Elip toán 10

LÝ THUYẾT ELIP Chuyển phương trình ban đầu Elíp (E) dạng tắc (E): Xét khả năng: x2 y   a b2 y Trường hợp 1: Nếu a  b , ta đƣợc: b B2  (E) có trục lớn thuộc Ox, độ dài A1 A2  2a chứa hai tiêu điểm y A1 F1  c,  , F2  c,  ; F1 F2  2c  với c  a  b2 -a x O F1 F2 A2 a x  (E) có trục nhỏ thuộc Oy với độ dài B1B2  2b - b B1 c  Tâm sai e  a Trường hợp 2: Nếu a  b , ta đƣợc: y  (E) có trục lớn thuộc Oy, độ dài B1B2  2b chứa hai tiêu điểm b B2 F1  0, c  , F2  0, c  với c  b2  a F1F2  2c  c A1 -a  (E) có trục nhỏ thuộc Ox với độ dài A1 A2  2a c  Tâm sai e  b F2 O A2 a x - c F1 -b B1  MF  a  e  x  a  c x M  a M  Điểm M  xM , yM    E     MF2  a  e  xM  a  c xM  a  Đường chuẩn x   a e  Phương trình cạnh cùa hình chữ nhật sở: x   a; y   b (Độ dài hai cạnh 2a 2b)  *Trục đối xứng: Ox; Oy  *Tâm đối xứng: O Chú ý: Trong trường hợp phương trình (E) có dạng: (E): ( x   )2 ( y   )2 =  a2 b2 ta thực phép tịnh tiến hệ trục Oxy theo vectơ OI với I(, ) thành hệ trục IXY với công thức đổi trục: x  X    X  x     Y  y   y  Y   ta được: (E): X2 Y2  1 a b2 từ đó, thuộc tính (E) hệ trục IXY suy thuộc tính (E) hệ trục Oxy HDedu - Page CHUYÊN ĐỀ 2: XÁC ĐỊNH CÁC THUỘC TÍNH CỦA ELIP Bài Xác định độ dài trục, toạ độ tiêu điểm, toạ độ đỉnh elíp có phương trình sau: a Bài x2 y   25 c x  y  36 Xác định đờng cong sau: a (E): y  Bài b x  y    x  4sin t b (E):  , t   ; 2  2   y  2cos t  x2 Tìm tâm sai Elíp biết: a Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dới góc 600 b Đỉnh trục nhỏ nhìn hai tiêu điểm dới góc 600 c Khoảng cách hai đờng chuẩn lần tiêu cự d Khoảng cách hai đỉnh hai trục hai lần tiêu cự Xác định đỉnh, độ dài trục, tiêu điểm, tiêu cự , tâm sai (E): a) x2 y  1 Bài b) x  25 y  100 Xác định đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm , tâm sai elip (E): a) x  y  18 b) x2 y  1 16 CHUYÊN ĐỀ 3: LẬP PHƢƠNG TRÌNH CỦA ELIP Phuơng pháp: Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Sử dụng phương trình tắc Elíp(E): x2 y  1 a b2 Từ cần tìm a, b (hoặc a , b2 ) cách thiết lập hệ hai phương trình với ẩn a, b (hoặc a , b2 ) Cách 2: Sử dụng định nghĩa HDedu - Page Nếu biết hai tiêu điểm F1  x1 , y1  , F2  x2 , y2  độ dài trục lớn 2a ta thực theo bước: B-íc 1: Lấy điểm M  x, y    E  B-íc 2: Chuyển MF1  MF2  2a (1) thành biểu thức giải tích nhờ: MF12  ( x  x1 )2  ( y  y1 ) (2) MF22  ( x  x2 )2  ( y  y2 )2 (3) B-íc 3: Suy MF1  MF2  MF12  MF22 ( x12  x22 )  ( y12  y22 )  x( x1  x2 )  y ( y1  y2 )  MF1  MF2 2a (4) B-íc 4: Lấy (1) + (4) ta MF1, thay vào (2) ta phương trình (E) Chú ý: Cần phải cân nhắc giả thiết toán thật kỹ để lựa chọn dạng phương trình thích hợp Trong trường hợp khơng có đặc biệt, ta ln giả sử Elíp (E) có phương trình: (E): x2 y   a b2 Trong nhiều trường hợp đặc thù sử dụng phương pháp quỹ tích để xác phương trình Elíp chứng minh tập hợp điểm Elíp Bài Lập phương trình tắc elíp, biết: a Độ dài trục lớn trục nhỏ lần lợt b Độ dài trục lớn 