Các bài toán nguyên hàm và tích phân vận dụng, vận dụng cao nguyễn minh tuấn

` TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM TÍCH PHÂN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN LỜI GIỚI THIỆU Trong đề thi thử trường hay đề thi THPT Quốc Gia tốn chủ đề ngun hàm tích phân chiếm khoảng câu từ dễ đến khó, nhằm giúp bạn đọc phần có nhìn toàn diện câu hỏi liên quan tới vấn đề đề thi năm vừa đồng thời có thêm nhiều kiến thức hay khó khác chun đề đề cập tới nhiều vấn đề khó tốn liên quan tới phương trình vi phân, bất đẳng thức tích phân… Để viết nên chun đề khơng thể khơng có tham khảo từ nguồn tài liệu các group, khóa học, tài liệu thầy mà tiêu biểu Thầy Lã Duy Tiến – Giáo viên trường THPT Bình Minh Group Nhóm tốn: https://www.facebook.com/groups/nhomtoan/ Group Hs Vted.vn: https://www.facebook.com/groups/vted.vn/ Group Nhóm Tốn Latex: https://www.facebook.com/groups/toanvalatex/ Website Toán học Bắc – Trung – Nam: http://toanhocbactrungnam.vn/ Website Toanmath: https://toanmath.com/ Anh Phạm Minh Tuấn: https://www.facebook.com/phamminhtuan.2810 Thầy Lê Phúc Lữ - Công tác phịng R&D Cơng ty Fsoft thuộc tập đồn FPT Thầy Đặng Thành Nam – Giảng viên Vted 10 Thầy Huỳnh Đức Khánh 11 Thầy Nguyễn Thanh Tùng 12 Bạn Nguyễn Quang Huy – Sinh viên đại học bách khoa Hà Nội Trong viết có sưu tầm từ nhiều nguồn nên có câu hỏi chưa hay chưa phù hợp mong bạn đọc bỏ qua Trong q trình biên soạn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong bạn đọc góp ý trực tiếp với qua địa sau: Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên K14 – Khoa học máy tính – Đại học FPT Facebook: https://www.facebook.com/tuankhmt.fpt Email: tuangenk@gmail.com Blog: https://lovetoan.wordpress.com/ Bản pdf phát hành miễn phí blog CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN, hoạt động sử dụng tài liệu mục đích thương mại khơng cho phép Xin chân thành cảm ơn bạn đọc TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM TÍCH PHÂN VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO Nguyễn Minh Tuấn Nguyæn hàm tèch phân cê thể coi phần toán tương đối hay khê luën xuất đề thi THPT Quốc Gia, cớng m u v chng ny, mỗnh xin giới thiệu khái quát đëi nåt lịch sử tốn ngun hàm tèch phân s qua v chng trỗnh ta s hc sp ti GIỚI THIỆU ĐÔI NÉT VỀ LỊCH SỬ Các ï tưởng giợp hỗnh thnh mởn vi tốch phõn phỏt trin qua thời gian dài Các nhà toán học Hi Lạp người bước tiæn phong Leucippus, Democritus Antiphon cê đêng gêp vào phương pháp “våt cạn” Hi Lạp, sau Euxodus, sống khoảng 370 trước Cëng Nguyæn, nâng læn thành lè luận khoa học Sở dĩ gọi phương pháp vồt cn vỗ ta xem din tốch ca mt hỗnh c tốnh bng s hỗnh, cng lợc cng lp y hỗnh Tuy nhiổn, ch cờ Archimedes (Ac-xi-met), (287-212 B.C), người Hi Lạp kiệt xuất Thành tu to ln u tiổn ca ởng l tỗnh c diện tèch giới hạn tam giác cong parabol 4/3 diện tèch tam giác cê cíng đáy nh v bng 2/3 din tốch ca hỗnh bỗnh hnh ngoi tip tỗm kt qu ny, c-ximet dng dãy vë tận tam giác, bắt đầu với tam giác cê diện tèch A tiếp tục ghép thæm tam giác nằm xen tam giỏc ó cờ vi ng parabol Hỗnh parabol dn dần lấp đầy tam giác cê tổng diện tèch là: A A A A A A A,A  ,A   ,A    4 16 16 64 1   4A Diện tèch giới hạn parabol là: A        16 64   Ác-xi-met díng phương pháp “våt cạn” tốnh din tốch hỗnh trộn õy l mở hỗnh đầu tiæn phåp tènh tèch phân, nhờ đê ëng ó tỗm c giỏ tr gn ợng ca s pi khoảng hai phân số 10/71 1/7 Trong tt c nhng khỏm phỏ ca mỗnh, Ac-ximet tõm c nht l cởng thc tốnh th tốch hỗnh cầu “Thể tìch hënh cầu thë 2/3 thể tìch hënh trụ ngoại tiếp“ Thể theo nguyện vọng lỵc sinh thời, sau ëng mất, người ta cho dựng m bia cờ khc hoa mt hỗnh cu ni tip mt hỗnh tr Ngoi toỏn hc, Acxi-met cộn cờ phát minh học, thủy động học Tất học sinh quen thuộc với định luật mang tỉn ëng sức đẩy vật thể nhỵng vào chất lỏng cíng với câu bất hủ Eureka! Eureka! (Tỗm ri! Tỗm ri!) ởng ang tm ễng tỗm cỏc nh lut v ộn bẩy cíng