SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2012 – 2013 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) x +4 Tính giá trị biểu thức A x = 36 x +2 x x + 16 2) Rút gọn biểu thức B = (với x ≥ 0, x ≠ 16) + : x +4 x x − + 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên Bài II (2,0 điểm) Giái tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: 12 Hai người làm chung cơng việc xong Nếu người làm thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong công việc? Bài III (1,5 điểm) 2 x + y = 1) Giải hệ phương trình 6 − =1 x y 1) Cho biểu thức A = 2) Cho phương trình : x − (4m − 1) x + 3m − 2m = (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x22 = Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB 1) Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ACM = ACK 3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C 4) Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d AP.MB cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB = R MA Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK Bài V (0,5 điểm) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x ≥ 2y, tìm giá trị nhỏ x2 + y biểu thức M = xy BÀI GIẢI Bài I: (2,5 điểm) 36 + 10 = = 36 + 1) Với x = 36, ta có : A = 2) Với x ≥ , x ≠ 16 ta có : x( x − 4) 4( x + 4) x + (x + 16)( x + 2) x +2 B = + = = x − 16 x + 16 (x − 16)(x + 16) x − 16 x − 16 x +2 x +4− x −2 3) Biểu thức B (A – 1) = số nguyên = x − 16 x − 16 x +2 ⇔ x – 16 = ±1 hay x – 16 = ±2 ⇔ x = 15 hay x = 17 hay x = 14 hay x = 18 Bài II: (2,0 điểm) Đặt x số người thứ hoàn thành công việc ⇒ x + số người thứ hai hồn thành cơng việc Vậy ta có phương trình : 1 ⇔x=4 + = x x + 12 Vậy người thứ làm xong công việc người thứ hai làm xong công việc Bài III: (1,5 điểm) 2 2 y = x + y = x + y = x = 1) ⇔ ⇔ 2 ⇔ y = x = 6 − = − = −5 [pt(2) − 3pt(1)] x y y 2) ∆ = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, ∀m Vậy phương trình có nghiệm phân biệt ∀m c b Ta có : x1 + x2 = − = 4m – x1.x2 = = 3m2 – 2m a a Do đó, ycbt ⇔ (x1 + x2) – 2x1x2 = −3 ⇔ (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = ⇔ 10m2 – 4m – = ⇔ m = hay m = Q Bài IV: (3,5 điểm) C M H P A E K O B 1) Tứ giác CBKH có hai góc đối HCB = HKB = 900 nên tứ giác CBKH nội tiếp vòng tròn đường kính HB 2) Góc ACM = ABM chắn cung AM ACK = HCK = HBK chắn cung HK Vậy ACM = ACK 3) Xét tam giác MAC EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB góc MAC = MBC chắn cung MC nên tam giác Vậy ta có CM = CE CMB = 450 chắn cung CB = 900 Vậy tam giác MCE vuông cân C 4) Xét tam giác PAM OBM AP.MB AP OB Theo giả thuyết ta có Mặt khác ta có PAM = ABM =R⇔ = MA MA MB chắn cung AM tam giác đồng dạng Vì tam giác OBM cân O nên tam giác PAM cân P Vậy PA = PM Kéo dài BM cắt d Q Xét tam giác vng AMQ có PA = PM nên PA = PQ P trung điểm AQ nên BP qua trung điểm HK, định lí Thales (vì HK//AQ) Bài V: (0,5 điểm) x2 + y2 M= với x, y số dương x ≥ 2y xy x + 4y x + y + 3y x(2y) Ta có ≤ (Bất đẳng thức Cauchy) = = M 2(x + y ) 4(x + y ) 4(x + y ) 3y 3y + ≤ + = + = (Thay mẫu số số nhỏ hơn) 2 2 4(x + y ) 4(4y + y ) 20 5 Suy Max = x = 2y, giá trị nhỏ M = đạt x = 2y M = ...BÀI GIẢI Bài I: (2,5 điểm) 36 + 10 = = 36 + 1) Với x = 36, ta có : A = 2) Với x ≥ , x ≠ 16 ta có : x( x − 4) 4( x + 4) x + (x... 4m – x1.x2 = = 3m2 – 2m a a Do đó, ycbt ⇔ (x1 + x2) – 2x1x2 = −3 ⇔ (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = ⇔ 10m2 – 4m – = ⇔ m = hay m = Q Bài IV: (3,5 điểm) C M H P A E K O B 1) Tứ giác CBKH có hai góc đối