Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 Môn: Toán (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 :(3 điểm) a) Cho biểu thức 2 2 2 2 2 2 4 4 4 A 2a b 2b c 2a c a b c= + + . Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì A >0. b) Chứng minh rằng 5 a a 30 M ( )a Z . Câu 2:(2 điểm) Giải phơng trình 2 2 2 x 2xy y 3x 2y 1 4 2x x 3x 2 + + + = + . Câu 3(1,5 điểm) Cho 3 3 a b 2+ = . Chứng minh rằng a b 2+ . Câu 4:(1,5 điểm) Cho hình thang ABCD (AB // CD), hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại O. Một đờng thẳng d qua O song song với 2 đáy cắt 2 cạnh bên AD, BC lần lợt tại E và F. Chứng minh rằng 1 1 2 AB CD EF + = . Câu 5 (2 điểm) Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC sao cho AN=CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của AKC . Hết Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh SBD:. Hớng dẫn chấm Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2007-2008 Môn: Toán (Thời gian làm bài 120 phút) Câu Nội dung Điểm 1 a) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 A 2a b 2b c 2a c a b c= + + = 4 2 2 a b - ( 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2a b 2b c 2a c a b c ) + + + = 2 (2ab ) - ( 2 2 2 2 a b c )+ = (2ab + 2 2 2 a b c+ )( 2ab - 2 2 2 a b c + ) = 2 2 (a b) c + 2 2 c (a b) = (a b c)(a b c)(c a b)(c a b) + + + + + Do a,b, c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a b c 0;a b c 0;c a b 0;c a b 0 + + > + > + > + > A 0 > b) 5 4 2 2 a a a(a 1) a(a 1)(a 1) = = + = 2 a(a 1)(a 1) (a 4) 5 + + = a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2)+ + 5a(a 1)(a 1)+ + Do tích của năm số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong năm số nguyên liên tiếp luôn có ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và do (6;5)=1. Suy ra a(a 1)(a 1)(a 2)(a 2)+ + 30M và 5a(a 1)(a 1)+ M 30. Vậy 5 a a 30 M 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 2 3 2 2 2 x 2xy y 3x 2y 1 4 2x x 3x 2 + + + = + 2 (x y 1) x 2 (x 1)(x 2) 2x 4 + + + = (1) Do 2 (x y 1) x 2 (x 1)(x 2) 0 + + + x, y 2x 4 0 2(x 2) 0 x 2 Với x 2 thì 2 2 (x y 1) x 2 (x y 1) x 2 + + = + + ; (x 1)(x 2) = 2 x 3x 2 + . Khi đó từ phơng trình (1) 2 (x y 1) x 2 + + + (x 1)(x 2) = 2(x 2) 2 (x y 1) + = (x 2)(2 x 1 1) + = 2 (x 2) . 2 (x y 1) + + 2 (x 2) =0 x 2 0 = và x y 1 0 + = x 2; y 3 = = ( thoả mãn) Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình là S= ( ) { } 2;3 Giả sử a b 2 + > 3 3 3 3 (a b) 2 a b 3ab (a b) 8 + > + + + > 2 + 3ab(a b) 8+ > (do 3 3 a b 2 + = ) 3ab(a b) 6 ab(a b) 2+ > + > ab(a b)+ > 3 3 a b + (do 3 3 a b 2+ = ) ab(a b)+ > 2 2 (a b)(a ab b ) + + 2 2 ab a ab b > + 2 2 2 a 2ab b 0 (a b) 0 + < < (vô lý ) . Vậy a b 2 + 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 4 0,25 Xét ABDV có OE//AB OE OD AB DB = (Hệ quả của định lý Ta lét) (1) Xét ABCV có OF//DC OF OB CD BD = (Hệ quả của định lý Ta lét) (2) Xét ABCV có OF//AB OF OC AB AC = (Hệ quả của định lý Ta lét) (3) Xét ABDV có OE//DC OE AO DC AC = (Hệ quả của định lý Ta lét) (4) Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra : OE AB + OF CD + OF AB + OE DC = OD DB + OB BD + OC AC + AO AC OE AB + OF AB + OF CD + OE DC = OD DB + OB BD + OC AC + AO AC EF AB + EF DC = BD BD + AC AC EF AB + EF DC =2 1 AB + 1 DC = 2 EF O A D B C E F 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 5 Kẻ DI, DJ lần lợt vuông góc với AK, CK. Ta có AND 1 S AN.DI 2 = = ABCD 1 S 2 ( do chung đáy AD, cùng chiều cao hạ từ N) (1) CDM 1 S CM.DJ 2 = = ABCD 1 S 2 ( do chung đáy CD, cùng chiều cao hạ từ M) (2) Từ (1) và (2) suy ra: 1 AN.DI 2 = 1 CM.DJ 2 DI=DJ (do AN=CM) DIK DJK = (cạnh huyền-cạnh góc vuông) IKD JKD = KD là tia phân giác AKC . 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 l K A B D C N M J . phân giác của AKC . Hết Giám thị coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh SBD:. Hớng dẫn chấm Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2007-2008 Môn: Toán (Thời gian làm bài 120 phút) Câu. Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 Môn: Toán (Thời gian làm bài 120 phút) Câu 1 :(3 điểm) a) Cho biểu thức 2 2 2 2. (1) Do 2 (x y 1) x 2 (x 1)(x 2) 0 + + + x, y 2x 4 0 2(x 2) 0 x 2 Với x 2 thì 2 2 (x y 1) x 2 (x y 1) x 2 + + = + + ; (x 1)(x 2) = 2 x 3x 2 + . Khi đó từ phơng trình (1)