Ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số

Bài toán tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức là các dạng bài toán phổ biến và quantrọng trong chương trình toán phổ thông, thường gặp trong các đề thi tuyển sinhvào đ

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài.

Trong giảng dạy môn toán, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức

cơ bản thì việc phát huy tính tích cực của học sinh, biết ứng dụng các phươngpháp đã học vào giải các bài toán là điều rất cần thiết Bài toán tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức là các dạng bài toán phổ biến và quantrọng trong chương trình toán phổ thông, thường gặp trong các đề thi tuyển sinhvào đại học- cao đẳng và còn là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi học sinhgiỏi ở phổ thông

Các bài giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức rất đa dạng

và phong phú Cả lý luận và thực tiễn dạy học đều chứng tỏ chúng rất có hiệuquả trong việc phát triển tư duy cho học sinh

Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểuthức, việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán Đứngtrước bài toán này, học sinh phổ thông thường lúng túng về phương pháp giải,nên sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay sử dụngBunhiacopski

Các tài liệu, sách tham khảo đã trình bày khá đầy đủ về vấn đề này, trongbài viết này tôi tập trung vào vấn đề:

“ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ”

Nói đến phương pháp toạ độ, học sinh thường hay nghĩ đến các bài toán

về khảo sát hàm số, vẽ đồ thị cũng như các bài toán của hình học giải tích mà ítkhi học sinh nghĩ đến rằng còn có thể ứng dụng phương pháp tọa độ để làm bàitoán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức

II Mục đích nghiên cứu

Xây dựng một hệ thống bài tập theo độ khó tăng dần nhằm cung cấp chohọc sinh cách ứng dụng phương pháp tọa độ để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của

hàm số hoặc biểu thức.

III Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, cáctài liệu liên quan khác,…

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trườngTHPT Triệu Sơn 5

- Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, chokiểm tra thử với lớp đối chứng

IV Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm

PHẦN 2: NỘI DUNG

I Cơ sở lí thuyết

Sử dụng phương pháp tọa độ để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trịlớn nhất, nhỏ nhất cần phải khai thác tốt một số bất đẳng thức thường dùng nhưbất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski và một số bất đẳng thức vectơ, bất đẳng thứchình học sơ cấp Một số bài toán thường dùng:

- Dấu “=” bên trái xảy ra khi a r ngược hướng với b rhoặc a r =0 r hoặc

b r =0 r - Dấu “=” bên phải xảy ra khi a r cùng hướng với b r hoặc a r =0 r hoặc

Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A, B cho

trước thì đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất

5) Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng d(hoặc mặt phẳng (P)) Khi

đó đường thẳng vuông góc kẻ từ M xuống đường thẳng d(hoặc mặtphẳng (P)) ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống đường thẳng (hoặcmặt phẳng (P)) ấy

6) GTLN của một hàm liên tục sẽ đạt được trên biên của nó

7) Trong các tam giác nội tiếp một đường tròn bán kính R, tam giácđều có chu vi lớn nhất (có giá trị bằng 3R 3) và có diện tích lớn nhất

8) Cho D ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý trong mặt phẳng

( ABC )thì tổng MA+MB+MC nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh AB, BC,

CA dưới một góc 1200

3 2

- Nếu như áp dụng phương pháp hàm số thì việc xét sự biến thiên sẽ gặp khó

khăn vì để tìm nghiệm của phương trình f '( x ) 0 dẫn tới việc giải phương trình bậc 4

- Về cách chọn điểm hoặc chọn vectơ trong bài 1:

+ Cách 1: Việc chọn vectơ u,v r r cần phải khéo léo để sao cho |u v| r +r làmột hằng số đồng thời dấu “=” phải xảy ra

+ Cách 2: Câu hỏi đặt ra là tại sao lại chọn cặp điểm

A( , ); B( , )

2 2 2 - 2 mà không phải cặp điểm khác, mặc dù các biểu thức

tính khoảng cách AC, BC không đổi Ta có thể chọnA( , 1 3 )

2 2 ;

3 1 B( , )

2 2 thì

vẫn có f(x) = AC + BC Lúc này A và B nằm cùng phía so với trục Ox Khi

này để tìm giá trị nhỏ nhất của AC +BC bài toán sẽ dài hơn bằng cách lấy

điểm B’ đối xứng với B qua Ox, tức là B '( 3 , 1 )

2 - 2 và khi đó M là giao điểm

của AB ' và trục Ox Nên ta chọn điểm B( 3 , 1 )

2 - 2 .

- Mở rộng bài toán:

+ Thứ nhất: liệu các hệ số của các biểu thức có phải là bất kì không? Nếu

thay x 2- x+1 bởi biểu thức x 2- x hay x 2- x 1- thì sao?

