Khắc phục sai lầm của học sinh lớp 12 trường THPT vĩnh lộc khi giải bài tập trắc nghiệm về nguyên hàm (giải tích 12

1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Đến năm học 2019-2020, Bộ giáo dục đào tạo triển khai chương trình thi THPT Quốc Gia mơn Tốn từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm sang năm thứ Bài thi gồm 50 câu với thời gian 90 phút, thời gian trung bình cho câu 1,8 phút Do vậy, học sinh muốn môn tốn đạt kết cao cần xếp hợp lí câu dễ, trung bình khó Mơn Tốn thi trắc nghiệm thay đổi lớn, ảnh hưởng trực tiếp đến cách dạy giáo viên cách học em học sinh Đối với cách thi trắc nghiệm yêu cầu em học sinh phải học rộng, phải bao quát hết kiến thức, phải có khả xử lý nhanh, tốc độ làm nhanh phải hiểu xác vấn đề để khơng bị mắc bẫy mà đề đặt Các toán nguyên hàm chiếm vị trí quan trọng việc phát triển tư duy, tính sáng tạo học sinh Do lý thú toán nên chúng xuất kỳ thi THPT Quốc gia năm Đây tốn hay, khó, rộng đa dạng Khi gặp toán thuộc loại này, học sinh thường ngại tìm cách giải, có tâm lí sợ dễ làm sai tốn Đặc biệt, chưa có tài liệu nghiên cứu bàn sâu vấn đề khắc phục sai lầm học sinh giải tập trắc nghiệm nguyên hàm Trong trình giảng dạy thực tế lớp nhiều năm học qua, tơi phát cịn nhiều học sinh lúng túng, gặp nhiều khó khăn sai lầm đứng trước toán nguyên hàm, có nhiều học sinh chưa thực hiểu kỹ nguyên hàm, tìm nguyên hàm hay có nhầm lẫn, chưa nắm vững phương pháp giải tổng quát cho dạng, Những khó khăn, sai lầm học sinh thể trình làm tập, làm kiểm tra, làm thi Tôi nhận thấy, để em tự tin gặp toán liên quan đến nguyên hàm, để em có hứng thú giải tốn ngun hàm, tơi phải giúp em tháo gỡ khó khăn, sai lầm Việc giúp học sinh nhận nhầm lẫn giúp em tránh nhầm lẫn cơng việc vơ cần thiết cấp bách, mang tính đột phá mang tính thời cao, giúp em có am hiểu vững kiến thức nguyên hàm tạo móng để tiếp tục nghiên cứu dạng toán cao Với hy vọng giúp học sinh khắc phục nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức nguyên hàm, từ giúp học sinh làm tốn ngun hàm dễ dàng hơn, đạt kết cao giải tốn ngun hàm nói riêng kì thi THPT Quốc Gia nói chung Từ lí cần thiết chọn đề tài: “Khắc phục sai lầm học sinh lớp 12 trường THPT Vĩnh Lộc giải tập trắc nghiệm nguyên hàm (Giải tích 12)” để viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích tổng kết kinh nghiệm thân, đồng thời chia sẻ đồng nghiệp trình giảng dạy giáo dục học sinh Rất mong nhận quan tâm đón nhận đồng nghiệp 1.2 Mục đích nghiên cứu + Giúp học sinh phát khắc phục sai lầm thường gặp giải toán trắc nghiệm nguyên hàm, làm thi mơn Tốn nói riêng kỳ thi THPT Quốc gia nói chung + Đề tài nhằm mục đích tổng kết lại số kỹ mà tơi thường sử dụng hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tốn tìm ngun hàm + Giúp học sinh rèn luyện kĩ tính tốn xử lý tình nhanh nhạy Từ học sinh tích lũy số kinh nghiệm thi cử đạt kết cao kỳ thi tới + Giúp học sinh tự tin có tâm lý ổn định phòng thi + Qua dịp giới thiệu trao đổi với đồng nghiệp để giúp tiến bộ, để nhận nhiều góp ý đồng nghiệp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu sai lầm cách khắc phục học sinh lớp 12 trường THPT Vĩnh Lộc giải tập trắc nghiệm ngun hàm Có ví dụ minh họa lựa chọn xếp để học sinh hiểu rõ sai lầm hay mắc phải, khơng nhớ định nghĩa ngun hàm, khơng nhớ tính chất nguyên hàm, không nhớ bảng nguyên hàm bản, áp dụng phương pháp đổi biến số khơng tính vi phân, kết cuối không đưa biến ban đầu, sử dụng phương pháp nguyên hàm phần nhớ sai cơng thức, Có tập để học sinh rèn luyện kỹ nhà Từ gợi ý cho học sinh phương pháp học tập giai đoạn không học kiến thức mà vận dụng kiến thức vào thực tế sống, qua hình thành kỹ môn học kỹ sống 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình thực đề tài, sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau, như: + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, Tổng hợp kiến thức liên quan đến nội dung trình bày đề tài Tìm ví dụ nêu đề tài + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin: Tiến hành tìm hiểu số liệu thơng qua giáo viên tốn trường phổ thông, qua kiểm tra học sinh Trường THPT Vĩnh Lộc + Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Tiến hành dạy thực nghiệm số buổi trường THPT Vĩnh Lộc Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Kiến