câu nêi tiếng “Hãy cho tïi điểm tựa, tïi nhấc bổng đất“) Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHĨ Dí ëng cê vẽ thèch toán học vật lè, Ac-xi-met kỹ sư thiæn tài Trong năm quân xâm lược La Mã híng mạnh cëng đất nước Syracuse quæ hương ëng, nhờ cê khè tài ëng sáng chế máy bắn đá, cần trục kåo lật tàu địch, gương parabol đốt cháy chiến thuyền, giỵp dân thành Syracuse cầm chân quân địch năm Cuối cíng quân La Mã tràn vào thành Dí cê lệnh tướng La Mã Marcus khëng giết chết ëng, tæn lènh La Mã thë bạo xëng vào phéng làm việc ëng mæ suy ngh cnh mt sa bn mt bi toỏn hỗnh dang d Khi thy bờng ca nờ lổn hỗnh vẽ, ëng quát læn: ” Đừng quấy rầy đến đương trén ta !” Thế tæn lènh nỗi cáu, đâm chết ëng Sau ëng mất, toán học rơi vào bêng tối kỹ thứ 17 Lỵc nhu cầu kỹ thật, phåp tènh vi tèch phân trở lại để giài têan biến thiæn đại lượng vật lï Phåp tènh vi tèch phận phát trin nh tỗm cỏch gii quyt c bn bi toỏn ln ca thi i: Tỗm tip tuyn ca đường cong Tìm độ dài đường cong Tỗm giỏ tr ln nht, nh nht ca mt i lng ; vố d tỗm khang cỏch gn xa hành tinh mặt trời, khoảng cách tối đa mà đạn đạo cê thể bay tới theo gêc bắn nê Tỗm tc v gia tc ca mt vt th theo thi gian bit phng trỗnh gi ca vt thể Vào khỏang kỷ 17, anh tài thời đại, Fermat, Roberval, Descartes, Cavalieri lao vào giải toán Tất cố gắng họ đạt đến đỉnh cao Leibniz Newton hoàn thiện phåp tènh vi tèch phân Leibniz ( 1646-1716) Ơng nhà bác học thiỉn tài, xuất sắc træn nhiều lãnh vực: nhà luật học, thần học, triết gia, nhà chènh trị Ông giỏi a cht hc, siổu hỗnh hc, lch s v c biệt toán học Leibniz sinh Leipzig, Đức Cha giáo sư triết học Đại học Leipzig, ëng vừa sáu tuổi Cậu bå suët ngày víi đầu thư viện cha, ngấu nghiến tất sách đũ vần đề Và thêi quen theo cậu suët đời Ngay 15 tuổi, ëng nhận vào học luật Đại học Leipzig, 20 tuổi đậu tiến sĩ luật Sau đê, ëng hoạt động ngành luật ngoại giao, làm cố vần luật pháp cho ëng vua bà chỵa Trong chuyến cëng cán Paris, Leibnz cê dịp gặp gỡ nhiều nhà toán học tiếng, giúp niềm say mỉ tốn học ëng thæm gia tăng Đặc biệt, nhà vật lè học lng danh Huygens ó dy ởng toỏn hc Vỗ khởng phải dân tốn học chun nghiệp, nỉn cê nhiều ëng khám phá lại định lè toán học nhà toán học khác biết trước Trong đê cê kiện hai phe Anh Đức tranh cói sut 50 nm Anh thỗ cho chớnh Newton cha đẻ phåp tènh vi tèch phân c thỗ nời vinh d phi thuc v Leibniz Trong hai ng s thỗ khởng cờ ù kin gỗ ợng l hai ngi ó tỗm c chõn lù trổn mt cỏch c lp: Leibniz tỗm năm 1685, mười năm sau Newton, | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MễN TON nhng cho in cởng trỗnh ca mỗnh trước Newton hai mươi năm Leibniz sống độc thân suốt đời mặc dí cê đêng gêp kiệt xuất, ëng khëng nhận vinh quang Newton Ông trải qua năm cuối đời cë độc cay đắng Newton(1642-1727) - Newton sinh ngëi làng Anh Quốc Cha ëng trước ëng đời, tay mẹ nuëi nầng dạy dỗ træn nëng trại nhà Năm 1661, ëng vào học trng i hc Trinity Cambridge mc d im hỗnh học yếu Tại ëng Barrow, nhà toán học tài chỵ ï Ơng lao vào học tốn v khoa hc, nhng tt ngghip loi bỗnh thng Vỗ bệnh dịch hoành hành khắp châu Âu lan truyền nhanh chêng đến London, ëng phải trở lại làng quæ trỵ ngụ đê hai năm 1665, 1666 Chính thời gian này, ëng xây dựng tảng khoa học đại: khám phá nguyæn tắc chuyển động hành tinh, trọng lực, phát chất ánh sáng Tuy ëng khëng ph bin cỏc khỏm phỏ ca mỗnh ễng tr li Cambridge năm 1667 để lấy cao học Sau tốt nghiệp, ëng dạy học Trinity Năm 1669, ëng giữ chức giáo sư trưởng khoa toán, kế nhiệm giáo sư Barrow, chức danh vinh dự giáo dục Trong năm sau đê, ëng cëng thức hoá đinh luật hấp dẫn, nhờ đê giải thèch chuyễn động hành tinh, mặt trăng v thy triu.