Trả lời: Do áp dụng công thức khoảng cách hoặc độ dài của một vectơ

nên biểu thức dưới dấu căn phải dương

+ Thứ hai: Hệ số của x 2 trong hai biểu thức của hàm số có nhất thiết phải

bằng nhau không? Nếu không bằng thì sao? Ví dụ:

f( x) = x - x+ +1 2x - x 1+

Trả lời: Do khi áp dụng: “Trong tất cả các đường gấp khúc nối 2 điểm A,

B cho trước thì đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất” cần khoảng cách giữa điểmđầu và cuối là không đổi, nên cặp điểm A, B phải có dạng A( m; n),B( p;q) hoặc

A( x m; n),+ B( x n;q)+ hoặc A( m; y n),B( p; y q)+ + hoặc A( x; y), B( x m; y q)+ + (trong đó m, n, p, q là các giá trị không đổi) Và khi với một

điểm C bất kì thay đổi thì khi áp dụng công thức khoảng cách để tính AC , BC

ta luôn được hệ số của x 2 là bằng nhau.

+ Thứ ba: Khi thay bằng hàm số f( x) = x 2- x+ -1 x 2- 3x 1+ thì

nó có thể đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hay không?

Trả lời: Do cách chọn điểm mà hàm số f( x) sẽ đạt được giá trị lớn nhấtNếu như muốn tìm tìm giá trị lớn nhất của hàm số này ta sẽ chọn

A( , )

2 2 ;

3 1 B( , )

2 2 sao cho cùng phía so với trục Ox thì ta có

f(x) = AC - BC £ AB Từ đó ta tìm được giá trị lớn nhất của hàm số

f( x) = x - x+ -1 x - 3x 1+

+ Thứ tư: Ta có thể tìm thêm giá trị lớn nhất của hàm số không?

Trả lời: Nếu như giới hạn giá trị của biến x lại trong một tập D thì ta có

thể tìm được giá trị lớn nhất của hàm số đó

Các vấn đề sẽ lần lượt được áp dụng và trình bày qua các bài toán dưới đây.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

Bài 3: Cho a, b , c, h là bốn số dương cho trước và x, y, z là ba số thực thay đổi

sao cho: ax + by + cz = k (1) ( k là số cho trước) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

số

y= -|q|

B O

y

x

( ) 2 2 2 2 2 2

f x,y,z =a h +x +b h +y +c h +z với (x, y, z) thoả mãn điều kiện (1).

Nếu làm như bài 1 thì ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất mà không tìm được

giá trị lớn nhất Với bài này ta sử dụng tính chất: giá trị lớn nhất của một hàm

liên tục sẽ đạt được trên biên của nó.

(a+b+c)h

ax+by

(a+b)h

ah O

A

B

C

Xét hệ trục tọa độ Ouv, trên đó xét điểm cố định N(2; 2) và điểmchuyển động M(1; 1-x)

Vậy f( x) đạt Giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi O,

M, N theo thứ tự thẳng hàng hay M là giao điểm của ON và M M 0 1 Dễ dàng tìm được M 1,1( ) hay x = 0.

Bình luận: - Bài này có thể sử dụng phương pháp hàm số nhờ việc giải phương

trình f '( x ) 0 không khó như bài 1

- Sử dụng phương pháp này có thể dạy cho học sinh lớp 10

Bài 5: Cho x, y là các số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = ( x 1)- +y + ( x 1)+ +y + -y 2

(Trích đề thi tuyển sinh đại học khối B năm 2006)

Phân tích:

Hai căn thức đầu tiên làm ta nghĩ tới tọa độ các điểm M( x 1; y),-

-N( x 1; y)+ và sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá hai căn thức đầu

tiên Tuy nhiên cần khéo kéo chọn để có dấu bằng xảy ra

Đẳng thức xảy ra khi M, O, N theo thứ tự thẳng hàng Từ đó ta được x =0.

Binh luận: Nếu như chọn cặp điểm M( x 1; y), N( x 1; y)- + thì tuy MN = 2

sẽ nhỏ hơn 2 3 nhưng sẽ không có dấu “=” xảy ra

Bài 6: Với x Î ¡ , tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

- 3 2

3 2

O

y

x

C B

A

M(x;x)

3 1 3 1 M( x; x),A( 1;0),B( ; ),C( ; )

- - - Khi đó: f( x) =MA+MB+MC Nên f( x) nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC dưới mộtgóc 1200

Dễ thấy tam giác ABC đều, tâm O nên đề f( x) nhỏ nhất thì M º O hay x =0

Và khi đó ta được f ( x ) min f ( 0 ) 3

Bất đẳng thức đã cho được chứng minh

Chứng minh bài toán phụ:

Cho D ABC có ba góc nhọn và điểm M tùy ý nằm trong mặt phẳng( ABC ) thìtổng MA+MB+MC nhỏ nhất khi M nhìn 3 cạnh AB, BC, CA dưới một góc

1200

.