thức 2.1.1.1 Định nghĩa nguyên hàm Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng ¡ Cho hàm số f (x) xác định K Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) K F '(x) = f(x) với x ∈ K [1] Nhận xét: Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) F ( x) +C, ( C Ỵ ¡ ) ngun hàm f ( x) Ký hiệu: ò f ( x) dx = F ( x) +C [5] 2.1.1.2 Tính chất nguyên hàm Tính chất 1: ∫ f '(x) dx = f (x) + C Tính chất 2: ∫ kf (x) dx = k ∫ f (x) dx Tính chất 3: ∫ [ f (x) ± g(x)]dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx [1] 2.1.1.3 Sự tồn nguyên hàm: Mọi hàm số f (x) liên tục K có nguyên hàm K [1] 2.1.1.4 Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp ∫ 0dx = C ax + C (a > 0, a ≠ 1) ln a ∫ cos xdx = sin x + C x ∫ a dx = ∫ dx = x + C ∫x α ∫ sin xdx = − cos x + C α +1 x + C (α ≠ −1) α +1 ∫ x dx = ln x + C x x ∫ e dx = e + C dx = ∫ cos x ∫ sin x dx = tan x + C dx = − cot x + C [1] 2.1.2.Các phương pháp tính nguyên hàm: 2.1.2.1 Phương pháp đổi biến số: Nếu ò f ( x) dx = F ( x) +C ị f éëu( x) ùû.u'( x) dx = F éëu( x) ùû+C Giả sử ta cần tìm họ ngun hàm I = ị f ( x) dx , ta phân tích f ( x) = g( u( x) ) u'( x) ta thực phép đổi biến số t = u( x) , suy dt = u'( x) dx Khi ta ngun hàm: ị g( t) dt = G ( t) +C = G éëu( x) ùû+C Chú ý: Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay t = u( x) [5] 2.1.2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần: Cho hai hàm số u v liên tục đoạn [ a;b] có đạo hàm liên tục đoạn [ a;b] Khi đó: ịudv = uv- òvdu ( *) Để tính nguyên hàm ò f ( x) dx phần ta làm sau: Bước Chọn u, v cho f ( x) dx = udv (chú ý  dv = v'( x) dx ) Sau tính v = ị dv du = u'.dx Bước Thay vào công thức ( *) tính ị vdu Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm phân ị vdu dễ tính ị udv Ta thường gặp dạng sau ésin x ù údx I = ò P ( x) ê P ( x) êcos xú , ë û ìï u = P ( x) ïï dạng này, ta đặt ïíï dv = éêsin x ùúdx ïï ê ïỵ ëcos xú û ● Dạng Với v tích đa thức ● Dạng I = ò P ( x) eax+bdx , Với dạng này, ta đặt ● Dạng ìï u = P ( x) ï í ïï dv = eax+bdx ỵ I = ị P ( x) ln( mx + n) dx , Với dạng này, ta đặt ● Dạng P ( x) đa thức P ( x) đa thức ìï u = ln( mx + n) ï í ïï dv = P ( x) dx ỵ ésin x ù x úe dx I = òê êcos xú ë û Với dạng này, ta đặt ésin x ù ïìï ú ïï u = ê êcos xú[5] í ë û ïï ïïỵ dv = exdx 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Đại đa số học sinh học cịn thụ động, học thuộc lịng cơng thức cách máy móc, quên kiến thức nhanh chóng Mà số lượng cơng thức nhiều nên khả ghi nhớ kiến thức không tốt, nhanh quên, dễ nhầm lẫn công thức với công thức khác Trong năm học vừa qua, trăn trở vấn đề mà học sinh thường mắc phải giải toán, dẫn đến kết kỳ thi thấp, chưa mong muốn Qua học sinh làm tập lớp, qua kiểm tra hình thức khác nhau, bước đầu tơi nắm sai lầm mà học sinh thường mắc phải giải tập Cụ thể giải toán học sinh thường mắc phải sai lầm sau: + Cách trình bày tốn khơng rõ ràng, thiếu lập luận, làm không đủ bước vội vàng kết luận, + Sử dụng cơng thức cịn sai, chưa vận dụng phù hợp công thức vào tốn cụ thể + Nhiều cịn nhìn sai đề dẫn đến làm sai toán, + Chưa khai thác hết giả thiết tốn, chưa tìm mối liên hệ giả thiết kết luận tốn, Chính học sinh khó để phát sai lầm mắc phải giải tốn Vì giáo viên phải biết học sinh mắc phải sai lầm gì, đồng thời phải liệt kê, phân loại sai lầm đưa nhiều ví dụ để chứng tỏ Sau đó, giáo viên đưa cách khắc phục, tạo niềm tin cho học sinh giải toán Các tài liệu viết khắc phục sai lầm học sinh giải tập trắc nghiệm toán chưa nhiều, chưa sâu nghiên cứu nên chưa thực thuận lợi cho thầy trò việc dạy học loại toán này, chưa xây dựng hệ thống tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp, để học sinh có hội rèn luyện kĩ giải toán, tạo nên nhạy bén nhiều tình học tập 2.2.1 Về phía giáo viên: Quan tâm nhiều đến việc trang bị kiến thức trình bày lời giải toán cho học sinh mà chưa thực trọng việc khắc phục sai lầm cho học sinh 2.2.2 Về phía học sinh: Các em nắm kiến thức kỹ tìm ngun hàm cịn yếu, cịn lúng túng việc lựa chọn phương pháp giải Đặc biệt có em cịn thấy nản trí giải tốn tìm ngun hàm, em khơng biết vận dụng kiến thức học vào giải toán 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong học nguyên hàm học sinh chưa hiểu rõ chất, khả