Thông tin tài liệu
Tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HSG TỐN THCS Thanh Hóa, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI THCS LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy em chun đề hệ phương trình Chúng kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề nhằm đáp ứng nhu cầu tài liệu hay cập nhật dạng toán hệ phương trình thường kì thi gần Chuyên đề gồm phần: Các hệ phương trình Một số kĩ thuật giải hệ phương trình Hệ phương trình ẩn Hệ phương trình chứa tham số Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề hệ phương trình giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mục Lục Trang Lời nói đầu Chủ đề Các hệ phƣơng trình Hệ phƣơng trình đối xứng loại I Hệ phƣơng trình đối xứng loại II Hệ phƣơng trình quy đẳng cấp Chủ đề Một số kĩ thuật giải hệ phƣơng trình 12 Kĩ thuật 12 Dạng 1: Rút ẩn theo ẩn từ phƣơng trình n|y v|o phƣơng trình 12 Dạng 2: Thế biểu thức v|o phƣơng trình cịn lại 13 Dạng 3:Thế số từ phƣơng trình n|y v|o phƣơng trình 15 Kĩ thuật phân tích thành nhân tử 17 Kĩ thuật cộng, trừ, nhân hai vế hệ phƣơng trình 22 Dạng 1: Cộng, trừ đại số để tạo tổng bình phƣơng 22 Dạng 2: Cộng, trừ hai vế để đƣa phƣơng trình ẩn 23 Dạng 3: Cộng, trừ đại số để đƣa phƣơng trình tích 24 Dạng 4: Các tốn khơng mẫu mực giải cộng, trừ, nhân hai vế hệ 26 Kĩ thuật đặt ẩn phụ 28 Dạng 1: Dùng ẩn phụ đƣa phƣơng trình bậc hai ẩn 28 Dạng 2: Dùng ẩn phụ đƣa hệ đối xứng loại I 30 Dạng 3: Dùng ẩn phụ đƣa hệ đối xứng loại II 32 Dạng 4: Dùng ẩn phụ đƣa phƣơng trình ẩn 33 Dạng 5: Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu 34 Kĩ thuật nhân liên hợp phƣơng trình chứa thức 36 Kĩ thuật đánh giá giải hệ phƣơng trình 39 Dạng 1: Dựa vào đồng biến nghịch biến vế hệ phƣơng trình 39 Dạng 2: Sử dụng bất c{c đẳng thức cổ điển để đ{nh gi{ 40 Dạng 3: Sử dụng điều kiện nghiệm hệ phƣơng trình 44 Kĩ hệ số bất định để giải hệ phƣơng trình 45 Chủ đề Hệ phƣơng trình bậc ba ẩn 52 Dạng 1: Hệ hai phƣơng trình ba ẩn 52 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Dạng 2: Hệ ba phƣơng trình ba ẩn 53 Chủ đề Hệ phƣơng trình có chứa tham số 57 Dạng 1: Biện luận nghiệm phƣơng trình 57 Dạng 2: Tim điều kiện tham số để thỏa mãn điều kiện cho trƣớc 60 Bài tập rèn luyện tổng hợp 64 Hƣớng dẫn giải 76 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ 1: CÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN I- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I LÝ THUYẾT CHUNG: f x, y Hệ đối xứng loại II hệ có dạng: g x, y Trong f(x, y) v| g(x, y) l| c{c đa thức đối xứng Nghĩa l|: f(x, y) = f(y, x) v| g(x, y) = g(y,x) Hay hệ phƣơng trình đối xứng loại I hệ phƣơng trình có vai trị x, y ho|n to|n nhƣ phƣơng trình, ta ho{n đổi vị trí x y hệ hệ x y 2xy 21 phƣơng trình khơng thay đổi Ví dụ: 2 2x 2y xy Tính chất: Nếu hệ có nghiệm (x0 ; y0 ) tính đối xứng, hệ có nghiệm (y0 ; x0 ) PHƢƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi c{c phƣơng trình hệ đƣa ẩn S P mà: S = x + y, P = x.y Giải đƣợc S P Khi x, y nghiệm phƣơng trình: X2 – S.X + P = Một số đẳng thức hay đƣợc đƣợc sử dụng: x y x y 2xy S 2P x xy y x y 3xy S 3P x xy y x y xy S P x y x y 3xy x y S 3PS x4 y4 x2 y2 2 2x y x y 2xy 2x y S 2P 2P 2 x x y y x y xy x y xy S 2P P 1 xy S ; x y xy P 1 x y S 2P 2 ; x2 y2 x y P2 x y x y S 2P y x xy P Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com THÍ DỤ MINH HỌA x y xy 1 Thí dụ Giải hệ phƣơng trình 2 x y xy Lời giải (x y) xy 1 Hệ (x y) 3xy S P 1 S 1, P 2 x y S x, y S2 4P ta đƣợc Đặt S 4, P xy P S 3P S x y x 1, y TH P 2 xy 2 x 2, y 1 S 4 x y 4 x 1, y 3 TH P xy x 3, y Vậy tập nghiệm hệ là: S = (1; 2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1) x x y y 17 Thí dụ Giải hệ phƣơng trình x xy y Lời giải 3 3 x y 3 x y 3xy x y 17 x x y y 17 x xy y x y xy Đặt x y a; xy b Hệ cho trở th|nh: a b3 3ab 17 a b a b b 5b a b (b 2)(b 3) a b a b a Với b x y x y x y ta có hệ phƣơng trình y 3y xy (y 1)(y 2) x y a Với b x y x y ta có hệ phƣơng trình xy y 2y x y (vô nghiệm) Vậy nghiệm hệ cho l|: x; y 1; ; 2;1 xy(x y) Thí dụ Giải hệ phƣơng trình 3 3 x y x y x 1 y 1 31 (Trích đề Chun KHTN Hà Nội năm 2018-2019) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải Ta có hệ phƣơng trình: xy x y 2 (x y)(x xy y ) xy 7(x y xy 1) 31 xy(x y) (x y) x y 3xy xy x y xy 1 31 ab Đặt a x y; b xy hệ trở thành: a a 3b b3 a b 1 31 ab 3 a 3ab b a b 1 31 a b a b 3ab 3ab a b 1 31 a b 3ab(a b) 3ab 7(a b) 24 a b 6(a b) 3.2 a b 24 a b a b 30 a b 27 (a b) 3 (a b 3) a b 3(a b) 10 a b a b 3(a b) 10 a b a (do a x y 4xy 4b) ab b x y x y 1 xy Vậy hệ có nghiệm x; y 1;1 II- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II KHÁI NIỆM f x, y Hệ đối xứng loại II hệ có dạng: f y, x Trong đó: f(x, y) l| đa thức khơng đối xứng Hay hệ đối xứng kiểu hai hệ đối xứng hai phƣơng trình hệ, ta hốn đổi vị trí x v| y phƣơng trình thứ đƣợc phƣơng trình thứ hai Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com x 2y hệ Ví dụ: y 2x 1 thay ho{n đổi vị trí x y phƣơng trình (1) ta 2 đƣợc y2 2x đ}y l| phƣơng trình (2) PHƢƠNG PHÁP GIẢI Trừ vế hai phƣơng trình hệ ta đƣợc nhân tử chung (x – y) nhóm lại v| đƣa phƣơng tích v| sau xét hai trƣờng hợp: xy (x y).A(x, y) A(x, y) Việc trừ theo vế thƣờng phải sử dùng đẳng thức liên hợp chứa căn: a b a b a b a b3 a b a a3b ab a b ab b a b ab a2 ab b THÍ DỤ MINH HỌA x x 2y Thí dụ Giải hệ phƣơng trình y y 2x Lời giải Điều kiện: x, y Trừ hai phƣơng trình hệ cho ta thu đƣợc: y x y x y x2 x y2 y y x x Vì x y x y x y x y 0 nên phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với: x y Hay x 2x x x x 2x x Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp x x x x x x TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 3 3 Vậy hệ có cặp nghiệm: x; y 0; , 1;1 , ; 2 x 3x 2x y Thí dụ Giải hệ phƣơng trình y 3y 2y x Lời giải 1 Điều kiện: x ; y 2 Để ý x y nghiệm Ta xét trƣờng hợp x y 1 Trừ hai phƣơng trình hệ cho ta thu đƣợc: x3 3x 2x y 3y 2y y x (x y) x xy y 4(x y) x y 2x 2y 0 0xy (x y) x xy y 2x 2y Khi x y xét phƣơng trình: x3 2x 2x x3 2x 2x x(x2 1) x x2 0x0 2x 2x 2x Tóm lại hệ phƣơng trình có nghiệm nhất: x y x 1 y y x Thí dụ Giải hệ phƣơng trình 2 y 1 x x y Lời giải xy 6x y yx y Hệ cho 2 yx 6y x xy x Trừ vế theo vế hai phƣơng trình hệ ta đƣợc: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 2xy y x x y x y x y x y x y 2xy x y x y 2xy + x y Nếu x y thay vào hệ ta có: x2 5x x y + Nếu x y 2xy 1 2x 1 2y 15 Mặt khác cộng hai phƣơng trình hệ cho ta đƣợc: x2 y2 5x 5x 12 2x 2y 2 Đặt a 2x 5, b 2y a b a b2 a b 2ab ab 1 Ta có: ab a b 1 a b 8 a b 15 ab 31 a b x; y 3; , 2; Trƣờng hợp 1: ab a b 8 Trƣờng hợp 2: vô nghiệm ab 31 Vậy nghiệm hệ cho l|: x; y 2; , 3; , 2; , 3; III- HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP LÝ THUYẾT CHUNG: k f x, y c1 + Là hệ có dạng: k g x, y c2 Trong f(x, y) v| g(x, y) l| c{c đa thức bậc k x y (k = , 1, 2, 3,….) v| không chứa thành phần nhỏ k Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 120 Website:tailieumontoan.com ( m 1)( y ) y ( 2m )y 2m (3) Hệ có nghiệm x, y số nguyên ( ) có nghiệm y số nguyên Với m 2m ( ) có nghiệm y 2m 2m 2m 2m y 2m 1 1 m m Vậy có giá trị m thoả mãn 1; Câu 81 Ta có: x3 x y x3 x y x3 x y xy x y x3 x3 y x3 y x y Thế v|o phƣơng trình x2 y xy x2 x y Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm x, y 2; ; 2; Câu 82 x xy (1) Giải hệ : 2 y x y (2) - Trừ vế hai phƣơng trình hệ ta đƣợc ; (3) x y x y xy x y ( x y )( xy x y ) xy x y (4) - Thay y = x từ (3) v|o (1) ta đƣợc phƣơng trình : x 1 x x3 ( x 1)( x x 2) x x 1 Vậy ta đƣợc c{c nghiệm (x y) l| : (1; 1); (1 2;1 2); (1 2;1 2) - Từ (4) suy y có : x ( x = -1 l| nghiệm (4)) Thay y v|o (2), ta x 1 x2 x3 2 x x3 x x ( x 1) x 1 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 121 Website:tailieumontoan.com 2 ( x2 x 2)( x x 1) x x (Vì x x ( x 1) ) x 1 x - Với x y 1 3 Ta đƣợc ( x; y) (1 5; 3 5) l| 2 nghiệm hệ - Với x y 1 3 Ta đƣợc ( x; y) (1 5; 3 5) l| 2 nghiệm hệ Vậy hệ cho có nghiệm : (1; 1); (1 2;1 2); (1 2;1 2) ; (1 5; 3 5) ; (1 5; 3 5) Câu 83 x xy xy y3 1 2 x 1 x y 1 y (1) x y x y ĐK: x xy0 0 x y TH1: x y , suy x y không thỏa mãn hệ TH2: x - y = hay y = x v|o (2) ta đƣợc : x x x 1 x 2x 3x x x x x 2 x 1 x x 1 x 2 x4 x1 x 1 1 4 4 Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm : x; y 4;4 x; y ; Câu 84 2 xy x y 1 xy (2 x 1) y (*) 2 x y xy x y ( x y xy 1) y 2(2 x 1) 2 y (lưu : không thiết biến đối đưa vế phải pt thứ hai 2y , 3y ) 2 x x 2(2 x 1) - Xét y thay v|o hệ (*) ta đƣợc: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 122 Website:tailieumontoan.com x Suy l| nghiệm hệ y - Xét y , hệ phƣơng trình (*) tƣơng đƣơng với hệ: 2x 2x xy y ( xy 1) y (**) x x 2 x y xy ( xy 1) 2 2 y y Đặt a xy 1, b a b 2x 1 hệ phƣơng trình (**) trở th|nh: (***) a 2b 2 a a 4 , b b + Giải hệ (***) tìm đƣợc: 2x xy x x a * Với ta có x