ễng cng ch to kỗnh vin vng đại đầu tiæn Trong đời ëng, ëng èt chu cho in cỏc khỏm phỏ v i ca mỗnh, phổ biến phạm vi bạn bä đồng nghiệp Nm 1687, trc s khuyn khốch nhit tỗnh ca nh thiỉn văn học Halley, Newton chịu cho xỵât Những ngun tăc tốn học Tác phẩm đánh giá tác phẫm cê ảnh hưởng lớn lao nhân loại Cũng tương tự thế, sau biết Leibniz ó in cởng trỗnh ca minh, ởng mi cởng b tỏc phm ca mỗnh v phộp tớnh vi tich phõn Vĩ đại thế, nêi minh ëng luởn cho rng s d ởng cờ ởi nhỗn xa hn k khỏc vỗ ởng ng trổn vai ca vĩ nhân Và với khám phá lớn lao ca mỗnh, ởng nời: Tùi thy mởnh nh mt a trẻ chơi đùa bãi biển, may mắn gặp viên sỏi trín trịa, vỏ sí đẹp bënh thường, trước mặt đại dương bao la chân lì mà tối chưa biết“ NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ TÌCH PHÂN TRUY HỒI Trong viết chủ yếu toỏn dng t luõn, mỗnh s gii thiu qua để cê thể khëng may đề thi thử trng cờ th thỗ ta cờ th x lù c phn ny ta s cớng tỗm hiu dạng tèch phân truy hồi dạng I n   f  x, n  dx với câu hỏi hay gặp  là:   Thiết lập cëng thức truy hồi I n  g  I n k  k  1; n Chứng minh cëng thức truy hồi cho trước Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Sau thiết lập cëng thức truy hồi yæu cầu tènh I n ứng với vài giá trị n đê tènh giới hạn hàm số dãy số cê liỉn quan với I n Ta cíng xåt vè dụ sau:  Ví dụ 1: Xét tích phân I n   sin n xdx với n * Tỗm mi quan h I n , I n  2 Tính I , I Tỗm cởng thc tổng quát I n Xåt dãy số  u n  cho u n   n   I n I n  Tìm lim u n n  Lời giải Tỗm mi quan h gia I n , I n   Ta có: I n    sin n2   xdx   sin x   cos x  dx  I n   sin n x.cos xdx   n du   sin xdx  Sử dụng cëng thức nguyæn hàm phần ta đặt  sin n  x n v  sin x.cos xdx     n1     I cos x sin n  x 2 sin n x.cos xdx   sin n  xdx  n     n1 n1 n1 Thay   vào   ta được: I n   I n  In2 n2  In  I n 2 n1 n1 Tính I , I  8 2 I  I  I  sin xdx    15 15 15 Sử dụng kết træn ta được:   I  I  15 I  15 sin xdx  15  6 24 24 96 Tỗm cëng thức tổng quát I n   Ta có: I   sin xdx  1, I   sin xdx  0  n2 I n  , đến xåt trường hợp: n1 2k + Trường hợp 1: n  2k  k  *  Ta có: I  I , I  I , , I 2k 2  I 2k 2k  Ta cê kết I n  Nhân theo vế đẳng thức ta được: I2  3.5  2k    4.6 2k  4.6 2k I 2k   I 2k  I 2k  3.5  2k   3.5  2k   4.6 2k + Trường hợp 2: Với n lẻ hay n  2k  , ta có: I  Nhân theo vế đẳng thức ta được: | Chinh phục olympic toán 2k  I , I  I , , I 2k 3  I 2k 1 2k  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN I 2k 1  2.4  2k   3.5  2k   I1  2.4  2k   3.5  2k   Xåt dãy số  u n  cho u n   n   I n I n  Tìm lim u n n  n2 I n  I n    n   I n  I n   u n 1 n1     u n   u  2I 1I   lim u n  lim  n  n  2 Ta có: u n   n   I n I n 1   n   Vậy u n 1 Ví dụ 2: Xét tích phân I n     x  dx n Tính I n I n 1 n  I n Tính lim Lời giải Tính I n u    x n du  n   x n 1  2x  dx  Đặt  dv  dx  v  x   In  x   x2   n  2n  x   x    2n     x    x  n 1 n 1 dx  2n dx   1  x  n 1  dx     x  dx  2n  I n 1  I n  n 2n I n 1  *  2n  2n 2n  4.6.8 2n  I n 2  I1 2n  2n  5.7.9  2n   Vậy I n  2n  I n 1  I n   I n  2n I n 1 2n  Từ  *  ta có I n   x3  2.4.6.8 2n Mặt khác ta lại cê: I     x  dx   x     I n  0 3.5.7.9  2n  1  Tính lim n  Ta có: I n  I n 1 In  n  1 I I 2n 2n  2n  I n 1  I n   I n  n 1   lim n 1  lim 1 n  I n  2n  2n   n  1  In 2n  n  Ví dụ 3: Xét tích phân I n   tan n xdx với n  * Chứng minh I n    In n1 Tính I , I Lời giải Ta có: Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ     I n    tan n  dx    tan n  x  tan n x   tan n x dx    tan x  tan n   x    tan x dx   n    tan n xd  tan x   I n   tan n x dx   tan n xdx cos x  In n1 Ta cê điều phải chứng minh! Ta có:    I   tan xdx    0  d  cos x  sin x dx     ln cos x cos x   4    I   tan xdx     dx  tan x  x     cos x  Áp dụng cëng thức truy hồi I n    I n ta được: n1 1 1   I   I     I   ln  4 2    I6  1 1  13   I4     I2    5 3  15 Ví dụ 4: Xét tích phân I n   e nxdx với n   ex * Chứng minh I n  Xét tích phân I n     x  e xdx với n  n * e n 1   I n 1 n 1 Chứng minh I n  3n  nI n 1 Lời giải Ta có: I n  I n 1     1e 1e e nxdx dx   0  e x 0  e x x n 1 x n  1 e x   dx  ex e   n 1 x n 1  e n 1  n 1 Từ đê suy điều phải chứng minh! Xét tích phân I n     x  e xdx với n  n * Chứng minh I n  3n  nI n 1 