Đề thi chọn HSG toán 10 năm học 2017 2018 trường THPT quỳ hợp 1 nghệ an

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP Ngày thi: 30/01/2018 *** Câu I ( 2+2=4 điểm) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG Năm học 2017 – 2018 Mơn thi: Tốn – Lớp 10 (Thời gian làm bài: 150 phút) Cho parabol ( P) : y  ax  bx   3 11  1) Tìm giá trị a; b để parabol có đỉnh S  ;   2  2) Với giá trị a; b tìm câu 1, tìm giá trị k để đường thẳng  : y  x(k  6)  cắt parabol hai điểm phân biệt M ; N cho trung điểm đoạn thẳng MN nằm đường thẳng d : x  y   Câu II ( điểm)     Cho tam giác ABC điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , CN  CA ,   AP  AB Tìm k để AM vng góc với PN 15 Câu III( 3+3+3=9 điểm) 1) Tìm m để phương trình x  x   m x  x    x  3m  có hai nghiệm x1 , x cho x1  10  x 2) 3) Giải phương trình x   x  x   x  x   x  x  Giải hệ phương trình  x  y  y   2 y   ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2 2 Câu IV( 1.5+1.5=3 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh có độ dài a Gọi E; F điểm xác định     CF   CD, đường thẳng BF cắt đường thẳng AE điểm I BE  BC ,   1) Tính giá trị EA.CE theo a AIC  900 2) Chứng minh  Câu V ( điểm) Cho số dương a, b, c có a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a a b b c c   2c  a  b 2a  b  c 2b  c  a - - - - Hết - - - - “CHÚ Ý : HỌC SINH KHƠNG ĐƯỢC SỬ DỤNG MÁY TÍNH” Bài Bài Câu HƯỚNG DẪN CHẤM Tìm Điểm điểm điểm … Do Parabol nên có trục đối xứng mà Tọa độ đỉnh có tung độ hay Ta có hệ pt vào ta được: nên nên ta có: Nếu loại Nếu thỏa mãn Vậy giá trị cần tìm Câu Tìm m … với parabol ý2 Để đường thẳng cắt Parabol hai điểm phân biệt pt có hai nghiệm phân biệt hay pt: x  kx   có hai nghiệm phân biệt có Khi đó, giao điểm nên trung điểm đoạn Bài , điểm , 0,5 0,5    3k  k   k k Theo định lý Viet ta có x1  x2  nên I  ;  2 4    nên k  8k   hay Do I thuộc đường thẳng k  4  18 thỏa mãn tốn   Cho tam giác ABC điểm M , N , P thỏa mãn BM  k BC , 0,5 0,5     CN  CA , AP  AB Tìm k để AM vng góc với PN 15       A +) BM  k BC  AM  AB  k ( AC  AB)     AM  (1  k ) AB  k AC P N      +) PN  AN  AP   AB  AC 15 B M 0,5 1,0 , 0,5 C   Để AM vng góc với PN AM PN         (1  k ) AB  k AC    AB  AC    15  4(1  k ) k  k 4k    ) AB AC  AB  AC  ( 15 3 15 4(1  k ) k  k 4k   (  )cos600  15 3 15 k  KL: k  Câu 1) Tìm m để phương trình x6 x9 m x2 x9 8  x 3m  Giải: PT  x    m  x   1  x  3m  đặt t  x  9, t  PT trở thành : 3m   2t   m  1 t  m  13  (1) PT ban đầu có nghiệm x1  10  x t   m  t  1  t    '    (1) có nghiệm  t   t    t1  1 t  1    t1  t   m  1   m  13   m  25     m  13   m     13  m   m  13   m  1  m    2) Giải phương trình x   x  x   x  x   x  x giải: Điều kiện: x  Đặt  x  a ;  x  b ;  x  c với a, b, c số thực không âm Ta có x   a   b   c  a.b  b.c  c.a Do 3  a  ab  bc  ca  a  b  c  a     4  b  ab  bc  ca   b  c  a  b      c  a  b  c   5  c  ab  bc  ca Nhân vế ba phương trình ta  a  b  b  c  c  a   15  15 a  b    15 15 15 15 Suy b  c  abc     15 c  a   671 671 Thử lại x  thỏa mãn phương trình 240 240 671 Vậy phương trình có nghiệm x  240 Suy x   3) Giải hệ phương trình  x  y  y   2 y   ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  2 2 Giải  Giải hệ phương trình  x  y  y   2 y   2 2 ( x  y )( x  xy  y  3)  3( x  y )  (1) (2) ĐKXĐ: y  1, (2)  x3  y  3x  y   x  y     x  1   y  1  x   y   y  x  3 Thay vào pt thứ ta được: 2  2x 1   x 1  1  x  3x    x    x     x      2  2   x   x (Có thể bình phương pt:  x  1 ( x  x  2)  ) Giải hai pt ta x  1, x   2 Vậy hệ có hai nghiệm  x; y   1; 1 ,   2,   Câu Giải: Tính Ta có theo a ; Ta có Mặt khác: Trong tam giác vng Nên Chứng minh Ta có Do Nên nên ta có Giả sử thẳng hàng nên: nên nên Nên Câu Cho số dương a, b, c có a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a a b b c c   2c  a  b 2a  b  c 2b  c  a Giải a a a3 a3 a3 c3 c3   (   ) 16 2c  a  b c  (a  b  c) c  c3 a3 a c  c  3a c     16 16 c3 c3 a a 3a c  Suy ra:   16 2c  a  b b b 3b a  c c 3c b  Tương tự     16 16 2a  b  c 2b  a  c  33 Cộng vế tương ứng ba BĐT chiều ta P  , P  a=b=c=1 KL 2 ... x  3m  đặt t  x  9, t  PT trở thành : 3m   2t   m  1 t  m  13  (1) PT ban đầu có nghiệm x1  10  x t   m  t  1  t    '    (1) có nghiệm  t   t    t1  1 t ...  k ( AC  AB)     AM  (1  k ) AB  k AC P N      +) PN  AN  AP   AB  AC 15 B M 0,5 1,0 , 0,5 C   Để AM vng góc với PN AM PN     