suy luận lơgic, khả khái qt phân tích tốn cịn hạn chế Một số khơng học sinh thường sai lầm không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, không nắm vững bảng nguyên hàm bản, đổi biến khơng tính vi phân, khơng nắm vững phương pháp nguyên hàm phần, Vì học sinh cịn lúng túng, khó hiểu, hay mắc vào sai lầm dẫn đến kết sai Nên chưa kích thích nhu cầu học tập học sinh Do dạy cho học sinh, thầy cô giáo cần phân tích sai lầm hay gặp phải để học sinh tránh đáp án có tính chất “bẫy” học sinh vào lựa chọn đáp án sai Để góp phần nâng cao chất lượng dạy học, áp dụng đề tài lớp 12B2, 12B4 hai năm học 2018-2019, 2019-2020 Khi tiếp cận với chuyên đề này, học sinh học tập hứng thú có hiệu Bằng cách kiểm tra, đối chứng tơi nhận thấy chuyên đề góp phần nâng cao kĩ tìm nguyên hàm cho em học sinh, giúp em khắc phục sai lầm giải toán Để em đạt kết tốt kỳ thi THPT Quốc gia, xin đưa số ví dụ phân tích lỗi thường gặp em, giúp em khắc phục lỗi đó, đồng thời giúp em thấy phương pháp tìm nguyên hàm hay, độc đáo 5x − dx = − ln(5 x − 2) + C B ∫ 5x − 2 dx = ln x − + C [9] D ∫ 5x − Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = dx A ∫ x − = ln 5x − + C C ∫ x − = 5ln x − + C dx Có học sinh giải toán sau: Lời giải học sinh 1: Đặt t = x − ⇒ dx = − dt Do đó: dx 1 1 1 ∫ x − = ∫ t (− dt) = − ∫ t dt = − ln t + C = − ln(5 x − 2) + C Vậy đáp án đáp án B Lời giải học sinh 2: Đặt t = x − ⇒ dx = 5dt Do đó: dx 1 ∫ x − = ∫ t 5dt = 5∫ t dt = 5ln t + C = 5ln x − + C Vậy đáp án đáp án C Lời giải học sinh 3: Đặt t = x − Do đó: dx ∫ x − = ∫ t dt = ln t + C = ln 5x − + C Vậy đáp án đáp án D Các em nhận xét làm ba học sinh ? Nhận xét: Đây tốn tìm ngun hàm hàm phân thức dạng Học sinh tìm sai vi phân dt ( dx = − dt ) nên làm sai, dẫn đến chọn sai đáp án (B) Học sinh tìm sai vi phân dt ( dx = 5dt ) nên làm sai, dẫn đến chọn sai đáp án (C) Học sinh khơng tìm vi phân dt nên làm sai, dẫn đến chọn sai đáp án (D) Lời giải đúng: Cách (Dùng phương pháp đổi biến số) dx 1 dt 1 = ∫ ( dt) = ∫ = ln t + C = ln x − + C Do đó: ∫ 5x − t 5 t 5 Đặt t = x − ⇒ dt = 5dx ⇒ dx = dt Vậy đáp án đáp án A Cách (Dùng định nghĩa nguyên hàm) Xét đáp án A 1 = = f (x) Vậy đáp án đáp án A 5x − 5x − Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = x Ta có: ( ln x − + C) ' = 7x +C B ∫ dx = ln 7 x +1 + C [3] D ∫ x dx = x +1 x x A ∫ dx = ln + C x x x +1 C ∫ dx = + C Có học sinh giải toán sau: Lời giải học sinh 1: x x x x Ta có: ∫ dx = ln + C (do ∫ a dx = a ln a + C ) Vậy đáp án đáp án A Lời giải học sinh 2: x x +1 x x +1 Ta có: ∫ dx = + C (do ∫ a dx = a + C ) Vậy đáp án đáp án C Lời giải học sinh 3: Ta có: ∫ x dx = x +1 + C (do x +1 x ∫ a dx = a x +1 + C ) Vậy đáp án đáp án D x +1 Tại ba học sinh giải toán lại chọn ba đáp án khác nhau? Nguyên nhân sai từ đâu? Ta xem nhận xét sau: Nhận xét: x x Học sinh nhớ lầm công thức ∫ a dx = a ln a + C (đúng ax ∫ a dx = ln a + C ) dẫn x đến chọn sai đáp án (A) ax x x +1 + C ) nên Học sinh nhớ lầm công thức ∫ a dx = a + C (đúng ∫ a x dx = ln a dẫn đến chọn đáp án sai (C) Học sinh nhớ lầm công thức ∫ a x dx = chọn đáp án sai (D) a x +1 + C (đúng x +1 x ∫ a dx = ax + C ) nên ln a Lời giải đúng: Cách (Dùng bảng nguyên hàm bản) Ta có: ∫ x dx = x +1 + C Vậy đáp án đáp án B ln Cách (Dùng định nghĩa nguyên hàm) Xét đáp án A Ta có: (7 x ln + C) ' = x ln 7.ln = x.ln ≠ f (x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có đáp án A loại Xét đáp án B 7x + C) ' = x ln = x = f (x) Vậy đáp án đáp án B ln ln Ví dụ Nguyên hàm hàm số f (x) = 5x − 2 5x − + C A B x + C C ln x − + C D x − + C [2] 5 Ta có: ( Có học sinh giải toán sau: Lời giải học sinh 1: Đặt t = x − , t > (vì điều kiện xác định hàm số f (x) x > nên t > ) 5 1 2 dx = ∫ tdt = ∫ dt = t + C t 5 5x − Ta có: t = x − ⇒ 2tdt = 5dx ⇒ dx = tdt Ta được: ∫ f (x) dx = ∫ Vậy đáp án đáp án B Lời giải học sinh 2: Đặt t = x − , t > Ta được: ∫ f (x) dx = ∫ t dt = ln t + C = ln x − + C Vậy đáp án đáp án C Lời giải học sinh 3: Đặt t = x − , t > Ta được: ∫ f (x) dx = ∫ t − +1 1 + C = 2t + C = x − + C dt = ∫ t dt = t − +1 − Vậy đáp án đáp án D Ba học sinh giải toán với ba đáp số khác (học sinh chọn đáp án B, học sinh chọn đáp án C, học sinh chọn đáp án D) Vậy người làm đúng? Nhận xét: Đây tốn tìm ngn hàm hàm số chứa thức bậc hai Học