b y y y 2x 3 x y 2x xy 4 x 5 a 4 * Với ta có x (vô nghiệm) x b y y x Vậy hệ phƣơng trình cho có ba nghiệm: 2, y x , y x y Cách khác: xy x y 1 xy (2 x 1) y 2 x y xy x y x y xy (4 x 2) 3 y 2 xy (4 x 2) y x y xy y x y xy (4 x 2) 3 y y xy xy 5 + Với y Suy đƣợc ( x; y ) ( ;0) + Với xy Suy đƣợc ( x; y) (1;1) ( x; y ) ( ; ) + Với xy 5 Trƣờng hợp n|y không tồn cặp ( x; y ) Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 123 Website:tailieumontoan.com x Vậy hệ phƣơng trình cho có ba nghiệm: 2, y x x , y 1 y Câu 85 2 x y 1 xy x 2 x x y 2 x y 1 x y 1 I 2 x x y II Đặt t y ta có hệ 2 x t xt x t x t xt I I 2 x t x x t x t x x t Vậy nghiệm hệ phƣơng trình l| x; y 1;0 ; 1; 2 Câu 86 Điều kiện: x Phƣơng trình thứ hai tƣơng đƣơng với x 2y 5x x 5x 5x 2y x 2y x 4 Với 2y4 x ta đƣợc y trình thứ ta đƣợc 3 y2 , v|o phƣơng 2x 2x 3 2x 6x hay 2x 2x 6x 2x 6x 3 2x Với phƣơng trình ta nhận thấy có c{c hƣớng xử lý nhƣ sau + Hƣớng Đặt ẩn phụ a 6x 0; b 2x Khi ta đƣợc hệ phƣơng trình a b2 15 a b2 15 3 a b 45 6ab ab a b ab 15 a b a b 15 ab Từ hệ ta đƣợc 45 6ab 15 ab ab 36ab 180 2 Chú ý ab nên từ phƣơng trình ta đƣợc ab ab 30 Với ab 30 ta đƣợc a b 5 , loại Với ab ta đƣợc a b 3 suy a 3; b a 3; b 6x x Từ a 3; b ta đƣợc 2x Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 124 Website:tailieumontoan.com 6x x1 Từ a 3; b ta đƣợc 2x Đ}y l| hệ phƣơng trình đối xứng nên ta giải đƣợc hệ + Hƣớng Nhận thấy phƣơng trình có nghiệm x nên ta sử dụng đại lƣợng liên hợp 6x 2x 6x 2x 6x 2x 12x 42x 18 6x 6x 6x 2x 12x 42x 30 12x 42x 18 1 2x 0 6x 6x 2x 3 12x 42x 18 Xét phƣơng trình 6x 2x 2x 12x 42x 18 0 Phƣơng trình đƣợc viết lại thành 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 4x 14x 0 2x 4x 14x 2x 4x 14x 0 0 2x 2x 2x 2x 0 2x 2x 4x 14x 1 0x 2x 2x 2x 2x 2x 4x 14x Từ kết ta tìm đƣợc nghiệm hệ phƣơng trình l| x; y 1; , 1; 5 , ; , ; 2 2 Câu 87 Cả hai phƣơng trình có hạng tử xy nên ta tìm cách triệt tiêu, lúc tốn giải đƣợc Hệ phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 125 Website:tailieumontoan.com 2xy x y 2xy x y 3y 3x y x xy y x 2xy 2y 2x Thế y 4 x v|o phƣơng trình thứ ta đƣợc x2 x x 2; 3 3 4 Vậy hệ phƣơng trình có hai nghiệm x; y 2; , ; 3 Câu 88 x2 y 4x (1) Giải hệ phƣơng trình: x 12 x y x + (2) Ta có: (1) 12 x 3x2 12 y , v|o phƣơng trình (2) v| thu gọn ta đƣợc: x3 y 3( x y ) ( x y )( x xy y 3x y ) x 2y 2 x xy y 3x y *) TH1: x y y x , v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc 2 x2 4x 2x2 4x , phƣơng trình vơ nghiệm *) TH2: x2 xy y 3x y , trừ vế theo vế phƣơng n|y với phƣơng trình (1) ta đƣợc: x 2 xy 3x y 4 x xy x y ( x 3)(2 y 1) y + Nếu x =3 thay v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc: 4y2 = y = 0, cặp (x;y) = (3;0) thoả mãn phƣơng trình (2) + Nếu y , thay v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc: (x - 2)2 = x = 2, cặp (x;y) = 1 2; thoả mãn phƣơng trình (2) 2 Vậy nghiệm hệ cho l| (x y) = (3 0) v| (x y) = (2 1) 4x y 4x Câu 89 Giải