KHOẢNG CÁCH toán 11

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG Bài Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , ABC tam giác cạnh a tam giác SAB cân Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  Lời giải S + Gọi D trung điểm BC Do tam giác ABC nên AD  BC + Trong tam giác SAD , kẻ AH  SD 1  SA   ABC   SA  BC  + Do  AD  BC  BC   SAD    SBC    SAD     SA  AD  A    H B A Từ 1   ta suy AH   SBC   d  A,  SBC    AH + Theo giả thiết, ta có SA  AB  a , AD  D a C (đường cao tam giác cạnh a ) + Tam giác SAD vuông nên: 1 1 a 21  2   2    AH  2 2 AH SA AD AH a 3a AH 3a Vậy d  A,  SBC    a 21 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A , B ; AD  2a, AB  BC  SA  a; cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  HDedu - Page Lời giải + Gọi M trung điểm đoạn AD S AD nên ACD vuông C AC  a + Ta có: CM  AM  a  + Kẻ AH  SC H Ta có CD   SAC  nên AH  CD + Suy ra: AH   SCD  H Suy ra: d  A,  SCD    AH H + SAC vng A có: M D A 1 1     2 2 AH SA AC a 2a 2a B C a + Suy ra: d  A,  SCD    AH  Bài Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 2a cạnh bên 3a Tính khoảng cách từ trọng tâm G tam giác ABC đến mặt phẳng  SBC  Lời giải Gọi M trung điểm cạnh BC  G  AM AM  BC S Trong mp(SAM) kẻ GH  SM  H , ta có:   GH  BC BC   SAM    GH   SBC   H (*)  SM , BC   SBC   GH  SM A H  a GM  AM    3 Ta có: AM  2a a    AG  AM  2a  3 G M B 4a a 69 SG  SA  AG  9a   3 2 Xét tam giác SGM vuông G với đường cao GH : HDedu - Page C 1 3 72 a 46       GH  (**) 2 2 GH SG GM 23a a 23a 12 Từ (*) (**) suy ra: d  G,  SBC    GH  a 46 12 Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên với mặt phẳng đáy 60o Tính khoảng cách từ giao điểm I đường chéo AC, BD đến mặt phẳng  SAB  Lời giải S Gọi M trung điểm cạnh AB  IM  AB Trong mp(SIM) kẻ IH  SM  H , ta có:   IH  AB AB   SIM    IH   SAB   H (*)  SM , AB   SAB   IH  SM H M Góc cạnh bên SD mp  ABCD  góc SDI  60o B Ta có: BD  a  ID  A D I C a a a  SI  ID.tan SDI  3 2 Trong tam giác ABC có: IM  a BC  2 Xét tam giác SIM vuông I với đường cao IH : 1 14 a 42  2     IH  (**) 2 IH SI IM 3a a 3a 14 Từ (*) (**) suy ra: d  I,  SAB    IH  a 42 14 HDedu - Page Bài Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, AB  AC  a , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC, mặt phẳng  SAB tạo với đáy góc 600 Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  SAB theo a Lời giải S Gọi K trung điểm AB  HK  AB 1 Vì SH   ABC  nên SH  AB   Từ (1) (2)  AB  SK Do góc  SAB với đáy góc M SK HK SKH  600 Ta có SH  HK.tan SKH  C H a  B 600 K  Từ H kẻ HM  SK M  HM   SAB  d H,  SAB  HM A Ta có HM2   HK2  Vậy d H,  SAB   SH2  16 3a2  HM  a a Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B , BA  3a , BC  4a , mặt phẳng  SBC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  Tam giác SBC có đường cao SH , cạnh SB  2a góc SBC 30o Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  SAC  theo a Lời giải Hạ HD  AC  D  AC  , HK  SD  K  SD   HK   SAC   d  H , SAC    HK Ta có AC  AB2  BC   3a    4a  2  5a HDedu - Page Tam giác SBH có: S BH  SB.cos SBC  2a SH  SB  BH   3a ,  2a    3a   a Ta có HC  BC  HB  4a  3a  a Mặt khác ABC K D A C HDC  g  g  H AB AC AB.HC 3a.a 3a    HD    HD HC AC 5a Xét tam giác vng SHD có HK  Vậy d  H , SAC    HK  B 3a  3a  14 SH  HD 9a 3a  25 a SH HD 3a 14 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D biết AB  AD  2a , CD  a Góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD  60o Gọi I trung điểm AD , biết hai mặt phẳng  SBI   SCI  vng góc với mặt phẳng  ABCD  Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  SBC  theo a Lời giải S Ta có:  SBI    ABCD     SCI    ABCD    SI   ABCD   SBI    SCI   SI  K A B Dựng IH  BC  H  BC  (1) I Ta có SI   ABCD   SI  BC (2) H D C HDedu - Page Từ (1) (2) suy BC  SH    SBC  , ABCD    SHI  60O Dựng IK  SH  d  I , SBC    IK  Tính IH Ta có S ABCD  Mà S IBC  AB  CD  AD  3a ,  S ABCD  S ABI S IDC S ABI  AI AB  a , S IDC  a2 ID DC  2 3a  Gọi E trung điểm AB suy tứ giác AECD hình chữ nhật Suy BC  EC  EB  a Ta có S IBC  3a 3a 3a IH BC   IH   2 BC  Tính IK Xét tam giác IHK có IK  IH sin IHK  Vậy d  I , SBC    IK  3a 3a 15  10 3a 15 10 Bài Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh a Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng  ACD  Lời giải HDedu - Page Gọi O  AC  BD  DO  AC O ABCD hình vng Kẻ DH  OD H  AC  DO  AC   ODD  mà DH   ODD   AC  DH Ta có   AC  DD  DH  AC  DH   ACD  H  d  D,  ACD    DH Ta có   DH  OD ABCD hình vng cạnh a nên OD  BD a  2 ODD vng D có DH đường cao nên: 1 1      2 2 2 2 DH OD DD a a a a 2 a      DH  a  d  D,  ACD   Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABCD có AB  a , AD  a , AA  2a Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC  Lời giải Gọi I  BC  BC HDedu - Page Ta có d  C,  ABC    CI d  B,  ABC    d  B,  ABC   BI Kẻ BH  AC H , BK  BH K  AC  BH  AC   BBH  Ta có   AC  BB mà BK   BBH   AC  BK  BK  BH  BK   ABC  K , d  B,  ABC    BK Ta có   BK  AC BBH vng B có BK đường cao nên: 1 (hệ thức lượng tam giác vuông)   2 BK BB BH 1 1 ( ABC vng B có BH đường cao)   2 2 BK BB BA BC 1 1   2 2 BK  2a  a a  Bài 10   2a  BK   d  C ,  ABC   4a a Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD ABCD ' có cạnh đáy a , cạnh bên Gọi O, O ' tâm hai đáy Tính khoảng cách từ O tới  O ' CD  Lời giải A' D' O' B' C' H A D M O B C Gọi M trung điểm CD HDedu - Page Theo giả thiết O ' O   ABCD   OO '  CD CD  O ' O   O ' OM   Ta có CD  OM   O ' OM   CD   O ' OM  OM  O ' O  O  mà CD   O ' CD    O ' CD    O ' OM  theo giao tuyến O ' M Gọi H hình chiếu vng góc O lên O ' M  OH  O ' M suy OH   O ' CD  H nên d  O,  O ' CD    OH Ta có O ' O  AA '  a Trong O ' OM vuông O , ta có: 1 1      2 2 2 OH OM OO ' a a a 2     2    OH  Bài 11 a a  d  O,  O ' CD    OH  6 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác cạnh 1, AA  Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  ABC  Lời giải Gọi M trung điểm BC  AM  BC Do AA   ABC   AA  BC suy BC   AAM  Kẻ AH  AM  H  AM   AH  BC Do AH   ABC  H hay d  A;  ABC    AH Ta có AM  Suy (đường cao tam giác cạnh ) 15 1 1        AH  2 AH AA AM 3 Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  ABC  15 HDedu - Page Bài 12 Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABC  120 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  AA ' C  Lời giải C' B' A' D' B O A B C C O A D D Gọi O tâm hình thoi ABCD  BO  AC Do ABCD ABCD hình lăng trụ đứng nên AA   ABCD   AA  BO  BO  AC  BO   AAC   d ( B,( AAC ))  BO Ta có:   BO  AA Hình thoi ABCD có ABC  120  AB  AD , ABD  600  ABD tam giác  BD  AB  a  BO  Vậy d ( B,( AAC ))  BO  Bài 13 BO a  2 a Cho hình lăng trụ ABCD ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a ; A ' D  3a ; hình chiếu vng góc A '  ABCD  trùng với trung điểm H cạnh AB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  A ' CD  Lời giải HDedu - Page 10 Theo đề bài, ta có: A ' H   ABCD   A ' H  CD  HI  a Gọi I trung điểm CD    HI  CD 2 5a  3a  5a a 2  A ' H  A ' D  HD     a Suy HD  AH  AD     a  4 2  2 2 CD  HI  CD   A ' HI    A ' CD    A ' HI  Khi đó:  CD  A ' H Trong  A ' HI  , kẻ HK  A ' I ,  K  A ' I  Ta có:   A ' CD    A ' HI    A ' CD    SHI   A ' I    HK   A ' CD   d  H ,  A ' CD    HK  A ' HI   HK    HK  A ' I Trong tam giác vuông A ' HI , có: HK  Vậy d  H ,  A ' CD    A ' H HI A ' H  HI 2  a.a a a 2  a a HDedu - Page 11 ... AH AA AM 3 Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  ABC  15 HDedu - Page Bài 12 Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ABC  120 Tính khoảng cách từ điểm B... a a 2     2    OH  Bài 11 a a  d  O,  O ' CD    OH  6 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác cạnh 1, AA  Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  ABC ... vng góc S lên mặt phẳng  ABC  trung điểm H BC, mặt phẳng  SAB tạo với đáy góc 600 Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  SAB theo a Lời giải S Gọi K trung điểm AB  HK  AB 1 Vì SH