sinh làm ∫ f (x) dx = t + C đúng, khơng đổi t theo biến x (vì t = x − , t > nên t hàm số biến x ) nên chọn sai đáp án (B) Học sinh dùng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm nguyên hàm giải khơng tính dt theo dx (ở dx = tdt ) nên chọn sai đáp án (C) Học sinh dùng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm nguyên hàm không biến đổi dt theo dx (ở dx = dt ) sai nên chọn sai đáp án (D) Lời giải đúng: Cách 1(Dùng phương pháp đổi biến số) Đặt t = x − , t > (vì điều kiện xác định hàm số f (x) x > nên t > ) 5 1 2 2 dx = ∫ tdt = ∫ dt = t + C = 5x − + C t 5 5 5x − Ta có: t = x − ⇒ 2tdt = 5dx ⇒ dx = tdt Ta được: ∫ f (x) dx = ∫ Vậy đáp án đáp án A Cách 2(Dùng định nghĩa nguyên hàm) Xét đáp án A Do ( x − + C) ' = f(x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có đáp án xác đáp án A Ví dụ Nguyên hàm hàm số f (x) = e x + x A e x + x + C B e x + x + C C x e + x +C x +1 D e x + + C [3] Có học sinh giải tốn sau: Lời giải học sinh 1: x x x Ta có: ∫ (e + x) dx = ∫ e dx + ∫ xdx = e + x + C Vậy đáp án đáp án A Lời giải học sinh 2: x x x Ta có: ∫ (e + x) dx = ∫ e dx + ∫ xdx = e + + C Vậy đáp án đáp án D x x Lời giải học sinh 3: Ta có: ∫ (e + x) dx = ∫ e dx + ∫ xdx = x e + x +C x +1 Vậy đáp án đáp án C Đây toán mà học sinh dễ mắc sai lầm Vậy ba học sinh trên, bạn mắc sai lầm, bạn Ta xem nhận xét sau: Nhận xét: Học sinh sử dụng tính chất nguyên hàm đúng, tính x x ∫ e dx + ∫ xdx = e + x + C sai (đúng ∫ e x dx + ∫ xdx = e x + x2 + C ) , chọn đáp án A nên sai Học sinh sử dụng tính chất nguyên hàm đúng, tính sai x x ∫ e dx + ∫ xdx = e + + C (đúng x x ∫ e dx + ∫ xdx = e + x2 + C ) , mà vội vàng đưa đáp án D nên sai Học sinh sử dụng tính chất nguyên hàm đúng, tính x ∫ e dx + ∫ xdx = x x2 e + x + C sai (đúng ∫ e x dx + ∫ xdx = e x + + C ) , nên x +1 2 chọn sai đáp án (C) Lời giải đúng: Cách (Dùng bảng nguyên hàm bản) x x Ta có: ∫ (e + x) dx = ∫ e dx + ∫ xdx = e x + x + C Vậy đáp án đáp án B Cách (Dùng định nghĩa nguyên hàm) Xét đáp án A Ta có: (e x + x + C ) ' = e x + x ≠ f (x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có đáp án A loại Xét đáp án B Ta có: (e x + x + C ) ' = e x + x = f (x) Vậy đáp án đáp án B 4x + x + 3x − C log x + C D log x + 3x − + C [2] Ví dụ Nguyên hàm hàm số f (x) = A ln x + C B ln x + 3x − + C Có học sinh giải toán sau: Lời giải học sinh 1: Đặt t = x + 3x − , t ∈ ¡ \ { 0} (vì điều kiện xác định hàm số f (x) = 4x + x + 3x − −3 − 17 −3 + 17 , x≠ nên t ∈ ¡ \ { 0} ) 4 Ta có: dt = (4 x + 3)dx 4x + dx = ∫ dt = ln t + C Vậy đáp án đáp án A Ta được: ∫ 2 x + 3x − t x ≠ Lời giải học sinh 2: Đặt t = x + 3x − , t ∈ ¡ \ { 0} (vì điều kiện xác định hàm số f (x) = 4x + x + 3x − −3 − 17 −3 + 17 , x≠ nên t ∈ ¡ \ { 0} ) 4 Ta có: dt = (4 x + 3)dx 4x + dx = ∫ dt = log t + C Vậy đáp án đáp án C Ta được: ∫ 2 x + 3x − t x ≠ Lời giải học sinh 3: Đặt t = x + 3x − , t ∈ ¡ \ { 0} (vì điều kiện xác định hàm số f (x) = 4x + x + 3x − −3 − 17 −3 + 17 , x≠ nên t ∈ ¡ \ { 0} ) 4 Ta có: dt = (4 x + 3)dx 4x + dx = ∫ dt = log t + C = log x + x − + C Ta được: ∫ 2 x + 3x − t x ≠ Vậy đáp án đáp án D Em có nhận xét làm ba học sinh ? 4x + dx = ∫ dt = ln t + C đúng, + 3x − t khơng đổi t theo biến x (vì t = x + 3x − , t ∈ ¡ \ { 0} nên t hàm số biến x ) Nhận xét: Học sinh biến đổi ∫ 2x nên chọn sai đáp án (A) ∫ 2x Học sinh biến đổi 4x + dx = ∫ dt = log t + C sai không đổi biến + 3x − t t theo biến x nên chọn sai đáp án (C) 4x + dx = ∫ dt = log t + C sai nên chọn sai Học sinh biến đổi ∫ 2 x + 3x − t đáp án (D) Lời giải đúng: Cách (Dùng phương pháp đổi biến số) Đặt t = x + 3x − , t ∈ ¡ \ { 0} (vì điều kiện xác định hàm số f (x) = 4x + x + 3x − −3 − 17 −3 + 17 , x≠ nên t ∈ ¡ \ { 0} ) 4 Ta có: dt = (4 x + 3)dx 4x + dx = ∫ dt = ln t + C = ln x + 3x − + C Ta được: ∫ 2 x + 3x − t x ≠ Vậy đáp án đáp án B Cách (Dùng định nghĩa nguyên hàm) Xét đáp án A x Do (ln x + C) ' = ≠ f (x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có đáp án A loại Xét đáp án B Do (ln x + x − + C) ' = 4x + = f (x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có x + 3x − đáp án xác đáp án B Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = cos 3x A ∫ cos 3xdx = 3sin x + C C ∫ cos 3xdx = − sin x +C B ∫ cos 3xdx = sin 3x +C D ∫ cos 3xdx = sin x + C [9] Có học