Bài tập toán xác suất học cao đẳng tiểu học

Chương I: Biến cố ngẫu nhiên và sác suất 1. Công thức xác suất cổ điển: m Số biến cố thuận lợi cho B An k P(B) = = Cn = = n Số biến cố có thể xảy ra k ( n – k) Bài 1 (29): Đội tuyển thi hs giỏi của trường tiểu học X có 10 em, mỗi em thi 2 môn toán và tiếng việt. Kết quả (chấm điểm 20) của các em (.) đội đạt đc từng môn như sau: Môn toán: 8 9 12 15 15 17 18 19 19 19 Môn T V: 7 10 15 16 18 18 18 19 19 20 Rút ngẫu nhiên từ mỗi môn 1 bài . Tìm xác suất để 2 bài thi đó: a) Đều đạt 19 điểm. b) Ít nhất 1 bài đạt 19 điểm. c) Đạt 35 điểm.

Chương I: Biến cố ngẫu nhiên sác suất Công thức xác suất cổ điển: m Số biến cố thuận lợi cho B An k! P(B) = = Cn = = n Số biến cố xảy k! ( n – k) ! Bài (29): Đội tuyển thi hs giỏi trường tiểu học X có 10 em, em thi mơn tốn tiếng việt Kết (chấm điểm 20) em (.) đội đạt đc mơn sau: Mơn tốn: 12 15 15 17 18 19 19 19 Môn T V: 10 15 16 18 18 18 19 19 20 Rút ngẫu nhiên từ môn Tìm xác suất để thi đó: a) Đều đạt 19 điểm b) Ít đạt 19 điểm c) Đạt 35 điểm Giải Gọi A = “Hai rút đạt 19 điểm” B = “Trong rút có đạt 19 điểm” C = “Hai rút đạt 35 điểm” Ghép toán với TV đc biến cố xảy => số biến cố xảy là: n = 10 x 10 = 100 a) Ghép toán đạt 19 điểm với TV đạt 19 điểm đc biến cố thuận lợi cho A => Số biến cố thuận lợi cho A là: m = x = m P(A) = = = 0,06 n 100 b) Ghép toán đạt 19 điểm với TV TV đạt 19 điểm với toán k đạt 19 điểm cho ta biến cố thuận lợi cho B => Số biến cố thuận lợi cho B là: m = x 10 + x = 44 m 44 P(B) = = = 0,44 n 100 c) Rút đc có tổng số điểm 35 Ghép toán với biến cố thuận lợi cho C => Số biến cố thuận lợi cho C là: m = (15 + 20) x + (17 +18) x + (19 + 16) x = m P(B) = = = 0,08 n 100 Bài (30): Gieo đồng tiền cân đối đồng chất Tìm xác suất để: a) Cả đồng xuất mặt sấp b) Một đồng xuất mặt sấp c) Ít đồng xuất mặt sấp Giải: a) Gọi A = “ Biến cố xu xuất mặt sấp” => Số biến cố xảy là: n = ( NN, NS, SN, SS) => Số biến cố thuận lợi cho A => Số biến cố thuận lợi cho A là: P(A) = / = 0,25 b) Gọi B = “ Biến cố đồng xu xuất mặt sấp” => Số biến cố thuận lợi cho B => Số biến cố thuận lợi cho B là: P(B) = / = 0,25 c) Gọi C = “ Biến cố có đồng xu xuất mặt sấp” => Số biến cố thuận lợi cho C => Số biến cố thuận lợi cho C là: P(C) = / = 0,75 Bài (30): Nhóm “Chim Sơn ca” trường tiểu học Kim Đồng có 10 em, (.) em lớp 5A, em lớp 5B em lớp 5C Gặp ngẫu nhiên em nhóm Tìm xác suất để: a) Ba em học sinh lớp khác b) Trong có em lớp 5A c) Cả em học sinh lớp 5A Giải: Gọi A = “ Gặp ngẫu nhiên em học sinh lớp khác nhau” Gọi B = “Trong em có em lớp 5” Gọi C = “Cả em học sinh lớp 5A” Mỗi lần gặp em đội ta đc biến cố xảy => Số biến cố xảy là: 10 ! 