Đề thi thử HSG tỉnh toán 11 năm 2019 2020 trường nguyễn duy trinh nghệ an

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 11- NĂM HỌC 2019-2020 SỞ GD&ĐTNGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN DUY TRINH Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (7,0 điểm) Giải phương trình sau: x ( a) ( sin x + cos x= ) + 2sin sin x sin x + − ) b) x + + − x + 12 − x − x = x − + x + Câu (7,0 điểm) a) Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số cịn lại xuất khơng q lần  x= + ( y − x )( y + 1)  b) Giải hệ phương trình  x+5 = xy − y −  3y − −  ( x, y ∈  ) Câu (4,0 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng C , có phân giác 7 AD với D( ; − ) thuộc BC Gọi E F thuộc cạnh AB AC cho AE = AF Đường thẳng EF cắt BC K Biết E ( ; − ) , F có hồnh độ nhỏ phương 2 Viết phương trình cạnh tam giác ABC trình đường thẳng AK x − y − = đường tròn b) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x − y = (T ) : ( x − 1) + ( y + ) 2 Từ điểm M thuộc đường thẳng d kẻ hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B = tiếp điểm) cát tuyến MCD đến đường tròn (T ) với C nằm M D ; AB cắt CD N Tìm tọa độ điểm M biết CD = ND = Câu (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y) + + ≥ xyz − yz − zx − xy - HẾT - Họ tên thí sinh: Số báo danh: Câu (7,0đ) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ Mơn: TỐN Đáp án ( ) Điểm x a) (3,5đ) Giải phương trình ( sin x + cos x= ) + 2sin sin x sin x + − (1) (1) ⇔ + 2sin x cos x + 1= − cos x sin x + 4sin x − sin x ⇔ ( − 4sin x ) + ( 2sin x cos x −= cos x ) ⇔ (1 − 2sin x ) + cos x= ( 2sin x − 1) sin x − sin x ) 1,0 sin x ( 2sin x − 1)  2sin x − =0 sin x − cos x + = 0⇔  sin x − cos x + = π  sin x − cos x + =0 ⇔ sin  x −  =−1 6  ⇔ ( 2sin x − 1) +) (2 0,5 ( ) ⇔ x− π = − π + k 2π ⇔ x = − π 1,0 0,5 + k 2π , k ∈  π  + k 2π x=  +) 2sin x − = ⇔ sin x = ⇔  (k ∈ ) π = + k 2π x  0,5 Vậy phương trình cho có nghiệm π π 5π x= − + k 2π , x = + k 2π , x = + k 2π ( k ∈  ) 6 b) (3,5đ) Giải phương trình x + + − x + 12 − x − x = x − + x + 5 ĐK: − ≤ x ≤ Đặt t = x + + − x ⇒ 12 − x − x = t2 − , (t > 0) t2 − + t = x −1+ 2x + Suy t2 + 2t = a2 + 2a với a = x + 5, (a ≥ 0) ⇒ (t − a)(t + a + 2) =0 ⇒ t =a Khi phương trình trở thành: P P P P Với t = a ta có x + + − x = (7,0đ) x + ⇔ 12 − x − x = x − ⇔ x = + 89 0,5 1,0 1,0 1,0 a) (3,5đ) Có số tự nhiên có chữ số cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số cịn lại xuất khơng q lần +TH1: Chữ số xuất lần Có C3 cách chọn vị trí cho chữ số 1,0 Có A9 cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có C3 A9 số có chữ số thỏa mãn trường hợp +TH2: Chữ số a (khác 0) xuất lần a vị trí (vị trí hàng nghìn) Có cách chọn a Có cách chọn thêm vị trí cho a Có A9 cách xếp chữ số chữ số vào vị trí cịn lại 2 Vậy có 9.3.A9 số có chữ số thỏa mãn trường hợp +TH3: Chữ số a (khác 0) xuất lần a khơng xuất vị trí hàng nghìn 1,0 1,0 Có cách chọn a Có C3 cách chọn vị trí cho chữ số a Có cách chọn chữ số (khác khác a) vào vị trí hàng nghìn Có cách chọn chữ số vào vị trí cịn lại Vậy có 9.8.8.C3 số có chữ số thỏa mãn trường hợp 2 2 3888 số thỏa mãn đề Vậy có C3 A9 + 9.3 A9 + 9.8.8.C3 = 0,5  x= (1) + ( y − x )( y + 1)  b) (3,5đ) Giải hệ phương trình  x+5 = xy − y − (2)  3y − −  ĐK: y ≥ ; x ≥ −5;3 y ≥ x −6 y − x = PT (1) ⇔ ( x + 3) = 4(3 y − x)( y + 1) ⇔ ( x + y + 9)( x − y + 1) = ⇔  x y −1 = 1,0 TH1: x = −6 y − Từ PT (1), x ≥ −3 → −6 y − ≥ −3 ⇔ y ≤ −1 Suy hệ PT vô nghiệm TH2: = x y − Thay vào PT (2) ta có y − − y + 2= y − y − ⇔ 0,5 2( y − 2) = (2 y + 1)( y − 2) 3y − + y + 1,0 y = 2 ⇔  = y +1  y − + y + (4,0đ) 1,0 ≤ ; y +1 ≥ = y + vơ nghiệm PT 3y − + y + 3y − + y + Vậy hệ PT có nghiệm (x; y) với= x 3,= y a) (2,0đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng C , có 7 phân giác AD với D( ; − ) thuộc BC Gọi E F thuộc cạnh AB 2 AC cho AE = AF Đường thẳng EF cắt BC K Biết E ( ; − ) , F có hồnh 2 Viết phương trình độ nhỏ phương trình đường thẳng AK x − y − = cạnh tam giác ABC Gọi I giao điểm AD EF , suy I trung điểm EF Chứng minh DF ⊥ AK A E K 0,5 I F C D B Phương trình DF là: x + y − =  − 2t  11 − 2t 2t + − 2t = = IE ( ID ( ; )⇒ ; −3 + t), ; −4 + t ) 4   Do IE.ID =0 ⇒ (3 − 2t )(11 − 2t ) + 16(t − 3)(t − 4) =0 Gọi F (t ; − 2t ) ⇒ I (  t = 2 20t − 140t + 225 =⇔  t =  1,0 Do đường thẳng AD có phương trình x + y = ⇒ A(1; −1) Vì F có hồnh độ nhỏ nên F ( ; − ) ⇒ I (2; −2) Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh tam giác ABC là: 0,5 AC : x + 3= y + 0; AB : x += y − 0; BC : x − = y − 14 b) (2,0đ) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x − y = đường tròn (T ) : ( x − 1) + ( y + ) = M điểm thuộc d , qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (T ) ( A, B tiếp điểm) cát tuyến MCD đến đường tròn (T ) với C nằm M D ; AB cắt CD N Tìm tọa độ điểm M biết CD = ND = + Gọi K trung điểm DC, I tâm đường trịn (T), IK vng góc CD Mà IA vng góc MA suy đường trịn đường kính MI qua I, K, A,B (Kí hiệu đường tròn (T’)) A Đường tròn (T) tâm I(1;-4), R2=5 P P K D N 0,5 C M I B 9 + CD = 1, DN = ⇒ NC = , NK = − = 18 N điểm ( T) ta có: ND.NC=NA.NB=20/81 Tương N (T’) : NK.NM=NA.NB=20/81 0,5 40 Suy NM = 19 385 81 Mặt khác IK =ID − KD =R − KD = ⇒ IN =IK + KN = + Sử dụng định lý cosintrong tam giác INM ta có: ) =  ) (*) IM =IN + NM − IN NM cos ( INM IN + NM + IN NM cos ( INK KN ) = ) = Với cos ( INM cos (π − INK INK ) = −cos ( − IN , thay vào (*) ta 0,5 có:IM2=IN2+NM2+2NK.NM= P (2,0đ) P P P P P 385 1600 40 2025 + + = = 25 Vậy IM = 81 81 81 81 Vậy giao đường tròn (I;5) (d) cho ta điểm M cần tìm (1;1) (4;-4) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: 0,5 x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y) + + ≥ xyz (1) − yz − zx − xy Ta có ( (1) ⇔ yz + zx + xy ) 9⇒ ≤ ( x + y + z) = yz + zx + xy ≤ ( y + z ) + ( z + x ) + ( x + y ) ≥ (2) yz ( − yz ) zx ( − zx ) xy ( − xy ) 0,5 Tacó ( y + z) ≥ yz ( − yz ) ( yz yz − yz )( 2 = ≥  yz − yz  + yz + yz + yz   ) ( )( ) 0,5 Do ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y) ≥  + +  ≥   yz ( − yz ) zx ( − zx ) xy ( − xy )  + yz + zx + xy  ≥ 6+ ( 18 18 ≥ = 6+3 yz + zx + xy ) Vậy (2) Suy đpcm Ghi chú:Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 1,0 ... C D B Phương trình DF là: x + y − =  − 2t  11 − 2t 2t + − 2t = = IE ( ID ( ; )⇒ ; −3 + t), ; −4 + t ) 4   Do IE.ID =0 ⇒ (3 − 2t ) (11 − 2t ) + 16(t − 3)(t − 4) =0 Gọi F (t ; − 2t )...Câu (7,0đ) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ Môn: TOÁN Đáp án ( ) Điểm x a) (3,5đ) Giải phương trình ( sin x + cos x= ) + 2sin sin x