sinh giải toán sau: Lời giải học sinh 1: Đặt t = 3x Ta có: ∫ cos 3xdx = ∫ cos tdt = sin t + C = sin x + C Vậy đáp án đáp án D Lời giải học sinh 2: Đặt t = 3x ⇒ dx = 3dt Ta có: ∫ cos 3xdx = ∫ 3cos tdt = 3sin t + C = 3sin x + C Vậy đáp án đáp án A 1 sin x +C Ta có: ∫ cos 3xdx = ∫ cos t dt = ∫ cos tdt = − sin t + C = − 3 3 Lời giải học sinh 3: Đặt t = 3x ⇒ dt = 3dx ⇒ dx = dt Vậy đáp án đáp án C Em có nhận xét làm ba học sinh ? Nhận xét: Học sinh dùng phương pháp đổi biến để tìm ngun hàm qn khơng tính vi phân dt (ở dt = 3dx ) nên chọn sai đáp án (D) Học sinh dùng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm tính vi phân dt sai ( dx = 3dt ) nên dẫn đến chọn đáp án sai (A) 10 Học sinh nhớ sai công thức nguyên hàm ∫ cos tdt = − sin t + C ( ∫ cos tdt = sin t + C ) nên chọn đáp án sai (C) Lời giải đúng: Cách (Dùng phương pháp nguyên hàm phần) Đặt t = 3x ⇒ dt = 3dx ⇒ dx = dt Ta có: ∫ cos 3xdx = ∫ cos t dt = 1 sin x cos tdt = sin t + C = +C ∫ 3 Vậy đáp án đáp án B Cách (Dùng định nghĩa nguyên hàm) Xét đáp án A Ta có: (3sin x + C) ' = 3.3.cos x = cos x ≠ f(x) nên theo định nghĩa nguyên hàm ta có đáp án A loại Xét đáp án B sin x + C) ' = 3.cos x = cos x = f(x) Vậy đáp án đáp án B 3 Ví dụ Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = sinx + cosx thỏa mãn Ta có: ( π F( ) = 2 A F (x) = cosx − sinx + C F (x) = − cosx + sinx − B F (x) = − cosx + sinx + D F (x) = − cosx + sinx + [10] Có học sinh giải tốn sau: Lời giải học sinh 1: Ta có: F (x) = ∫ f (x) dx = ∫ (sinx + cosx) dx = cosx − sinx + C π π π F (x) = cosx − sinx + Vậy đáp án đáp án A Nên hàm số cần tìm Do F ( ) = nên cos − sin + C = ⇔ −1 + C = ⇔ C = Lời giải học sinh 2: Ta có: F (x) = ∫ f (x) dx = ∫ (sinx + cosx) dx = − cosx + sinx + C π π π 2 F (x) = − cosx + sinx + Vậy đáp án đáp án B Nên hàm số cần tìm Do F ( ) = nên − cos + sin + C = ⇔ −1 + C = ⇔ C = Lời giải học sinh 3: Ta có: F (x) = ∫ f (x) dx = ∫ (sinx + cosx) dx = − cosx + sinx + C π π π 2 Nên hàm số cần tìm F (x) = − cosx + sinx − Vậy đáp án đáp án C Do F ( ) = nên − cos + sin + C = ⇔ + + C = ⇔ C = −1 Các bạn có nhận xét cách giải ba học sinh trên? Nhận xét: Bài thuộc dạng toán xác định nguyên hàm hàm số với điều kiện ràng buộc Học sinh tìm nguyên hàm ∫ (sinx + cosx) dx = cosx − sinx + C sai (đúng ∫ (sinx + cosx) dx = sinx − cosx + C ) nên chọn sai đáp án (A) 11 Học sinh tìm nguyên hàm ∫ (sinx + cosx) dx = − cosx + sinx + C π = −1 sai nên dẫn đến chọn đáp án sai (B) Học sinh tìm nguyên hàm ∫ (sinx + cosx) dx = − cosx + sinx + C thay sin π thay cos = −2 sai nên dẫn đến chọn đáp án sai (C) Lời giải đúng: Ta có: F (x) = ∫ f (x) dx = ∫ (sinx + cosx) dx = sinx − cosx + C π π π F (x) = sinx − cosx + Vậy đáp án đáp án D Nên hàm số cần tìm Ví dụ Nguyên hàm hàm số f (x) = x ln x 1 1 A x3 lnx − x + C B x3 lnx − x + C 1 1 C x3 lnx + x + C D x3 lnx + ln x + C [2] Do F ( ) = nên sin − cos + C = ⇔ + C = ⇔ C = Có học sinh giải toán sau: Lời giải học sinh 1:   du = x dx u = ln x ⇒ Đặt   dv = x dx v = x  Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta được: ln x x ln x − ∫ dx = x ln x − ∫ (ln x)(lnx) 'dx x 1 = x ln x − ∫ ln xd (lnx) = x3 ln x − ln x + C 3 ∫x ln xdx = Vậy đáp án đáp án B Lời giải học sinh 2:   du = x dx u = ln x ⇒ Đặt   dv = x dx v = x  Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta được: ∫x 1 1 1 ln xdx = x3 ln x + ∫ x dx = x ln x + ∫ x dx = x ln x + x + C 3 x 3 Vậy đáp án đáp án C  du = dx  u = ln x  x ⇒ Lời giải học sinh 3: Đặt   dv = x dx v = x  Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta được: ∫x ln xdx = ln x x ln x + ∫ dx = x ln x + ∫ (ln x )(lnx) 'dx x 12 = 1 x ln x + ∫ ln xd (lnx) = x3 ln x + ln x + C Vậy đáp án đáp án D 3 Em có nhận xét làm ba học sinh ? Nhận xét: Đây tốn tìm ngun hàm hàm số tích hàm đa thức hàm lơgarít ( thuộc vào dạng mục 2.1.2.2) Học sinh đưa cách đặt áp dụng công thức nguyên hàm phần sai ( ∫ udv = uv − ∫ udu ) nên chọn sai đáp án (B) Học sinh đưa cách đặt áp dụng công thức nguyên hàm phần sai ( ∫ udv = uv + ∫ vdu ) nên chọn sai đáp án (C) Học sinh đưa cách đặt áp dụng công thức nguyên hàm phần sai ( ∫ udv = uv + ∫ udu ) nên chọn sai đáp án (D) Lời giải đúng: Cách (Dùng phương pháp nguyên hàm phần)  du = dx  u = ln x  x ⇒ Đặt   dv = x dx v = x  Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta được: ∫x 1 1 1 ln xdx = x3 ln x − ∫ x3 dx = x ln x − ∫ x dx = x ln x − x + C 3 x 3 Vậy đáp án đáp án A Cách (Dùng định nghĩa nguyên hàm) Ta có: 1 1 1 1 ( x 3lnx − x + C) ' = x ln x + x3 − x = x ln x + x − x = x ln x = f (x) 3 x 3 Vậy đáp án đáp án A Ví dụ Cho F (x) = (x − 1) e x nguyên hàm hàm số f (x) e2 x Tìm nguyên hàm hàm số f '(x) e2 x A ∫ f '(x) dx = (4 − x) e + C ∫ f '(x) dx = (2 − x) e + C x x B 2− x ∫ f '(x) dx = e + C ∫ f '(x) dx = (x − 2) e + C C D Có học sinh giải tốn sau: Lời giải học sinh 1: 2x 2x x x Từ giả thiết, ta có ∫ f (x) e dx = F (x) ⇒ f(x) e = F '(x) = [(x − 1) e ]' = xe x x [10] xe x x (x) '.e x − x.(e x ) ' e x − x.e x e x (1 − x) − x = f '(x) = = = = x Suy (e x ) e x (e x ) (e x ) (e x ) e 1− x Vậy ∫ f '(x) e2 x dx = ∫ x e2 x dx = ∫ (1 − x) e x dx e u = − x du = −dx ⇒ Đặt  x x  dv = e dx v = e ⇒ f (x) = ⇒ ∫ (1 − x) e x dx = −(1 − x) e x − ∫ e x dx = (x − 1) e x − e x + C = (x − 2) e x + C Vậy đáp án đáp án D Lời giải học sinh 2: 13 Từ giả thiết, ta có ∫ f (x) e 2x dx = F (x) ⇒ f(x) e x = F '(x) = [(x − 1) e x ]' = xe x xe x x = x x (e ) e (x) '.e x − x.(e x ) ' e x − x.e x e x (1 − x) − x f '(x) = = = = x Suy (e x ) (e x ) (e x ) e 1− x Vậy ∫ f '(x) e2 x dx = ∫ x e2 x dx = 2∫ (1 − x) e x dx e u = − x du = −dx ⇒ Đặt  x x  dv = e dx v = e ⇒ ∫ (1 − x) e x dx = 2(1 − x) e x + ∫ e x dx = 2(1 − x) e x + 2e x + C = (4 − x) e x + C ⇒ f (x) = Vậy đáp án đáp án A Lời giải học sinh 3: 2x 2x x x Từ giả thiết, ta có ∫ f (x) e dx = F (x) ⇒ f(x) e = F '(x) = [(x − 1) e ]' = xe ⇒ f (x) = xe x x = x x (e ) e (x) '.e x − x.(e x ) ' e x − x.e x e x (1 − x) − x = = = x (e x ) (e x ) (e x ) e 1− x Vậy ∫ f '(x) e2 x dx = ∫ x e2 x dx = ∫ (1 − x) e x dx e du  = −dx u = − x  ⇒ Đặt  ex x dv = e dx v =    ex ex ex 2− x x ⇒ ∫ (1 − x) e x dx = (1 − x) + ∫ e x dx = (1 − x) + + C = e +C 2 2 Suy f '(x) = Vậy đáp án đáp án B Đây toán học sinh dễ mắc sai lầm, sử dụng nhiều kiến thức làm Vậy ba học sinh bạn mắc sai lầm ? Nhận xét: Bài thuộc dạng toán xác định nguyên hàm hàm số với điều kiện ràng buộc Học sinh nhớ sai công thức nguyên hàm phần ∫ udv = −uv + ∫ vdu x x x ( ∫ udv = uv − ∫ vdu ) nên đưa ∫ (1 − x) e dx = −(1 − x) e − ∫ e dx dẫn đến chọn đáp án sai (D) Học sinh sai bước ∫ f '(x) e 2x dx = ∫ 1− x 2x e dx = ∫ (1 − x) e x dx dẫn đến x e chọn đáp án A nên sai ex Học sinh tính dv = e dx ⇒ v = sai dẫn đến chọn đáp án B nên sai x Lời giải đúng: Cách 1: Sử dụng tính chất nguyên hàm: Từ giả thiết, ta có ∫ f (x) e 2x ∫ f (x) dx = F (x) ⇒ F '(x) = f(x) dx = F (x) ⇒ f(x) e x = F '(x) = [(x − 1) e x ]' = xe x 14 xe x x = x x (e ) e (x) '.e x − x.(e x ) ' e x − x.e x e x (1 − x) − x = = = x Suy f '(x) = (e x ) (e x ) (e x ) e 1− x Vậy ∫ f '(x) e2 x dx = ∫ x e2 x dx = ∫ (1 − x) e x dx e u = − x du = −dx ⇒ Đặt   x x  dv = e dx v = e ⇒ ∫ (1 − x) e x dx = (1 − x) e x + ∫ e x dx = (1 − x) e x + e x + C = (2 − x) e x + C ⇒ f (x) = Vậy đáp án đáp án C Cách 2: Sử dụng công thức nguyên hàm phần 2x 2x 2x 2x 2x Ta có: ∫ e f '(x)dx = e f (x) − ∫ f (x).2 e dx = f (x) e − 2∫ f(x) e dx Từ giả thiết: ∫ f (x) e 2x dx = F (x) = (x − 1) e x ⇒ f (x) e x = F '(x) = [(x − 1) e x ]' = xe x Vậy ∫ f '(x) e dx = xe − 2(x − 1) e + C = (2 − x) e + C Vậy đáp án đáp án C Vậy giải tập trắc nghiệm nguyên hàm học sinh thường mắc sai lầm sau: không nhớ định nghĩa nguyên hàm, không nhớ tính chất ngun hàm, khơng nhớ bảng ngun hàm bản, áp dụng phương pháp đổi biến số khơng tính vi phân, kết cuối khơng đưa biến ban đầu, sử dụng phương pháp ngun hàm phần nhớ sai cơng thức, kỹ tính tốn chưa thục, Cách khắc phục: Học sinh phải đọc kỹ đề để định hướng phương pháp giải, phải nhớ định nghĩa nguyên hàm, nhớ tính chất nguyên hàm, nhớ bảng nguyên hàm bản, nhớ phương pháp tính nguyên hàm, dùng phương pháp đổi biến số phải nhớ tinh vi phân, phải đưa biến ban đầu, dùng phương pháp nguyên hàm phần phải nhớ công thức, phải cẩn thận tính tốn, BÀI TẬP VẬN DỤNG 2x x x x Bài Họ nguyên hàm hàm số y = x − 3x + x x3 + x + ln x + C x3 C F (x) = − x + ln x + C B F (x) = x − − A F (x) = Bài Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = 2dx D F (x) = ∫ x − = ln(2 x − ) + C C ∫ x − = ln(2 x − ) + C 2dx Bài Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = cos