10! 10 n = C10 = = = = 120 3! (10- 3!) 3! 7! a) Mỗi lần gặp đc em đội khác cho ta biến cố thuận lợi cho A 1 => Biến cố thuận lợi cho A là: m = C4 C3 C3 = x x = 36 => P(A) = 36 / 120 = 0,3 b) Mỗi lần gặp em lớp 5A em lớp 5B lớp 5C cho ta biến cố thuận lợi cho B 4! 2 => Số b/ cố thuận lợi cho B là: m = C4 C3 + C4 C3 = = = 36 2! 2! => P(B) = 36 / 120 = 0,3 c) Mỗi lần gặp đc em lớp 5C cho ta biến cố thuận lợi cho C => Số b/ cố thuận lợi cho C la: m = C4 = 4! / 3! 1! = => P(C) = / 120 = 0,033 Bài (31): Trong hồ sơ thi giáo viên dạy giỏi huyện X có dạy lớp 1, cô dạy lớp 2, cô dạy lớp 3, cô dạy lớp cô dạy lớp Rút ngẫu nhiên hồ sơ tập Tìm xác suất để: a) Hai hồ sơ giáo viên dạy khối b) (.) hồ sơ có hồ sơ giáo viên dạy khối Giải: Gọi A = “biến cố rút ngẫu nhiên hồ sơ giáo viên dạy khối” => Số biến cố thuận lợi cho A là: 20 ! 20! 19 20 n = C20 = = = = 190 2! (20- 2!) 2! 18! a) Mỗi lần rút đc hồ sơ giáo viên dạy khối cho ta biến cố thuận lợi cho A => Số biến cố thuận lợi cho A là: 2 2 2 m = C4 + C3 + C2 + C5 + C6 = 4.3 3.2 + 5.4 +1+ 6.5 + = 69/2 = 34,5 2 2 => P(A) = 34,5 / 190 = 0,18 Công thức xác suất toàn phần: P(A) = ∑ P(Bi) P(A/Bi) Công thức Bayes: P(Bk) P(A/Bk) P(Bk/A) = P(A) Bài 22(33): Theo số liệu thống kê trường Tiểu học, HS giáo viên chiếm 28% Trong số HS giáo viên có 1,5% xếp loại học lực yếu kém, số HS k phải giáo viên có 4,8% xếp loại học lực yếu a) Gặp ngẫu nhiên HS trường Hỏi XS để em xếp loại học lực yếu bao nhiêu? b) Gặp ngẫu nhiên HS yếu trường Tìm XS để em giáo viên Giải: Gọi A = “Gặp em HS xếp loại yếu kém” Gọi B1 = “Gặp em HS giáo viên” Gọi B2 = “Gặp em HS k phải giáo viên” => B1, B2 lập thành hệ đầy đủ biến cố a) Theo cơng thức xác suất tồn phần ta có: P(A) = P(B1) P(A/B1) + P(B2) P(A/B2) = = 0,28 0,015 + (1 - 0,28) 0,48 = 0,3876 b) Gặp ngẫu nhiên em HS xếp loại yếu kém, theo cơng thức Bayes XS để em giáo viên: P(B1) P(A/B1) 0,28 0,015 P(B1/A) = = = 0,108 P(A) 0,3876 Bài 23 (33- 34): Tỉ lệ sản phẩm chứa (.) kho phân xưởng xí nghiệp sản xuất đồ nhựa sau: Sản phẩm phân xưởng I chiếm 35%, phân xưởng II chiếm 28% phân xưởng III chiếm 37% Trong hàng phẩm chất phân xưởng I chiếm 5%, phân xưởng II chiếm 7% phân xưởng III chiếm 4% a) Lấy ngẫu nhiên từ (.) kho sản phẩm Tìm XS để sp phẩm b) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm ta đc thứ phẩm Hỏi sản phẩm khả phân xưởng nhiều hơn? Giải: Gọi A = “Sản phẩm lấy từ kho hàng phế phẩm” Gọi Bi = “Sản