10 tiêu cự c Trục lớn thuộc Oy có độ dài trục lớn 26 tâm sai e = Bài 12 13 Lập phương trình tắc elíp, biết: 12 a Elíp qua điểm M(0, 3) N  3;     3  b Elíp có tiêu điểm F1   3;0  điểm M  1;  nằm elíp   Bài Cho điểm A(3, 3) đường trịn (C) có phương trình:  C1  :  x  2  y  16  C2  : ( x  1)2  y  Gọi M tâm đường trịn (C) di động tiếp xúc với (C1), (C2) Tìm quỹ tích điểm M, biết: a (C) tiếp xúc với (C1) tiếp xúc với (C2) b (C) tiếp xúc với (C1) (C2) HDedu - Page Viết phương trình tắc elip (E) trường hợp sau: Bài a) (E) có độ dài trục lớn tâm sai e   10  ; 1  b) (E) có tọa độ đỉnh  0;  qua điểm M     33  c) (E) có tiêu điểm thứ   3;0  qua điểm M  1;   d) Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm đường thẳng y   có diện tích 48 e) (E) có tâm sai hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Lập phương trình tắc ellip biết: Bài a) Độ dài trục lớn 6, tâm sai e  b) Tiêu điểm F1 (3, 0) , đường chéo hình chữ nhật sở có độ dài 41     c) Qua điểm P 1,  , Q  2,  5  5   3 d) Qua điểm M 1,  MF1  MF2  2 e) Tâm sai e  diện tích hình chữ nhật sở 32 f) Đỉnh trục lớn (5, 0) đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật sở co phương trình x  y  41  Bài Viết phương trình tắc elip (E) trường hợp sau: a) Tâm sai x2 y2 đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật sở (E) có phương trình 34 b) Độ dài trục lớn 15, ( E) qua M cho F1MF2 90 diện tích tam giác MF1F2 26 c) (E) qua M 14 ; , tam giác MF1F2 vuông M HDedu - Page d) Tiêu cự đường trịn nội tiếp tam giác OF2B2 có bán kính ( Với F2 tiêu điểm phải (E) B2 đỉnh (E) có tung độ dương) e) (E) có độ dài trục lớn , đỉnh trục nhỏ tiêu điểm (E) nằm đường tròn f) (E) có tiêu điểm F1 7; qua M g) (E) qua điểm M 1; 15 có tiêu cự h) (E) qua hai điểm M 3; k) (E) qua M 1; ,N 4; 2;12 3 tâm sai e Lập phương trình (E) biết: Bài a) Qua M  2;  có tiêu điểm F1  2;0   3 b) Nhận F2  5;0  làm tiêu điểm độ dài trục nhỏ c) Độ dài trục lớn tiêu cự d) Đi qua điểm M  2;   ; N   6;1  ĐS: a) x2 y  1 b) x2 y  1 49 24 c) x2 y  1 d) x2 y  1 Lập phương trình (E) biết: Bài a) Tổng độ dài hai trục tâm sai e  hình chữ nhật sở có chu vi 20 b) Tâm sai e  c) Tiêu điểm F1  2;0  hình chữ nhật sở có diện tích 12 ĐS: a) x2 8   Bài  y2 4  4 1 b) x2 y  1 c) x2 y  1 Lập phương trình (E) biết: a) Đi qua điểm M   5;  khoảng cách hai đường chuẩn 10 b) Tâm sai e  25 khoảng cách từ tâm đối xứng đến đường chuẩn HDedu - Page c) Độ dài trục lớn 10 phương trình đường chuẩn x  25 d) Khoảng cách hai đường chuẩn 36 bán kính qua tiêu điểm M thuộc (E) 15 ĐS: a) x2 y  1 15 b) x2 y  1 25 16 c) x2 y  1 25 d) x2 y2  1 144 80 Bài 10 Lập phương trình (E) biết: a) Hình chữ nhật sở nội tiếp đường tròn  C  : x2  y  41 qua A  0;5  b) Hình chữ nhật sở nội tiếp đường tròn  C  : x2  y  41 điểm M  1;  nhìn hai tiêu điểm góc 600 c) Một cạnh HCN sở (E) nằm x   độ dài đường chéo hình chữ nhật d) Tứ giác ABCD hình thoi có đỉnh trùng với đỉnh (E) , bán kính