Hướng dẫn:

Xét phép quay tâm A góc quay 600:

- Biến điểm M thành điểm N

- Biến điểm C thành điểm P

Khi đó, theo tính chất của phép

quay và do góc quay bằng 60 0 ta được:

· AMN =60 0 nên · AMB =120 0 Tương

tự ta cũng được · BMC =· CMA=120 0 Từ đó ta được điều phải chứng minh.

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

f( x; y) = ( x 1)+ +( y 1)- + ( x 1)- +( y 1)+ + ( x 2)+ +( y 2)+

Trong đó x, y là các số thực.

(Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)

Phân tích: Trong hàm số f( x; y) xuất hiện căn bậc hai, gợi chúng ta nghĩ đếncông thức khoảng cách giữa hai điểm

-1

-2

1 -1

1

B(1;-1) A(-1;1)

O

khi và chỉ khi M nhìn 3 cạnh AB, AC, BC của tam giác ABC dưới một góc 1200.Với chú ý V ABC cân tại C nên M Î [OC].

ïï ïï

ïï

ïï + + = ïïïî

ìï = = ï

ïî

Vậy P min  3 khi a b c 3  

Bình luận: Đây là dạng của đề thi đại học Quốc Gia Hà Nội, năm 2000

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a kc

.

b ld

ìï = ïï

íï =ïïî

-ïï

ïï = ïïî

ìï = = ï

Û íï =ïî

Vậy f( x) min = +4 2 2 khi x=2

Bài 12: Cho x i , y j (i = 1,2, , n) là 2n số thực thoả mãn: n i n i

Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy:

Gọi Mk là điểm có toạ độ

Bài 14: Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a 2 +b 2 =c 2+d 2 =5 Tìmgiá trị lớn nhất của biểu thức:

x H

A

C B

O

các tam giác nội tiếp một đường tròn,

tam giác đều có chu vi và diện tích lớn

nhất”

Nên vế trái đạt giá trị lớn nhất khi

tam giác MNP đều và nội tiếp trong

đường tròn bán kính 5 Khi đó ta được

chu vi tam giác MNP bằng 3 15

2 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét

các điểm M(a;b),N(c;d), thì từ điều kiện

ta thấy M ,N là hai điểm lần lượt nằm trên

hai đường tròn tâm O (1;1) 1 bán kính 1 và

đường tròn tâm O (7;7) 2 bán kính 5.

Và ta cũng có: MN 2 =(a c)- 2+(b d)- 2

Nối O 1 với O 2 cắt đường tròn bé tại G, E và cắt đường tròn lớn tại F, H Khi đó

tính được tọa độ các điểm:

7

7 G

H

F E

O

M N

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

2 f( x) = +x x x- trên miền D ={x \ 0£ x £ 1}.

Bài 8: Cho hàm số f( x) =A sin x B cosx ( A+ 2+B 2 ¹ 0)

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên

b) Chứng minh rằng cos3x acos3x 1 1 1 3a 2 x,a

PHẦN 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

1 Mục đích thực nghiệm

Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng khả năng ứng dụng phương pháptọa độ vào giải một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặcbiểu thức hoặc bài toán chứng minh bất đẳng thức

2 Tổ chức thực nghiệm

2.1 Hình thức thực nghiệm

Tổ chức dạy học theo chuyên đề biên soạn theo phần nội dung đã đề cập ởphần nội dung (phần II) Sau đó cho học sinh làm thực nghiệm, đối chiếu kếtquả thực nghiệm

2.2 Đối tượng thực nghiệm

Chọn lớp thử nghiệm: Chọn 20 em học sinh lớp 10C2 (gọi là nhóm 1) và

20 em học sinh lớp 10C7 (gọi là nhóm 2) năm học 2018- 2019 của trường THPTTriệu Sơn 5 – Thanh Hóa

Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm và nhóm 2 là nhóm đối chứng Chọn học sinh ở hai nhóm này có lực học toán khá và tương đương nhau

3 Nội dung thực nghiệm

Dạy thực nghiệm bao gồm các nội dung:

+ Ứng dụng phương pháp tọa độ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất + Ứng dụng phương pháp tọa độ chứng minh bất đẳng thức