phẩm lấy phân xưởng thứ i”, i = 1, => B1, B2, B3 lập thành hệ đầy đủ biến cố a) Theo công thức xác suất tồn phần ta có: P(A) = P(B1) P(A/B1) + P(B2) P(A/B2) + P(B3) P(A/B3) = = 0,35 0,05 + 0,28 0,07 + 0,37 0,04 = 0,0519 => P(A) = – P(A) = – 0,0519 = 0,9481 b) Lấy ngẫu nhiên sản phẩm thứ phẩm, theo công thức Bayes XS để lấy sản phẩm phân xưởng nhiều là: P(B1) P(A/B1) 0,35 0,05 P(B1) = = = 0,337 P(A) 0,0519 P(B2) P(A/B2) 0,07 0,28 P(B2) = = = 0,3776 P(A) 0,0519 P(B3) P(A/B3) 0,04 0,37 P(B3) = = = 0,2851 P(A) 0,0519 Bài 24 (34): Học sinh khối trường tiểu học chiếm 25%, khối chiếm 20%, khối chiếm 22%, khối chiếm 18% khối chiếm 15% tổng số học sinh toàn trường Tổng kết năm học tỉ lệ học sinh yếu khối 1,5%, khối 2,2%, khối 2,1%, khối 3% khối 3,5% a) Gặp ngẫu nhiên HS trường Tìm XS để HS k phải HS yếu b) Gặp ngẫu nhiên HS yếu Tìm XS để em HS hs khối Nam Giải: Gọi A = “Gặp đc em HS yếu kém” Gọi Bi = “Gặp đc em HS khối lớp i”, i = 1, => B1, B2, B3, B4, B5 lập thành hệ đầy đủ biến cố a) Theo cơng thức xác suất tồn phần ta có: P(A) = P(B1) P(A/B1) + P(B2) P(A/B2) + P(B3) P(A/B3) + P(B4) P(A/B4) + P(B5) P(A/B5) = = 0,25 0,015 + 0,2 0,022 + 0,22 0,021 + 0,18 0,03 + 0,15 0,035 = 0,02342 => P(A) = – P(A) = – 0,02342 = 0,97658 b) Gặp ngẫu nhiên em HS yếu kém, theo công thức Bayes XS để em khối lớp là: P(B5) P(A/B5) 0,15 0,035 P(B5/A) = = = 0,224 P(A) 0,02342 Công thức xác suất nhị thức: k k Pn(k) = Cn pk (1 – P)n – k = Cn pk qn – k Bài 31(35): Học sinh giỏi lớp 5A đạt tỉ lệ 80% Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên em có em học sinh giỏi Giải: Gọi A = “Gặp em học sinh giỏi” Coi việc gặp ngẫu nhiên em HS tiến hành phép thử Bernoulli => n = Theo công thức XS nhị thức, XS để biến cố A xuất lần (k = 5) là: P8(5) = C8 (0,8)5 (1 – 0,8)8 – = 56 (0,8)5 (0,2)3 = 0,1468 Bài 32 (35): Giáo viên trường tiểu học có 15% nam Tìm XS để gặp ngẫu nhiên giáo viên có người nữ Giải: Gọi A = “gặp giáo viên nữ” P(A) = 0,85 Coi việc gặp ng/nhiên GV trng tiến hành phép thử Bernoulli => n = Theo công4 thức XS nhị thức, XS để biến cố A xuất lần (k = 4) là: P6(4) = C6 (0,85)4 (1 – 0,85)6 – = 15 (0,85)4 (0,15)2 = 0,176 Chương 2: Biến ngẫu nhiên hàm phân phối Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất: X x1 x2 , …………, xn P[X = xi] p1 p2, …………., pn Hàm phân phối xác suất: x ≤ x1 P1 x1 < x ≤ x2 F(x) = P1 + p2 x2 < x ≤ x3 p1 + p2 + …+ pi xi < x ≤ xi + 1 x > xn Bài (63): Tỷ lệ HS lên lớp trường tiểu học đạt 95% Gặp ngẫu nhiên HS trường Gọi X số HS đc lên lớp (.) em Hãy viết phân phối hàm