u    x n du  n   x n 1 dx 3 n n 1   I n    x  e x  n    x  e xdx  3 n  nI n  Đặt  x x 0 dv  e dx  v  e Từ cê điều phải chứng minh! Ví dụ 5: Cho I n   x n  x dx với n  * Biết  u n  dãy cho u n  In Tìm lim u n I n 1 Lời giải du  nx n 1dx n u  v   Đặt  dv   x dx  v    x dx    | Chinh phục olympic toán  1x  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN     3 2  In   xn  x  n  x x n 1dx 3 0 1 2  n   x.x n 1dx    x.x n dx  n  I n 1  I n  0 3 I 2n 2n  Vậy I n  n  I n 1  I n   I n  I n 1  I n   I n  lim u n  lim n 1  2n  2n  In  Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học  Chinh phục olympic toán | CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHĨ NGUN HÀM – TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ Nguyên hàm phân thức hữu tỷ toán bản, phát triển nhiều tốn khó, mục ta tìm hiểu cách giải dạng tốn Tổng quát với hàm hữu tỉ, bậc tử lớn bậc mẫu phải chia tách phần đa thức, lại hàm hữu tỉ với bậc tử bå mẫu Nếu bậc tử bå bậc mẫu phân tích mẫu thừa số bậc  x  a  hay  x  px  q  bậc hai vô nghiệm đồng hệ số theo phần tử đơn giản: A Bx  C Đồng hệ số tử thức ; x  a x  px  q tènh số A, B, C, … Kết hợp với biến đổi sai phân, thêm bớt đặc biệt để phân tích nhanh CÁC DẠNG TÌCH PHÂN ĐA THỨC HỮU TỶ  b  P  x  dx : Chia miền xét dấu P  x  , a  b  x  mx  n   dx : Đặt u  mx  n phân tích, a  b   mx  n   px  qx  r   dx : Đặt u  px2  qx  r , a  b   x  m x  m  dx : Nu thỗ t u  x  n a CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC Dạng b  px a  dx Lập   q  4pr  qx  r b Nếu     a   , dùng công thức hàm đa thức dx , đặt x  k tan t x  k2 a Nếu     b dx 1  1  , biến đổi     2 x k x k 2k  x  k x  k  a Nếu     b mx  n dx Lập   q  4pr  qx  r  px a   mx  n  b Dạng  dx Nếu    Phân tích dùng cơng thức A  px  qx  r  ' mx  n B   Nếu    2 px  qx  r px  qx  r x    k2 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ g    Lấy đạo hàm vế giả thiết ta có  g  x   0, x   0; 1 g '  x   2xf  x  Theo giả thiết g  x   2xf  x   g  x   g '  x   g ' x g  x 1 Lấy tèch phân vế cận từ tới t ta t g ' x t  g  x  dx   1dx  ln g  x  0 t t x0  ln g  t   ln g    t  ln g  t   t  g  t   e t 1 0 Do đê  g  x  dx   e xdx  e  Chọn ï B Câu 81: Cho hàm số f  x  nhận giá trị khëng âm liæn tục træn đoạn  0; 1 , thỏa mãn x điều kiện f  x   2018   f  t  dt với x   0; 1 Biết giá trị lớn tèch phân  f  x  dx cê dạng ae  b với a, b  Tính a  b A B 1009 C 2018 D 2020 Lời giải x g    2018 Đặt g  x   2018   f  t  dt, lấy đạo hàm vế ta có  g  x   0, x   0; 1 g '  x   2f  x  g ' x g ' x Theo giả thiết g  x   f  x   g  x    2 g  x Lấy tèch phân vế cận từ đến t ta t g ' x  g x t t dx   2dx, t   0; 1  ln g  x   2x t 0  ln g  t   ln g    2t  ln g  t   2t  ln 2018  g  t   2018.e t 1 0 t Do đê  f  x  dx   g  x  dx  2018 e 2xdx  1009e 2x  1009e  1009 Chọn ï A BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Cho hàm số f  x  nhận giá trị khëng âm liæn tục træn x g  x     f  t  dt Biết g  x   f  x  với x   0; 1 , tích phân  0; 1 Đặt hàm số cê giá trị lớn  g  x  dx 152 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN A B C D Cho hàm số f  x  nhận giá trị khëng âm liæn tục træn đoạn  0; 1 , thỏa mãn điều kiện x f  x    3 f  t  dt  g  x  với x   0; 1 , tích phân A B C  g  x dx cê giá trị lớn bằng? D Chọn ï B Câu 82: Cho hàm số f  x  dương liæn tục træn  1; 3 , thỏa max f  x   2, f  x   1;3 1;3 3 dx đạt giá trị lớn nhất, đê tènh I   f  x  dx f x   biểu thức S   f  x  dx. A B C D Lời giải Từ giả thiết ta cê  f  x   , suy f  x    f x 2 3 3 3   1   f  x   dx  dx  f x dx  dx   dx   f  x  dx         f x f x f x       1 1 1  3   3  25 25  Khi đê S   f  x  dx. dx   f  x  dx   f  x  dx     f  x  dx     f x 2 4  1   Dấu "  " xảy  f  x  dx  Chọn ï D Câu 83: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn với x, y,  ,   x  y      ta có .f  x   .f  y        f   Biết f    0, 0 f  x  dx  Giá trị     2 nhỏ tèch phân A  f  x  dx B D C 2 Lời giải Áp