đường trịn nội tiếp hình thoi tâm sai e  ĐS: a) x2 y  1 16 25 b) Sử dụng công thức F1F2  MF12  MF2  2MF1.MF2 cos 600 x2 y2 x2 y2    1  43  19   20  19   43  19   20  19          3 3         c) x2 y  1 Bài 11 d) x2 y  1 14 Lập phương trình (E) biết: a) Tứ giác ABCD hình thoi có đỉnh trùng với đỉnh (E) Đường trịn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình:  C  : x  y  AC  2BD; A  Ox b) (E) có độ dài trục lớn giao (E) với đường tròn  C  : x2  y  tạo thành đỉnh hình vng c) (E) có tâm sai e  giao (E) với đường tròn  C  : x  y  A, B, C, D cho AB  3BC d) (E) có độ dài trục lớn , đỉnh trục nhỏ tiêu điểm (E) nằm đường tròn HDedu - Page ĐS: a) c) x2 y  1 20 x2 y2  1 729 81 80 80 Bài 12 b) d) x2 y  1 16 16 x2 y  1 Lập phương trình (E) biết: a) Hai đỉnh trục nhỏ với hai tiêu điểm tạo thành hình vng có diện tích 32 b) (E) Có đỉnh hai tiêu điểm tạo thành tam giác chu vi hình chữ nhật sở 12    c) (E) qua điểm M  3;  M nhìn hai tiêu điểm (E) góc vng 3  d) (E) qua điểm M  1;  tiêu điểm nhìn trục nhỏ góc 60   ĐS: a) x2 y  1 16 Bài 13 b) x2 y  1 36 27 c) x2 y  1 24 d) x2 y  1 Lập phương trình (E) biết: a) (E) có tiêu điểm F1   3;0  qua điểm M, biết tam giác F1MF2 có diện tích vng M b) (E) qua đỉnh tam giác ABC Biết tam giác ABC có trục đối xứng Oy , điểm A  0;  diện tích SABC  49 12 c) Khi M thay đổi (E) độ dài nhỏ OM độ dài lớn MF1 CHUYÊN ĐỀ 4: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM, ĐƢỜNG THẲNG VỚI ELIP I VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM VỚI ELIP Phƣơng pháp: Để xác định vị trí tương đối điểm M  xM ; yM  với Elíp (E): x2 y   a b2 Ta thực theo bước: B-íc 1: Xác định phương tích M Elíp (E) là: HDedu - Page PM / ( E ) xM2 yM2   a b B-íc 2: Kết luận:  Nếu PM / ( E )   M nằm Elíp  Nếu PM / ( E )   M nằm Elíp  Nếu PM / ( E )   M nằm ngồi Elíp Chú ý: Ta có kết sau:  Nếu M nằm (E)  không tồn tiếp tuyến (E) qua M đường thẳng qua M cắt (E) điểm phân biệt  Nếu M nằm (E)  tồn tiếp tuyến (E) qua M (phương trình tiếp tuyến có phương pháp phân đơi toạ độ)  Nếu M nằm (E)  tồn hai tiếp tuyến (E) qua M II VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VỚI ELIP Bằng việc xét hệ phương trình tạo (E) (d), số nghiệm phương trình số giao điểm (d) (E) III VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA HAI ELIP Với hai Elíp (E1) (E2) có phuơng trình: (E1): x2 y x2 y (E ):     a12 b12 a22 b22 Nếu  E1    E2    A, B, C , D  a ABCD hình chữ nhật b Phương trình đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD đường trịn (C) tâm O bán kính R = OA có phương trình:  C  : x  y  Bài a12 a22 (b12  b22 )  b12b22 (a22  a12 ) a22b12  a12b22 Cho điểm M  1;1  Elíp (E) có phương trình: (E): x2 y =  a Chứng minh đường thẳng qua M cắt (E) hai điểm phân biệt b Lập phương trình đường thẳng (d) qua M cắt Elíp hai điểm A, B cho MA = MB Bài Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) Elíp (E) , biết: a  d  : x  y   (E): x2 y   