phân phối xác suất X Giải: Coi việc gặp ngẫu nhiên 2HS tiến hành phép thử Bernoulli => n = Gọi A = “Gặp đc em HS đc lên lớp” => P(A) = 0,95 Theo công thức xác suất nhị thức ta có:0 - Xác suất để A xuất lần là: P2(0) = C12 (0,95)0 (0,05)2 = 0,0025 - Xác suất để A xuất lần là: P2(1) = C22 (0,95)1 (0,05) = 0,095 - Xác suất để A xuất lần là: P2(2) = C2 (0,95)2 (0,05)0 = 0,9025 * Nếu X số HS lên lớp em ta có phân phối xác suất X là: X P[X = xi] 0,0025 0,095 0,9025 * Hàm phân phối SX X là: x ≤ F(x) = 0,0025 < x ≤ 0,0975 < x ≤ x > Bài (63): Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên f đc vho bảng sau: f -3 -2 P[f = a] 0,2 0,14 0,42 0,18 0,06 a) Viết hàm phân phối xác suất f b) Tính P[f < -1] ; P[ -4 ≤ f < ] Giải: a) Viết hàm phân phối XS f: a ≤ -3 0,2 -3 < a ≤ -2 0,34 -2 < a ≤ F(a) = 0,76 < a ≤ 0,94 < a ≤ x > b) P[ f < -1] = p[ f = -3] + p[f = -2] = 0,2 + 0,14 = 0,34 P[ -4 ≤ f < 1] = F(1) – F(4) = 0,76 – = 0,76 Bài 3(63): Theo số liệu trạm phòng chống lao cho biết: (.) số người đến tram khám kiểm tra sức khỏe có 15% bị nhiễm lao Gọi X biến ngẫu nhiên số hồ sơ bệnh nhân bị nhiễm lao (.) số hồ sơ rút ngẫu nhiên trạm Viết phân phối hàm phân phối xác suất X Giải: Coi việc xét ngẫu nhiên hồ sơ tiến hành phép thử Bernoulli => n = Gọi A = “Rút đc hồ sơ bệnh nhân bị nhiễm lao” => P(A) = 0,15 Theo công thức xác suất nhị thức ta có: - Xác suất để A xuất lần là: P3(0) = C3 (0,15)0 (0,85)3 - = 0,614125 - Xác suất để A xuất lần là: P3(1) = C3 (0,15)1 (0,85)3 – = 0,325125 - Xác suất để A xuất lần là: P3(2) = C3 (0,15)2 (0,85)3 -2 = 0,057375 - Xác suất để A xuất lần là: P3(3) = C3 (0,15)3 (0,85)0 = 0,003375 * Nếu X số hồ sơ bị nhiễm lao (.) hồ sơ ta có phân phối xác suất X là: X P[X = xi] 0,614125 0,325125 0,057375 0,057375 0,003375 * Hàm phân phối XS X là: x ≤ 0,614125 < x ≤ F(X) = 0,93925 < x ≤ 0,996625 < x ≤ x > Bài 9(64): Trong số 10 em HS trường tiểu học A thi HS giỏi có em đạt giải Gọi f số em k đạt giải gặp em (.) đội tuyển Viết phân phối xác suất f (cũng hỏi gặp em) Giải: Coi việc gặp ngẫu nhiên 2HS (.) đội tuyển tiến hành phép thử Bernoulli => n = Gọi A = “Gặp em HS k đạt giải” => P(A) = 0,3 Theo cơng thức xác suất nhị thức ta có: - Xác suất để A xuất lần là: P2(0) = C2 (0,3)0 (0,7)2 = 0,49 - Xác suất để A xuất lần là: P2(1) = C2 (0,3)1 (0,7) = 0,42 - Xác suất để A xuất lần là: P2(2) = C2 (0,3)2 (0,7)0 = 0,09 * Bảng phân phối xác suất X là: X P[X = xi] 0,49 0,42 * Hàm phân phối SX X là: x ≤ F(x) = 0,49 < x ≤ 0,91 < x ≤ x > 0,09 Bài 10(64): Tỷ lệ phẩm sản phẩm xí nghiệp xuất