóm thực nghiệm cao lớp đối chứng Số học sinh đạt điểm cao nhóm thực nghiệm vượt trội so với nhóm đối chứng Trong thực tế giảng dạy tơi thấy phương pháp dạy cho học sinh lớp 10, học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) phương pháp tọa độ mặt phẳng mức độ 20 PHẦN 4: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Thực mục đích đề tài, tơi giải số vấn đề sau: Học sinh biết áp dụng điều giới thiệu để áp dụng vào giải số tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức chứng minh bất đẳng thức: Học sinh trung bình trở lên nắm vững phương pháp biết vận dụng dạng tập bản; số đề thi đại học thi học sinh giỏi học sinh giỏi sử dụng phương pháp để giải tốn Ngồi ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức chứng minh bất đẳng thức ra, phương pháp tọa độ cịn có nhiều áp dụng nữa: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình… Tơi khuyến khích em nhà tìm tịi thêm Thực nghiệm cho thấy: kết ứng dụng phương pháp tương đối khả quan Học sinh tiếp thu trình bày chặt chẽ Thực tế áp dụng cho thấy, học sinh hào hứng tiếp thu vận dụng ý tưởng đề tài, học sinh khơng cịn sợ tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức hay tốn chứng minh bất đẳng thức Có thể, có cách giải chưa thật ngắn gọn, xúc tích tơi ln trân trọng mà em làm Khuyến khích, động viên em tìm tịi cách làm ngắn gọn, hay Khơng phải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức đưa dùng phương pháp tọa độ Ngoài phương pháp tọa độ nêu cịn nhiều kĩ thuật, phương pháp để giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức nói riêng dạng tốn nói chung Thơng qua sáng kiến kinh nghiệm này, tơi mong muốn đóng góp phần nhỏ bé công sức việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác phương pháp tọa độ cách hiệu làm tốn, rèn luyện tính tích cực, phát triển tư sáng tạo cho học sinh, gây hứng thú cho em học toán Qua nội dung đề tài, tơi mong muốn có tìm hiểu sâu tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức hay toán chứng minh bất đẳng thức muốn nghiên cứu mối quan hệ “Giải tích” “Hình học” Tuy nhiên, thời gian có hạn, trình độ thân cịn hạn chế, nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn chỉnh hơn, đồng thời giúp đỡ tiến giảng dạy 21 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa ngày 25 tháng 06 năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết ĐỖ ĐỨC THÔNG 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tuyển tập 200 tốn vơ địch – Tập 3: Giải tích; PGS TS Nguyễn Quý Dy; ThS.Nguyễn Văn Nho; TS Vũ Văn Thỏa NXB Giáo dục năm 2001 [2] Căn số tốn vơ tỉ; Hồng Kỳ NXB Giáo dục năm 2001 [3] Đại số sơ cấp; Hoàng Kỳ, Nguyễn Văn Bàng, Nguyễn Đức Thuần NXB Giáo dục năm 1979 [4] Sai lầm phổ biến giải toán; Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang NXB Giáo dục năm 1997 [5] Giới thiệu thi chọn học sinh giỏi Tốn PTTH tồn quốc; Lê Hải Châu NXB trẻ năm 2001 [6] Tuyển chọn theo chuyên đề “Toán học& Tuổi trẻ”- Quyển 1- NXB Giáo Dục Việt Nam năm 2009 [7] Chun đề tốn hình học tọa độ phẳng không gian, PGS TS Nguyễn Văn Lộc, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 2009 23 MỤC LỤC Phần Phần Phần Phần Mở đầu Nội dung I Cơ sở lí thuyết II Bài tập III Bài tập áp dụng Thực nghiệm sư phạm Kết luận đề xuất……………… ……….……………… Tài liệu tham khảo 3 26 30 33 24 ... 2 III Bài tập áp dụng Xin đưa số tập áp dụng phương pháp tọa độ để q thầy tham khảo, tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ số tốn bất đẳng thức Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: f( x) = x2 - 2x... Thứ tư: Ta tìm thêm giá trị lớn hàm số không? Trả lời: Nếu giới hạn giá trị biến x lại tập D ta tìm giá trị lớn hàm số Các vấn đề áp dụng trình bày qua tốn Bài 2: Tìm giá trị lớn hàm số: f( x)... bản; số đề thi đại học thi học sinh giỏi học sinh giỏi sử dụng phương pháp để giải tốn Ngồi ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số biểu thức chứng minh bất đẳng thức ra, phương pháp tọa độ cịn