dụng tènh chất tèch phân ta cê:  1.x    x   1  dx  f   11 2  1  f  x  dx   f   x  dx    f  x   f   x   dx     1 f  1 1 0 0 Mặt khác ta lại cê: Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 153 CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHĨ 1 1 1 1     f    f    f      f    f    dx     x  f    xf    dx 2 2       1     x   x  1 x  2 1  x  x f  dx  f dx   0   0 f  x  dx   x  x     Vậy  f  x  dx  , dấu “=” xảy chẳng hạn f  x   16x Chọn ï A  0;   Câu 84: Cho hàm số f  x  dương liæn tục thỏa mãn đồng thời điều kiện f  x   2018   f  t  dt, x  0;  f  x  dx  1009  e   Tính tích phân x 0 A 2018  e   B 1009  e   C 2018  e    f  x dx ? ex D 1009  e   Lời giải x x 0 Ta có f  x   2018   f  t  dt  f  x   2018   f  t  dt    Đặt g  x   e ax   f  t  dt  b ;g ' x   e a f t  dt  f x   ab  x ax x a  2 a  2 Từ   ta thực phåp đồng ta   ab  2018 b  1009 Suy g '  x   0, x   g  x  nghịch biến træn  0;    e 2x   f  t  dt  1009  g  x   g 0   2 f t  dt  2018  2018e x x 0 2x Vậy f  x   2018e 2x   f  x  dx  1009e  1009 Dấu “=” xảy f  x   2018e 2x   f  x dx  2018  e   ex Chọn ï A Câu 85: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm khác liæn tục đến cấp hai træn đoạn  1;  Biết ln 2f '  1  f    1, f '  x   1 ln C log  2 ln A log  f '  x   xf ''  x  2 f x 1 ln 2 , x  1;  Tính tích phân I   xf  x  dx ? 2 ln D log  1 ln B log  Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê: 154 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN f ' x  f '  x   xf ''  x  f  x 1 ln  f '  x    ln 2  f x 2f '  x   2xf ''  x   f '  x    2x  2x f x f x    ln '    C1  '  ln  f ' x  f ' x    Vì ln 2f '    f     C  Khi đê ta  f '  x    ln  2x   f x f x  '  2x      2xdx  x f x  C  f  x   log  x  C  Vì f     C   f  x   log  x   Sử dụng tèch phân phần ta cê I 2 1 x3 x log  x   dx  x log  x    dx ln 1 x  1 2 2 1 1 x  1  x2  log    ln  x     x  dx  log   ln 0  x 1 ln  2 1    log  1 ln Chọn ï D Câu 86: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn  1;  thỏa mãn f    1, f    8 đồng thời  f '  x   x  f  x   x  x  3x, x  1;  Tích phân B  A 7 89 C  79  f  x  dx D 8 Lời giải Giả thiết cho tương đương  f '  x    f  x x3 9  x x Lấy tèch phân vế træn đoạn  1;  ta được:  4  f '  x   dx   f  x 4  dx       dx  21  ln x x  x Sử dụng tèch phân phần ta được:  f  x   dx   f  x  d    a  , a xác định sau x   x 4 4   a   a  f x  a  f ' x dx  7a     f '  x  dx           x x    x 2 Từ ta cê đẳng thức:   f ' x 1 4 a dx  7a       f '  x  dx  21  ln  x 2 a 3a     f ' x    dx  ln  9a    21  ln x 2  Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 155 CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHĨ Ta dễ tỗm c a ln 9a  3a   21  ln , đê  3, x  1;   f  x   x  3x x 79 x  3x dx   f ' x  Vậy  f  x  dx    4 1  Chọn ï C Câu 87: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  1;  thỏa mãn đồng thời điều kiện  f      f     63;  f  x    x  f '  x    27x , x  1;  Tènh giá trị tèch phân  f  x  2 2 dx A 15 B 18 C 21 D 25 Lời giải Theo giả thiết ta cê  f  x  Xét tích phân I   2 2 dx    f  x   dx   x  f '  x   dx   27x 2dx  63   1 2  u   f  x      du  2f '  x  f  x   f  x   dx , đặt   v  x dv  dx  I  x  f  x   2 2 1   xf '  x  f  x  dx  63   xf '  x  f  x  dx Ta có:  1  1 f  x  2 2 dx   xf '  x  f  x  dx   x f '  x   dx    f  x   xf '  x  dx  1 2 1  Do đê f  x   xf '  x     f  x   '   f  x   Cx x  Vậy  Cx   x C  3C x  27x  C     f  x   dx  21 2 Chọn ï C Trong toán ta sử dụng tènh chất sau tèch phân: Nếu b  f  x  a dx  ta suy f  x   Câu 88: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm dương liæn tục træn đoạn  1; 3 thỏa mãn điều kiện  f '  x   27 dx  ; f    2 , f    Tích phân f x  A 6 B 2 C  f  x x2 3 dx D 2 Lời giải Vì f '  x   0, x   1; 3  f  x   f    2  0, x  1;  156 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Ta có  f ' x 3 dx   f  x   f x    f  3  f  1  Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số thực dương ta cê:  f '  x    f '  x   27 27 27 f '  x  27 27    33   f x 8 f x 8 f x 3 Lấy tèch phân vế træn đoạn  1; 3 ta được:   f '  x   27 27  3 f' x      dx   27    dx  1  f  x  8  1  f  x        f '  x   f '  x  27 81  dx  27 dx     f x f x  3  f '  x   f ' x 27 33 2C        f  x    x  C  f  x    x  Dấu “=” xảy  f x f x     2 Mặt khác f  1  2  C   f x   x  1  f  x x2 dx   Chọn ï A Câu 89: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn e.f    4f    A   1 2 2x x Tính tích phân e f ' x  f x dx  e f x dx            0 f  x  dx ? 