x A F (x) = sin x + C x3 − x + ln x + C [6] 2 4x − 3 A +C x2 B 2dx ∫ x − = ln x − + C D 2dx ∫ x − = ln x − + C [7] B F (x) = − sin x + C 15 C F (x) = 2sin x + C Bài Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = D F (x) = − sin x + C [5] 6x + 3x − A F (x) = x + ln x − + C C F (x) = ln 3x − + C B F (x) = x + ln 3x − + C D F (x) = x + ln(3 x − 1) + C [7] Bài Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = x − 3 D F (x) = x − + C [5] A F (x) = (2 x − 1) x − + C C F (x) = − B F (x) = (2 x − 1) x − + C 2x −1 + C Bài Nguyên hàm hàm số f (x) = x e2 x 2 A F (x) = e2 x (x − ) + C B F (x) = 2e2 x (x − ) + C C F (x) = 2e2 x (x − 2) + C D F (x) = e2 x (x − 2) + C [6] Bài Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = xe x A ∫ C ∫ f (x) dx = xe f (x) dx = e x + xe x + C x − ex + C B ∫ D ∫ x2 x e +C x2 f (x) dx = e x + e x + C [5] f (x) dx = Bài Nguyên hàm hàm số f (x) = (sinx + 1)3 cos x (cosx + 1) +C (sin x + 1) f (x) dx = +C A ∫ f (x) dx = C ∫ sin x +C B ∫ D ∫ f (x) dx = 4(sin x + 1) f (x) dx = + C [8] cos 3x cos x +1 +1 A F (x) = x + B F (x) = x − 3 cos x cos 3x −1 + [7] C F (x) = x − D F (x) = x − 3 f (x) Bài 10 Cho F (x) = − nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm 3x x hàm số f '(x) lnx ln x ln x A ∫ f '(x) lnxdx = + + C B ∫ f '(x) lnxdx = − + C x 5x x 5x ln x ln x C ∫ f '(x) lnxdx = + + C D ∫ f '(x) lnxdx = − + + C [8] x 3x x 3x Bài Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = x + sin 3x , biết F (0) = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp và nhà trường 2.4.1 Thực nghiệm sư phạm Mục đích việc thực nghiệm đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính đắn giả thuyết khoa học, tính hiệu việc khắc phục sai lầm 16 học sinh lớp 12 Trường THPT Vĩnh Lộc giải tập trắc nghiệm nguyên hàm 2.4.2 Nội dung và cách thức tiến hành thực nghiệm Được cho phép Hiệu trưởng trường THPT Vĩnh Lộc, tiến hành dạy buổi cho học sinh lớp 12B với nội dung: Khắc phục sai lầm học sinh lớp 12 trường THPT Vĩnh Lộc giải tập trắc nghiệm nguyên hàm (Giải tích 12) Sau q trình dạy học, tơi tiến hành kiểm tra lớp 12B4 Chọn lớp đối chứng lớp 12B3 trường THPT Vĩnh Lộc Dưới nội dung kiểm tra (thời gian: 15 phút) Bài Trong hàm số sau, hàm nguyên hàm f (x) = x − x3 + ¡ ? x6 x4 A F (x) = − + x6 x4 B F (x) = − + x + x6 x4 C F (x) = x − 3x D F (x) = + + x + C [6] Bài Cho f (x) = − x + 3x − x Một nguyên hàm F (x) f (x) thỏa mãn F (1) = x4 + x3 − x + 4 x C F (x) = − + x3 − x + 4 x4 + x3 − x − 4 x D F (x) = − + x3 − x − [9] 4 A F (x) = − B F (x) = − Bài Nguyên hàm hàm số f (x) = (2 x + 5)5 (2 x + 5)6 +C (2 x + 5)6 f (x) dx = +C A ∫ f (x) dx = C ∫ B ∫ D ∫ (2 x + 5) +C 12 (2 x + 5) f (x) dx = + C [8] f (x) dx = Bài Tất nguyên hàm hàm số f (x) = 3− x 3− x +C D 3− x ln + C [4] ln Bài Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = 1− 2x A ln(1 − x) + C B ln x − + C 1 C ln x − + C D − ln x − + C [6] 2 Bài Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = − 3x 2 A ∫ f (x) dx = − (5 − x) − x + C B ∫ f (x) dx = − (5 − x) − x + C 2 C ∫ f (x) dx = (5 − x) − x + C D ∫ f (x) dx = − − x + C [9] f (x) = sin x Bài Nguyên hàm hàm số 1 A ∫ f (x) dx = cos x + C B ∫ f (x) dx = − cos x + C 4 A 3− x +C ln B −3− x + C C − 17 C ∫ f (x) dx = cos x + C D ∫ f (x) dx = −4 cos x + C [8] Bài Họ nguyên hàm hàm số f (x) = (2 x + 1) lnx A (x + x) lnx − x2 + x+C B (x + x) lnx − x2 − x+C x x2 C (x + 1) lnx − − x + C D lnx + + C [4] Bài Tìm nguyên hàm hàm số f (x) = x(x + 1)9 A C ∫ f (x) dx = − 20 (x + 1) + C ∫ f (x) dx = 2(x + 1) + C 2 B 10 1 x f '(x) e hàm hàm số x x A ∫ f '(x) e dx = (2 x + 1) e + C ∫ f (x) dx = 20 (x + 1) + C D ∫ f (x) dx = (x + 1) + C [5] 10 2 10 10 Bài 10 Cho F (x) = x + x nguyên hàm hàm số xf (x) Tìm nguyên C ∫ f '(x) e x dx = (2 x − 3) e x + C ∫ f '(x) e dx = (2 x − 1) e + C D ∫ f '(x) e dx = (2 x + 3) e + C B x x x x [8] Dụng ý tập trên: Nhằm kiểm tra khả làm tập trắc nghiệm nguyên hàm em học sinh lớp 12 2.4.3 Kết thực nghiệm Trong lớp 12B4 mà tơi tiến hành dạy thực nghiệm khơng có học sinh giỏi, có khoảng 11 đến 15 em học tương đối khá, cịn lại mức trung bình Bởi vậy, phần lớn em cho dạng toán nguyên hàm tương đối khó Về kiểm tra, chấm kĩ thu kết sau: Lớp Sĩ Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL % 12 B4 45 20 21 46,7 10 22,2 11,1 0 12 B3 45 4,4 12 26,7 15 33,4 14 31,1 4,4 Kết sơ bộ: + Lớp thực nghiệm, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên 88,9%, có 66,7% loại khá, giỏi + Lớp đối chứng, tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình trở lên 64,5%, có 31,1% loại khá, giỏi 2.4.