hệ phƣơng trình 2 x xy y 28(Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016) Lời giải 2 y 2 x x 1 y Hệ phƣơng trình 2 x xy y x xy y y 2x 1 y 2x 1 Xét hệ: 2 x xy y x x x 1 x 1 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 126 Website:tailieumontoan.com y 2x 1 x x y 2x 1 x y 1 7 x x y x 7 y 2 x y 2 x Xét hệ: 2 x x x 1 x 1 x xy y y 2 x x x 1 y 2 x x y 1 y 1 3x 3x x 1 3 Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm (x;y) là: (0;1), ; , (0;-1), (-1;1) 7 Câu 90 Thay (2) v|o (1) ta đƣợc x3 y3 y y x y 21x3 5x y xy x x x y 3x y x y y x - Với x thay v|o (2) ta đƣợc y 2 31 y thay v|o (2) ta đƣợc y phƣơng trình vơ nghiệm 49 y - Với x thay v|o (2) ta đƣợc y y 3 Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm - Với x x; y 0; 2 ; 0; 2 ; 1;3 ; 1; 3 Câu 91 2 2 x y 3xy x y x y y x 1 1 2 x2 y Điều kiện y x 1 1 y x 1 y x2 x y x 1 Tính x 1 1 y 2x Với y x thay v|o (2) ta đƣợc x y 1 tm x2 x x2 x x x tm Với y x thay v|o (2) ta đƣợc Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 127 Website:tailieumontoan.com x2 x x 1 x 1 Ta có x 1 x 1 x 1 Dấu “=” xảy x y tm Vậy hệ phƣơng trình có c{c nghiệm x; y 0; 1 ; 1;0 Câu 92 2 2 x y xy y x Xét hệ phƣơng trình 2 x y x y (1) ( 2) PT (1) x y xy y 5x y x 1y x2 5x Ta có ' x 1 4 x 5x 2 x 18x 9x 1 2 x 3x 1 y Khi PT (1) y x 3x 1 y x y 2x Với y x , thay vào PT (2) ta đƣợc x x x y x x x Với y x , thay vào PT (2) ta đƣợc x 13 *) x y 5 13 Vậy nghiệm hệ phƣơng trình l| 1;1 ; 5 *) x y Câu 93 Điều kiện x 1, y y2 y x x y y x y 1 y 1 y x y 1 y x Với y , thay v|o (2) ta đƣợc x2 x2 x2 x2 x4 x2 x2 x2 x x4 5x2 (do điều kiện x) x x Với y x , thay v|o (2) ta đƣợc x x x Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC 128 Website:tailieumontoan.com x2 4 x 1 1 x x x2 x x x2 0 x 1 1 x2 x x 2 x2 0 x 1 1 x2 Với x suy y Ta có x x 2 x 2 x 1 x 1 1 x2 x2 x2 7x x 1 1 Với x x x Suy x x2 x2 x 1 1 x2 x2 0 0 x 1 1 Vậy hệ phƣơng trình có c{c nghiệm 1;1 , 2;1 Câu 94 Từ phƣơng trình thứ hệ ta đƣợc x 5y 20 Thế v|o phƣơng trình thứ hai ta đƣợc 5y 19 10y 39 15y 59 1 3y 1 3y 5y 20 750y 8725y 33830y 34719 150y 1141y 2006y 801 600y 7584y 31824y 44520 y 75y 573y 1113 Dễ thấy phƣơng trình 75y2 573y 1113 vơ nghiệm Do từ phƣơng trình ta đƣợc y y nên x Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm 5; Cách khác: Khi thực phép x 5y 20 v|o phƣơng trình thứ hai ta đƣợc phƣơng trình ẩn, nhiên phƣơng trình khó ph}n tích Do ta tìm c{ch ph}n tích phƣơng trình thứ hai thành tích Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 129 Website:tailieumontoan.com 1 x 1 2x 1 3x 1 3y 1 3y 2x 2x 3x 1 3x 1 1 3y 1 3y 2x 3x 1 2x 3x 1 3y 2x 3y 1 2 2 2 x y x y x y 2x x y 2x Đến đ}y ta kết hợp với phƣơng trình thứ để tìm nghiệm Trong hai cách cách thực phép dễ thấy nhƣng c{ch ph}n tích phƣơng trình thứ hai thành tích cho lời giải đơn giản Câu 95 Đặt a 2x y 1; b x y Khi hệ phƣơng trình viết đƣợc lại thành a b2 2ab 2ab 26 a b2 26 a b 11 a b 26 ab 11 a b