xưởng đạt 90% Lấy ngẫu nhiên sản phẩm xí nghiệp Gọi biến ngẫu nhiên f số phẩm số sản phẩm Viết phân phối xác suất f Giải: Coi việc rút ngẫu nhiên sản phẩm tiến hành phép thử Bernoulli => n = Gọi f = “Lấy ngẫu nhiên sản phẩm phẩm” => P(A) = 0,90 Theo công thức xác suất nhị thức ta có: - Xác suất để f xuất lần là: P5(0) = C15 (0,90)0 (1 – 0,90)5 - = 0,00001 - Xác suất để f xuất lần là: P5(1) = C52 (0,90)1 (0,1)4 = 0,00045 - Xác suất để f xuất lần là: P5(2) = C53 (0,90)2 (0,1)3 = 0,0081 - Xác suất để f xuất lần là: P5(3) = C54 (0,90)3 (0,1)2 = 0,0729 - Xác suất để f xuất lần là: P5(4) = C55 (0,90)4 (0,1)1 = 0,32805 - Xác suất để f xuất lần là: P5(5) = C5 (0,90)5 (0,1)0 = 0,59049 * Bảng phân phối xác suất f là: f P[f = xi] 0,00001 0,00045 0,0081 0,0729 0,32805 0,59049 * Hàm phân phối XS f là: x ≤ 0,00001 < x ≤ 0,00046 < x ≤ F(f) = 0,00856 < x ≤ 0,08146 < x ≤ 0,40951 < x ≤ x > Hàm phân phối đồng thời biến ngẫu nhiên X, Y Ví dụ: Cho bảng phân phối đồng thời: Y X - Tìm phân phối xác suất X, Y 0,1 0,06 - Tìm phân phối đồng thời 0,3 0,18 0,2 0,16 Giải: Ta có:2 P[ X = 1] =j =∑ p1j = 0,1 + 0,06 = 0,162 P[ X = 2] =j = ∑ p2j = 0,3 + 0,18 = 0,48; P[ X = 3] =j =∑ p3j = 0,2 + 0,16 = 0,36 1 => Phân phối X là: X P[X = xi] 0,16 0,48 Tương tự ta có phân phối Y là: Y P[Y = yj] 0,6 0,4 Kì vọng tốn biến x: (EX) ∞ EX =i = ∑ xi pi 0,36 ∞ *Tính chất: - Nếu C số: EC = C EC =i =∑ C pi = C = C - E (C X) = C EX - E (X Y) = EX EY với X, Y độc lập; - E (X + Y) = EX + EY Phương sai: (DX) DX = E (X – EX) *Tính chất:∞ ∞ 2 2 - DX =i =∑1 (xi – EX) pi - DX = E(X ) - (EX) với E(X ) =i =∑1 xi pi - DC = - D(X Y) = DX DY với X, Y độc lập - D(X + Y) = DX + DY - D(CX) = C2DX Bài tập: Tìm kì vọng, phương sai, trung vị, mod? X -5 -1 P[X = a] 0,1 0,6 0,3 *Kì vọng: EX =i =∑ xi p3 i =2 (-5) 0,1 + (-1) 0,6 + 0,3 = 0,1 E(X2)i ==1 ∑ xi pi = (-5)2 0,1 + (-1)2 0,6 + 42 0,3 = 7,9 * Phương sai: DX = E(X2) - (EX)2 = 7,9 – (0,1)2 = 7,89 * Trung vị: Khơng có xMe để F(xMe) = ½ => K có trung vị * Mod: P[x = -1] = 0,6 lớn => modx = -1 Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục phân phối xác suất Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên liên tục biến ngẫu nhiên nhận giá trị (.) khoảng a, b (a, b) (-∞; +∞) Hàm phân phối: F(x) = p[W : X(w) < x], x R Phân phối liên tục tuyệt đối: - Biến ngẫu nhiên x có phân phối liên tục tuyệt đối F(x) = ∫ f(x)dx, x R Hàm f(x) gọi hàm mật độ biến ngẫu nhiên x Hàm mật độ f(x) có tính chất: f(x) = F’(x); f(x) ≥ ∫ f(x) dx = P(a ≤ x < b) = F(b) – F(a) = ∫ f(x) dx * Kì vọng tốn: EX = ∫ x f(x) dx * Phương sai: DX = E(X – EX)2 = E(X2) – (EX)2 Trong đó: E(X2) = ∫ x2 f(x) dx Ví dụ: Cho hàm phân phối biến ngẫu nhiên X sau: với x ≤ F(x) = x với < x ≤ 1 với x > Tìm f(x), Tính EX, DX ? Giải: Theo tính chất ta có: với x [0, 1] ’ f(x) = F (x) = với x [0, 1] EX = ∫ x f(x) dx = ∫ x dx + ∫ x dx + ∫ x dx = ∫ x dx = X = 1/2 2 X E(x ) = ∫ x f(x) dx = ∫ x dx = = 1/3 DX = E(x2) – (EX)2 = 1/3 – (1/2)2 = 1/12 Chương 3: LÝ THUYẾT THỐNG KÊ Bài 1: Lí thuyết mẫu Tần số n Tần số: Wi = = i Kích thước mẫu n Hàm phân phối mẫu: m F(x) = n Gọi hàm phân phối thực nghiệm biến ngẫu nhiên x m số quan sát Xi < x ; n kích thước mẫu Ví dụ: X biến lực học toán Kiểm tra 10 em kết quả: X ni Viết hàm phân phối mẫu? Kích thước mẫu n = 10 - Bảng tần suất: X ni / 10 / 10 /10 - Hàm phân phối mẫu: F(x) = * Kì vọng mẫu: X x1 x2 … Tần số ni n1 n2 … Kì vọng mẫu là: Phương sai mẫu: S = n 3/ 10 7/10 xn nn với x ≤ với < x ≤ với < x ≤ với x > X = n n n k ∑ xi ni i=1 2 ∑ (X – X) = i i=1 n i =∑1 (Xi ) – (X) = X – (X) n S*2 = n - S2 = ∑ ( Xi – X)2 n-1 Bài 7(110): Cho mẫu ngẫu nhiên: X ni 10 15 25 Hãy xác định: Hàm phân phối mẫu; Đa giác tần số; Đa giác tần suất Trung bình phương sai mẫu mẫu Giải: a) Kích thước mẫu n = 50 Ta có bảng tần suất: X wi 10 15 25 50 50 50 Ta có hàm phân phối mẫu: với x ≤ F10(x) = 10 / 50 với < x ≤ 25 / 50 với < x ≤ với x > 2 Đa giác tần số tần suất ni wi 0,5 25 15 10 0,3 0,2 xi Trung bình mẫu: 10 + 15 + 25 X= = 4,4 50 Phương sai mẫu: 12 10 + 42 15 + 62 25 X2 = = 23 50 2 S = X – (X)2 = 23 – (4,4)2 = 3,64 S*2 = xi n 50 50 S2 = S = 49 3,64 = 3,71 n-1 50 - Bài Ước lượng tham số Khoảng ước lượng of kì vọng a (.) phân phối chuẩn cho mẫu quan sát x 1, x2, …, xn biến ngẫu nhiên x từ phân phối chuẩn dạng tổng quát N(a, σ2) a Khoảng ước lượng kì vọng a với độ tin cậy - là: - σ – biết: x σ x σ Xn < a < Xn + √n √n X tra từ bảng phân phối chuẩn N(0, 1) cho F(x ) = – - σ- chưa biết: * t s*(x) t s (x) Xn < a < Xn + √n √n n ∑ ( Xi – X)2 n - 1i = Nếu n > 30 ta tra x phần S* = n < 30 ta tra x tra bảng phân phối student Với n – bậc tự (bảng phía) Ta viết: * * a = Xn ± t s (x) khoảng chứa tham số a có đầu nút là: Xn ± t s (x) √n √n 10 Bài 1: Tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 10 học sinh kết sau: X: 5 (n = 10) Giả sử X có phân phối chuẩn dạng tổng quát N(a, σ2) Hãy tìm khoảng ước lượng a với độ tin cậy 0,95 Giải: Ta có: X = 2.1 + 3.1+ 4.1 + 5.3 + 6.2 + 7.1 + 8.1 =5,1 10 10 *2 S = n - i =∑1 (xi – X)2 = [(2- 5,1)2 + (3-5,1)2 + (4- 5,1)2 + 3.(5 - 5,1)2 + 2.