0     0 3  e  1 e  2 e  2 B C D e e e đồng thời  e  1 e Lời giải   1 2 Xét tích phân K   e 2x  f '  x    f  x   dx   e x f  x  dx  0 Đặt u  x   e x f  x   u'  e x f  x   e x f '  x   e x f '  x   u' u , đê ta 2 K    u' u   u  4u  dx    u'  2u.u' 4u  dx  u    4, u         u2 Ta có  u.u'dx  1  1 15 1 ,  udx  xu   xu'dx    xu'dx 0 Suy K    u'  4xu' dx  Đến ta chọn m    1   u' 2x  m  cho 1 2 dx     u'  4xu  dx  2m  u'dx    2x  m  dx   0  0   6m  m  2m    m  3 Vậy ta   u' 2x   dx   e x f  x   e x f '  x   2x  Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học Chinh phục olympic toán | 157 CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ e  2 x2  2x  C f  1 x  2x    f x    f  x  dx    x x e e e   e x f  x   '  2x   f  x   Chọn ï D Câu 90: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn đồng thời 1 1  f  x   ;   x   f '  x  dx   ;   dx  điều kiện f    Tính tích phân 16 f '  x  64   1 1 A B C D 24 32  f  x  dx ? Lời giải Áp dụng nguyæn hàm phần ta cê: 1 0  x  1 f '  x  dx   x  1 f  x   30  x   f  x  dx   3 1    x   f  x  dx  16 Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có: 1  16      3 2   f x    0 f x  2 x    f '  x   dx     dx    x   f '  x    dx         f '  x       f '  x           f  x  3  dx       f '  x         x  1 f ' x  dx  3  3  3       16  64    3   2  f '  x   f x       Dấu “=” xảy   k  x    f '  x       3   k x      f x        f '  x     f  x    f x  1 1 dx    f '  x  dx   k  x   f '  x  dx  k   f' x 64  f '  x      Ta có  Khi đê ta  1  f ' x f  x  f   1 16  ln f  x   2 ln x   C  f x    f  x  dx  x1 32 16  x  1 Chọn ï B thỏa f    0, f  x   f  y   sin x  sin y Câu 91: Cho hàm số f  x  liæn tục træn đoạn với x, y  A  1 Giá trị lớn tèch phân B    f  x  C 3   f  x  dx D   Lời giải Theo giả thiết ta cê f  x   f  x    f  x   f    sin x  sin  sin x 158 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN     2    f  x    f  x   sin x  sin x   f  x    f  x  dx    sin x  sin x  dx   0 Dấu “=” xảy f  x    sin x Chọn ï A Câu 92: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm cấp hai træn  0;   thỏa mãn đồng thời điều ln kiện f    1; f '    0; f ''  x   5f '  x   6f  x   0, x  0;   ;  tích phân A  ln f  x  dx  1 Tính giá trị f  x  dx 15 B 35 17 C 27 20 D 24 Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê f ''  x   5f '  x   6f  x    f ''  x   2f '  x   f '  x   2f  x    Đặt g  x   f '  x   2f  x   g '  x   3g  x   Xåt hàm số h  x   e 3xg  x   h '  x   3e 3xg  x   e 3xg '  x   e 3x  g '  x   3g  x    Suy h  x  đồng biến træn  0;    h  x   h    g    f '    2f    2  e 3xg  x   2  e 2x  f '  x   2f  x    2e x  Xåt hàm số k  x   e 2 x f  x   2e x  k '  x   e 2 x  f '  x   2f  x    2e x  Suy k  x  đồng biến træn  0;    k  x   k    f      e 2x f  x   2e x   f  x   3e 2x  2e 3x   ln Dấu “=” xảy f  x   3e 2x  2e 3x   ln f  x  dx   27  f  x   dx  20 Chọn ï C Câu 93: Cho hàm số f  x  liæn tục cê đạo hàm đến cấp  0;  thỏa mãn điều kiện f    2f    f    Giá trị nhỏ tèch phân A B   f ''  x   dx C D Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Holder ta cê 1 0  f ''  x  dx  3 x dx. f ''  x  dx  u  x Ta đặt  3 dv  f ''  x  dx  xf ''  x  dx 2 1 Fanpage: Tạp chí tư liệu toán học x.f ''  x  dx   f '1  f 0   f 1  f ''  x  dx  3  x   dx. f ''  x  dx  2 Sử dụng bất đẳng thức Holder lần ta  1   2  x   f ''  x  dx  Chinh phục olympic toán | 159 CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ  u  x  Ta đặt  3  dv  f ''  x  dx  1  x   f ''  x  dx  =3 f '1  f    f 1 Suy   f ''  x   dx   f '    f    f      f '    f    f   2 2 Theo bất đẳng thức AM – GM ta có  f    2f    f    3  f '    f    f      f '    f    f       2 2 Chọn ï B Câu 94: Cho tích phân I   11 7   x   11  x dx , gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ I Tènh S  M  m ? A 54  108 C  54 B 36  108 D  36 Lời giải Đặt y  x   11  x với x   7; 11 Ta có y  1  0x2 x  11  x Nhận thấy y’ khëng xác định 7; 11 , vẽ bảng biến thiæn ta cê  11  2  18dx   7 11 7  54 11 7 18  y   11  x  dx  108 11 x   11  x dx   6dx 7 x7  Chọn ï A Câu 95: Cho tích phân I   dx  x2  x3 , biết tổng giá trị lớn giá trị nhỏ 1 c c I viết dạng a   , đê a, b, c, d số nguyæn dương  b d  d   phân số tối giản Tènh S  a  b  c  d ? A 14 B 15 C 16 D 17 Lời giải Ta có x   0; 1   x  x  x  x    2x   x  x   x   2x  4x x  1 4x  1 4x dx   1 4x x dx   I  Đặt x  sin t  dx  cos tdt  I   cos t  Đặt x  sin t  dx  cos tdt  J   160 | Chinh phục olympic toán dt   dt  cos t 42   2x dx J    sin t  sin t   dt     Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN   Vậy   dx  4x x Chọn ï D dx Câu 96: Cho tích phân I   1x I viết dạng 2n ,n * , biết tổng giá trị lớn giá trị nhỏ a c  , đê a, b, c, d số nguyæn dương b d a c , phân số tối giản Tènh S  a  b  c  d ? b d A B 10 C 11 D 12 Lời giải Ta có x 2n    1  x 2n 1   dx    x 2n dx    x 2n dx  Dấu “=” xảy x  1 1  1 Ta thấy n  *, x  0;   x 2n  x   dx   dx 2n 0  2 1x  x2 Đặt x  sin t  dx  cos tdt   1  x2  costdt dx    sin t  dx   dt   Dấu “=” xảy x  Chọn ï B e  x sin x dx , biết giá trị lớn I viết x2  a a dạng , với a, b số nguyæn dương tối giản Tènh tổng S  a  b be b Câu 97: Cho tích phân I   A 13 B 14 C 14 Ta cê với x  1;   x  1  e  x  Xét tích phân  Lời giải  e x e sin x e  x sin x 1   dx   dx 2  2 1 x 1 x 1 e  x  1 e  x  1 e  x  1 dx Đặt x  tant  dx   tan t   dt ta  tan t  1 dt  dx   e  x  1  e  tan t  1  Vậy I  D 15   2   dt   e 12e  12e Chọn ï A Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 161 CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHÓ Câu 98: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn f    1, f  x   đồng thời f  x  ln f  x   xf '  x  f  x   1 , x  0; 1 Tính tích phân A e1 B e6 C  f  x  dx D Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương  f  x  ln f  x   xf '  x   xf '  x  f  x   ln f  x   x f ' x f  x  xf '  x    x ln f  x   '  xf '  x   x ln f  x    xf '  x  dx  xf  x    f  x  dx 1 Vậy ta 1  f  x  dx  f  1  Chọn ï D Câu 99: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  0; 1 thỏa mãn điều kiện f  2018x  2017   2018f  x  , x  A  f  1   B Tính tích phân  f  1  C  f  x  dx ?  f  1  D  f  1  Lời giải Xåt biểu thức f  2018x  2017   2018f  x  Lấy đạo hàm vế ta 2018f '  2018x  2017   2018f '  x   x  2017   2018  2018    x  20182    f ' Thay x 2018x  2017 , ta f '  x   f '     2018 20182       Thay đến n lần quy nạp ta chứng minh  x  2018n     x f ' x  f ' 1   f '  n n 2018 2018n   2018   Khi n    f '  x   f '  1   f  x   f '  1  x  C  *  Thay x  1  f  1   2018f  1   f  1   Thay x  1   *  : f  1   f '  1   C   f '  1   C 2 Vậy f  x   f '  1  x     f  x   dx  f  1   Chọn ï C 162 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 100: Cho hàm số f  x  cê đạo hàm liæn tục træn đoạn  1;  thỏa mãn f    đồng thời A 3x f  x   f '  x   x, x   1;  Tính giá trị f   ?  