b  d  : x  y   (E): x2 y   HDedu - Page c  d  : x  y  (E): Bài x2 y   x2 y Cho điểm M  1;   Elíp (E):   Lập phương trình đờng thẳng (d) qua 2  M cắt (E) hai điểm phân biệt A, B cho: a M trung điểm AB b AB  20 Từ đó, lập phương trình đường trịn đường kính AB trường hợp Bài Cho Elíp (E1) (E2) có phương trình: (E1): x2 y x2 y   (E2):  1 16 a Chứng minh (E1) (E2) = {A, B, C, D} ABCD hình chữ nhật b Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Bài Cho elip (E) có phương trình 3x  y  30 a) Tìm toạ độ đỉnh, toạ độ tiêu diểm tâm sai elip b) Một đường thẳng d qua tiêu điểm F2(2, 0) (E), song song với trục tung, cắt (E) hai điểm A B Tính khoảng cách từ A B tới tiêu điểm F1 Bài x2 y   điểm M  1;1  Viết phương trình đường thẳng qua M cắt 25 Cho (E): (E) hai điểm phân biệt A, B cho M trung điểm AB ĐS: x  25 y  34  Bài x2 y 2 2   điểm M  ;  Lập phương trình đường thẳng qua M cắt 3 3 Cho (E): (E) hai điểm phân biệt biệt A, B cho MA  2MB  x  2y   ĐS:   x  70 y  50  Bài Cho (E) x2 y   đường thẳng  d  : x  y   Viết phương trình  vng góc với  d  cắt (E) hai điểm A, B cho SOAB  HD: Gọi  : x  y  m  Phương trình tương giao: y  4my  m2   A  y1  m; y1  ; B  y2  m; y2  d  O, AB   m Từ tính SF1 AB   m  2  x  2y   ĐS:   x  2y   HDedu - Page Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho (E) x  y  có hai tiêu điểm F1 , F2 với F1 có hồnh độ âm Gọi d đường thẳng qua F2 song song với  : y   x  cắt (E) A B Tính diện tích tam giác ABF1 ĐS: SABF1  Bài 10 Cho (E): x2 y   đường thẳng (d): 3x  y  12  cắt (E) A B Tìm tọa độ điểm C (E) cho tam giác ABC cân C  2  39 78    2  39 78   ; ; C ; ĐS: C    10 10     Bài 11 Cho (E): x2 y   đường thẳng (d): x  y   cắt (E) A B Tìm 16 tọa độ điểm C (E) cho tam giác ABC có diện tích    ĐS: C  2;   ; C  2 2;  2  2  IV TÌM ĐIỂM THUỘC ELIP Phƣơng pháp : Với Elíp (E) có phơng trình: (E): x2 y   a b2 Ta lựa chọn hai cách sau: Cách 1: Ta thực theo bƯớc: B-íc 1: Lấy điểm M  x0 , y0    E   x02 y02  1 a b2 B-íc 2: Dựa vào điều kiện K có thêm đợc điều kiện cho x0 , y0 Từ suy toạ độ điểm M Cách 1: Ta thực theo bước: B-íc 1: Chuyển phương trình Elíp dạng tham số:  x  a sin t (E):  , t[0, 2)  y  b cos t B-íc 2: Điểm M(E)  M(a.sint, b.cost) B-íc 3: Dựa vào điều kiện K có thêm điều kiện cho x0, y0 Từ suy toạ độ điểm M Chú ý: Ta cần lu ý trường hợp sau: Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng cơng thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm là: F1M  a  cx0 cx F2 M  a  a a Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện góc ta đa toán xét hệ thức lượng tam giác HDedu - Page 10 Nếu điểm phải tìm giao Elíp với đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để tìm toạ độ giao điểm Bài Cho Elíp (E): x2 y   Tìm điểm M thuộc Elíp (E) cho: a Có toạ độ nguyên thuộc (E) b Có tổng hai toạ độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Bài Cho Elíp (E): x2 y   Từ điểm A(E) có toạ độ dương, dựng hình chữ nhật