(6- 5,1)2 + (7- 5,1)2 + (8-5,1)2] = 3,21 n = 10 < 30 => t tra bảng phân phối student với n - = bậc tự - = 0,95 => = 0,05 Do t(0,05; 9) = 2,26 Vậy khoảng ước lượng a với độ tin cậy 0,95 là: Xn - s* √n < a < Xn + s* 5,1 - 2,26 √n 3,21 < a < 5,1 + 2,26 10 3,21 10 3,81 < a < 6,38 Bài 2: Kiểm tra sản lượng lúa vùng phía bắc đc kết sau: Mảnh: 10 Sản lượng 51 48 56 57 44 52 54 60 46 47 (tạ/ ha) Hãy tìm khoảng ước lượng a với độ tin cậy 90% Biết sản lượng lúa có quy luật phân phối chuẩn N(a, σ2) Giải: Ta có: X = 51 + 48+ 56 + 57 + 44 + 52 + 54 + 60+ 46 + 47 =51,5 10 1 10 S = n - i =∑1 (xi – X) = [(51- 51,5)2 + (48- 51,5)2 + (56- 51,5)2 + *2 (57- 51,5)2 + (44- 51,5)2 + (52- 51,5)2 + (54- 51,5)2 + (60- 51,5)2 + (46- 51,5)2 + (47- 51,5)2 = 27,61 n = 10 < 30 => t tra bảng phân phối student với n - = bậc tự - = 0,9 => = 0,1 Do t(0,1; 9) = 1,83 Vậy khoảng ước lượng a với độ tin cậy 0,9 là: Xn - s* √n < a < Xn + s* √n 51,5 – 1,83 27,61 10 < a < 51,5 + 1,83 27,61 10 18,45 < a < 54,54 11 b Khoảng ước lượng xác suất p phân phối nhị thức - Khoảng ước lượng xác suất p với độ tin cậy - là: P (1- p) P (1- p) p = = n 400 Gieo 400 hạt => n = 400 => Khoảng ước lượng xác suất k nảy mầm p với độ tin cậy - = 0,999 là: p–x (x đc tra bảng phân phối chuẩn cho F(x ) = =12 => x = 3,3) P (1- p) P (1- p) x Z = σ => Bác bỏ giả thiết H0 , tức điểm trung bình k phải (a 6) VD2: Kiểm tra chất lượng sản phẩm nhà máy người ta kiểm tra ngẫu nhiên 20 sản phẩm kết sau: Kích thước sp (xi) 12, 12, 12, 13, 13,5 Tần số (ni) Giả sử kích thước sản phẩm tuân theo quy luật phân phối chuẩn Hãy kiểm định giả thiết H0: a = 12 với k: a 12 mức = 5% Giải Giải: 0,05 x đc tra bảng phân phối chuẩn cho F(x ) = =12 = 0,975 => x = 1,96 13 Bài toán 2: So sánh trung bình mẫu độc lập có phân phối chuẩn dạng tổng quát VD1: Kiểm tra ngẫu nhiên lợn giống trại lợn giống trại kết cân sau: Ở trại 1: X: 15, 10, 12,6 14, 12,6 13, 11,9 Ở trại 2: Y: 12, 13, 10, 11,4 14,9 12,6 Giả sử quan sát X, Y độc lập có phân phối chuẩn dạng tổng quát N(a1, σ2) N(a2, σ2) Hãy so sánh trọng lượng trung bình lợn giống trại mức = 0,1 với σ = 0,1 Giải: Để so sánh trọng lượng trung bình trại ta đưa toán kiểm định giả thiết H0: a1 = a2 với k: a1 = a2 mức = 0,1 Ta có: 0,1 x đc tra bảng phân phối chuẩn cho F(x ) = =12 = 0,95 => x = 1,64 X = 15,7 + 10,3 + 2.12,6 + 14,5 + 13,8 + 11,9 = 13,05 Y = 12,3 + 13,7 + 10,4 + 11,4 + 14,9 + 12,6 = 12,55 13,05– 12,55 X–Y => Z = σ + = = 0,898 < x + => Chấp nhậnmgiả nthiết H0: a1 =7 a2 trọng lượng trung bình lợn giống trại Bài toán 3: Kiểm định XS P phân