4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

17  cos  4 cos 6  cos   2cos 3 2 11

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:

f( x) = x + + +x 1 x - 5x 2+ trên D ={x \ 1 x 4- £ £ }

- Nhận xét: Trong mỗi phiếu bài tập thì mỗi bài đều có thể làm được theo

một số cách khác nhau Phiếu số 2 tăng độ khó và yêu cầu cao hơn phiếu số 1

5 Kết quả kiểm tra

a) Kết quả kiểm tra theo phiếu học tập số 1:

Điểm

Kết quả thu được: x TN 6 ,95

6 Kết kuận

Dựa trên kết quả thực nghiệm thấy rằng kết quả của nhóm thực nghiệmcao hơn lớp đối chứng Số học sinh đạt điểm cao ở nhóm thực nghiệm cũng vượttrội so với nhóm đối chứng

Trong thực tế giảng dạy tôi thấy rằng phương pháp có thể này có thể dạycho học sinh lớp 10, khi đã học xong phần bất đẳng thức (phần đại số) vàphương pháp tọa độ trong mặt phẳng ở một mức độ nào đó

PHẦN 4: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

Thực hiện mục đích của đề tài, tôi đã giải quyết được một số vấn đề sau:

1 Học sinh biết áp dụng những điều đã được giới thiệu để áp dụng vàogiải quyết một số bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểuthức cũng như chứng minh bất đẳng thức: Học sinh trung bình khá trở lên nắmvững được phương pháp và biết vận dụng ở dạng bài tập cơ bản; một số đề thiđại học và thi học sinh giỏi thì học sinh khá giỏi có thể sử dụng phương phápnày để giải bài toán

2 Ngoài ứng dụng là tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểuthức hoặc chứng minh bất đẳng thức ra, phương pháp tọa độ còn có nhiều ápdụng nữa: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình… Tôi khuyếnkhích các em về nhà tìm tòi thêm

3 Thực nghiệm cho thấy: kết quả ứng dụng của phương pháp là tương đốikhả quan Học sinh tiếp thu được bài và trình bày chặt chẽ

Thực tế áp dụng cho thấy, học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụngđược ý tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏnhất của hàm số hoặc biểu thức hay bài toán chứng minh bất đẳng thức Có thể,

có những cách giải chưa thật ngắn gọn, xúc tích nhưng tôi luôn trân trọng những

gì mà các em đã làm được Khuyến khích, động viên các em tìm tòi những cáchlàm ngắn gọn, hay hơn

Không phải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểuthức nào cũng có thể đưa được về dùng phương pháp tọa độ Ngoài phươngpháp tọa độ nêu trên thì còn rất nhiều các kĩ thuật, các phương pháp để giải đốivới các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức nóiriêng và các dạng bài toán nói chung Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này, tôimong muốn được đóng góp một phần nhỏ bé công sức trong việc hướng dẫn họcsinh ứng dụng và khai thác phương pháp tọa độ một cách hiệu quả khi làm toán,rèn luyện tính tích cực, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, gây hứng thúcho các em khi học toán

Qua nội dung đề tài, tôi mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn nữa về bàitoán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc biểu thức hay bài toán chứngminh bất đẳng thức cũng như muốn nghiên cứu về mối quan hệ giữa “Giải tích”

và “Hình học”

Tuy nhiên, do thời gian có hạn, trình độ bản thân còn hạn chế, nên tôi rấtmong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các bạnđồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn, đồng thờicũng giúp đỡ tôi tiến bộ hơn trong giảng dạy

XÁC NHẬN

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Thanh Hóa ngày 25 tháng 06 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Người viết

ĐỖ ĐỨC THÔNG

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Tuyển tập 200 bài toán vô địch – Tập 3: Giải tích; PGS TS Nguyễn QuýDy; ThS.Nguyễn Văn Nho; TS Vũ Văn Thỏa NXB Giáo dục năm 2001

[2] Căn số và toán vô tỉ; Hoàng Kỳ NXB Giáo dục năm 2001

[3] Đại số sơ cấp; Hoàng Kỳ, Nguyễn Văn Bàng, Nguyễn Đức Thuần NXBGiáo dục năm 1979

[4] Sai lầm phổ biến khi giải toán; Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, PhanThanh Quang NXB Giáo dục năm 1997

[5] Giới thiệu các bài thi chọn học sinh giỏi Toán PTTH toàn quốc; Lê HảiChâu NXB trẻ năm 2001

[6] Tuyển chọn theo chuyên đề “Toán học& Tuổi trẻ”- Quyển 1- NXB Giáo DụcViệt Nam năm 2009

[7] Chuyên đề toán hình học tọa độ phẳng và không gian, PGS TS Nguyễn VănLộc, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh năm 2009