ABCD a b2 nội tiếp (E) có cạnh song song với trục toạ độ Xác định toạ độ A để hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn Bài Trong mặt phẳng Oxy , cho elip (E): x2 25 y2 có tiêu điểm F1 F2 Tìm điểm M (E) cho b) MF1 a) Điểm M có tung gấp ba lần hồnh độ c) F1MF2 Bài 2MF2 OAM lớn với A 1;1 d) Diện tích tam giác 600 Cho elip (E) : x2 y2 1 C 2; Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua trục hoành tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng Oxy , cho elip : 9x 25y 225 có tiêu điểm F1 F2 Tìm điểm M (E) cho a) MF1 MF2 F1F2 b) F1MF2 600 c) Diện tích tứ giác OHMK lớn với H, K hình chiếu điểm M lên hai trục tọa độ Bài Cho A 0; Tìm điểm B, C thuộc elip E : qua trục Ox đồng thời thỏa mãn Bài Cho (E): x2 y2 khoảng cách đến Bài Cho (E): a) Tìm M E x2 a2 y2 b2 x2 y2 cho B, C đối xứng ABC đường thẳng : 3x 4y 24 Tìm M (E) có lớn nhất, nhỏ a b có tiêu điểm F1 c; trường hợp sau: i) Đoạn thẳng F1M ngắn ii) Đoạn thẳng F1M dài b) Tìm hai điểm A, B thuộc (E) thỏa mãn OA OB S OAB nhỏ HDedu - Page 11 Bài Cho C : x y2 441; C ' : x 25 Gọi M tâm đường tròn y2 C di động tiếp xúc với C , C ' Chứng minh tập hợp điểm M elip tìm tọa độ tiêu điểm elip trường hợp sau: a) C tiếp xúc với C tiếp xúc với C ' b) C tiếp xúc với C C ' Bài 10 Cho C : x y2 a b ; C ' : x2 y2 a b b a Các điểm A, B di động C , C ' cho Ox phân giác góc AOB Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng AB Bài 11 Cho hình thoi ABCD tâm I Biết A x2 Bài 12 3y Bài 13 Tính tọa độ đỉnh cịn lại hình thoi Cho hình chữ nhật E : x2 2; , B 0;2 tâm I thuộc đường Elip (E): 3y ABCD Biết A 1; , B 1; B thuộc Elip Tính tọa độ hai đỉnh B D hình chữ nhật Tìm điểm elip (E) (E) : x2 y   thỏa mãn a) Có bán kính qua tiêu điểm trái hai lần bán kính qua tiêu điểm phải b) Nhìn hai tiêu điểm góc vng Bài 14 Cho (E): x  y  Tìm (E) điểm M cho: a) M F1  3MF2 b) Điểm M nhìn hai tiêu điểm góc vng c) Điểm M nhìn hai tiêu điểm góc 60° Bài 15 Cho ( E ) : x2 y   , tiêu điểm F1 (c, 0) Tìm điểm M (E) cho FM ngắn a b2 Bài 16 a) Cho ( E ) : x  y  36 điểm M(l, 1) Lập phương trình đường thẳng qua M b) Cho ( E ) :16 x  25 y  400 điểm M  2;1 Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (E) hai điểm A,B cho M trung điểm AB Bài 17 Cho ( E ) : x2 y   1(a  b  0) a b2 Gọi A giao điểm đường thẳng y  kx (E) Tính OA theo a,b,k HDedu - Page 12 ... x2 y  1 Bài b) x  25 y  100 Xác định đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm , tâm sai elip (E): a) x  y  18 b) x2 y  1 16 CHUYÊN ĐỀ 3: LẬP PHƢƠNG TRÌNH CỦA ELIP Phuơng pháp: Ta lựa chọn... SABF1  Bài 10 Cho (E): x2 y   đường thẳng (d): 3x  y  12  cắt (E) A B Tìm tọa độ điểm C (E) cho tam giác ABC cân C  2  39 78    2  39 78   ; ; C ; ĐS: C    10 10     Bài... với C , C ' Chứng minh tập hợp điểm M elip tìm tọa độ tiêu điểm elip trường hợp sau: a) C tiếp xúc với C tiếp xúc với C ' b) C tiếp xúc với C C ' Bài 10 Cho C : x y2 a b ; C ' : x2 y2 a b b