phối nhị thức kiểm định giả thiết H0: p = p0 với k: p = p0 VD: Gieo 300 hạt giống đậu tương thấy có 261 hạt nảy mầm người ta thông báo tỷ lệ nảy mầm đậu tương 90% điều nhận định có k? cho mức kiểm định = 5% Giải: Gọi A = “Hạt nảy mầm” => P(A) = 90% => X = 261; n = 300 Ta đưa toán kiểm định giả thiết H0: p = 0,9 với k: p = 0,9 mức = 5% = 0,05 x đc tra bảng phân phối chuẩn cho F(x ) = =1= 0,975 2 => x = 1,96 Ta có: Z = X – n p0 n p0 (1- p0) = 261 – 300 0,9 300 0,9 (1- 0,9) 14 = 1,73 < x => Chấp nhận giả thiết H0: p = 0,9 => Tỷ lệ nảy mầm hạt đậu tương thơng báo Bài tốn 4: So sánh xác suất dãy phép thử Bernoulli VD1: Có hai phương pháp gieo hạt Theo phương pháp A gieo 100 hạt có 80 hạt nảy mầm Theo phương pháp B gieo 125 hạt có 90 hạt nảy mầm Hãy so sánh phương pháp với mức kiểm định = 5% Giải: Ta có X = 80, Y = 90, n = 100, m = 125 Để so sánh phương pháp ta đưa toán kiểm định giả thiết H0: p1 = p2 với k: p1 = p2 mức = 5% = 0,05 x đc tra bảng phân phối chuẩn cho F(x ) = =12 = 0,975 => x = 1,96 X Y Ta có: n m Z= = + n m = X+Y n+m 1- X+Y n+m 80 - 90 100 125 = 1 80 + 90 + 100 125 100 + 125 1- 80 + 90 100 + 125 0,08 = 1,387494 < x 0,0576579 => Chấp nhận giả thiết H0: p1 = p2 hiệu hai phương pháp VD: Để đánh giá chất lượng sản phẩm nhà máy ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 sản phẩm nhà máy I thấy có 90 sản phẩm tốt 150 sản phẩm nhà máy II thấy có 100 sản phẩm tốt Hãy so sánh tỷ lệ sản phẩm tốt nhà máy sản xuất mức = 5% Giải: Ta có X = 90, Y = 80, n = 150, m = 100 Ta thấy X 90 Y 100 = = 0,9 ; = = 0,666 100 100 150 150 X > Y Ta kiểm định giả thiết H : p = p với k: p > p 2 m n X Y Ta có: m n Z= = + m n = X+Y m+n 1- X+Y m+n 90 - 100 100 150 1 90 + 100 + 100 150 100 + 150 = 1- 90 + 100 100 + 150 15 0,23334 = 4,233 > 1,65 0,05513 = 5% = 0,05 x đc tra bảng phân phối chuẩn cho F(x ) = = – 0,05 = 0,95 => x = 1,65 => Giả thiết H0 bị bác bỏ, tức tỷ lệ phế phẩm nhà máy II cao nhà máy I 16 ... phân phối xác suất X Giải: Coi việc gặp ngẫu nhiên 2HS tiến hành phép thử Bernoulli => n = Gọi A = “Gặp đc em HS đc lên lớp” => P(A) = 0,95 Theo công thức xác suất nhị thức ta có:0 - Xác suất để... 0,0025 - Xác suất để A xuất lần là: P2(1) = C22 (0,95)1 (0,05) = 0,095 - Xác suất để A xuất lần là: P2(2) = C2 (0,95)2 (0,05)0 = 0,9025 * Nếu X số HS lên lớp em ta có phân phối xác suất X là:... xác suất X Giải: Coi việc xét ngẫu nhiên hồ sơ tiến hành phép thử Bernoulli => n = Gọi A = “Rút đc hồ sơ bệnh nhân bị nhiễm lao” => P(A) = 0,15 Theo công thức xác suất nhị thức ta có: - Xác suất