a b ab 11 ab 11 a b a b 8; ab 19 a b a b 48 a b 6; ab ab 11 a b a b 8 + Với , hệ vô nghiệm a b 4ab ab 19 a b a 1; b + Với ab a 5; b 2x y x Khi a 1; b ta có x y y 2 2x y x Khi a 5; b ta có x y y Vậy phƣơng trình cho có c{c nghiệm 2; 2 , 2; Chú ý Khi hai phƣơng trình hệ khơng thể ph}n tích đƣợc thành tích ta nhân hai phƣơng trình với số k cộng theo vế hai phƣơng trình đƣợc phƣơng trình bậc hai Ta cần tìm số k để phƣơng trình ph}n tích đƣợc thành tích Chẳng hạn ta viết lại hệ phƣơng trình nhƣ 2 2 5x 2y 2xy 2x 4y 24 5x 2y 2xy 2x 4y 24 2x y xy 4x 2y xy 12 3x 2x y 1 x y 1 11 Khi ta thấy nh}n phƣơng trình thứ hai với k cộng hai phƣơng trình ta thu đƣợc phƣơng trình 9x2 6x 48 Câu 96 Từ x y z Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 1 1 1 1 ta đƣợc Khi ta đƣợc x y z x y z xyz TÀI LIỆU TOÁN HỌC 130 Website:tailieumontoan.com xy xy 1 1 0 0 x y z xyz xy z x y z x y xy zx yz z x y y z z x + Xét trƣờng hợp x y , từ x y z ta đƣợc z Cũng từ x y ta đƣợc x y Thế vào x2 y2 z2 17 ta đƣợc 2x2 x 2 Từ ta đƣợc hai số x; y; z thỏa mãn 2; 2; , 2; 2; + Giải c{c trƣờng hợp y z z x ta đƣợc số hoán vị hai số Vậy số x; y; z cần tìm 2; 2; 3 , 2; 2; 3 , 2; 3; 2 , 2; 3; , 3; 2; 2 , 3; 2; Câu 97 x x y z 48 x xy zx 48 Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình ta đƣợc y xy yz 12 y x y z 12 z zx yz 84 z x y z 84 Mặt khác cộng theo vế c{c phƣơng trình hệ ta đƣợc x y z 144 x y z 12 + Với x y z 12 , v|o phƣơng trình ta đƣợc x; y; z 4; 1; 7 + Với x y z 12 , v|o phƣơng trình ta đƣợc x; y; z 4;1; Thử vào hệ phƣơng trình cho ta đƣợc nghiệm hệ x; y; z 4;1; , 4; 1; 7 3 1 x y 15 y 14 y x Câu 99 Ta có: x xy 15 x Ở phƣơng trình (1) ta có: x3 y 15 y 14 y x x3 3x y 15 y y 14 x3 3x y y 12 y y x 3x y y x y (*) Từ (2) v| (*) ta có hệ phƣơng trình: Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 131 Website:tailieumontoan.com x2 y x y2 4 x xy 15 x 4 x x x 15 x x2 y x2 y 2 4 x x 3x 8 x 12 x x 1 x x 1 5 x y y 5 1 5 ; Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm l| 2 Câu 100 2 2 x y xy x y xy xy x y xy x y 2 x y x y xy x y x y x y y x y xy y y x xy x xy Với y x Với x2 xy x2 xy 1 y y x2 3x phƣơng trình vơ nghiệm Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm x; y 2;0 ; 2;0 Câu 101 2 x y y x 2xy 1; (1) 2 4 x y x y 0; (2) x y xy ( x y ) 2( xy 1) ( x y )( xy 1) 2( xy 1) từ PT (1) ta có : y x ( x y 2)( xy 1) xy thay vào PT (2) giải có nghiệm 1 1 14 (xy ) 1;1; 0,5;2; ; 1; ;1 ; ; 5 Câu 102 Với x = y = nghiệm hệ phƣơng trình Nhận thấy x y v| ngƣợc lại Xét x ; y hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 132 Website:tailieumontoan.com 1 1 1 (1) x2 y2 x2 y2 1 ( )(1 ) ( )(2 ) (2) x y x y xy xy 1 Thay (1) v|o (2) ta đƣợc ( )3 x y 1 x y x y 1 1 xy Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (0 ; 0) ; (1 ; 1) Câu 103 15 x 10 x y 10 x y 52 a) Khi m 10 hệ phƣơng trình có dạng x 10 y 10 x 50 y 25 y 23 52 15 23 Vậy m 10 hệ phƣơng trình có nghiệm x; y ; 52 