f '  x    xf '  x   x 2 7 1 7 1 B C 1 D 1 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương  3x f  x    f '  x   x   f '  x    xf '  x   x 2  f ' x  3x f  x    f '  x    x  x  3f  x      f '  x     f ' x 2 3f  x   1 3 dx   xdx  3f  x   x  3    3f  x   1 d  3f  x     2 2 3 7 1   3f  x   1    3f    1   3f       f    2 Chọn ï A Câu 101: Cho hàm số f  x  liên tục træn  0; 1 , hàm số f '  x  liæn tục træn đoạn  0; 1 f    f    Biết  f '  x   2x , x  0; 1 Khi đê, giá trị tèch phân   f ' x dx thuộc khoảng sau  13 14  B  ;   3  A  2;   10 13  C  ;   3  D  1;  Lời giải Biến đổi giả thiết ta cê  f '  x   2x , x  0; 1 1    f '  x    8x, x  0; 1    f '  x   dx   8xdx    0 Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có Mặt khác  f '  x  dx     f x  f '  x  dx    f ' x dx 2   f    f       f '  x   dx    2 Từ   ;     f '  x   dx  Chọn ï A Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic tốn | 163 CÁC BÀI TỐN NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VẬN DỤNG CAO HAY VÀ KHĨ Câu 102: Cho hàm số f  x  liæn tục træn f  x    f '  x    f  x  f ''  x    e x , x    , cê đạo hàm đến cấp hai træn , biết f    Khi đê 5ln thỏa mãn  f  x  dx bằng? 1 355ln   31   5    25ln A  31   5ln    B  1 25ln 2 C  31   5ln  5  355ln   D  31     Lời giải Giả thiết tương đương  f  x  f '  x   '  e x  f  x  f '  x   e x  C mà f     C  1  f  x  f '  x   e x    f  x  f '  x  dx  e x  x  D  f  x    e x  x  D  Mặt khác f     D  1  f  x    e x  x    5ln f  x  dx  5 5ln   25ln 2 x e  x  dx  31   5ln       Chọn ï A Câu 103: Cho hàm số f  x  liên tục træn un  A  f  x  dx  Tènh giới hạn dãy số:  4n    1 n  n3  n  n6  n f  f  f  f  1        n  n3  n  n6  n  4n   n   B D C Lời giải Chỵ ï câu sử dụng định nghĩa tèch phân tổng Riemann khëng nằm phạm vi kiến thức THPT næn mang tènh tham khảo, khëng sâu!  3i  f    f x n  n 1  n 1  3i  S    g1  Xåt hàm số g  x   i 0 n i 0 n  n x 3i 1 n   Ta chia đoạn  1;  thành n phần điểm chia xi   i 41 i  0, n  x0  1, , x n   n Mỗi đoạn cê độ dài xi 1  xi   lim S    41 n 1  S   g  xi  xi 1  xi  n i 0   4f x g x dx    2f     1 3 x  x  d  x   23 Chọn ï B 164 | Chinh phục olympic tốn Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 104: Cho hàm số f  x  g  x  thỏa mãn f '    g    1; f   g    f   đồng   thời  f '  x  g '  x   g  x  f ''  x   f '  x   , x  \0 Tính tích phân I   f  x  g '  x  dx ? x   3 3 A  ln B   ln C  ln D   ln 4 4 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương x  xf '  x  g '  x   xg  x  f ''  x   g  x  f '  x   x  x g '  x  f '  x   g  x  f''  x    g  x  f '  x   x   xf '  x  g  x   '  xf '  x  g  x   x2 C x C f ' 1g  11 x    f 'x g x   x 2x 2 x    f '  x  g  x  dx     dx   ln  1  2x   f ' x g  x  Sử dụng tèch phân phần ta cê 2 I   f '  x  g  x  dx  g  x  f  x    f  x  g '  x  dx  1  ln 2   f  x  g '  x  dx    ln 4 Chọn ï D Câu 105: Cho hàm số y  f  x  cê đạo hàm  0; 1 thỏa mãn f    f    đồng thời điều kiện A  0; 1 ?  f '  x  dx Tỗm giỏ tr ln nht ca f  x  B C D Lời giải Ta có:   1 Với x  0;   f  x    2  1  Với x   ; 1  f  x   2   x  x x f   t  dt   f '  t  dt   f '  t  dt 0 1 f '  t  dt   f '  t  dt  1 f '  t  dt x  1 1  f  x     f '  t  dt  1 f '  t  dt    f '  t  dt  2 2  2 Chọn ï A Fanpage: Tạp chí tư liệu tốn học Chinh phục olympic toán | 165 LỜI KẾT Vậy đến trang cuối tuyển tập này, viết chưa thực hay hy vọng kiến thức mà đưa vào viết giúp ích bạn q trình học tập Ngồi cịn vài thiếu xót tuyển tập này, bạn tham khảo thêm tài liệu khác để học hỏi Giới vài tài liệu nghĩ giúp ích cho bạn [1] Vận dụng cao số phức tích phân [2] Kho tài liệu nguyên hàm tích phân [3] Các tốn thực tế ngun hàm tích phân – Hứa Lâm Phong [4] Nâng Cao Kỹ Năng Giải Toán Trắc Nghiệm 100% Dạng Bài Nguyên Hàm – Tích Phân Và Ứng Dụng – Tơ Thị Nga Một lần gửi lời cảm ơn đến người có đóng góp cho viết chúc bạn mùa ôn thi thành công nhé! ... bx  dx   a dx  2I   f  x  dx a Chứng minh Ở chứng minh tènh chất tiæu biểu, tènh chất cén lại chứng minh tương tự a f  x a b 1 Ta chứng minh: I   x dx   f  x  a a x b 1 a... loại Cũng tương tự thế, sau bit Leibniz ó in cởng trỗnh ca minh, ởng mi cởng b tỏc phm ca mỗnh v phộp tính vi tich phân Vĩ đại thế, nêi minh ëng luën cho ëng cờ ởi nhỗn xa hn k khỏc vỗ ởng đứng... Xét tích phân I n   e nxdx với n   ex * Chứng minh I n  Xét tích phân I n     x  e xdx với n  n * e n 1   I n 1 n 1 Chứng minh I n  3n  nI n 1 Lời giải Ta có: I n  I n