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Qua giảng dạy kiểm tra thực nghiệm với đối tượng học sinh khác nhận thấy rằng: - Đối với đối tượng học sinh chưa tìm hiểu chuyên đề dù nhóm học sinh đuợc đánh giá học lực lớp 12B3 em có kết chưa cao Lý em chưa nắm vững kiến thức, chưa có kỹ cần thiết giải dạng toán nguyên hàm Tuy nhiên có số em thực tốt đánh giá em đa phần học sinh có kiến thức tốt, có khả tư cao ham học hỏi - Với đối tượng giới thiệu em tìm hiểu chuyên đề phần lớn em làm bài, biết cách phân tích để tránh 18 sai lầm thường gặp Số em điểm cao nâng lên rõ rệt, số em trình độ trung bình sau tiếp xúc tìm hiểu chuyên đề làm cao Như qua thân Tôi nhận thấy rằng: Chất lượng học sinh nhóm lấy làm đối chứng có trình độ khả tiếp thu khác nhau, giáo viên tạo điều kiện tiếp xúc giới thiệu cho em sai lầm thường gặp em khơng nắm vững kiến thức mà em vận dụng linh hoạt kiến thức vào tốn, chất lượng mơn học thay đổi rõ rệt, nhiều em say mê tích cực học tập mơn Tốn Qua thân rút số học kinh nghiệm trình giảng dạy Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Qua trình nghiên cứu đề tài “Khắc phục sai lầm học sinh lớp 12 trường THPT Vĩnh Lộc giải tập trắc nghiệm ngun hàm (Giải tích 12)”, tơi thu số kết sau - Dạy học nghệ thuật q trình tích lũy kinh nghiệm lâu dài Vì để nâng cao trình độ chuyên mơn việc đưa sáng kiến kinh nghiệm trình giảng dạy việc làm cần thiết - Sáng kiến kinh nghiệm xây dựng hệ thống toán minh hoạ cho việc phát khắc phục sai lầm học sinh Giúp em học sinh rèn luyện kĩ năng, phát triển tư sáng tạo, nhạy bén giải vấn đề - Sáng kiến kinh nghiệm đáp ứng yêu cầu hoạt động đổi phương pháp dạy học: phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo linh hoạt người học Bồi dưỡng lực tự học, lòng say mê học tập ý chí vươn lên học sinh - Sáng kiến kinh nghiệm chứng tỏ sai lầm cách khắc phục sai lầm giúp học sinh tăng hứng thú học tập môn, chất lượng môn học thay đổi rõ rệt Các em hiểu việc tổng ơn kiến thức nói chung hay rèn luyện kỹ làm tập xác ln đóng vai trị quan trọng Nhiều em say mê tích cực học tập mơn Tốn - Qua cách trình bày em tự hệ thống hoá sai lầm thường gặp giải dạng tập này, giúp em nâng cao điểm số kỳ thi THPT Quốc gia tới - Kết thực nghiệm cho phép xác nhận giả thuyết khoa học đề tài chấp nhận được, có tính hiệu mục đích nghiên cứu hồn thành 3.2 Kiến nghị * Đối với Sở Giáo dục đào tạo: Cần tiếp tục tổ chức giao lưu học hỏi chuyên môn trường trung học phổ thơng tồn tỉnh, đặc biệt dạy học theo phương pháp * Đối với nhà trường: Cần tổ chức thêm số buổi hoạt động ngoại khoá với nội dung khắc phục sai lầm học sinh giải tốn nói chung giải tốn tìm ngun hàm nói riêng, để học sinh trang bị đầy đủ loại tốn này, từ em có nhạy bén làm kỳ thi Trên vài kinh nghiệm việc “ Khắc phục sai lầm học sinh lớp 12 trường THPT Vĩnh Lộc giải tập trắc nghiệm 19 nguyên hàm (Giải tích 12)” Trong q trình thực chắn cịn nhiều thiếu sót, mong góp ý chuyên viên, thầy cô giàu kinh nghiệm đồng nghiệp Cuối xin gửi lời chân thành cảm ơn đồng nghiệp tổ Toán trường THPT Vĩnh Lộc, Hội đồng khoa học Trường THPT Vĩnh Lộc Thanh Hóa giúp đỡ tơi q trình tiến hành kiểm nghiệm hồn thành sáng kiến kinh nghiệm Tơi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng 06 năm 2020 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết: Vũ Thị Nhì 20 ... trường THPT Vĩnh Lộc, tiến hành dạy buổi cho học sinh lớp 12B với nội dung: Khắc phục sai lầm học sinh lớp 12 trường THPT Vĩnh Lộc giải tập trắc nghiệm ngun hàm (Giải tích 12) Sau q trình dạy học, ... cứu sai lầm cách khắc phục học sinh lớp 12 trường THPT Vĩnh Lộc giải tập trắc nghiệm nguyên hàm Có ví dụ minh họa lựa chọn xếp để học sinh hiểu rõ sai lầm hay mắc phải, không nhớ định nghĩa nguyên. .. khoa học, tính hiệu việc khắc phục sai lầm 16 học sinh lớp 12 Trường THPT Vĩnh Lộc giải tập trắc nghiệm nguyên hàm 2.4.2 Nội dung và cách thức tiến hành thực nghiệm Được cho phép Hiệu trưởng trường