52 mx mx y mx y y b) Ta có: 2 x my 2 x my 2 x m mx 2m 10 mx x y m 4 m2 x 2m 10 y mx 2m 10 x m Vậy hệ phƣơng trình cho ln có nghiệm y mx Thay vào hệ thức x y 2014 Ta đƣợc 2015m2 14m 8056 m2 2014m2 7m 8050 2015m2 14m 8056 m2 7m m2 m2 m m 1 m m Đối chiếu với điều kiện đề b|i ta đƣợc m 1; m Câu 104 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 133 Website:tailieumontoan.com 3x xy x y x x 1 + y y 1 = 2 3x xy x y 2 x xy y x y 2 x + y x y x + y x y 2 Ta có: x xy y 5x y y x y x 1 y x y x Với y x thay v|o (2) ta đƣợc: x2 – 2x +1 = suy x = Ta đƣợc nghiệm (1;1) y x thay v|o (2) ta đƣợc: 5x2 – x – = , suy x = 1; x 4 4 13 ) ; 5 4 13 Vậy hệ có nghiệm (1;1) ( ; ) 5 Ta đƣợc nghiệm (1;1) ( Câu 105 Điều kiện x 1, y Ta xét c{c trƣờng hợp Trƣờng hợp 1: x y y x Khi đó, x x x y 1 y y Suy hệ vô nghiệm Trƣờng hợp 2: x y y x Khi đó, x x x y 1 y y Suy hệ vô nghiệm Trƣờng hợp 3: x y y x Thay v|o phƣơng trình thứ hai hệ cho, ta đƣợc 2x 8x x 1 x 3 So điều kiện ta đƣợc x 1 y Vậy x; y 1; 3 Câu 106 Từ hệ ta có x3 (2 y x) y (2 x y) ( x y ) xy x y x y ( x y )3 ( x y ) x y * Với x = y ta tìm đƣợc (x ; y) = (0; 0); ( 3; );( 3; ) * Với x = - y ta tìm đƣợc (x ; y) = (0; 0); ( 1; 1 );( 1;1) Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); 3; );( 3; );( 1;1);( 1; 1) Câu 107 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134 Website:tailieumontoan.com 4x y x y (1) Giải hệ 2 52 x 82 xy 21y 9 (2) Nhân vế trái (1) với vế phải (2) nhân vế phải (1) với vế trái (2) ta có: (9)(4 x y ) ( x y)(52 x 82 xy 21y ) (9)(4 x y ) ( x y)(52 x 82 xy 21y ) 8x x y 13xy y (8x 8xy ) (2 x y xy ) (3 y y x) 8x( x y ) xy ( x y) y ( x y) ( x y)(8x 10 xy y ) Biến đổi nhận đƣợc phƣơng trình: ( x y)(4 x y)(2 x y) Với x y tìm đƣợc ( x; y) (0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn) ( x; y) (1;1); (1;1) ( thử vào hệ thấy thỏa mãn) Với y x tìm đƣợc ( x; y) (0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn) Với y 2 x tìm đƣợc ( x; y) (0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm ( x; y) (1;1); (1;1) Câu 108 Nhân hai vế (2) với ta có hệ phƣơng trình 3x y xy x y (1) 2 (2) 2x y 4x y Lấy (1) trừ (2) theo vế với vế ta có x xy y x y x y x y x y 1 x y x y x y +) Với x y , vào (2) rút gọn ta có y y 3 y y 3 Suy x 1, y x 5, y 3 +) Với x y , vào (2) rút gọn ta có y 13 y y y 13 109 13 109 7 109 13 109 7 109 13 109 ,y ,y x 6 Vậy hệ có nghiệm x 1, y ; x 5, y 3 ; Suy x x 7 109 13 109 7 109 13 109 ,y ,y ; x 6 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI THCS LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh chuyên đề toán THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy... tốn dùng chuyên đề để giúp em học tập Hy vọng chuyên đề hệ phương trình giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ... khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ chuyên đề này! Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com
Ngày đăng: 06/07/2020, 21:26
Xem thêm:
